Physik für Biologen und Zahnmediziner
Werbung
Physik für Biologen und Zahnmediziner Kapitel 5: Drehmoment, Gleichgewicht und Rotation Dr. Daniel Bick 16. November 2016 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 1 / 39 Impuls Impuls p~ = m~v Der Gesamtimpuls bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten! Wirkt auf ein System keine äußere Kraft bleibt der Gesamtimpuls erhalten! Weitere Formulierung des 2. Newtonschen Axioms d~ p d(m~v ) d~v dm dm = = m + ~v = m~a + ~v dt dt dt dt dt d~ p = m~a = F~ dt ⇒ Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses Bei konstanter Masse: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 2 / 39 Versuch: Rakete Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 3 / 39 Wagen auf Luftkissenschiene Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 4 / 39 Stoß auf Luftkissenschiene Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 5 / 39 Übersicht 1 Mechanik starrer, ausgedehnter Körper Schwerpunkt Drehmoment Gleichgewicht Trägheitsmoment Rotationsbewegung mit Drehmoment Drehimpuls Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 6 / 39 Schwerpunkt Massenmittelpunkt Punkt, der sich so bewegt, als ob die gesamte Masse dort konzentriert wäre und alle äußeren Kräfte dort ansetzen Mit Massen gewichtetes Mittel aller Massepunkte Für zwei Körper: Allgemein: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 7 / 39 Beispiel mit zwei Massen Die Massen seien starr miteinander verbunden. y Wähle Koordinatensystem so, dass beide Massen auf der x-Achse liegen xs m1 m2 x1 x d x2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 8 / 39 Spezialfall x1 = 0 Eine der Massen (m1 ) bei x = 0 y xs m1 m2 x d Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 9 / 39 Spezialfall gleich große Massen Eine Masse bei x = 0 Gleich große Massen (m1 = m2 ) y xs m1 m2 x d Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 10 / 39 Beispiel Schwerpunktbewegung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 11 / 39 Drehbewegung F~n Wenn unterschiedliche Kräfte an unterschiedlichen Punkten angreifen, kann es eine Drehung geben. F~g Meistens zusätzliche Translation. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 12 / 39 Drehbewegung F~n Wenn unterschiedliche Kräfte an unterschiedlichen Punkten angreifen, kann es eine Drehung geben. Meistens zusätzliche Translation. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner F~g 16. November 2016 12 / 39 Drehmoment Drehung hängt ab von Größe der Kraft → F~ Richtung der Kraft → F~tangential Ansatzpunk der Kraft → ~r ~ ist ein Maß für die Das Drehmoment M Drehwirkung ~r F~radial ~ gibt Drehsinn an Richtung von M Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner F~ F~tangential 16. November 2016 13 / 39 17 Erinnerung: Kreuzprodukt 1 B α A . Abb. 1.14. Rechte-Hand-Regel: Vektorprodukt A × B = C; A (Daumen) weist nach oben, B (Zeigefinger) weist nach hinten, C (abgewinkelter Mittelfinger) steht senkrecht auf A und B LM[*M\ZIOM[]U]VLQV[WNMZVI]KPLI[_I[UIV Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 14 / 39 Winkelgeschwindigkeit als Vektor Bahngeschwindigkeit bisher: v = ω · r Zusätzlich: Richtung der Drehachse ⇒ vektoriel ~r ~v Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 15 / 39 Garnrolle • • P Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 16 / 39 Garnrolle Je nach Winkel des Fadens, an dem ich ziehe, rollt die Garnrolle sich auf oder ab. F~ F~ ~v • • P ~r Daniel Bick ~v = 0 • • P Physik für Biologen und Zahnmediziner • ~r ~v F~ • P 16. November 2016 17 / 39 Kräftepaar Zwei parallele Kräfte deren Betrag gleich ist die entgegengesetzt wirken F~ deren Angriffspunkte nicht zusammenfallen P heissen Kräftepaar. ~r F~ und −F~ verursachen eine Drehung des Körpers um P . P liegt auf der Verbindungslinie der beiden Angriffspunkte. −F~ F~ P ~r −F~ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 18 / 39 Schaubenzieher F~ F~ F~ F~ F~ F~ Ein breiterer Schaubenzieher bewirkt ein größeres Drehmoment. ⇒ Drehen (Schrauben) fällt einem leichter! Drehachse ist vorgegeben! Am besten in der Mitte ansetzen! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 19 / 39 Bestimmung des Schwerpunktes Häufig eindeutig durch Symmetrie Ansonsten: Nehme Gewichtskraft zur Hilfe Lagere Gegenstand auf einer freien Drehachse → Drehung durch Schwerkraft →Schwerpunkt auf der Vertikalen unterhalb der Drehachse Wiederholung für mehrere Drehachsen Schnittpunkt aller Vertikalen ergibt Schwerpunkt Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 20 / 39 Beispiel: Schwerpunkt eines Dreiecks C A B C B A A C B B C A C A Daniel Bick B Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 21 / 39 Hebel Gleichgewicht von Drehmomenten F~1 Hebelgesetz ~r2 ~r1 Daniel Bick F~2 Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 22 / 39 Einarmiger Hebel Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper F~1 VM\Q[KPM -VMZOQM _IVLMT\ [QKP NZMQ_QTTQO QV M]UQUUMZ]VL]V^MZUMQLTQKP">WTTSWU ~r1 [[\[QKP:MQJ]VOVQKP\I][[KPIT\MVB]_MQ F~2 L[QM[WOIZLZQVOMVLOMJZI]KP\b*LIVV MQV [KPVMTTM[ )]\W XTÕ\bTQKP IJOMJZMU[\ F~g ~r2 V U][[ ]U MQVM 3IZIUJWTIOM b] ^MZUMQ IVV[WTT[QKP^QMTSQVM\Q[KPM-VMZOQMZI[KP Die Kraft muss in die gleiche UM]U_IVLMTV",QM*ZMU[MV_MZLMVPMQ¾ Richtung aufgebracht werden \ LQM[ VQKP\ [KPVMTT OMV]O [W MV\[\MP\ LQM Alternativ: Umlenkrolle PM?ÃZUMJMQXTI[\Q[KPMZ>MZNWZU]VO^WV Beispiel: Unterarm . Abb. 2.29. Arm und Bizeps. Als einarmiger Hebel: Kraft und Kurze Arme helfen beim ArmdrückenLast greifen, auf die Drehachse (Ellbogengelenk) bezogen, au Hebel und Drehmoment Daniel Bick ! der gleichen Seite an; der Hebelarm des Muskels (T ~ 30 mm ist wesentlich kleiner als der Hebelarm (T ~ 30 cm) der Hantel Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 23 / 39 Anwendungsbeispiele Schere Zimmermannshammer Flaschenöffner Schraubenschlüssel Nussknacker Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 24 / 39 Gleichgewicht Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 25 / 39 Arten von Gleichgewichten stabil indifferent labil Stabiles Gleichgewicht Zustand kehrt nach Störung dorthin zurück Verrücken erfordert Energie Indifferentes Gleichgewicht Kleine Störung verschiebt den Gleichgewichtszustand nur leicht Energie bleibt unverändert Instabiles (labiles) Gleichgewicht Zustand verlässt das Gleichgewicht völlig bei kleiner Störung Verrücken setzt Energie frei Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 26 / 39 Drehmomentwandler Funktionsprinzip eines Getriebes Prinzip ähnlich dem Hebel ~r1 statt Hebelarm Zahnräder unterschiedlicher Größe ~r2 ~r1 ~r2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 27 / 39 Trägheitsmoment Kinetische Energie eines rotierenden Körpers Erinnerung: Ekin = 21 mv 2 Beispiel Ring/Scheibe ~v ~v Ring: Betrag der Geschwindigkeit v ist gleich für jeden Massepunkt. Scheibe: Lediglich die Winkelgeschwindigkeit ω ist gleich: Daniel Bick Trägheitsmoment I Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 28 / 39 Beispiele für Trägheitsmomente Dünner Ring m · r2 Vollzylinder 1 2m Hohlzylinder Kugel Daniel Bick 1 2m · r2 · (r12 + r22 ) 2 5m · r2 Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 29 / 39 Trägheitsmoment und Drehmoment Das Trägheitsmoment ist ein Maß dafür, wie schwer ein Körper in Drehung zu versetzen ist. Für eine punktförmige Masse gilt I = m · r2 Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung Dynamisches Grundgesetz der Rotation Analogie Translation – Rotation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 30 / 39 Rolle auf schiefer Ebene Welche Rolle ist schneller? Hohlzylinder Vollzylinder h α Daniel Bick h α Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 31 / 39 Steinerscher Satz Das Trägheitsmoment eines Körpers bei Drehung um seine Symmetrieachse unterscheidet sich von dem bei Drehung um eine andere Achse. Beispiel: Ein rollender Körper dreht sich um seinen Auflagepunkt d m Daniel Bick Das tatsächliche Trägheitsmoment kann mit dem Satz von Steiner berechnet werden: Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 32 / 39 Rollreibung Rollreibung wirkt dem Drehmoment entgegen Analog zur Gleitreibung: M = µroll · FN Normalkraft F~N F~H α α F~N F~g Graviationskraft F~g Hangabtriebskraft F~H F~N = F~g · cos(α) F~H = F~g · sin(α) Bei welchem Winkel α fängt die Rolle an sich zu drehen? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 33 / 39 Versuch: Drehstuhl Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 34 / 39 Drehimpuls Wir nehmen an, es liegt kein äußeres Drehmoment vor: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 35 / 39 Drehstuhl mit Kreisel Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht ω ~ ω ~ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 36 / 39 Drehimpuls als Vektorgröße ω ~ ist ein Axialvektor ~ = I~ ⇒ Auch L ω ist ein Axialvektor ~ ω ~ ~ =M Ausserdem: ddtL = I d~ dt = I α Es gilt für einen Massepunkt: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November 2016 37 / 39 Vergleich Translation Rotation Ort ~s Winkel ϕ Zeit t Zeit t Geschwindigkeit ~v = d~ s dt Winkelgeschwindigkeit ω ~ = dϕ dt Beschleunigung ~a = d~ v dt Winkelbeschleunigung α ~= d~ ω dt Masse m Trägheitsmoment I= P i Kraft Kinetische Energie Impuls Daniel Bick F~ = m · ~a Ekin = 12 mv 2 p~ = m · ~v Drehmoment Rotationsenergie Drehimpuls Physik für Biologen und Zahnmediziner mi ri2 ~ =I ·α M ~ ERot = 21 Iω 2 ~ =I ·ω L ~ 16. November 2016 38 / 39
