Vektoranalysis - Vortragsfolien zur Höheren Mathematik

Vektoranalysis
Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite
vhm.mathematik.uni-stuttgart.de für Erläuterungen zur Nutzung und zum Copyright.
Vektoranalysis
1-1
Skalarfeld
Ein Skalarfeld
P 7→ U(P)
ordnet jedem Punkt P des Definitionsbereiches D eine reelle Zahl U zu.
Alternative Schreibweisen sind
U = Φ(x, y , z),
U = U(~r ) ,
wobei (x, y , z) die Koordinaten und ~r der Ortsvektor von P sind.
Skalar- und Vektorfelder
Skalarfeld
1-1
Zur Visualisierung können die Niveaumengen
U(P) = const
oder Einschränkungen auf achsenparallele Ebenen verwendet werden.
Skalar- und Vektorfelder
Skalarfeld
1-2
Vektorfeld
Ein Vektorfeld
P 7→ F~ (P)
ordnet einem Punkt P des Definitionsbereichs D einen Vektor F~ zu.
Alternative Schreibweisen sind
~
F~ = Φ(x,
y , z),
F~ = F~ (~r ) ,
wobei (x, y , z) die Koordinaten und ~r der Ortsvektor von P sind.
Die Komponenten von F~ bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems
werden mit (Fx , Fy , Fz ) bezeichnet:
F~ = Fx e~x + Fy e~y + Fz e~z
mit e~x = (1, 0, 0)t , e~x = (0, 1, 0)t , und e~x = (0, 0, 1)t .
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfeld
1-1
Zur Visualisierung können Richtungsfelder oder Feldlinien verwendet
werden.
Bei einem Richtungsfeld werden die Vektoren F~ (P) mit dem Punkt P in
Form von Pfeilen P → P + F~ assoziiert.
Feldlinien sind Kurven, die in jedem Punkt tangential zu dem
Richtungsfeld sind.
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfeld
1-2
Vektorfelder in Polarkoordinaten
Bezüglich der auf den Punkt (x, y ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) bezogenen
orthonormalen Basis
cos ϕ
− sin ϕ
e~r =
, e~ϕ =
sin ϕ
cos ϕ
besitzt das Vektorfeld
F~ = Fx e~x + Fy e~y
die Darstellung
F~ = Fr e~r + Fϕ e~ϕ
mit
Fr = F~ · e~r ,
Skalar- und Vektorfelder
Fϕ = F~ · e~ϕ .
Vektorfelder in Polarkoordinaten
1-1
y
~eϕ
~er
r
ϕ
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Polarkoordinaten
x
1-2
Beispiel:
Vektorfeld einer Quelle :
F~ = f (r )~
er
f beschreibt die Stärke des Feldes im Abstand r vom Ursprung.
f (r ) = 1/r
!
1 cos ϕ
r
F~ =
1 sin ϕ
r


x
 2 y2 
=  x +

y
2
2
x +y
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Polarkoordinaten
2-1
Vektorfeld eines Wirbels:
F~ = f (r )~
eϕ
f (r ) = r
−r sin ϕ
r cos ϕ
−y
=
x
F~ =
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Polarkoordinaten
2-2
Vektorfelder in Zylinderkoordinaten
Bezüglich der auf den Punkt (x, y , z) = (% cos ϕ, % sin ϕ, z) bezogenen
orthonormalen Basis




 
cos ϕ
− sin ϕ
0





sin ϕ
cos ϕ , e~z =
0 
e~% =
, e~ϕ =
0
0
1
besitzt das Vektorfeld
F~ = Fx e~x + Fy e~y + Fz e~z
die Darstellung
F~ = F% e~% + Fϕ e~ϕ + Fz e~z
mit
F% = F~ · e~% , Fϕ = F~ · e~ϕ , Fz = F~ · e~z .
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Zylinderkoordinaten
1-1
z-Achse
~ez
~eϕ
P
z
O
~e̺
ϕ
̺
y-Achse
x-Achse
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Zylinderkoordinaten
1-2
Beispiel:
(i) Darstellung des Vektorfeldes


x − yz
F~ =  y + xz 
z
in Zylinderkoordinaten:


% cos ϕ − % sin ϕ z
e% + %z~
eϕ + z~
ez
F~ =  % sin ϕ + % cos ϕ z  = %~
z
Die Koeffizienten F% = %, Fϕ = %z, Fz = z sind unmittelbar ablesbar.
alternativ: Berechnung als Skalarprodukt, z.B.

 

% cos ϕ − % sin ϕ z
cos ϕ
F% = F~ · e~% =  % sin ϕ + % cos ϕ z  ·  sin ϕ  = %
z
0
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Zylinderkoordinaten
2-1
(ii) Darstellung des Vektorfeldes
F~ = %~
e% + e~ϕ + e~z
in kartesischen Koordinaten:

 
  
cos ϕ
− sin ϕ
0
~





sin ϕ
cos ϕ
0 
F = %
+
+
0
0
1


y


√
x
−
% cos ϕ − sin ϕ
x 2 +y 2 


√ x
y
+
=  % sin ϕ + cos ϕ  = 

x 2 +y 2 
1
1
(cos ϕ = x/r , sin ϕ = y /r )
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Zylinderkoordinaten
2-2
Vektorfelder in Kugelkoordinaten
Bezüglich der auf den Punkt (x, y , z) = (r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ)
bezogenen orthonormalen Basis






sin ϑ cos ϕ
cos ϑ cos ϕ
− sin ϕ
e~r =  sin ϑ sin ϕ  , e~ϑ =  cos ϑ sin ϕ  , e~ϕ =  cos ϕ 
cos ϑ
− sin ϑ
0
besitzt das Vektorfeld
F~ = Fx e~x + Fy e~y + Fz e~z
die Darstellung
F~ = Fr e~r + Fϑ e~ϑ + Fϕ e~ϕ
mit
Fr = F~ · e~r , Fϑ = F~ · e~ϑ , Fϕ = F~ · e~ϕ .
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Kugelkoordinaten
1-1
z-Achse
~er
~eϕ
ϑ
r
P
ϕ
~eϑ
y-Achse
x-Achse
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Kugelkoordinaten
1-2
Beispiel:
(i) Vektorfeld in kartesischen Koordinaten:


x − yz
F~ =  y + xz 
z
Darstellung in Kugelkoordinaten


r sin ϑ cos ϕ − r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ
F~ (r , ϑ, ϕ) =  r sin ϑ sin ϕ + r sin ϑ cos ϕ r cos ϑ 
r cos ϑ




− sin ϕ
sin ϑ cos ϕ
= r  sin ϑ sin ϕ  +r 2 sin ϑ cos ϑ  cos ϕ 
0
cos ϑ
{z
}
|
{z
}
|
e~r
Skalar- und Vektorfelder
e~ϕ
Vektorfelder in Kugelkoordinaten
2-1
(ii) Vektorfeld in Kugelkoordinaten:
r e~ϑ + e~ϕ
Darstellung in kartesischen Koordinaten




r cos ϑ cos ϕ − sin ϕ
zx − y
1
 r cos ϑ sin ϕ + cos ϕ  = p
 zy + x

x2 + y2
−r sin ϑ
−(x 2 + y 2 )
verwendet:
x
y
z
%
, sin ϕ = , cos ϑ = , sin ϑ =
%
%
r
r
p
p
mit % = x 2 + y 2 , r = x 2 + y 2 + z 2
cos ϕ =
Skalar- und Vektorfelder
Vektorfelder in Kugelkoordinaten
2-2
Gradient
Der Gradient eines Skalarfeldes U wird durch


∂x U
grad U =  ∂y U 
∂z U
definiert.
Er ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und gibt
die Richtung des stärksten Anstiegs des Skalarfeldes an.
Differentialoperatoren
Gradient
1-1
Alternativ lässt sich der Gradient von U(P) als Grenzwert von Integralen
über die Oberfläche S eines den Punkt P enthaltenden räumlichen
Bereichs V definieren:
ZZ
1
U d S~ ,
lim
diam V →0 vol V
S
wobei das vekorielle Flächenelement d S~ nach außen orientiert ist.
Dies folgt aus einer Variante des Integralsatzes von Gauß und zeigt
insbesondere die Invarianz des Gradienten unter orthogonalen
Koordinatentransformationen.
Differentialoperatoren
Gradient
1-2
Divergenz
Die Divergenz eines Vektorfeldes
F~ = Fx e~x + Fy e~y + Fz e~z
wird durch
div F~ = ∂x Fx + ∂y Fy + ∂z Fz
definiert.
Sie ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und
entspricht physikalisch der Quelldichte des Vektorfeldes.
Differentialoperatoren
Divergenz
1-1
Alternativ lässt sich die Divergenz eines stetig differenzierbaren
Vektorfeldes F~ (P) als Grenzwert des Flusses durch die Oberfläche S eines
den Punkt P enthaltenden räumlichen Bereichs V definieren:
ZZ
1
F~ · d S~ ,
lim
diam V →0 vol V
S
wobei das vektorielle Flächenelement d S~ nach außen orientiert ist.
Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Gauß und dem Mittelwertsatz
und zeigt insbesondere die Invarianz der Divergenz unter orthogonalen
Koordinatentransformationen.
Differentialoperatoren
Divergenz
1-2
Beispiel:
(i) Zentrales Kraftfeld:


x
F~ =  y  = r e~r
z
div F~ = ∂x x + ∂y y + ∂z z = 1 + 1 + 1 = 3
(ii) Wirbelförmige Strömung:


−y
F~ =  x  = %~
eϕ
0
div F~ = ∂x (−y ) + ∂y x + ∂z 0 = 0 + 0 + 0 = 0
Differentialoperatoren
Divergenz
2-1
Rotation
Die Rotation eines Vektorfeldes
F~ = Fx e~x + Fy e~y + Fz e~z
wird durch


∂y Fz − ∂z Fy
rot F~ =  ∂z Fx − ∂x Fz 
∂x Fy − ∂y Fx
definiert.
Sie ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und
entspricht physikalisch der Wirbeldichte des Vektorfeldes.
Differentialoperatoren
Rotation
1-1
Benutzt man die Indexschreibweise
F~ =
3
X
Fi e~i ,
i=1
so lässt sich die Rotation mit Hilfe des ε-Tensors in der Form
rot F~
i
=
3
X
εijk ∂j Fk
j,k=1
schreiben. Diese Definition ist unter anderem bei der Manipulation von
Summen vorteilhaft.
Differentialoperatoren
Rotation
1-2
Die normale Komponente der Rotation eines stetig differenzierbaren
Vektorfeldes F~ an einem Punkt P lässt sich als Grenzwert von
Arbeitsintegralen definieren:
Z
1
◦
~
F~ · d~r .
(~
n · rot F )(P) = lim
diam S→0 area S
C
Dabei wird der Grenzwert über eine Folge regulärer Flächen S mit
orientiertem Rand C : t 7→ ~r (t) gebildet, die alle den Punkt P enthalten
und dort die Normale n~ haben, wobei der größte Abstand zweier
Flächenpunkte (diam S) und damit auch der Fächeninhalt gegen null geht.
Das Skalarprodukt auf der linken Seite wird als Wirbelstärke von F~ um
n~(P) bezeichnet und ist für n~(P) k rot F~ am größten.
Differentialoperatoren
Rotation
1-3
~n
S
P
C
Die geometrische Charakterisierung der Rotation folgt unmittelbar aus
dem Satz von Stokes und dem Mittelwertsatz. Sie zeigt insbesondere, dass
rot F~ invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen ist.
Differentialoperatoren
Rotation
1-4
Für ebene Vektorfelder F~ setzt man
rot F~ = ∂x Fy − ∂y Fx .
Dies entspricht der Definition für räumliche Vektorfelder, wenn man eine
zusätzliche dritte Komponente Fz = 0 einführt und die Rotation in R3 wie
oben berechnet.
Differentialoperatoren
Rotation
1-5
Beispiel:
(i) Zentrales Kraftfeld:
 
x
F~ =  y  = r e~r ,
z

  
∂y z − ∂z y
0
rot F~ =  ∂z x − ∂x z  =  0 
∂x y − ∂y x
0
(ii) Wirbelförmige Strömung:



  
−y
∂y 0 − ∂z x
0
~
~





x
∂z (−y ) − ∂x 0
0 
F =
= %~
eϕ , rot F =
=
0
∂x x − ∂y (−y )
2
Differentialoperatoren
Rotation
2-1
Beispiel:
Iillustration der geometrischen Definition für


 
−y
0
F~ =  x  , rot F~ =  0 
0
2
S: Kreisscheibe in der xy -Ebene mit Rand C , d.h.

S : x 2 + y 2 ≤ a2 ,
Differentialoperatoren

a cos t
C: t→
7 ~r (t) =  a sin t 
0
Rotation
3-1
d~r = ~r 0 (t) dt, ~r 0 (t) = (−a sin t, a cos t, 0)t

 

Z
Z2π −a sin t
−a sin t
1
1
 a cos t  ·  a cos t  dt
F~ · d~r = lim
lim
a→0 πa2
diam S→0 area S
0
0
0
C
1
= lim
a→0 πa2
Z2π
2πa2
=2
a→0 πa2
a2 dt = lim
0
in Übereinstimmung mit

  
0
0
n~◦ · rot F~ =  0  ·  0  = 2
1
2
Differentialoperatoren
Rotation
3-2
Laplace-Operator
Für ein Skalarfeld U bezeichnet
∆U = div(grad U) =
∂2U
∂2U
∂2U
+
+
∂x 2
∂y 2
∂z 2
den Laplace-Operator.
Wie Divergenz und Gradient ist ∆ invariant unter orthogonalen
Koordinatentransformationen.
Differentialoperatoren
Laplace-Operator
1-1
Rechenregeln für Differentialoperatoren
Für räumliche Vektorfelder F~ , G~ und räumliche Skalarfelder U, V gelten
folgende Rechenregeln.
Bei der Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und Rotation gilt
rot(grad U) = ~0
div(rot F~ ) = 0
rot(rot F~ ) = grad(div F~ ) − ∆F~
wobei der Laplace-Operator einer vektorwertigen Funktion
komponentenweise zu interpretieren ist, d.h.
∆F~ = ∆Fx e~x + ∆Fy e~y + ∆Fz e~z .
Differentialoperatoren
Rechenregeln für Differentialoperatoren
1-1
Bei der Differentiation von Produkten gilt
grad(UV ) = U grad V + V grad U
div(U F~ ) = U div F~ + F~ · grad U
div(F~ × G~ ) = G~ · rot F~ − F~ · rot G~
rot(U F~ ) = U rot F~ − F~ × grad U
Analoge Identitäten gelten auch für ebene Felder. Formal erhält man die
entsprechenden Formeln, wenn man die dritte Komponente der Felder null
setzt und nur von x und y abhängige Funktionen betrachtet.
Differentialoperatoren
Rechenregeln für Differentialoperatoren
1-2
Beweis:
(i) rot(grad U) = ~0:
x-Komponente
∂y (grad U)z − ∂z (grad U)y = ∂y ∂z U − ∂z ∂y U = 0
Analog verschwinden die y - und z-Komponenten.
(ii) div(rot F~ ) = 0:
Definition der Rotation mit Hilfe des ε-Tensors
X
X X
div(rot F~ ) =
∂i
εi,j,k ∂j Fk =
εi,j,k ∂i ∂j Fk
i
j,k
i,j,k
Vertauschung der Indizes i, j
=⇒
X
X
X
... =
εj,i,k ∂j ∂i Fk = −
...
| {z }
i,j,k
i,j,k
∂i ∂j F k
i,j,k
also div rot F~ = 0
Differentialoperatoren
Rechenregeln für Differentialoperatoren
2-1
(iii) rot(rot F~ ) = grad(div F~ ) − ∆F~ :
x-Komponente
∂y (rot F~ )z − ∂z (rot F~ )y = (∂y ∂x Fy − ∂y ∂y Fx ) − (∂z ∂z Fx − ∂z ∂x Fz )
addiere und subtrahiere den Term ∂x ∂x Fx
erste Komponente der behaupteten Formel:
∂x (div F~ ) − ∆Fx
analoge Behandlung der anderen Komponenten
(iv) grad(UV ) = U grad V + V grad U
Produktregel
=⇒
∂k (UV ) = (∂k U)V + U(∂k V )
Differentialoperatoren
Rechenregeln für Differentialoperatoren
2-2
(v) div(U F~ ) = U div F~ + F~ · grad U:
Produktregel
=⇒
div(U F~ ) = ∂x (UFx ) + ∂y (UFy ) + ∂z (UFz )
= U∂x Fx + U∂y Fy + U∂z Fz + Fx ∂x U + Fy ∂y U + Fz ∂z U
= U div F~ + F~ · grad U
(vi) div(F~ × G~ ) = G~ · rot F~ − F~ · rot G~ :
Definition des Kreuzproduktes und Produktregel
X
div(F~ × G~ ) =
εi,j,k ((∂i Fj )Gk + [Fj (∂i Gk )])
i,j,k
Zyklizität von ε und Vertauschung von i, j im zweiten Term [. . .]
X
X
εk,i,j Gk ∂i Fj +
εj,i,k Fi ∂j Gk
|{z}
i,j,k
i,j,k −ε
i,j,k
behauptete Formel
Differentialoperatoren
Rechenregeln für Differentialoperatoren
2-3
(vii) rot(U F~ ) = U rot F~ − F~ × grad U:
x-Komponente von rot(U F~ ),
∂y (UFz ) − ∂z (UFy ) = (∂y U)Fz − (∂z U)Fy + U∂y Fz − U∂z Fy ,
entspricht x-Komponente von
U rot F~ + (grad U) × F~
zyklische Vertauschung
Differentialoperatoren
behauptete Identität
Rechenregeln für Differentialoperatoren
2-4
Beispiel:
illustriere die Identität rot(U F~ ) = U rot F~ − F~ × grad U für
U = z, F~ = (−y , x, 1)t
(i) Linke Seite:

 
 

−yz
0−x
−x
rot(U F~ ) = rot  xz  =  −y − 0  =  −y 
z
z +z
2z
(ii) Rechte Seite:

 

−y
−y
U rot F~ − F~ × grad U = z rot  x  −  x  × grad z
1
1

 
   

0−0
−y
0
0
= z 0−0 − x × 0 = 0 −
1+1
1
1
2z
Differentialoperatoren
Rechenregeln für Differentialoperatoren
3-1
Beispiel:
Illustration der Identität rot(rot F~ ) = grad(div F~ ) − ∆F~ für das Vektorfeld
 2 
x z
F~ =  y 2 x 
z 2y
(i) Linke Seite:


 2
 

x 2z
z −0
2y
rot rot  y 2 x  = rot  x 2 − 0  =  2z 
z 2y
y2 − 0
2x

(ii) Rechte Seite:
 
 
 

∆x 2 z
2z + 2y
2z
2y
grad(2xz+2yx+2zy )− ∆y 2 x  =  2x + 2z − 2x  =  2z 
∆z 2 y
2y + 2x
2y
2x

Differentialoperatoren
Rechenregeln für Differentialoperatoren
4-1
Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten
Für Zylinderkoordinaten
x = % cos ϕ,
y = % sin ϕ,
z =z
gelten für räumliche Skalarfelder
U = Φ(%, ϕ, z)
und Vektorfelder
F~ = F% e~% + Fϕ e~ϕ + Fz e~z
die Transformationsregeln
Differentialoperatoren
Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten
1-1
grad U
=
div F~
=
rot F~
=
1
∂% Φ~
e% + ∂ϕ Φ~
eϕ + ∂z Φ~
ez ,
%
1
1
∂% (%F% ) + ∂ϕ Fϕ + ∂z Fz ,
%
%
1
∂ϕ Fz − ∂z Fϕ e~% + (∂z F% − ∂% Fz ) e~ϕ
%
1
+ (∂% (%Fϕ ) − ∂ϕ F% ) e~z
%
sowie
∆U =
Differentialoperatoren
1
1
∂% (%∂% Φ) + 2 ∂ϕ2 Φ + ∂z2 Φ .
%
%
Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten
1-2
Beispiel:
(i) Axialsymmetrisches Skalarfeld:
U = Φ(%),
%=
p
x2 + y2
Gradient und Laplace-Operator
grad U = %Φ~
e% = Φ0 e~% ,
∆U =
1
∂% (%∂% Φ) = Φ00 + %−1 Φ0
%
Spezialfall U = %s

grad U = s%s−1 e~% = s(x 2 + y 2 )s/2−1

x
 y 
0
∆U = s 2 %s−2
Differentialoperatoren
Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten
2-1
(ii) Quellenförmiges Vektorfeld:
F~ = ψ(%)~
e%
Divergenz
div F~ =
1
∂% (%ψ) = ψ 0 + %−1 ψ
%
Spezialfall F~ = %s e~%
div F~ = (s + 1)%s−1
divergenzfrei für s = −1 bis auf die Singularität im Ursprung
Differentialoperatoren
Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten
2-2
(iii) Wirbelförmiges Vektorfeld:
F~ = ψ(%)~
eϕ
Rotation

1
rot F~ = ∂% (%ψ) e~z = 
%

0

0
ψ 0 + %−1 ψ
Spezialfall F~ = %s e~ϕ


0

0
rot F~ = 
s−1
(s + 1)%
rotationsfrei für s = −1 bis auf die Singularität im Ursprung
Differentialoperatoren
Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten
2-3
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
Für Kugelkoordinaten
x = r sin ϑ cos ϕ,
y = r sin ϑ sin ϕ,
z = r cos ϑ
gelten für räumliche Skalarfelder
U = Φ(r , ϑ, ϕ)
und Vektorfelder
F~ = Fr e~r + Fϑ e~ϑ + Fϕ e~ϕ
die Transformationsregeln
Differentialoperatoren
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-1
grad U
=
div F~
=
rot F~
=
1
1
∂r Φ~
er + ∂ϑ Φ~
eϑ +
∂ϕ Φ~
eϕ ,
r
r sin ϑ
1
1
1
∂r r 2 Fr +
∂ϕ Fϕ +
∂ϑ (sin ϑFϑ ) ,
2
r
r sin ϑ
r sin ϑ
1
(∂ϑ (sin ϑFϕ ) − ∂ϕ Fϑ ) e~r
r sin ϑ
1
(∂ϕ Fr − sin ϑ∂r (rFϕ )) e~ϑ
+
r sin ϑ
1
+ (∂r (rFϑ ) − ∂ϑ Fr ) e~ϕ
r
sowie
∆U =
1
1
1
∂r r 2 ∂r Φ + 2 2 ∂ϕ2 Φ + 2
∂ϑ (sin ϑ∂ϑ Φ) .
2
r
r sin ϑ
r sin ϑ
Differentialoperatoren
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-2
Beispiel:
(i) Radialsymmetrisches Skalarfeld:
U = Φ(r ),
r=
p
x2 + y2 + z2
Gradient und Laplace-Operator
grad U = ∂r Φ~
er ,
∆U =
1
2
∂r r 2 ∂r Φ = Φ00 + Φ0
2
r
r
Spezialfall U = r s

grad U = sr s−1 e~r = s(x 2 + y 2 + z 2 )s/2−1

x
 y 
z
∆U = s(s + 1)r s−2
harmonisch für s = −1 bis auf die Singularität im Ursprung
Differentialoperatoren
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-1
(ii) Quellenförmiges Vektorfeld:
F~ = ψ(r )~
er
Divergenz
1
2
div F~ = 2 ∂r r 2 ψ = ψ 0 + ψ
r
r
Spezialfall F~ = r s e~r
div F~ = (s + 2)r s−1
divergenzfrei für s = −2 bis auf die Singularität im Ursprung
Differentialoperatoren
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-2
Kurvenintegral eines Skalarfeldes
Für eine Kurve C mit regulärer Parametrisierung


x(t)
[a, b] 3 t 7→ ~r (t) =  y (t) 
z(t)
und ein Skalarfeld U wird das Integral
Zb
Z
U=
C
a
0
U(~r (t)) |~r (t)| dt,
q
|~r | = (x 0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 ,
0
als Kurvenintegral von U über der Kurve C bezeichnet.
Der Wert des Integrals ist unabhängig von der Parametrisierung,
insbesondere auch von der Orientierung.
Integration
Kurvenintegral
1-1
Weg
Ein Weg


x(t)
C : [a, b] 3 t →
7 ~r (t) =  y (t) 
z(t)
ist eine Kurve mit festgelegtem Durchlaufsinn, der im Allgemeinen durch
Pfeile angedeutet wird.
Man sagt, die Kurve verläuft von A = (x(a), y (a), z(a)) nach
B = (x(b), y (b), z(b)).
Gilt A = B, so spricht man von einem geschlossenen Weg.
Integration
Weg
1-1
A2 = B2
C1
C1
C2
C3
C2
−C1
A1 = B1
nicht zusammenhängender
Weg C = C1 + C2
zum Teil mehrfach durchlaufener
Weg C = C1 + C2 − C1 + C3
B
offener Weg −C mit
umgekehrter Durchlaufrichtung
−C
A
Integration
Weg
1-2
Für zusammengesetzte Wege ist die Notation
C1 + · · · + Cm
gebräuchlich.
Dabei
P können
S einzelne Wegstücke mehrfach durchlaufen werden
( Ci 6= Ci ), und die Vereinigung der Wege muss nicht
zusammenhängend sein.
Schließlich bezeichnet man mit −C den in entgegengesetzter Richtung
durchlaufenen Weg C .
Integration
Weg
1-3
Arbeitsintegral eines Vektorfeldes
Für einen Weg C mit regulärer Parametrisierung


x(t)
[a, b] 3 t 7→ ~r (t) =  y (t) 
z(t)
und ein Vektorfeld F~ wird das Integral
Z
F~ · d~r =
C
Zb
a
F~ (~r (t)) · ~r 0 (t) dt
als Arbeitsintegral bezeichnet.
Integration
Arbeitsintegral
1-1
(~r ′ )◦
F~ · (~r ′ )◦
F~
~r ′
C
Es entspricht dem Kurvenintegral der Projektion Ft von F~ in tangentialer
Richtung,
◦
◦
~r 0
~r 0 = 0 ,
Ft = F~ · ~r 0 ,
|~r |
und ist unabhängig von der Parametrisierung bei gleichbleibender
Orientierung des Weges.
Bei Umkehrung der Durchlaufrichtung von C ändert sich das Vorzeichen
des Integrals.
Integration
Arbeitsintegral
1-2
In Komponentenschreibweise hat das Arbeitsintegral die Form
Z
Fx dx + Fy dy + Fz dz
C
mit dx = x 0 (t) dt , dy = y 0 (t) dt , dz = z 0 (t) dt und Fx , Fy , Fz den
Komponenten von F~ .
Integration
Arbeitsintegral
1-3
Beispiel:
Beim Durchlaufen des Viertelkreises
x(t)
cos t
~r (t) =
=
,
y (t)
sin t
im Kraftfeld
F~ =
wird die Arbeit
Z
F~ · d~r =
x
−y
Zπ/2
Zπ/2
cos t
− sin t
0
~
·
dt
F (~r (t)) · ~r (t) dt =
− sin t
cos t
0
C
t ∈ [0, π/2] ,
0
Zπ/2
π/2
−2 cos t sin t dt = cos2 t 0 = −1
=
0
verrichtet.
Integration
Arbeitsintegral
2-1
Beispiel:
Für ein Geradenstück
~
C : t 7→ ~r (t) = p~ + t d,
t ∈ [a, b]
ist
~
~r 0 (t) = d,
d~r = d~ dt .
Definitionsgemäß ist somit für ein Vektorfeld F~ die verrichtete Arbeit
Z
C
Integration
F~ · d~r =
Zb
a
~ · d~ dt .
F~ (~
p + t d)
Arbeitsintegral
3-1
Beispielsweise ist für
0
1
~
p~ =
,d=
,
1
2
t ∈ [a, b] = [0, 3]
~r (t) = (x(t), y (t))t = (t, 1 + 2t)t und für
2xy
F~ =
x2 + y
die verrichtete Arbeit
Z3 2t(1 + 2t)
t 2 + 1 + 2t
0
Z3
1
·
dt =
6t 2 + 6t + 2 dt
2
0
3
= 2t 3 + 3t 2 + 2t 0 = 87 .
Integration
Arbeitsintegral
3-2
Flächenintegral eines Skalarfeldes
Für eine Fläche S mit regulärer Parametrisierung


x(u, v )
D 3 (u, v ) 7→ ~r (u, v ) =  y (u, v ) 
z(u, v )
und ein Skalarfeld U wird das Integral
ZZ
ZZ
U dS =
U(~r (u, v )) |~
n(u, v )| dudv ,
S
n~ = ∂u ~r × ∂v ~r ,
D
als Flächenintegral von U über S bezeichnet.
Der Wert des Integrals ist unabhängig von der Parametrisierung,
insbesondere auch von der Orientierung des Normalenvektors n~.
Integration
Flächenintegral
1-1
Beispiel:
Integral eines linearen Skalarfeldes U = p~ · ~r über ein Dreieck
D : (u, v ) 7→ ~r (u, v ) = ~a + u(~b − ~a) + v (~c − ~a)
mit 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 1 − u
Normale (konstant)
n~ = ∂u ~r × ∂v ~r = ~b − ~a × (~c − ~a) ,
|~
n| = 2areaD
Flächenintegral
1−u
Z1 Z
I =
p~ · ~a + u(~b − ~a) + v (~c − ~a) 2
D dvdu}
| area{z
|
{z
}
~
0 0
dS
U(~
r (u,v )
Integration
Flächenintegral
2-1
inneres Integral
1−u
Z
(1 − u)2
Iv =
· · · = (1 − u)~
p · ~a + (1 − u)u~
p · (~b − ~a) +
p~ · (~c − ~a)
2
0
äußeres Integral
Z1
1
1
1
Iv = p~ · ~a + p~ · (~b − ~a) + p~ · (~c − ~a)
2
6
6
0
Vereinfachung
areaD
p~ · (~a + ~b + ~c )
3
(Flächeninhalt × Wert von f am Schwerpunkt)
I =
Integration
Flächenintegral
2-2
Beispiel:
p
x 2 + y 2 z über die Fläche


u cos v
S : D 3 (u, v ) 7→ ~r (u, v ) =  u sin v  , 0 ≤ u, v ≤ π
v
Integral des Skalarfeldes U =
(um die z-Achse verdrehter Streifen)
Normale

 

cos v
−u sin v
n~ = ∂u ~r × ∂v ~r =  sin v  ×  u cos v 
0
1
∂u ~r ⊥ ∂v ~r
=⇒
|~
n| = |∂u ~r | · |∂v ~r | =
U(~r (u, v )) =
Integration
p
1 + u2
p
u 2 cos2 v + u 2 sin2 v v = uv
Flächenintegral
3-1
Flächenintegral
ZZ
U|~
n| dudv
Zπ Zπ
uv
=
D
=
p
1 + u 2 dv du
0
0
π2
2
π
Zπ p
π2 1
2 3/2
2
u 1 + u du =
1+u
2 3
0
π2
0
=
Integration
6
(1 + π 2 )3/2 − 1
Flächenintegral
3-2
Flussintegral eines Vektorfeldes
Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes F~ durch eine Fläche S mit regulärer
Parametrisierung


x(u, v )
D 3 (u, v ) 7→ ~r (u, v ) =  y (u, v )  ∈ S
z(u, v )
in Richtung der Normalen
n~ = ∂u ~r × ∂v ~r
ist
ZZ
F~ · d S~ =
S
ZZ
S
Integration
F~ · n~◦ dS =
ZZ
F~ (~r (u, v )) · n~(u, v ) dudv .
D
Flussintegral
1-1
Man bezeichnet dabei
d S~ = n~◦ dS ,
dS = |~
n(u, v )| dudv ,
als vektorielles Flächenelement.
Bei gleicher Orientierung des Normalenvektors ist das Flussintegral
unabhängig von der gewählten Parametrisierung.
Die Umkehrung der Normalenrichtung bewirkt eine Änderung des
Vorzeichens.
F~
~n
D
~r
S
Integration
Flussintegral
1-2
Die Glattheitsvoraussetzungen an F~ und ~r (u, v ) können abgeschwächt
werden, indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozess
definiert.
Integration
Flussintegral
1-3
Beispiel:
Fluss des Vektorfeldes F~ = (x, 1, yz)t durch die Fläche


u2
S : ~r (u, v ) =  u + v  , 0 ≤ u, v ≤ 1
v2
partielle Ableitungen


2u
∂u ~r (u, v ) =  1  ,
0


0
∂v ~r (u, v ) =  1 
2v
Normale (z-Komponente positiv gewählt, Fluss nach oben)


2v
n~(u, v ) = ∂u ~r (u, v ) × ∂v ~r (u, v ) =  −4uv 
2u
Integration
Flussintegral
2-1
Fluss von F~ durch S
ZZ
F~ · d S~ =
S
Z1 Z1
0
0
Z1
Z1
0
0
=
R1R1
0
0
 

u2
2v

 ·  −4uv  du dv
1
2
3
uv + v
2u

2u 2 v − 4uv + 2u 2 v 2 + 2uv 3 du dv
u α v β dudv = (α + 1)−1 (β + 1)−1
2
Integration
11
11
11
11
7
−4
+2
+2
=−
32
22
33
24
36
Flussintegral
2-2
Fluss durch einen Funktionsgraph
Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes F~ nach oben (positive z-Komponente
der Normalen) durch den Graph S einer differenzierbaren skalaren
Funktion z = f (x, y ) über dem Definitionsgebiet D ⊆ R2 ist
ZZ
ZZ
F~ · d S~ =
−Fx ∂x f − Fy ∂y f + Fz dxdy .
S
Integration
D
Fluss durch einen Funktionsgraph
1-1
Beweis:

 

x(u, v )
u

v
S : (u, v ) → ~r (u, v ) =  y (u, v )  = 
z(u, v )
f (u, v )
partielle Ableitungen und Normale mit positiver z-Komponente






−∂u f
0
1
∂u ~r =  0  , ∂v ~r =  1  , n~(u, v ) = ∂u ~r × ∂v ~r =  −∂v f 
1
∂v f
∂u f
Fluss
ZZ
F~ (~r (u, v )) · n~(u, v ) dudv
 

−∂u f
Fx
 Fy  ·  −∂v f  dudv
Fz
1

ZZ
=
D
ZDZ
=
−Fx ∂u f − Fy ∂v f + Fz dudv
D
Integration
Fluss durch einen Funktionsgraph
2-1
Beispiel:
Fluss des Vektorfeldes F~ = (x, 1, z)t in z-Richtung durch den Graph der
Funktion z = f (x, y ) = x 2 − y über dem Bereich D : |x| + |y | ≤ 1
Symmetrie des Vektorfeldes und Funktionsgraphen zur yz-Ebene
Integration über den Teilbereich von D mit x ≥ 0 (Faktor 2)
Gesamtfluss
ZZ
−Fx ∂x f − Fy ∂y f + Fz dxdy = 2
1−x
Z1 Z
−x(2x) + 1 + x 2 − y dy dx
0 x−1
D
Z1
=2
0
Z1
=2
1 2 y =1−x
2
−x y + y − y
dx =
2
y =x−1
−2x 2 (1 − x) + 2(1 − x) + 0 dx =
5
3
0
Integration
Fluss durch einen Funktionsgraph
3-1
Beispiel:
Fluss eines konstanten Vektorfeldes F~ = p~ durch einen Teilbereich S einer
Ebene
S : z = f (x, y ) = ax + by + c, (x, y ) ∈ D ⊆ R2
in z-Richtung (von unten nach oben)
Formel für den Fluss durch einen Funktionsgraph
ZZ
ZZ
~
~
F · dS =
−apx − bpy + pz dxdy
S
D
= area(D) (−apx − bpy + pz )
(∂x f = a , ∂y f = b)
Integration
Fluss durch einen Funktionsgraph
4-1
Fluss durch einen Zylindermantel
Der Fluss eines Vektorfeldes
F~ = F% e~% + Fϕ e~ϕ + Fz e~z
nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Randkurve % = %(ϕ) ist
zmax
Z2π Z
F% % − Fϕ ∂ϕ % dz dϕ .
0 zmin
Der Fluss des Vektorfeldes durch eine Rotationsfläche, die durch Drehung
der Kurve % = %(z) um die z-Achse entsteht, ist
zmax
Z2π Z
F% % − Fz %∂z % dz dϕ .
0 zmin
Integration
Fluss durch einen Zylindermantel
1-1
Der Fluss durch den Mantel eines Kreiszylinders mit % = a ist demnach
zmax
Z2π Z
F% dz dϕ ,
a
0 zmin
d.h. nur die axialsymmetrische Komponente des Feldes liefert einen
Beitrag.
Insbesondere ist beim Kreiszylinder der Fluss für ein axialsymmetrisches
Feld F~ = f (%)~
e% gleich 2πa(zmax − zmin )f (a).
Integration
Fluss durch einen Zylindermantel
1-2
Beweis:
Darstellung des Vektorfeldes und Parametrisierung der Mantelfläche in
Zylinderkoordinaten


% cos ϕ
F~ = F% e~% + Fϕ e~ϕ + Fz e~z , S : ~r (ϕ, z) =  % sin ϕ 
z
(i) % = %(ϕ):
nach außen gerichtete Flächennormale

  
∂ϕ % cos ϕ − % sin ϕ
0



∂ϕ % sin ϕ + % cos ϕ
0 
n~(ϕ, z) = ∂ϕ~r × ∂z ~r =
×
0
1


∂ϕ % sin ϕ + % cos ϕ

−∂ϕ % cos ϕ + % sin ϕ  = −∂ϕ % e~ϕ + %~
=
e%
0
Orthogonalität der Basisvektoren e~% , e~ϕ , e~z
Integration
F~ · n~ = F% % − Fϕ ∂ϕ %
Fluss durch einen Zylindermantel
2-1
(ii) % = %(z):
nach außen gerichtete Flächennormale

 

−% sin ϕ
∂z % cos ϕ
n~(ϕ, z) = ∂ϕ~r × ∂z ~r =  % cos ϕ  ×  ∂z % sin ϕ 
0
1


% cos ϕ
=  % sin ϕ  = %~
e% − %∂z %~
ez
−%∂z %
Feldkomponente in Normalenrichtung
F~ · n~ = F% % − Fz %∂z %
% konstant für einen Kreiszylinder
Verschwinden der Terme mit Ableitungen von %
Integration
Fluss durch einen Zylindermantel
2-2
Beispiel:
Fluss des Feldes
  2

xz 2
%z cos ϕ
 =  %z 2 sin ϕ 
yz 2
F~ = 
2
2
(x + y )z
%2 z

von innen nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Abstand a zur
z-Achse und zmin = 0, zmax = b
normale Feldkomponente
 2
 

%z cos ϕ
cos ϕ
F% = F~ · e~% =  %z 2 sin ϕ  ·  sin ϕ  = %z 2
%2 z
0
Fluss
zmax
Z2π Z
Z2π Zb
Z2π
1 2 3
2
2
a
F% (a, ϕ, z) dz dϕ = a
az dz dϕ = a b
dϕ = πa2 b 3
3
3
0 zmin
0
Integration
0
0
Fluss durch einen Zylindermantel
3-1
Beispiel:
Fluss des Vektorfeldes
F~ = %~
e% + z~
ez
nach außen durch einen Zylindermantel, der durch die Kardioide
%(ϕ) = 1 − cos ϕ im Bereich z ∈ [0, a] erzeugt wird
Z2π Za
0
F% = % , Fϕ = 0
Z2π Za
0
F% % − Fϕ ∂ϕ % dz dϕ
0
=⇒
Z2π
2π
2
% (ϕ) dz dϕ = a (1 − cos ϕ) dϕ = a 2π + 0 +
= 3πa
2
2
0
0
Integration
Fluss durch einen Zylindermantel
4-1
Fluss durch eine Sphäre
Der Fluss eines in Kugelkoordinaten dargestellten Vektorfeldes
F~ = Fr e~r + Fϑ e~ϑ + Fϕ e~ϕ
von innen nach außen durch eine Sphäre mit Abstand r = R zum
Ursprung ist
Zπ Z2π
Fr R 2 sin ϑ dϕ dϑ ,
0
0
d.h. nur die radiale Komponente des Feldes liefert einen Beitrag.
Insbesondere ist der Fluss für ein radiales Feld F~ = f (r ) e~r gleich
4πR 2 f (R).
Integration
Fluss durch eine Sphäre
1-1
Beispiel:
Fluss des Vektorfeldes




x
r cos ϕ sin ϑ
F~ = (x 2 + y 2 )  y  = (r sin ϑ)2  r sin ϕ sin ϑ 
0
0
von innen nach außen durch die Sphäre S mit Radius R und Mittelpunkt
im Ursprung
radiale Feldkomponente

 

r sin ϑ cos ϕ
sin ϑ cos ϕ
Fr (r , ϑ, ϕ) = F~ · e~r = (r sin ϑ)2  r sin ϑ sin ϕ  ·  sin ϑ sin ϕ 
0
cos ϑ
= (r sin ϑ)2 r sin2 ϑ
Integration
Fluss durch eine Sphäre
2-1
Fluss von F~ durch S
r =R
ZZ
F~ · · · d S~ =
S
Zπ Z2π
ZZ
Fr dS =
0
S
= R5
Zπ Z2π
5
= 2πR 5
Integration
dS
5
sin
| {z ϑ}
dϕ dϑ
0 (1−cos2 ϑ)2 sin ϑ
0
= 2πR
0
Fr (R, ϑ, ϕ) R 2 sin ϑ dϕ dϑ
{z
}
|
1
2
− cos ϑ + cos3 ϑ − cos5 ϑ
3
5
4 2
32
2− +
= πR 5
3 5
15
Fluss durch eine Sphäre
π
0
2-2
Beispiel:
Fluss der senkrechten Strömung F~ = (0, 0, z)t = (0, 0, r cos ϑ)t von
unten nach oben durch die Halbkugelschale
0 ≤ ϕ ≤ 2π,
S : r = R,
0 ≤ ϑ ≤ π/2
radiale Feldkomponente

 

0
cos ϕ sin ϑ
 ·  sin ϕ sin ϑ  = r cos2 ϑ
0
Fr (r , ϑ, ϕ) = F~ · e~r = 
r cos ϑ
cos ϑ
Fluss von F~ durch S
r =R
Zπ/2Z2π
0
Fr (R, ϑ, ϕ) a2 sin ϑ dϕ dϑ =
0
Zπ/2Z2π
0
2πR 3
Integration
π/2
− cos3 ϑ
3
ϑ=0
=
R 3 cos2 ϑ sin ϑ dϕ dϑ
0
2πR 3
3
Fluss durch eine Sphäre
3-1
Beispiel:
axialsymmetrisches Feld

F~ = F% (%, z)~
e% + +Fz (%, z)~
ez ,

 
cos ϕ
0
e~% =  sin ϕ  , e~z =  0 
0
1
radiale Feldkomponente

Fr = F~ · e~r ,
e~% · e~r = sin ϑ, e~z · e~r = cos ϑ

sin ϑ cos ϕ
e~r =  sin ϑ sin ϕ 
cos ϑ
=⇒
Fr = F% sin ϑ + Fz cos ϑ
Integration
Fluss durch eine Sphäre
4-1
Fluss durch eine Sphäre S mit Radius R
Z2π Zπ
0
(F% sin ϑ + Fz cos ϑ) R 2 sin ϑ dϑ dϕ
0
= 2πR
2
Zπ
(F% sin ϑ + Fz cos ϑ) sin ϑ dϑ
0
%2s ,
Spezialfall F% =
Rπ
0
Fz = c:
% = r sin ϑ
F~ · e~r = F% sin ϑ + Fz cos ϑ = R 2s sin2s+1 ϑ + c cos ϑ
cos ϑ dϑ = 0
Fluss von F~ durch S
2πR
2
Zπ
R 2s sin2s+2 ϑ dϑ = 2πR 2 R 2s
(2(s + 1))!
π
22(s+1) ((s + 1)!)2
0
= 2π 2
Integration
2(s+1) R
2s + 2
2
s +1
Fluss durch eine Sphäre
4-2
Orientierter Rand einer Fläche
Der orientierte Rand C eines ebenen Bereichs D setzt sich aus Wegen Ci
zusammen, deren Durchlaufsinn so gewählt ist, dass D links von Ci liegt:
C = C1 + · · · + Cm .
Dies bedeutet, dass die nach außen gerichtete Kurvennormale n~ und der
Tangentenvektor ~t ein Rechtssystem bilden.
C2
D
~t
~n
~n
C3
C5
~t
C1
orientierter Rand
S = C1 + · · · + C5
C4
Integralsätze
Orientierter Rand
1-1
Entsprechend setzt sich der orientierte Rand C einer räumlichen Fläche S
mit orientierter Normalen n~ aus Wegen Ci zusammen, deren Orientierung
so gewählt ist, dass an einem Kurvenpunkt das Kreuzprodukt aus
Tangentenvektor ~t an die Kurve und Normalenvektor n~ der Fläche von der
Fläche weg zeigt.
S
~t
C
~t × ~n
Integralsätze
~n
Orientierter Rand
1-2
Satz von Gauß
Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F~ auf einem regulären
räumlichen Bereich V , der durch eine Fläche S mit nach außen
orientiertem vektoriellen Flächenelement d S~ berandet wird, gilt
ZZZ
ZZ
~
div F dV =
F~ · d S~ .
V
S
Die Glattheitsvoraussetzungen an F~ und S können abgeschwächt werden,
indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert.
Integralsätze
Satz von Gauß
1-1
Beweis:
Hauptsatz für mehrdimensionale Integrale
=⇒
ZZ
ZZZ
∂ν Fν dV =
Fν nν◦ dS
V
S
mit Fν den Komponenten von F~
Summation über ν = 1, 2, 3, d S~ = n~◦ dS
X
∂ν Fν = div F~
ν
X
ν
Fν nν◦ dS = = F~ · n~◦ dS = F~ · d S~
d.h. die behauptete Identität
Integralsätze
Satz von Gauß
2-1
Beispiel:
Illustration des Satzes von Gauß für die Einheitskugel
V : r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 mit Oberfläche S und das Vektorfeld


x
F~ =  xy 
z3
unter Verwendung von Kugelkoordinaten
x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ
Volumen- und vektorielles Flächenelement
dV = r 2 sin ϑ drdϕdϑdr
d S~ = e~r sin ϑ dϕdϑ
| {z }
dS
(Radius R = 1)
Integralsätze
Satz von Gauß
3-1
(i) IV =
Divergenz
div F~ dV :
RRR
V
div F~ = ∂x x + ∂y xy + ∂z z 3 = 1 + x + 3z 2
Darstellung mit Kugelkoordinaten
Z1 Zπ Z2π
(1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos2 ϑ) r 2 sin ϑ dϕdϑdr
IV =
|
{z
}
0
0
0
dV
Produktform des zweiten und dritten Terms,
IV
R 2π
0
cos ϕ dϕ = 0
 1
 π

Z
Z
= vol V + 0 + 2π  r 4 dr   3 cos2 ϑ sin ϑ dϑ
0
=
0
π
1 5 1 4
32
4
4
π + 2π r
− cos3 ϑ ϑ=0 = π + π = π
3
5
3
5
15
r =0
Integralsätze
Satz von Gauß
3-2
(ii)
IS =
RR
S
~
F~ · d S:

Fr
 

sin ϑ cos ϕ
sin ϑ cos ϕ
= F~ · e~r =  sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ  ·  sin ϑ sin ϕ 
cos3 ϑ
cos ϑ
= cos2 ϕ sin2 ϑ + sin2 ϕ cos ϕ sin3 ϑ + cos4 ϑ
Flussintegral
Zπ Z2π
IS
=
0
0
Zπ
= π
0
Fr sin ϑ dϕdϑ
| {z }
dS
2
sin ϑ(1 − cos ϑ) dϑ + 0 + 2π
Zπ
cos4 ϑ sin ϑ dϑ
0
π π
1
1
π
3
5
= π [− cos ϑ]0 +
cos ϑ
+ 2π − cos ϑ
3
5
0
0
2
4
32
= 2π − π + π = π
3
5
15
Integralsätze
Satz von Gauß
3-3
Beispiel:
Illustration des Satzes von Gauß für das radiale Feld F~ = r s e~r und die
Kugel V : r < R mit Oberfläche S : r = R
Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten
=⇒
1
div F~ = 2 ∂r (r 2 r s ) = (s + 2)r s−1
r
dV = 4πr 2 dr
ZZZ
=⇒
div F~ dV = 4π
ZR
(s + 2)r s+1 dr = 4πR s+2
(s > −2)
0
V
d S~ = e~r dS
=⇒
ZZ
F~ · d S~ =
S
Integralsätze
ZZ
R s dS = area(S) R s = (4πR 2 ) R s
S
Satz von Gauß
4-1
Volumenberechnung mit dem Satz von Gauß
Für einen regulären räumlichen Bereich V , der durch eine Fläche S mit
nach außen gerichteter Normale berandet wird, gilt aufgrund des Satzes
von Gauß
ZZ
~r · d S~ .
3 vol V =
S
Insbesondere erhält man für ein lineares Feld F~ = A~r wegen div F~ = Spur A
ZZ
Spur A vol V =
(A~r ) · d S~ .
S
Integralsätze
Volumenberechnung mit Hilfe des Satzes von Gauß
1-1
Beispiel
Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius ri
Hesse-Normalform
~r · d S~ = ~r| {z
· n~}◦ dS = ri dS
=const
Volumenberechnung mit dem Satz von Gauß
ZZ
ZZ
~
~r · d S =
3 vol(V ) =
ri dS = ri area(S)
S
S
Hexaeder mit Kantenläge a:
Oberfläche 6a2 , Inkugelradius 2a , Volumen a3 = (6a2 · a/2)/3
Tetraeder mit Kantenläge
a:
√ 2
√
√
2 3, Volumen 2a3
Oberfläche 4 12 3a
=
a
Inkugelradius
2
12
Kugel (Grenzfall):
3
2
Volumen 4πr
korrektes Verhältnis r : 3
3 , Oberfläche 4πr
Integralsätze
Volumenberechnung mit Hilfe des Satzes von Gauß
√
6a
12
2-1
Satz von Gauß in der Ebene
Für einen regulären ebenen Bereich A mit entgegen dem Uhrzeigersinn
orientierten Rand
C : t 7→ ~r (t) = (x(t), y (t))
(Rand liegt links) gilt für ein stetig differenzierbares bivariates Vektorfeld
F~ = Fx e~x + Fy e~y
ZZ
Z
Z
◦
~
~
~
div F dA = F · n dC = F~ × d~r ,
A
C
C
wobei
div F~ = ∂x Fx + ∂y Fy ,
Integralsätze
F~ × d~r = Fx y 0 (t) − Fy x 0 (t) dt .
Satz von Gauß in der Ebene
1-1
Beispiel:
Illustration des Satzes von Gauß für das ebene Vektorfeld
x − y2
~
F =
xy + y
über dem Bereich A, berandet von der Kurve C , die aus den zwei
Kurvenstücken
t
~r1 (t) =
, t ∈ [−π/2, π/2]
0
−t
~r2 (t) =
, t ∈ [−π/2, π/2]
cos t
besteht
y
1
y = cos(x)
−π/2
Integralsätze
O
π/2
x
Satz von Gauß in der Ebene
2-1
(i) Linke Seite im Satz von Gauß:
ZZ
div F~ dA =
Zπ/2 cos
Z x
1 + (x + 1) dy dx =
−π/2
A
0
(ii) Rechte Seite:
F~ k d~r = (1, 0)t dt auf C1
nur über C2
Z
F~ × d~r =
Zπ/2
−π/2
C
Zπ/2
Zπ/2
=
−π/2
(2 + x) cos x dx = 4
−π/2
=⇒
F~ × d~r = 0 und folglich Integration
(−t − cos2 t) (− sin t) − (−t cos t + cos t) (−1) dt
|
{z
} | {z } |
{z
} | {z }
Fx
y0
x0
Fy
π/2
t sin t + cos t dt = [2 sin t − t cos t]−π/2 = 4
(Integrale von ungeraden Funktionen über [−π/2, π/2] sind null.)
Integralsätze
Satz von Gauß in der Ebene
2-2
Flächenberechnung mit dem Satz von Gauß
Der Inhalt einer ebenen Fläche A mit entgegen dem Uhrzeigersinn
orientierten Rand C : t 7→ ~r (t) lässt sich durch
Z
1
~r × d~r
area(A) =
2
C
berechnen.
Anstatt von ~r kann auch ein anderes Vektorfeld F~ mit konstanter
Divergenz verwendet werden; der Faktor 1/2 ist dann durch den 1/ div F~
zu ersetzen.
Integralsätze
Flächenberechnung mit dem Satz von Gauß
1-1
Beispiel:
Flächeninhalt des Gebiets A, das von einer Ellipse C mit Halbachsenlängen
a, b > 0 berandet wird
Parametrisierung der Randkurve:
a cos t
~r (t) =
,
b sin t
t ∈ [0, 2π]
Flächeninhalt
area A =
1
2
Z
1
~r × d~r =
2
1
ab
2
a cos t
b sin t
×
−a sin t dt
b cos t dt
0
C
=
Z2π Z2π
1 dt = πab
0
Integralsätze
Flächenberechnung mit dem Satz von Gauß
2-1
Satz von Green
Für ein stetig differenzierbares bivariates Vektorfeld F~ auf einem regulären
ebenen Bereich A mit entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand
C : t 7→ ~r (t) gilt
ZZ
Z
~
rot F dA = F~ · d~r ,
A
C
wobei rot F~ = ∂x Fy − ∂y Fx .
Diese auf Green zurückgehende Identität ist ein Spezialfall des Satzes von
Stokes.
Die Glattheitsvoraussetzungen können abgeschwächt werden, indem man
die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert.
Integralsätze
Satz von Green
1-1
Beweis:
Hauptsatz für zweidimensionale Integrale:
Z
Z
ZZ
ZZ
0
∂x g = g n~x ,
∂y h = h n~y0
A
C
A
C
mit (~
nx0 , n~y0 ) der nach außen gerichteten Einheitsnormalen von A
setze g = Fy , h = −Fx und berücksichtige
y 0 (t)
n~(t) =
, n~0 = n~/|~
n|,
−x 0 (t)
ZZ
A
dC = |~
n(t)| dt
Z Z
y0
x0
~
∂x g − ∂y h =
Fy
+ Fx
|~
n| dt = F~ · dr
|~
n|
|~
n|
Integralsätze
C
C
Satz von Green
2-1
Beispiel:
Illustration des Satzes von Green für das Vektorfeld
ax + by
~
F (x, y ) =
cx + dy
und die Einheitskreisscheibe
A : x12 + x22 ≤ 1
mit dem Rand
C : t 7→
Integralsätze
cos t
sin t
,
t ∈ [0, 2π]
Satz von Green
3-1
Flächenintegral:
ZZ
ZZ
(∂x Fy − ∂y Fx ) dA =
c − b dA = π(c − b)
A
A
Arbeitsintegral:
Z
F~ · d~r =
Z2π a cos t + b sin t
c cos t + d sin t
0
C
− sin t
·
dt
cos t
|
{z
}
~
r 0 (t)
Z2π
=
−a cos t sin t − b sin2 t + c cos2 t + d sin t cos t dt
0
= π(c − b) ,
da
R 2π
0
sin t cos t dt = 0 und
Integralsätze
R 2π
0
cos2 t dt =
R 2π
0
Satz von Green
sin2 t dt = 0
3-2
Beispiel:
singuläres Vektorfeld
F~ =
1
2
x + y2
−y
x
auf der Kreisscheibe
A : x 2 + y 2 ≤ R,
R>0
Rotation
rot F~ = ∂x Fy − ∂y Fx
x 2 + y 2 − x(2x) −(x 2 + y 2 ) + y (2y )
=
−
=0
(x 2 + y 2 )2
(x 2 + y 2 )2
Integralsätze
Satz von Green
4-1
Parametrisierung des Randes C der Kreisscheibe
x(t)
cos t
~r (t) =
=R
, t ∈ [0, 2π]
y (t)
sin t
Arbeitsintegral
Z
Z
~
F · d~r =
Fx x 0 + Fy y 0
C
C
Z2π
=
−R sin t
R cos t
(−R sin t) +
R cos t dt = 2π 6= 0
2
R
R2
0
kein Widerspruch zum Satz von Green wegen der Singularität von F~ bei
(0, 0)
Integralsätze
Satz von Green
4-2
Satz von Stokes
Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F~ auf einer regulären Fläche S
mit orientiertem Rand C gilt
Z
ZZ
rot F~ · d S~ = F~ · d~r .
S
C
Die Glattheitsvoraussetzungen an F~ und S können abgeschwächt werden,
indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert.
Integralsätze
Satz von Stokes
1-1
Beweisskizze:
Approximation von F~ durch ein stückweise lineares Vektorfeld auf einer
Triangulierung von S
Aufhebung der Arbeitsintegrale im Inneren
nur ein Dreieck zu betrachten
Integralsätze
Satz von Stokes
2-1
R
F~
F~ = A~x + ~b, bestimmt durch Werte an den Eckpunkten P, Q, R
P
Q
Zerlegung von A in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil
A = D + E,
1
1
dj,k = (aj,k + ak,j ), ej,k = (aj,k − ak,j )
2
2
Der symmetrische Anteil G~ = D~x + ~b besitzt ein Potential:
1
U = ~x · (D~x ) + ~b · ~x ,
2
grad U = G~
Für den symmetrischen Anteil sin beide Seiten im Satz von Stokes
null.
Integralsätze
Satz von Stokes
2-2
betrachte nur ein antisymmetrisches Feld



0 −h3
h2
x1
~ =  h3
0 −h1   x2  = ~h × ~x
H
−h2
h1
0
x3
(i) Linke Seite
RR
S
~ · d S:
~
rot H


−h3 x2 + h2 x3
~ = rot  −h1 x3 + h3 x1  = 2~h
rot H
−h2 x1 + h1 x2
Normale: (~
q − p~) × (~r − p~)/|(~
q − p~) × (~r − p~)|,
1
area S = 2 |(~
q − p~) × (~r − p~)|
=⇒
ZZ
~ · d S~ = ~h · (~
~)
rot H
q × ~r + ~r × p~ + p~ × q
S
Integralsätze
Satz von Stokes
2-3
R
~ · d~r :
(ii) Rechte Seite C H
betrachte Teilrand Cr : p~ + t(~
q − p~), 0 ≤ t ≤ 1
Arbeitsintegral
Z 1
~h × (~
~
p + t(~
q − p~)) · (~
q − p~) dt = (~h × p~) · q
0
(Der zweite Term verschwindet, da (~a × ~b) · ~b = 0.)
analoge Betrachtung für die Wege Cp und Cq
Z
~ · d~r = (~h × p~) · q
~ + (~h × q
~ ) · ~r + (~h × ~r ) · p~
H
C
~ ) · ~h + (~
= (~
p×q
q × ~r ) · ~h + (~r × p~) · ~h
aufgrund der zyklischen Invarianz des Spatproduktes
Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus (i)
Integralsätze
Satz von Stokes
2-4
Beispiel:
Illustration des Satzes von Stokes für das Vektorfeld
F~ = (z, x, y )t
und die Halbkugelschale
S : x 2 + y 2 + z 2 = 1,
z ≥0
Rotation von F~
  
1
∂y y − ∂z x
~



∂z z − ∂x y
1 
=
rot F =
1
∂x x − ∂y z

vektorielles Flächenelement in Kugelkoordinaten
d S~ = e~r dS = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ)t sin ϑ dϕdϑ
Randkurve:
C : t 7→ ~r (t) = (cos t, sin t, 0)t ,
Integralsätze
t ∈ [0, 2π]
Satz von Stokes
3-1
Linke Seite im Satz von Stokes:
ZZ
rot F~ · d S~ =
Zπ/2Z2π
(cos ϕ sin ϑ + sin ϕ sin ϑ + cos ϑ) sin ϑ dϕdϑ
0
S
0
1 2
= 0 + 0 + 2π
sin ϑ
2
π/2
=π
ϑ=0
Rechte Seite:
Z
F~ · d~r =
Z2π
0
C

 

0
− sin t
 cos t  ·  cos t  dt
sin t
0
|
{z
}
~
r 0 (t)
Z2π
=
cos2 t dt = π
0
Integralsätze
Satz von Stokes
3-2
gleiches Resultat für die Kreisscheibe


r cos ϕ
A : ~s (r , ϕ) =  r sin ϕ  ,
0
0 ≤ r ≤ 1,
0 ≤ ϕ ≤ 2π,
wegen des unveränderten Randes:
ZZ
~=
rot F~ · d A
A
Z1 Z2π
0
0

  
1
0
 1  ·  0  r dϕdr = π
1
1
(Polarkoordinaten: dA = r dϕdr )
Integralsätze
Satz von Stokes
3-3
Beispiel:
Fluss der Rotation des Vektorfeldes


yz
F~ (x, y , z) =  −xz 
z
nach außen durch den Zylindermantel
S:
x 2 + y 2 = 1,
0 ≤ z ≤ 1,
Berechnung mit Hilfe des Satzes von Stokes als Arbeitsintegral über die
Randkurven




cos t
cos(−t)
Cu : ~ru (t) =  sin t  , Co : ~ro (t) =  sin(−t) 
0
1
(t ∈ [0, 2π], entgegengesetzte Orientierung beachten)
Integralsätze
Satz von Stokes
4-1
Flussberechnung als Arbeitsintegral:
Z
Z
~
F · d~r + F~ · d~r
Cu
mit
Z
F~ · d~r =
Z2π
0
Cu
Co

 

− sin t
 0  ·  cos t  dt = 0
0
0
und
Z
F~ · d~r =
Co
Z2π
0

 

sin(−t)
sin(−t)
 − cos(−t)  ·  − cos(−t)  dt = 2π
1
0
|
{z
}
~
ro0 (t)
(sin2 t + cos2 t = 1)
=⇒
Fluss durch den Mantel gleich 2π
Integralsätze
Satz von Stokes
4-2
alternative direkte Berechnung:
Gesamtfluss durch die Zylinderoberfläche null wegen div rot F~ = 0
=⇒
Fluss durch den Mantel entspricht der negativen Summe der
Flüsse durch Boden und Deckel
n~ k e~z
=⇒
nur z-Komponente der Rotation relevant
rot F~ = ∂x (−xz) − ∂y (yz) = −2z
z
Fluss durch den Boden (z = 0) null
Fluss durch den Deckel A (z = 1):
ZZ
(−2) dA = −2 area A = −2π
A
=⇒
Fluss durch den Mantel gleich 2π
Integralsätze
Satz von Stokes
4-3
Beispiel:
wirbelförmige Strömung um die z-Achse


−y
1
F~ = f (%) e~ϕ , e~ϕ =  x  ,
|{z}
%
0
Fϕ
%=
p
x2 + y2
Formel für die Rotation in Zylinderkoordinaten
1
rot F~ = (−∂z Fϕ )~
e% + 0 · e~ϕ + (∂% (%Fϕ ))~
ez
%


0

0
= 
0
−1
f +% f
Integralsätze
Satz von Stokes
5-1
(i) Fluss von rot F~ durch die Kreisscheibe A: x 2 + y 2 ≤ R 2 nach oben:
Satz von Stokes
Arbeitsintegral über die Randkurve
R cos t
C : ~r (t) =
, t ∈ [0, 2π] ,
R sin t
d.h.
ZZ
rot F~ · d S~ =
Z
C
S
F~ · d~r
Z2π
=
0
−R sin t
− sin t
·
dt = 2πR f (R)
R cos t
cos t
{z
} |
{z
}
|
f (R)
e~ϕ
d~
r
(ii) Fluss von rot F~ durch das Rechteck S = [−a, a] × [−b, b] nach oben
im Spezialfall f (%) = %:
   
ZZ
ZZ
0
0
 0  ·  0  dS = 8ab
rot F~ · d S~ =
2
1
S
S
|Satz von{zStokes }
Integralsätze
5-2
Potential
Gilt
F~ = grad U ,
so bezeichnet man U als Potential des Vektorfeldes F~ .
Für ein solches Gradientenfeld ist das Arbeitsintegral wegunabhängig und
kann als Potentialdifferenz berechnet werden. Für jeden Weg
C : t 7→ ~r (t),
t ∈ [a, b] ,
~ = ~r (b) gilt
von P : p~ = ~r (a) nach Q : q
Z
F~ · d~r = U(Q) − U(P) ,
C
wobei in Anlehnung an die Schreibweise einer Stammfunktion für
U(Q) − U(P) auch [U]Q
P geschrieben wird.
R
~
Insbesondere ist F · d~r = 0 für geschlossene Wege C .
Potentialtheorie
C
Potential
1-1
Beweis:
setze ψ(t) = U(~r (t))
Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung
U(Q) − U(P) = ψ(b) − ψ(a) =
Kettenregel
Zb
=⇒
d
ψ(t) dt
dt
a
=⇒
d
ψ(t) = grad U · ~r 0 (t)
dt
und wegen grad U = F~
Zb
a
Potentialtheorie
d
ψ(t) dt =
dt
Zb
a
F~ · ~r 0 (t) dt =
Z
F~ · d~r
C
Potential
2-1
Beispiel:
Vektorfeld und Potential
x
~
F =
= grad U(x, y ),
−y
U = (x 2 − y 2 )/2
Wege
y
C1 :
C2 :
C3 :
cos t
sin t
, t ∈ [0, π/2] ,
1−t
~r2 (t) =
, t ∈ [0, 1] ,
0
0
~r3 (t) =
, t ∈ [0, 1] ,
t
~r1 (t) =
Potentialtheorie
1
C1
C3
x
O
Potential
C2
1
3-1
(i) Arbeitsintegral von (1, 0) nach (0, 1) entlang C1 :
Z
Zπ/2
F~ · d~r =
0
C1
cos t
− sin t
π/2
[cos2 t]0
=
Zπ/2
− sin t
·
dt =
−2 sin t cos t dt
cos t
0
= −1
(ii) Arbeitsintegral entlang von C2 + C3 :
Z
F~ · d~r =
Z1 0
C2 +C3
Z1
=
1−t
0
Z1 −1
0
0
·
dt +
·
dt
0
−t
1
0
−1 dt = −1
0
Potentialtheorie
Potential
3-2
(iii) Verichtete Arbeit als Potentialdifferenz:
U(x, y ) = (x 2 − y 2 )/2 =⇒
Z
1 1
F~ · d~r = U(0, 1) − U(1, 0) = − − = −1
2 2
C
für beliebige Wege C von (1, 0) nach (0, 1)
Grund für die Übereinstimmung der Arbeitsintegrale entlang von C1
und C2 + C3
Potentialtheorie
Potential
3-3
Beispiel:
Potential eines radialsymmetrischen Vektorfeldes
F~ = ϕ(r )~
er
=⇒
U = Φ(r ), Φ0 = ϕ
Überprüfung mit der Kettenregel
p
p
1
∂x Φ( x 2 + y 2 + z 2 ) = |{z}
Φ0 ( x 2 + y 2 + z 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 )(2x)
2
ϕ
= ϕ(r ) x/r
analog: ∂y Φ = ϕ y /r , ∂z Φ = ϕ z/r
grad U = ϕ(r ) (x, y , z)t /r = F~
|
{z
}
e~r
Potentialtheorie
Potential
4-1
Anwendung auf das Gravitationsfeld
F~ = −γMmr −2 e~r
| {z }
ϕ
Bilden der Stammfunktion von ϕ
Potential
U = γMmr −1
aufgewendete Arbeit (gegen das Kraftfeld), um von einem Punkt P aus
das Gravitationsfeld zu verlassen
Z
−
F~ · d~r = − lim γMm/|~
q | − γMm/|~
p | = γMm/|~
p|
|~
q |→∞
C
Gleichsetzen der potentiellen und kinetischen Energie
Startgeschwindigkeit bei einem antriebslosen Flug
s
γMm/|~
p | = (m/2)v 2
Potentialtheorie
=⇒
v=
Potential
2γM
|~
p|
4-2
3
m
Gravitationskonstante: γ = 6.7 · 10−11 kgs
2
Erdmasse: M = 6.0 · 1024 kg
Erdradius: |~
p | = R = 6.4 · 106 m
Fluchtgeschwindigkeit
r
m
2 · 6.7 · 6.0
· 107
≈ 11.2 km/s
v=
6.4
s
Potentialtheorie
Potential
4-3
Beispiel:
Ein Elektron bewegt sich in einer Spulenwindung der Höhe h, d.h. entlang
des Weges
C : ~r (t) = (cos t, sin t, ht/(2π))t , t ∈ [0, 2π],
im elektrischen Feld F~ (~r ) = r12 e~r , r = |~r |, das von einer Punktladung im
Ursprung induziert wird.
Potential
1
U = − , grad U = F~
r
(Formel für den Gradienten in Kugelkoordinaten: grad f (r ) = f 0 (r )~
er )
Berechnung der Arbeit als Potentialdifferenz an den Endpunkten
~r (0) = (1, 0, 0)t ,
~r (2π) = (1, 0, h)t
der Kurve C :
U(1, 0, h) − U(1, 0, 0) = − √
Potentialtheorie
1
+1
1 + h2
Potential
5-1
Berechnung der verrichteten Arbeit auf direktem Weg:
e~r = (x, y , z)t /r , d~r = ~r 0 (t) dt

 

cos t
− sin t
 sin t  ·  cos t 
Z
Z2π
ht/(2π)
h/(2π)
dt
F~ · d~r =
2
2
2
(cos t + sin t + h t 2 /(4π 2 ))3/2
0
C
Z2π
h2 t/(4π 2 )
dt
(1 + h2 t 2 /(4π 2 ))3/2
0
#2π
"
1
= −p
1 + h2 t 2 /(4π 2 ) 0
1
= 1− √
1 + h2
=
Potentialtheorie
Potential
5-2
Existenz eines Potentials
Für ein stetiges Vektorfeld F~ auf einem zusammenhängenden Gebiet D
existiert ein Potential U genau dann, wenn das Arbeitsintegral
wegunabhängig ist.
In diesem Fall ist
Z
U(P) = U(P0 ) + F~ · d~r , F~ = grad U ,
CP
wobei CP : t 7→ ~r (t) ein beliebiger in D verlaufender Weg ist, der einen
fest gewählten Punkt P0 ∈ D mit P verbindet.
Insbesondere ist U bis auf eine Konstante (den Wert U(P0 )) eindeutig
bestimmt.
Potentialtheorie
Existenz eines Potentials
1-1
Ist das Vektorfeld F~ stetig differenzierbar auf D, so ist
rot F~ = ~0
notwendig für die Existenz eines Potentials.
Für ein einfach zusammenhängendes Gebiet D ist die Wirbelfreiheit
ebenfalls hinreichend.
Potentialtheorie
Existenz eines Potentials
1-2
Beweis:
(i) Wegunabhängigkeit notwendig:
F~ = grad U
=⇒
Z
grad U · d~r = U(Q) − U(P)
C
für jeden Weg C : P → Q
(ii) Wegunabhängigkeit
hinreichend:
R
setze U(P) = C F~ d~r mit C : P0 → P
P0
Q
P
D
S
CP
Potentialtheorie
Existenz eines Potentials
2-1
zeige: F~ = grad U
~ = p~ + h~
q
ei , S : P → Q
=⇒
Z
U(Q) − U(P) =
C +S
F~ d~r −
aufgrund der Wegunabhängigkeit
Parametrisierung
S : ~r (t) = p~ + t~
ei ,
Z
F~ · d~r =
S
Zh
0
Z
F~ d~r =
C
Z
F~ d~r
S
t ∈ [0, h]
F~ (~
p + t~
ei ) · e~i dt =
Zh
Fi (~
p + t~
ei ) dt
0
Mittelwertsatz der Integralrechnung
=⇒
Z
F~ · d~r = hFi (~
p + τ e~i )
S
für ein τ ∈ [0, h]
Potentialtheorie
Existenz eines Potentials
2-2
i-te Komponente des Gradienten:
U(~
p + h~
ei ) − U(~
p)
hFi (~
p + τ e~i )
= lim
= Fi (~
p)
h→0
h→0
h
h
∂i U(P) = lim
(iii) Wirbelfreiheit notwendig:
F~ = grad U
=⇒
∂i Fj − ∂j Fi = ∂i ∂j U − ∂j ∂i U = 0
(alle Komponenten von rot F~ null)
(iv) Wirbelfreiheit hinreichend:
D einfach zusammenhängend
=⇒
jede geschlossene Kurve C berandet eine Fläche S in D
Satz von Stokes
=⇒
Z
ZZ
~
F · d~r =
rot F~ · d S~ = 0
C
=⇒
S
Wegunabhängigkeit des Arbeitsintegrals
Potentialtheorie
Existenz eines Potentials
2-3
Beispiel:
Bestimmung eines Potentials U des Vektorfeldes
F~ = (sin y , x cos y )t
U existiert, da
rot F~ = ∂x (x cos y ) − ∂y sin y = 0
und F~ global definiert ist (R2 ist einfach zusammenhängend)
kanonischer Weg CP : O → P:
~r (t) = (p1 t, p2 t)t ,
t ∈ [0, 1]
Potential U (F~ = grad U) mit U(O) = 0
Z
U(P) =
F~ · d~r =
=
0
sin(p2 t)
(p1 t) cos(p2 t)
p1
·
dt
p2
0
CP
Z1
Z1 p1 sin(p2 t) + p1 p2 t cos(p2 t) dt = [p1 t sin(p2 t)]10 = p1 sin p2
Potentialtheorie
Existenz eines Potentials
3-1
Beispiel:
lineares Feld
F~ = A~r ,
Rotation
A = (aj,k )


a3,2 − a2,3
rot F~ =  a1,3 − a3,1 
a2,1 − a1,2
Existenz eines Potentials U ⇔ Symmetrie von A
A = At
=⇒
F~ = grad U mit
1
U = ~r t A~r
2
Potentialtheorie
Existenz eines Potentials
4-1
Beispiel:
Differenziert man das Skalarfeld
U = arctan(y /x) = ϕ,
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ ,
mit der Kettenregel (d arctan t/dt = 1/(1 + t 2 )), so erhält man das
Vektorfeld

 −y
 x2 + y2 
−1
F~ = grad U = 
 = r e~ϕ .
x
x2 + y2
Die Integrabilitätsbedingung ist für (x, y ) 6= (0, 0) erfüllt:
∂y Fx − ∂x Fy =
Potentialtheorie
−(x 2 + y 2 ) + 2y 2 (x 2 + y 2 ) − 2x 2
−
=0
(x 2 + y 2 )2
(x 2 + y 2 )2
Existenz eines Potentials
5-1
Dennoch ist das Arbeitsintegral entlang eines Kreises C : x 2 + y 2 = R 2
nicht null:
Z
F~ · d~r =
C
Z2π
0
1
R
− sin t
cos t
·R
|
− sin t
cos t
{z
d~
r
dt = 2π
}
=⇒
6 ∃ global definiertes Potential
kein Widerspruch zu rot F~ = 0, da das Definitionsgebiet von F~ nicht
einfach zusammenhängend ist
keine stetige (konsistente) Definition von U = ϕ auf einem Kreisring um
den Ursprung möglich
Ein Potential existiert (nämlich U = ϕ) auf jeder einfach
zusammenhängenden Menge, die den Ursprung nicht enthält.
Potentialtheorie
Existenz eines Potentials
5-2
Konstruktion eines Potentials
Ein Potential U für ein Vektorfeld F~ (F~ = grad U) kann durch sukzessive
Integration konstruiert werden.
Bilden einer Stammfunktion bezüglich der ersten Variablen liefert
Z
U(x, y , z) = Fx dx = U1 (x, y , z) + C1 (y , z) .
Nun folgt aus Fy = ∂y UZ= ∂y U1 + ∂y C1
C1 (y , z) =
(Fy − ∂y U1 ) dy = U2 (y , z) + C2 (z)
und schließlich aus FzZ= ∂z U = ∂z U1 + ∂z U2 + ∂z C2
C2 (z) = (Fz − ∂z U1 − ∂z U2 ) dz = U3 (z) + c .
Insgesamt ergibt sich
U = U1 (x, y , z) + U2 (y , z) + U3 (z) + c .
Potentialtheorie
Konstruktion eines Potentials
1-1
Das Potential U kann auch mit Hilfe des Arbeitsintegrals bestimmt werden.
Aufgrund der Wegunabhängigkeit des Arbeitsintegrals kann ein Weg von P
nach Q gewählt werden, der parallel zu den Koordinatenachsen verläuft.
Wählt man den Weg, der zunächst parallel zur x-, dann parallel zur y - und
zuletzt parallel zur z-Achse verläuft, ergibt sich für das Potential das
Hakenintegral
Zq2
Zq3
Zq1
U(Q) = U(P)+ Fx (x, p2 , p3 ) dx+ Fy (q1 , y , p3 ) dy + Fz (q1 , q2 , z) dz .
p1
p2
p3
Meist ist es dabei günstig, für den festen Punkt P den Ursprung zu wählen.
Potentialtheorie
Konstruktion eines Potentials
1-2
Q
q3
p3
P
q2
q1
p2
p1
Durch Permutation der Koordinaten ergeben sich noch fünf weitere
mögliche Hakenintegrale. Man wählt daraus dasjenige aus, bei dem die
Integranden möglichst einfach werden.
Potentialtheorie
Konstruktion eines Potentials
1-3
Beweis:
Integrabilitätsbedingung rot F~ = ~0
=⇒
∂x [Fy − ∂y U1 ] = ∂x Fy − ∂y ∂x U1 = ∂x Fy − ∂y Fx = 0 ,
d.h. [. . .] ist nicht von x abhängig und die Definition von U2 ist
gerechtfertigt
Analog ist [Fz − ∂z U1 − ∂z U2 ] weder von x noch von y abhängig.
∂x [Fz − ∂z U1 − ∂z U2 ] = ∂x Fz − ∂z ∂x U1 − ∂z ∂x U2 = ∂x Fz − ∂z Fx − 0 = 0
und
∂y [Fz − ∂z U1 − ∂z U2 ] = ∂y Fz − ∂z ∂y U1 − ∂z (Fy − ∂y U1 ) = 0
Rechtfertigung der Definition von U3
Potentialtheorie
Konstruktion eines Potentials
2-1
Beispiel:
Konstruktion eines Potentials U für das Vektorfeld


2x + 3z − yz
F~ =  −2y − xz 
2 + 3x − xy
prüfe die Integrabilitätsbedingung

  
∂y (2 + 3x − xy ) − ∂z (−2y − xz)
0
~



∂z (2x + 3z − yz) − ∂x (2 + 3x − xy )
0 
rot F =
=
∂x (−2y − xz) − ∂y (2x + 3z − yz)
0
X
Integration von Fx nach x
Z
Z
Fx dx = 2x + 3z − yz dx = x 2 + 3xz − xyz +C1 (y , z)
|
{z
}
U1 (x,y ,z)
Potentialtheorie
Konstruktion eines Potentials
3-1
Integration nach y
Z
Z
Fy − ∂y U1 dy = −2y − xz + xz dy = −y 2 + C2 (z)
|{z}
U2 (y ,z)
Integration nach z
Z
Z
Fz − ∂z U1 − ∂z U2 dz = 2 + 3x − xy − 3x + xy dz = |{z}
2z + c
U3 (z)
Zusammenfassen der Terme
Potential
U = U1 (x, y , z) + U2 (y , z) + U3 (z) + c
= x 2 + 3xz − xyz − y 2 + 2z + c
mit c ∈ R
Potentialtheorie
Konstruktion eines Potentials
3-2
Beispiel:
parameterabhängiges Vektorfeld
2x + αx 2 y
~
F =
,
x 3 + 4y 3
Integrabilitätsbedingung
α∈R
=⇒
rot F~ = 3x 2 − αx 2 = 0 ,
d.h. α = 3
Bestimmung des Potentials durch sukzessive Integration:
∂x U = Fx = 2x + 3x 2 y
=⇒
U = x 2 + x 3 y + C1 (y )
und
∂y U = Fy
=⇒
x 3 + C10 (y ) = x 3 + 4y 3 ,
C1 (y ) = y 4 + c
Potential für F~ mit α = 3
U = x 2 + x 3y + y 4 + c
Potentialtheorie
Konstruktion eines Potentials
4-1
Beispiel:
Konstruktion eines Potentials U für das wirbelfreie Vektorfeld


2x + 3z − yz
F~ =  −2y − xz 
2 + 3x − xy
Potentialwert U(O) = 0 im Ursprung O = (0, 0, 0)t
Zq1
Zq2
Fx (x, 0, 0) dx +
U(Q) = U(O) +
0
Zq1
=
2x dx +
0
Zq3
Fy (q1 , y , 0) dy +
0
Zq2
0
−2y dy +
Zq3
Hakenintegral
Fz (q1 , q2 , z) dz
0
2 + 3q1 − q1 q2 dz
0
= q12 − q22 + 2q3 + 3q1 q3 − q1 q2 q3
Potentialtheorie
Konstruktion eines Potentials
5-1
Vektorpotential
~ darstellbar,
Ist das Vektorfeld F~ als Rotation eines Vektorfeldes A
~,
F~ = rot A
~ als Vektorpotential von F~ bezeichnet.
so wird A
Potentialtheorie
Vektorpotential
1-1
Beispiel:
Aus der Identität
rot(U G~ ) = U rot G~ + (grad U) × G~
erhält man für
wegen rot ~r = ~0
U = ~a · ~r ,
G~ = ~r
rot ((~a · ~r ) ~r ) = ~a × ~r .
Vektorpotential
für F~ = ~a × ~r
Potentialtheorie
~ = (~a · ~r ) ~r
A
Vektorpotential
2-1
Existenz eines Vektorpotentials
Auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet D besitzt ein stetig
~ wenn F~
differenzierbares Vektorfeld F~ genau dann ein Vektorpotential A,
auf D quellenfrei ist:
~ : F~ = rot A
~
∃A
⇔
div F~ = 0 .
Das Vektorpotential ist bis auf ein Gradientenfeld eines beliebigen
Skalarfeldes U eindeutig bestimmt:
~ = rot A
~
rot B
=⇒
~ =A
~ + grad U .
B
Wählt man U als Lösung der Poisson-Gleichung
~,
−∆U = div A
~ = 0, d.h. man erhält ein quellenfreies Vektorpotential.
so ist div B
Diese spezielle Wahl wird als Eichung des Vektorpotentials bezeichnet.
Potentialtheorie
Existenz eines Vektorpotentials
1-1
Beweis:
~ gilt
(i) Für ein beliebiges Vektorfeld A
~ =0
div(rot A)
=⇒
Notwendigkeit der Quellenfreiheit
~ durch
(ii) definiere ein Vektorpotential A
Z Z
1
(∂y Fy − ∂z Fz )dydz
Ax =
3
Z Z
1
Ay =
(∂z Fz − ∂x Fx )dxdz
3
Z Z
1
Az =
(∂x Fx − ∂y Fy )dxdy
3
~
zweite Komponente von rot A
∂z Ax − ∂x Az =
Potentialtheorie
Z
(∂y ∂z Ax − ∂x ∂y Az )dy
Existenz eines Vektorpotentials
2-1
Einsetzen der Definition von Ax und Az
Z
Z
1
(∂y ∂z Ax − ∂x ∂y Az )dy =
(∂y Fy −∂z Fz − ∂x Fx +∂y Fy )dy = Fy
|
{z
}
3
=∂y Fy
(div F~ = 0 ⇔ −∂z Fz − ∂x Fx = ∂y Fy )
~
analog: ∂x Ay − ∂y Ax = Fz und ∂y Az − ∂z Ay = Fx , also F~ = rot A
=⇒
Quellenfreiheit hinreichend
(iii) Gilt
~ = rot B
~,
F~ = rot A
~−B
~ rotationsfrei und besitzt also ein skalares Potential U.
so ist A
Potentialtheorie
Existenz eines Vektorpotentials
2-2
Konstruktion eines Vektorpotentials
Für ein quellenfreies, stetig differenzierbares Vektorfeld F~ lässt sich durch


0
Rz
 Rx

 Fz (ξ, y , z) dξ − Fx (x0 , y , ζ) dζ 
~


A(x, y , z) =  x0
z0

x


R
− Fy (ξ, y , z) dξ
x0
ein Vektorpotential definieren, wenn die Integranden an den
entsprechenden Punkten definiert sind. Dies ist zum Beispiel der Fall für
einen Quader, der die Punkte (x0 , y0 , z0 ) und (x, y , z) enthält.
Analoge Formeln erhält man durch zyklisches Vertauschen der Variablen.
Anstelle von Ax können ebenfalls Ay oder Az null gesetzt werden.
Potentialtheorie
Konstruktion eines Vektorpotentials
1-1
Beweis:


0
Rz
 Rx
 Fz (ξ, y , z) dξ − Fx (x0 , y , ζ) dζ
~=x
A
z0
 0

Rx
− Fy (ξ, y , z) dξ





x0
=⇒




~=
rot A



−∂y
Rx
x0
Fy (ξ, y , z) dξ − ∂z
∂x
∂x
Rx
x0
Potentialtheorie
Rx
Fz (ξ, y , z) dξ + ∂z
x0
Rx
Rz
Fx (x0 , y , ζ) dζ
z0







Fy (ξ, y , z) dξ
x0
Fz (ξ, y , z) dξ − ∂x
Rz
Fx (x0 , y , ζ) dζ
z0
Konstruktion eines Vektorpotentials

2-1
Vertauschung von Differentiation und Integration
 Rx
Rx
∂z Fz (ξ, y , z) dξ + Fx (x0 , y , z)
∂
F
(ξ,
y
,
z)
dξ
−
−
y
y

x0
~ =  x0
rot A

Fy (x, y , z)
Fz (x, y , z)




(∂x Fx (x0 , y , ξ) = 0)
F~ quellenfrei
=⇒
∂x Fx + ∂y Fy + ∂z Fz = 0
Einsetzen in die erste Komponente
Z x
∂x Fx (ξ, y , z) dξ + Fx (x0 , y , z) = [Fx (ξ, y , z)]ξ=x
ξ=x0 + Fx (x0 , y , z)
x0
= Fx (x, y , z)
=⇒
~ = F~
rot A
Potentialtheorie
Konstruktion eines Vektorpotentials
2-2
Beispiel:
~ für das Vektorfeld
Konstruktion eines Vektorpotentials A


a2 z − a3 y
F~ = ~a × ~r =  a3 x − a1 z 
a1 y − a2 x
~
div F~ = 0 + 0 + 0
=⇒
Existenz von A
Basispunkt (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0)
Zx
Ixz =
Zx
Fz (ξ, y , z) dξ =
0
0
Zz
Zz
Izx =
Fx (0, y , ζ) dζ =
0
Potentialtheorie
a1 y − a2 ξ dξ = a1 xy − a2 x 2 /2
a2 ζ − a3 y dζ = a2 z 2 /2 − a3 yz
0
Konstruktion eines Vektorpotentials
3-1
Zx
Ixy =
Zx
Fy (ξ, y , z) dξ =
0
a3 ξ − a1 z dξ = a3 x 2 /2 − a1 xz
0
Vektorpotential

 

0
0
~ =  Ixz − Izx  =  a1 xy + a3 yz − (x 2 + z 2 )a2 /2 
A
−Ixy
−a3 x 2 /2 + a1 xz
symmetrisches Vektorpotential:


a2 xy − a1 y 2 /2
~ =  a3 yz − a2 z 2 /2 
B
a1 zx − a3 x 2 /2
Potentialtheorie
Konstruktion eines Vektorpotentials
3-2
Die Differenz

a2 xy − a1 y 2 /2
~ −A
~ =  a2 x 2 /2 − a1 xy 
B
0

ist ein Gradientenfeld:
~ −A
~ = grad U,
B
Potentialtheorie
U = a2 x 2 y /2 − a1 xy 2 /2
Konstruktion eines Vektorpotentials
3-3