3.1. Zahlengerade (1.1.) 3.2. Gegenzahl, Betrag

Theorie Mathematik
3.1.
Zahlengerade (1.1.)
Seite 9
Mit dem Zahlenstrahl können wir die positiven Zahlen darstellen. Die Zahlengerade ermöglicht uns, auch die negativen Zahlen darzustellen. Auf dieser Zahlengeraden gibt es weder eine kleinste noch eine grösste Zahl. Rechts von der Null liegen
die positiven Zahlen, links der Null liegen die negativen Zahlen.
e
0
negative Zahlen
Beispiele
positive Zahlen
4
positive Zahlen (z.B. 216 / 1,2 / 3 )
5
4
negative Zahlen (z.B. −216 / −1,2 / −3 )
5
3.2.
Gegenzahl, Betrag
Seite 11
Unterscheiden sich zwei Zahlen nur durch ihr Vorzeichen ( (-7) , (+7) ), sprechen wir
von Gegenzahlen. Sie liegen spiegelbildlich zur Zahl Null.
Mit dem Betrag einer Zahl, bezeichnen wir den Abstand einer Zahl vom Nullpunkt.
Demnach ist der Betrag zweier Gegenzahlen gleich. Der Betrag ist immer eine
positive Zahl.
Beispiele
Die Gegenzahl von (-5) ist (+5).
-5
0
+5
-a
0
+a
Die Gegenzahl von (-a) ist (+a).
Der Betrag von (-5) ist 5
| -5 | = 5∫
Der Betrag von (+7) ist 7.
| +7 | = 7
-3/a-
Theorie Mathematik
3.3.
Zahlenmengen (2.20.)
N
=
die Menge der natürlichen Zahlen
( 1 / 2 / 3 / . . .)
N0
=
die Menge der natürlichen Zahlen und 0
( 0 / 1 / 2 / 3 / . . .)
Z
=
die Menge der ganzen Zahlen
( . . / -2 / -1 / 0 / 1 / 2 / . . .)
Z+
=
die Menge der positiven ganzen Zahen
Z-
=
die Menge der negativen ganzen Zahlen
Q
=
die Menge der rationalen Zahlen
Q+
=
die Menge der positiven rationalen Zahlen
Q-
=
die Menge der negativen rationalen Zahlen
N
3.4.
Seite 11
No
z.B. ( -3 21 / -7 41 / 5,371 )
Z
Q
Koordinatensystem (1.18.)
Seite 16
So wie wir den Zahlenstrahl ausgebaut haben, ergänzen wir das Koorinatensystem in
den Bereich der negativen Zahlen. Wir erhalten 4 Winkelfelder, welche wir mit Quadranten bezeichnen. Alle Punkte eines Quadranten haben dieselben Vorzeichen.
II. Quadrant
(- / +)
I. Quadrant
(+ / +)
III. Quadrant
(- / -)
IV. Quadrant
(+ / -)
-3/b-
Theorie Mathematik
3.5.
Operationen der I. Stufe in Q
(+a)
(-b)
Seite 20
Unter einer positiven Zahl stellen wir uns ein „Vermögen“ oder einen „Gutschein“ vor.
Eine negative Zahl stellt eine „Schuld“ dar (Schuldschein / Rechnung).
Addition
Wenn wir zwei Gutscheine erhalten, so entspricht der Gesamtbetrag der Summe der beiden Gutscheine.
(+20)
Gutschein 1
+
(+10)
Gutschein 2
=
+30
=
20 + 10
Wenn wir ein Vermögen besitzen und eine Rechnung bezahlen müssen (eine Rechnung erhalten),
haben wir ein geringeres Vermögen.
(+100)
+
(-20)
=
+80
=
100 - 20
Vermögen
Rechnung
neues Vermögen
Subtraktion
Wenn wir von zwei Gutscheinen einen beim Kauf eines Gegenstandes verwenden, haben wir ein geringeres Vermögen (in Form von Gutscheinen).
(+30)
-
Summe aus +20 & +10
(+10)
Rechnung
=
+20
neues Vermögen
=
30 - 10
Wenn wir einen Gutschein und eine Rechnung besitzen, die Rechnung aber jemandem abgeben
können, haben wir zum Schluss ein grösseres Vermögen.
(+80)
-
(-20)
=
Summe aus +100 & -20
3.6.
+100
neues Vermögen
=
Klammern bei Operationen der I. Stufe in Q
80 + 20
Seite 27
Algebraische Summen
Wir können jede Differenz als Summe verstehen:
a - b = a + (- b)
Summenterme mit Klammern
Zu 2w ist die Summe 3x + 4y - 5z zu addieren.
Schreiben wir die Aufgabe als Term erhalten wir:
2w + (3x + 4y - 5z)
Jedes Glied der eingeklammerten Summe muss
addiert werden:
2w + (+3x) + (+4y) + (-5z)
Nach unseren Kenntnissen ergibt das:
2w + 3x + 4y - 5z
Es gilt also:
2w + (3x + 4y - 5z) = 2w + 3x + 4y - 5z
Beim Auflösen von „Plusklammern“ beibt das Vorzeichen der Summanden in der
Klammer unverändert.
-3/c-
Theorie Mathematik
Von 2w ist die Summe 3x + 4y - 5z zu subtrahieren. Schreiben wir die Aufgabe als Term, erhalten wir:
2w - (3x + 4y - 5z)
Jedes Glied der eingeklammerten Summe muss
subtrahiert werden:
2w - (+3x) - (+4y) - (-5z)
Nach unseren Kenntnissen ergibt das:
2w - 3x - 4y + 5z
Es gilt also:
2w - (3x + 4y - 5z) = 2w - 3x - 4y + 5z
Beim Auflösen von „Minusklammern“ werden alle Vorzeichen der Summanden in der
Klammer verändert, aus „plus“ wird „minus“ und aus „minus“ wird „plus“.
Verschachtelte Klammerausdrücke werden immer von innen nach aussen aufgelöst.
Beispiel
3.7.
a+{b-[c+(d-e)]+f}
a+{b-[c+ d- e] + f}
a+{b- c - d+e + f}
a+b - c - d+e + f
=
=
=
=
Operationen der II. Stufe in Q
Es gilt:
3
·5
Seite 32
?
Verfünffache die Zahl 3.
Es gilt weiter:
3
· (- 5)
?
Verfünffache die Zahl 3 und bilde die Gegenzahl.
Daraus folgt:
3 · 5 = 15
3 · (-5) = -15
Es folgt weiter:
(-3)
(-3)
· (- 5)
· 5
?
(-3) (-5) = 15
?
(-3) · 5 = -15
Schlussfolgerung (gilt auch für die Division)
(+)
(+)
(-)
(-)
·
·
·
·
(+) = (+)
(-) = (-)
(+) = (-)
(-) = (+)
(+)
(+)
(-)
(-)
-3/d-
:
:
:
:
(+) = (+)
(-) = (-)
(+) = (-)
(-) = (+)
Theorie Mathematik
3.8.
Potenzen mit negativen Exponenten (2.2.)
am : an = am
Beispiele
3.9.
−n
a 5 : a3
=
a ⋅ a ⋅ a/ ⋅ a/ ⋅ a/
a/ ⋅ a/ ⋅ a/
=
a2
1
= a2
a3 : a5
=
a/ ⋅ a/ ⋅ a/
a ⋅ a ⋅ a/ ⋅ a/ ⋅ a/
=
1
a2
= a −2
a2 : a2
=
a/ ⋅ a/
a/ ⋅ a/
=
1
= a0
1
Seite 37
= a 2−2
= a5−3
= a3−5
= 1
Multiplikation von Summen und Differenzen (1.27./1.28.)
Seite 41
a ( b + c − d ) = ab + ac − ad
3.10. Prioritäten bei Operationen verschiedener Stufen (1.34.)
Operationen der höheren Stufe binden stärker!
vor
vor
vor
Beispiel
Klammer
Potenz
Punkt
Strich
( 15 − 3 ⋅ 22 ) 2 =
( 15 − 3 ⋅ 4 ) 2 =
( 15 − 12 )
2
=
3
2
= 9
-3/e-
Seite div.
Theorie Mathematik
3.11. Gleichungen (1.16.)
Seite 54
Grundeinsichten
Aussage
Aussageform
Wenn wir bei einem „Gebilde“ (Term) entscheiden können, ob es wahr oder
falsch ist, handelt es sich um eine Aussage.
3
+
7
=
10
(w)
10
+
2
=
20
(f)
Enthält ein „Gebilde“ (Term) eine oder mehrere Variablen, und hat es die Form einer Aussage, nennen wir es eine Aussageform. Sie wird beim Ersetzen der Variablen durch einen Zahlwert in eine Aussage übergeführt.
2x
+
5
=
9
x = 2 ⇒
2·2 +
5
=
9
(w)
x = 3 ⇒
2·3 +
5
=
9
(f)
Lösungsmenge
Zahlen, welche beim Einsetzen in eine Aussageform wahre Aussagen erzeugen,
nennt man Lösungen der Aussageform. Sie gehören zur Lösungsmenge (L)
der Aussageform.
Grundmenge
In der Grundmenge (G) werden die Elemente bestimmt, welche in der Lösungsmenge zugelassen sind.
Lösen von Gleichungen
Eine Gleichung kann mit einer Balkenwaage verglichen werden. Gleiche, gleichzeitige Aktionen auf beiden Seiten verändern demnach das Gleichgewicht nicht.
Man darf auf beiden Seiten
- den gleichen Term addieren
- den gleichen Term subtrahieren
Beide Seiten dürfen:
- mit dem gleichen Term multipliziert werden (ausser 0)
- durch den gleichen Term dividiert werden (ausser 0)
-3/f-
Theorie Mathematik
Lösungsverfahren
1.
Separieren in „Werte mit der Variablen“ und “reinen Zahlwerten“ (je eine
Seite des Gleichheitszeichens
2.
Zusammenfassen
3.
x = … (x ist immer positiv)
4.
Lösungsmenge abhängig von der Grundmenge bestimmen
Darstellung
G=Z
3x
3x
+
6
x
=
=
=
15
9
3
L
=
{3}
| -6
| :3
3.12. Ungleichungen (3.11.)
Seite 59
Mit einer Ausnahme gelten alle Bemerkungen, welche für Gleichungen Gültigkeit haben!
Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert
(durch eine negative Zahl dividiert) werden, wird das Ungleichungszeichen
umgekehrt!
Beispiele
5
>
1
-10
<
-2
6
>
2
-3
<
-1
-3/g-
| · (-2)
| : (-2)
Theorie Mathematik
3.13. Abstand (1.21.)
Seite 129
Punkt - Punkt
Der Abstand zwischen zwei Punkten P und Q ist die Länge der Verbindungsstrecke PQ auf der Geraden PQ.
€
Q
Abs tand = PQ
PQ
P
€
€
Punkt - Kreis
Der Abstand eines Punktes P von einem Kreis entspricht der Länge der Verbindungsstrecke vom Punkt P bis zur Kreislinie k auf der Geraden PM.
k
PM
M
Abs tand = AP
A
P
€
Kreis - Kreis
Der Abstand zweier Kreise entspricht dem kürzesten Abstand der beiden
Kreislinien auf der Geraden M1M2.
M2
B
Abs tand = AB
k1
M1
A
k2
€
M 1M 2
-3/h-
Theorie Mathematik
3.14. Ortslinien
Seite 134
Unter Ortslinien verstehen wir Mengen von Punkten, welche eine bestimmte
Lagebedingung erfüllen.
Kreis
k
Alle Punkte, welche von einem gegebenen Punkt M
den gleichen Abstand r haben, liegen auf der Kreislinie k um M mit dem Radius r.
r
x
M
m
Mittelsenkrechte
Alle Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten A
und B je den gleichen Abstand haben, liegen auf der
Mittelsenkrechten m der Strecke AB .
x
A
x
B
€
Parallele
p1
Alle Punkte, welche von einer gegebenen Geraden g
den gleichen Abstand d haben, liegen auf den Parallelen p1 und p2 zu g, mit Abstand d (2 Lösungen).
d
d
g
p2
Mittelparallele
g
d
Alle Punkte, welche von zwei gegeben Parallelen g
und h den gleichen Abstand d haben, liegen auf der
Mittelparallelen m.
d
m
h
g
Winkelhalbierende
Alle Punkte, welche von zwei sich schneidenden Geraden g und h je den gleichen Abstand haben, liegen
auf den Winkelhalbierenden w1 und w2
(2 Lösungen).
w1
h
w2
-3/i-
Theorie Mathematik
3.15. Translation (Parallelverschiebung)
Definition
r
r
Eine Strecke mit einer bestimmten Richtung heisst Pfeil v oder Vektor v .
Abbildungsvorschriften für eine Translation
€
€
- Verschiebungsrichtung (Richtung des Pfeiles - des Vektors)
- Verschiebungsbetrag (Länge des Pfeiles - des Vektors)
Eigenschaften einer Translation
- Alle Verschiebungspfeile einer Translation sind gleich lang und gleichsinnig
parallel.
- Urbild und Abbildung sind kongruent.
- Der Umlaufsinn der Figuren bleibt erhalten.
-3/j-
Seite 145
Theorie Mathematik
3.16. Rotation (Drehung)
Seite 149
Abbildungsvorschriften für eine Rotation
Lage des Drehzentrums D
Winkelweite des Drehwinkels α
Drehsinn - positiv
⇒
- negativ
⇒
gegen den Uhrzeigersinn
im Uhrzeigersinn
€
DP,+120° heisst:
€ Rotation um P mit 120° im Gegenuhrzeigersinn
€
Eigenschaften einer Rotation
Urbild und Abbildung sind kongruent.
Der Umlaufsinn der Figuren bleibt erhalten.
-3/k-
Theorie Mathematik
3.17. Punktspiegelung (3.16.)
Seite 153
Abbildungsvorschrift
Lage des Symmetriezentrums Z (DZ)
Eigenschaften einer Punktspiegelung
Die Punktspiegelung ist ein Spezialfall der Rotation DZ, 180°
Die Bildstrecke ist zur Originalstrecke parallel. (AB / / A′B′)
Urbild und Abbildung sind kongruent.
Der Umlaufsinn der Figuren bleibt erhalten.
Z ist Mittelpunkt von AA ′
€
€
-3/l-
Theorie Mathematik
3.18. Streifenschar
Seite 157
Parallelen im gleichen Abstand erzeugen eine Streifenschar. Sie schneiden aus
einer beliebigen Geraden jeweils gleich lange Abschnitte.
| PA | = | AB | = | BC | = | CD |
| PQ | = | QR | = | RS | = | ST |
€
Anwendung
Teile die Strecke AB = 10cm in 3 gleich lange Strecken.
€
LW
1. AB€
2. Strahl s von A in beliebiger Richtung
(mit Vorteil ein spitzer Winkel)
3. trage auf s 3-mal y ab ⇒ P1, P2, P3
(3-mal y mit Vorteil ähnlich lang wie AB )
4. P3B
5. // zu P3B durch
€ P1 (P2) ∩ mit AB → Q 1, Q 2
€
| AQ1 | = | Q 1Q 2 | = | Q 2B |
s
P3
y
P2
y
€
P1
y
€
Q1
A
-3/m-
Q2
B
Theorie Mathematik
3.19. Fixpunkt / Fixgerade
Seite 158
Fixpunkt
Punkte, welche bei einer Abbildung auf sich selber abgebildet werden, heissen Fixpunkte (F).
g
C
C‘
F1 = F1‘
A‘
A
B‘
B
F2 = F2‘
Fixgerade
Geraden, welche bei einer Abbildung auf sich selber abgebildet werden, heissen Fixgeraden (f).
g
f = f‘
-3/n-
Theorie Mathematik
3.20. Eigenschaften von Abbildungen / Kongruenz
Seite 159
Definitionen
Längentreu
Bei einer Abbildung werden die Strecken gleich lang
abgebildet.
Winkeltreu
Bei einer Abbildung werden Winkel gleich gross
(gleiche Weite) abgebildet.
Orientierungstreu
Bei einer Abbildung bleibt der Orientierungssinn erhalten.
Kongruenz
Abbildungen, welche längentreu sind, nennen wir
Kongruenzabbildungen.
Figuren, welche sich durch Kongruenzabbildungen
zur Deckung bringen lassen, nennen wir kongruent.
-3/o-
Theorie Mathematik
3.21. Symmetrien (2.15. / 3.15. - 3.17.)
Seite 161
Achsensymmetrisch
Ebensymmetrisch
heisst eine Figur, welche bei einer Spiegelung an einer Geraden auf sich selber
abgebildet wird.
heisst ein Körper, der bei einer Spiegelung an einer Ebenen E auf sich selber abgebildet wird.
Drehsymmetrisch
Punktsymmetrisch
heisst eine Figur, welche bei einer Drehung
( δ < 360°) auf sich selber abgebildet wird.
heisst eine Figur, welche bei einer Spiegelung an einem Punkt P auf sich selber abgebildet wird (Spezialfall der Drehsymmetrie δ = 180°).
€
€
Verschiebungssymmetrisch
heisst eine Figur, welche bei einer Verschier
bung um den Verschiebungspfeil (Vektor) v
auf sich selber abgebildet wird.
€
-3/p-
Theorie Mathematik
3.22. Winkelsätze (2.11.)
Seite 168
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel sind gleich gross.
α=χ
β=δ
Nebenwinkel
Nebenwinkel betragen zusammen 180°.
α + β = 1800
χ + δ = 1800
Stufenwinkel
Stufenwinkel sind gleich gross.
Wechselwinkel
Wechselwinkel sind gleich gross.
-3/q-
Theorie Mathematik
3.23. Winkel im Dreieck
Seite 172 / 179 / 181
Innenwinkel
Die Summe aller Innenwinkel beträgt 180°.
α + β + χ = 1800
Aussenwinkel
Der Aussenwinkel entspricht der
Summe der nicht anliegenden Innenwinkel.
α + β = χ1 = χ 2 (χ∗)
Thaleskreis
Ist eine Seite des Dreiecks der
Durchmesser eines Kreises und
liegt die dritte Ecke auf der Kreislinie, so ist das Dreieck rechtwinklig.
α = χ1
(gleichschenklig)
β = χ2
(gleichschenklig)
α + χ1 + χ 2 + β = 180°
α + α + β + β = 180°
2 ⋅ α + 2 ⋅ β = 180°
2 ⋅ (α + β) = 180°
α + β = 90°
| : 2
χ = 90°
€
-3/r-
Theorie Mathematik
3.24. Dreiecksformen
Seite 173
Einteilung der Dreiecke in Abhängigkeit der Seiteneigenschaften
Allgemeines Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
Alle Seiten des Dreiecks sind verschieden lang.
Genau zwei Seiten (Schenkel) sind
gleich lang.
Alle Seiten des Dreiecks sind
gleich lang.
a ≠ b, a ≠ c , b ≠ c
a = b
a = b = c
Symmetrieachse
€
Spitze
€
C
€
Winkel an
der Spitze
b
a
Schenkel
b
a
b
a
B
c
A
C
C
A
A
B
c
B
c
Basiswinkel
Basis
Einteilung der Dreiecke in Abhängigkeit der Winkeleigenschaften
Stumpfwinkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Spitzwinkliges Dreieck
Ein Innenwinkel ist ein stumpfer Win- Ein Innenwinkel ist ein rechter Winkel.
kel.
Alle Innenwinkel sind spitze Winkel.
χ > 90°
α < 90° , β < 90° , χ < 90°
χ = 90°
€
€
C
€
Katheten
C
A
χ
C
α
χ
χ
α
A
β
€
β
B
€
€
€
Hypotenuse
€
€
€α
β
A
B
B
€
€
-3/s-
Theorie Mathematik
3.25. Winkel im Vieleck
Seite 176
Allgemeines Vieleck
Die Winkelsumme der Innenwinkel im n-Eck beträgt (n-2) · 180°.
Begründung:
180°
180°
χ
180°
α
€
180°
β
€
α + β + χ = 180°
6-Eck ====>>
4 · 180°
€
€ Regelmässiges Vieleck
Das regelmässige Vieleck hat einen Umkreis. Seine Seiten sind alle gleich lang.
Innenwinkelsumme = (n − 2) ⋅ 180°
360°
ε =
n
α = 180° − ε
€
-3/t-
Theorie Mathematik
3.26. Zuverlässige Ziffern / Runden
(1.11. / 2.1.)
Seite 70
Zuverlässige Ziffern (Gültige Ziffern)
Bei einem Näherungswert heissen alle Ziffern, welche mit jenen des genauen
Wertes übereinstimmen, zuverlässige Ziffern.
Eine letzte Ziffer gilt auch dann als zuverlässig, wenn sie durch Runden des
genauen Wertes auf diese Stelle bestätigt würde.
genauer Wert
gerundet er Wert
3,527
409,87
0,0456
2,0043
3,5
{
410
{
0,05{
2,00
{
zZ
zuverlässige Ziffern
zZ
zZ
Runden bei Addition und Subtraktion
€ Das Ergebnis kann nicht genauer sein, als das ungenauste Berechnungsglied.
Beispiele
I.
4,3 m + 23,27 m + 0,794 m
=
28,364 m
≅
28,4 m
4,3 m ist der ungenauste Wert (gerundet auf 10 cm). Aus diesem Grund muss auch das
Schlussresultat auf 10 cm gerundet werden.
II.
€
450 m + 57 m + 1151 m
=
1658 m
Je nach Situation sind zwei verschiedene Lösungen möglich:
1.
2.
450 m sind auf 10 m gerundet >>>
450 m sind auf 1 m gerundet >>>
≅
≅
1660 m
1658 m
€
Runden bei Multiplikation und Division
€
Das Ergebnis kann nicht mehr zuverlässige Ziffern haben als das ungenauste
Berechnungsglied.
Beispiele
I.
3
3
4,3
{ m = 78,447824 m ≅ 78 m
{ m ⋅ 23,27
123 m ⋅ 0,789
2 zZ
II.
7,5 ⋅ 9,5 m = 71,25 m ≅ 71,3 m
Beispiel II. lässt sich auf eine Addition zurückführen! 9,5 m + 9,5 m + 9,5 m + …
Entsprechend gilt die Additionsregel (7,5 ist eine Zahl, keine Grösse).
III.
6 ⋅ 2,1
2,34 m = 29,484 m 2
{ m ⋅ {
€
€
3 zZ
4 zZ
2 zZ
≅ 29 m 2
3 zZ
Multiplikation von zwei Messwerten!
€
-3/u-
Theorie Mathematik
3.27. Proportionalitätsfaktor
(2.28.)
Seite 76
Gehört bei einer Zuordnung zum Doppelten / Dreifachen / … der ersten Grösse das Doppelte /
Dreifache / … der zweiten Grösse, so nennt man diese Zuordnung eine proportionale Zuordnung.
Beispiel
·2
·3
Gewicht
Kosten
1 kg
4 Fr
2 kg
8 Fr
6 kg
24 Fr
·2
·3
Bei Berechnungen dieser Art ist jeweils ein Grössenpaar mit zwei einander zugeordneten Werten gegeben. Von einem zweiten oder dritten Grössenpaar ist dann nur eine Grösse gegeben,
die zweite muss berechnet werden.
Beispiel
1 kg Trauben kostet 4 Fr. Wie teuer sind 2 kg / 6 kg?
Gewicht, kg Kosten, Fr
·2
·3
1
4
2
8
6
24
⋅
·2
·3
Waagrechter Operator oder
Proportionalitätsfaktor
4 Fr
1 kg
Bisher wurde für die Berechnung von proportionalen Grössen der Dreisatz verwendet. Dabei
war der Proportionalitätsfaktor bereits Bestandteil der Berechnung.
€
Beispiel
2 kg Äpfel kosten 4 Fr. Wie teuer sind 5 kg ?
4
·
5
2 kg
1 kg
= 10 Fr
2
Proportionalitätsfaktor
5 kg
Neue Darstellung
Der verwendete Operator bedeutet in
diesem Beispiel „Preis“.
In anderen Beispielen kann er
km
= Geschwindigkeit (v) oder
h
g
= Dichte (ρ) bedeuten.
cm 3
Fr
2
4
gesuchte Grösse
5
⋅
-3/v-
€
€
kg
4 Fr
2 kg
Preis
Theorie Mathematik
3.28. Verhältnisse
Seite 81
Mit Verhältnissen können wir zwei verschiedene Grössen vergleichen. Dabei
bilden wir den Quotienten dieser beiden Grössen.
Beispiel
In einem Betrieb arbeiten 12 Frauen und 8 Männer. Das Verhältnis Frauen zu Männer beträgt
12 zu 8 und wird als 12 : 8 geschrieben.
Verhältnisse können durch Erweitern und Kürzen umgeformt werden.
12 : 8 ⇔ 3 : 2
Der Wert eines Verhältnisses entspricht der Zahl, welche durch Division entsteht.
€
12 : 8 = 1,5
€
3.29. Kreisberechnungen
Seite 87
Der Wert des Verhältnisses „Umfang : Durchmesser“ ist für alle Kreise
gleich. Es gilt:
u : d = π = 3,141592654…
π (Pi) ist ein nicht abbrechender, nicht periodischer Dezimalbruch.
€
€
A = πr 2
Kreisfläche
Kreisumfang
€
u = 2πr = πd
€
Sektor mit Zentriwinkel x°
Sektorfläche (x°)
Bogenlänge (x°)
AS
€
€
= πr 2
x
360
x
b = 2πr
360
-3/w-
r
b
x
Theorie Mathematik
3.30. Zylinder
Seite 99
Volumen
=
Grundfläche · Höhe
V
=
G·h
h=m
Oberfäche =
2 · Grundfläche + Mantel
G
O
=
2·G+M
G
G
M
h
m
u
=
=
=
=
=
Grundfläche
Mantel
Höhe
Mantellinie
Kreisumfang
u
h=m
M
G
3.31. Ausmultiplizieren, Faktorisieren, Binomische Formel
ausmultiplizieren
Summe
Produkt
faktorisieren
Beispiele
(2a + b)(3c − 4d) ⇔ 6ac − 8ad + 3bc − 4bd
(b − 7)(b + 3) ⇔ b 2 − 4b − 21
Binomische Formeln
€
I
a 2 + 2ab + b2
=
II
a 2 − 2ab + b2
= (a − b)2
III a 2 − b 2
€
(a + b)2
= (a + b)(a − b)
-3/x-
Seite 105 ff
Theorie Mathematik
3.32. Kreis und Gerade (2.12.)
Seite 184
Sekante
Sind A und B verschiedene Punkte einer Kreislinie, so heisst die Gerade AB
Sekante.
0<a<r
g0 , g1 , g2
Zentrale
Eine Gerade durch den Mittelpunkt heisst Zentrale
a=0
g0
Tangente
Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt B gemeinsam hat, heisst
Tangente.
a=r
g3
Passante
Eine Gerade, die mit einem Kreis keinen Punkt gemeinsam hat, heisst Passante.
a>r
g4
Grundkonstruktionen
Gegeben: P ∈ k
Gegeben: Q ausserhalb k
LW:
⊥ zu PM durch P → t1 LW:
1. Thales über MQ ∩ k → B 1 , B 2
2. QB1 , QB2
€
€
Thaleskreis
€
€
k
P
M
B1
t1
Q
M
k
t1
B2
t2
-3/y-
Theorie Mathematik
3.33 Tangenten an zwei Kreise (3.32.)
-3/z-
Seite 186
Theorie Mathematik
3.34. Kongruenzsätze bei Dreiecken (3.24.)
Seite 187 ff
C
sss
b
Wenn Dreiecke in den Längen entsprechender Seiten übereinstimmen, dann sind sie
kongruent.
a
A
B
c
sws
C
Wenn Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, dann
sind sie kongruent.
b
α
A
B
c
€
wsw / sww
C
Wenn Dreiecke in einer Seite und zwei
gleichliegenden Winkeln übereinstimmen,
dann sind sie kongruent. (Der dritte Winkel
kann berechnet werden).
α
A
β
c
B
€C
χ
€
α
A
€
B
c
€
C
Ssw
Wenn Dreiecke in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der grösseren gegebenen Seite
übereinstimmen, dann sind sie kongruent.
b
α
A
€
- 3 / aa -
a
B
Theorie Mathematik
3.35. Die Höhen im Dreieck (2.36.)
Seite 192
Die Höhen im Dreieck schneiden
sich im Höhenschnittpunkt H.
Achtung: Beachte die Lage von H bei speziellen Dreiecken!
3.36. Die Mittelparallelen im Dreieck
Die Mittelparallele MaMb ist halb
so lang wie die dazugehörige Seite AB .
€
€
- 3 / ab -
Seite 194
Theorie Mathematik
3.37. Die Mittelsenkrechten im Dreieck (3.35.)
Umkreis / Thaleskreis
Seite 196
C
Die Mittelsenkrechten der drei
Dreiecksseiten schneiden einander
in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt M. Der Radius des Umkreises heisst r.
r
Achtung: Beachte die Lage von M bei speziellen Dreiecken!
3.38. Die Winkelhalbierenden im Dreieck (3.37.)
Inkreis
Seite 196
Die Winkelhalbierenden im Dreick
schneiden sich in einem Punkt, dem
Inkreismittelpunkt O. Der Radius
des Inkreises heisst ϕ (Rho).
ϕ
€
€
- 3 / ac -
Theorie Mathematik
3.39. Die Seitenhalbierenden im Dreieck (3.38)
Schwerlinien, Schwerpunkt
Die drei Seitenhalbierenden (Schwerlinien) im Dreieck schneiden einander in
einem Punkt, dem Schwerpunkt S.
Die Seitenhalbierenden werden durch S im Verhältnis 2 : 1 geteilt.
- 3 / ad -
Seite 201
Theorie Mathematik
3.40. Linien im Dreieck / Zusammenfassung
- 3 / ae -
Theorie Mathematik
3.41. Viereck / Trapez (1.22.)
Seite 205
Bezeichnungen
Trapez
Im Trapez verlaufen zwei Seiten parallel.
Der Flächeninhalt des Trapezes
A = m⋅ h
a + c
=
⋅ h
2
€
- 3 / af -