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11. Elektrischer Strom und Stromkreise
Physik für Informatiker
11. Elektrischer Strom und Stromkreise
11.1
11 2
11.2
11.3
11.4
11 5
11.5
11.6
Elektrischer Strom und Stromdichte
El
Elektrischer
k i h Widerstand
Wid
d
Elektrische Leistung in Stromkreisen
Elektrische Schaltkreise
Amperemeter und Voltmeter
RC-Kreise
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11. Elektrischer Strom und Stromkreise
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11.1 Elektrischer Strom und Stromdichte
W treten elektrische
Wo
l k i h Ströme
S ö auff ?
- Bauelemente eines Computers
- Batterie im Auto, Computermouse, Taschenlampe
- Akku im Mobiltelefon, Laptop
- Haushaltsgeräte wie Waschmaschine,
Waschmaschine Geschirrspüler,
Geschirrspüler
Mikrowelle
Aber auch in
- Blitzen
- Nervensträngen
- Sonnenwinden
- kosmischer Strahlungg
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Prinzip der Anwendung von Elektrizität
Transport von elektrischer Energie
- von Energie-Quelle (Batterie, Stromgenerator)
über
- elektrische Leiter
- zum Energie“verbraucher“
Elektrischer
Leiter
Q
Q
Energie- Q
`“verbraucher“
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Energie
Quelle
Q
Man unterscheidet:
Gleichstrom (dc = direkt current)
Wechselstrom (ac = alternating current)
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Es gilt:
Jeder elektrischer Strom ist bewegte Ladung
aber
Nicht jede bewegte Ladung ist ein elektrischer Strom
Beispiele:
- ungeordnete e- Bewegung in einem Metalldraht
- Wasserstrahl eines Gartenschlauchs
Elektrischer Strom ist gerichteter Ladungstransport
dQ
Treten elektrische Ladungsträger Q
Def:
I = dt
in der Zeit t durch eine Querschnittfläche A,
fli ß ein
fließt
i elektrischer
l k i h Strom
S
I0
I1
I2
I3
I0 = I1 = I2 = I3
Warum?
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Bei bekanntem Strom I erhält man Ladungsmenge Q durch:
Q = ∫ I dt
SI-Einheit des elektrischen Stroms:
[I] = A (Ampere)
(A
) mit
i 1 A = 1 C/s
C/
I =1 A
I =1 A
F = 2.10-7 N
1m
Beachte: Strom ist eine skalare Größe!
Dennoch: Darstellung durch einen Pfeil
= Richtung der Bewegung der Ladungsträger
I1
I1
I0 = I1 + I2 Warum?
,
I0
I0
I2 Strompfeile an Leitern zeigen die
I2
I2
Orientierung des Stroms an, nicht
di Richtung
die
Ri ht
des
d Stroms
St
im
i Raum
R
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1
1m
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Festlegung der (konventionellen) Stromrichtung
Strompfeile
S
f il zeigen
i
immer
i
in
i die
di Richtung,
Ri h
in die sich die positiven Ladungsträger
bewegen (würden)
(würden).
+++++
I
v+
- - - - - - - vI
Driftgeschwindigkeit
g
g
Für elektrischen Leiter (z.B. Metalle) gilt:
- frei bewegliche Ladungsträger (e-)
- ohne äußeres E-Feld, regellose Bewegung
mit v = 106 m/s
- mit äußerem Feld überlagerte, gerichtete
Driftgeschwindigkeit vD= 10-5 - 10-4 m/s
= konstant
+++++ ++
E
v
I
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Vom Strom zur Stromdichte
vDdt
Volumen
dQ = q(nAvDdt)
+ + +
+ +
q = Ladung der Teilchen
A + + A
+ +
n = Ladungen pro Volumen
A = Querschnittfläche
E
I
dQ
I = dt = nqAvD
v
Der Strom pro Querschnittsfläche = Stromdichte j
j= I
A
vektoriell j = nqvD
mit
j
E
(immer)
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11.2 Elektrischer Widerstand
Es gilt:
g
I ~ U
z.B. I (bei 12 Volt Batterie) = 2 I(bei 6 Volt Batterie)
Aber: Gleiche Potentialdifferenz führt nicht
immer zum selben Strom = f (Widerstand R)
Def.: R =
U
I
[R] = V/A 1 V/A = 1 Ω (Ohm)
(Oh )
Für bestimmte Materialien gilt
Ohm‘sches Gesetz :
R=
z.B. Kupferstab
kontra Glasstab
U = konstant
I
U
I
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S b l für
Symbol
fü Schaltkreise
S h ltk i
Widerstand
Idealer elektrischer Leiter
Beispiel: Glühlampe (in
(i Taschenlampe)
T h l
)
Widerstand der Glühlampe
R
+
3,0 V
1,5 V
Ein
i
Aus
-
I = 0,4
04A
R = U/I
= 3,0 V / 0,4 A
= 7,5 Ω
Schalter
1,5V
,
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Spezifischer Widerstand
Es gilt (homogener Leiter)
R ~ 1/A (Leiterquerschnittsfläche)
R ~ l (Leiterlänge)
mit spezifischem Widerstand ρ (Proportionalitätskonstante) gilt:
l
R= ρ A
[ρ] = Ωm
UA = E
E= ρj
mit R = U
ρ =
j
I
Il
Def.:
e .: spezifische
spe sc e Leitfähigkeit
et ä g etσ
σ = 1/ρ
j= σE
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Temperaturabhängigkeit
Es gilt: Elektrische Widerstand = f(Temperatur)
Für viele Materialien gilt:
ρ = ρ0 [ 1 + α(T – T0)]
α: Temperaturkoeffizient des
spezifischen Widerstands
T0: frei wählbare
Referenztemperatur
ρ0: spezifische Widerstand
bei T0
mit R = ρl/A gilt
R = R0 [ 1 + α(T
( – T0)]
Material
ρ /Ωm
α x oC
Aluminium
Kupfer
G ld
Gold
Eisen
2,8 x 10-8
1,6 x 10-8
2,4
2 4 x 10-88
9,7 x 10-8
4,4 x 10-3
4,3 x 10-3
3 4 x 10-33
3,4
6,5 x 10-3
Silizium
Germanium
2,5 x 103
0,5
-70 x 10-3
- 0,05
Glas
Teflon
1010- 1014
1016
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11.3 Elektrische Leistung in Stromkreisen
Batterie: Ursache für konstantes U
I
SpannungsSpannungs
quelle
+
-
a
b
Es gilt: dq = I dt
Leitendes Bauelement
z.B. Widerstand, Akku, Elektromotor
Potential Va > Vb
Strom I = konstant
dq: Transportierte Ladung in Zeit dt in
dEpot = dq Uab = I dt Uab
Abnahme von elektrischer potentieller Energie
Umwandlung in andere Energie
Für Umwandlungsrate = Leistung P gilt:
dEpot
J
= P = U I [P ] =11 V A = 1 C 1
dt
C
J
=1W
=1
s
s
1 J = 1 Ws
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Beispiele für unterschiedliche Bauelemente:
- im Elektromotor, Umwandlung in mechanische Arbeit
- im Akku, Umwandlung in chemische Energie
- im Widerstand, Umwandlung in Wärme
Für Widerstand gilt für die Leistung
P = U I mit U = R I bzw.
bzw R = U/I :
P = I2 R
bzw. P =
U2
R
Umwandlung elektrischer Energie in Wärme
innerhalb eines Ohm‘schen Widerstands
Beispiele: Glühlampe, Toaster,
elektrische Heizdrähte
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11.4 Elektrische Schaltkreise
11 4 1 Widerstände in Reihe und/oder parallel
11.4.1
Annahme:
Drei Widerstände R1, R2 und R3 unterschiedlich kombiniert
a
a
R1
R1
R2
R3
R1 , R2 , R3
parallel
x
b
R2
a
y
R3
b
R2
R1
R3
R2, R3 parallel
in Reihe mit R1
R1, R2, R3 in Reihe
b
a
R1
R2
b
R3
R1, R2 in Reihe
parallel mit R3
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Allgemein gilt: Kombinationen von (Ohm‘schen) Widerständen
kann man durch einen Ersatzwiderstand RES darstellen.
Widerstände in Reihe geschaltet:
a
R1
x
R2
y
R3
Allgemein
ge e gilt:
g t: Uabb = IRges
b
bbzw.
w.
Uab
Rges =
I
Es ggilt: Für alle Widerstände ist der Strom I identisch
WARUM ?
Uax = I R1 Uxy = I R2
Uyb = I R2
Uab = Uax + Uxy + Uyb = I (R1 + R2 + R3)
Uab = R + R + R
1
2
3
I
Rges = R1 + R2 + R3
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Widerstände parallel geschaltet
a
R1
R2
R3
E gilt:
Es
ilt An
A jedem
j d Widerstand
Wid t d herrscht
h
ht die
di
b
dieselbe Potentialdifferenz Uab WARUM?
Für die Ströme durch Widerstände gilt:
Uab
R1
Uab
Uab
I1 =
I2 =
I3 =
R2
R3
1
1
1
Iges = I1 + I2 + I3 = Uab (
+
)
+
R1
R2
R1
Warum?
Allgemein gilt:
(Widerstände parallel)
1
= R
ES
1
1 + 1
1 + ........
=
RES R1
R2 + R1
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11.4.2 Kirchhoff‘sche Regeln
Beispiel:
p
U1
R2
R1
+
-
Problem: Weder Regeln zur Reihennoch zur Parallelschaltung anwendbar
+
R3
U2
Stoßen in Stromnetzen drei oder mehr
Leitungen zusammen = Knoten
1. Kirchhoff‘sche Regel (Knotenregel)
I1
I0
I2
Summe aller Ströme, die zu einem Knoten
hinfließen = Summe der Ströme, die vom
Knoten wegfließen.
g
I0 = I1 + I2
Allgemein: Σ In = 0
WARUM ?
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11. Elektrischer Strom und Stromkreise
2. Kirchhoff‘sche Regel (Maschenregel)
R1
U1
1
U2
+
+
-
3
2
R2
R3
Masche (Schleife):
eine geschlossene Leiterschleife = Masche
Beim Durchlaufen einer Masche (= geschlossene Schleife)
ist die Summe aller Spannungen = null.
Σ Uqm - Σ InRn = 0
Masche
Masche
Der Umlaufsinn kann dabei willkürlich gewählt werden.
werden
Alternativ:
In einer Masche eines Stromnetzes ist die Summe der
Quellspannungen Uqm gleich der Summe der
Spannungsabfälle InRn
Σ Uqm = Σ InRn
M h
Masche
M h
Masche
WARUM?
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R1
U1
1
U2
+
Volle
Batterie
+
-
Leere
Batterie
3 I1
2
R2
R3
Scheinwerfer an
I2
I3
Masche 1
Masche 2
U1 = I1R1 + I3R3
– U2 = – I2R2 + I3R3
Masche 3 U1 + U2 = I1R1 + I2R2
U1 – I1R1 – I3R3 = 0
– U2 + I2R2 – I3R3 = 0
U1 – I1R1 – I2R2 + U2 = 0
A h
Achtung!
! Vorzeichen
V
i h sind
i d eine
i übl
üble F
Fehlerquelle
hl
ll !
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11.5 Amperemeter und Voltmeter
U1
+
-
Amperemeter A = Strommesser
- in Reihe zum Stromkreis geschaltet
- der zu messende Strom fließt durch A
Innenwiderstand klein ((ideal null))
R1
R3
A
R2
V
Voltmeter V = Spannungsmesser
- parallel zum (z.B.) Widerstand geschaltet
- misst Potentialdifferenz zwischen
A hl
Anschlusspunkten
kt
Innenwiderstand groß
R V >> R2
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11. Elektrischer Strom und Stromkreise
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11.6 RC-Kreise
Elektrische Schaltkreise enthalten meist R + C
zeitabhängige Ströme
Beispiel:
p
Laden eines Kondensators ((Schalter S in Stellungg a))
Es gilt:
a S
t = 0 Kondensator ungeladen
b
t > 0 Ladevorgang bis Q0 = C U0
Q+
+
I
U0 Q0: Gleichgewichtsladung
QQ = Q0(1 – e-t/(RC))
U
b
bzw.
I
( ))
U = U0(1 – e-t/(RC)
U
I
t
mit τ = RC = Zeitkonstante
mit
it t = τ
Q = Q0. (0,632)
(0 632)
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11. Elektrischer Strom und Stromkreise
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Beispiel: Entladen eines Kondensators (Schalter S in Stellung b)
Es gilt:
a S
t = 0 Kondensator geladen mit Q0
b
t > 0 Entladung Q+ über R
Q+
+
U0 I
neutralisiert QQt/(RC))
Q = Q0 e-t/(RC)
U
U
U = U0 e-t/(RC))
bzw.
I
t
I
RC klein: schnelle Entladung
RC groß: langsame Entladung
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