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11. Elektrischer Strom und Stromkreise
Physik für Informatiker
11. Elektrischer Strom und Stromkreise
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
Elektrischer Strom und Stromdichte
Elektrischer Widerstand
Elektrische Leistung in Stromkreisen
Elektrische Schaltkreise
Amperemeter und Voltmeter
RC-Kreise
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11.1 Elektrischer Strom und Stromdichte
Elektrische Ströme fließen in:
- Bauelemente eines Computers
- Batterie im Auto, Computermouse, Taschenlampe
- Akku im Mobiltelefon, Laptop
- Haushaltsgeräten wie Waschmaschine, Geschirrspüler,
Mikrowelle
Aber auch in
- Blitzen
- Nervensträngen
- Sonnenwinden
- kosmischer Strahlung
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Prinzip der Anwendung von Elektrizität
Transport von elektrischer Energie
- von Energie-Quelle (Batterie, Stromgenerator)
über
- elektrische Leiter
- zum Energieverbraucher
Q
Elektrischer Q Energie
Verbraucher
Leiter
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Energie
Quelle
Q
Man unterscheidet:
Gleichstrom (dc = direkt current)
Wechselstrom (ac = alternating current)
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Es gilt:
Jeder elektrischer Strom ist bewegte Ladung
aber
Nicht jede bewegte Ladung ist ein elektrischer Strom
Beispiele:
- ungeordnete e- Bewegung in einem Metalldraht
- Wasserstrahl eines Gartenschlauchs
Elektrischer Strom ist effektiver Ladungstransport
dQ
Treten elektrische Ladungsträger Q
Def:
I = dt
in der Zeit t durch eine Querschnittfläche A,
fließt ein elektrischer Strom
I0
I1
I2
I3
I0 = I1 = I2 = I3
Warum?
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Bei bekanntem Strom I erhält man Ladungsmenge Q durch:
Q = ∫ I dt
SI-Einheit des elektrischen Stroms:
[I] = A (Ampere) mit 1 A = 1 C/s
Beachte: Strom ist eine skalare Größe!
Dennoch: Darstellung durch einen Pfeil
= Richtung der Bewegung der Ladungsträger
I1
I0 = I1 + I2 Warum?
I1
,
I0
I0
I2 Strompfeile an Leitern zeigen die
I2
I2
Orientierung des Stroms an, nicht
die Richtung des Stroms im Raum
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Festlegung der (konventionellen) Stromrichtung
Strompfeile zeigen immer in die Richtung,
in die sich die positiven Ladungsträger
bewegen (würden).
+++++
I
v+
- - - - - - - vI
Driftgeschwindigkeit
Für elektrischen Leiter (z.B. Metalle) gilt:
- frei bewegliche Ladungsträger (e-)
- ohne äußeres E-Feld, regellose Bewegung
mit v = 106 m/s
- mit äußerem Feld überlagerte, gerichtete
Driftgeschwindigkeit vD= 10-5 - 10-4 m/s
+++++ ++
E
v
I
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Strom Driftgeschwindigkeit Stromdichte
dQ = q(nAvDdt)
q = Ladung der Teilchen
n = Ladungen pro Volumen
A = Querschnittfläche
A +
vDdt
+ +
+ A
+
+
E
dQ
I = dt = nqAvD
v
Der Strom pro Querschnittsfläche = Stromdichte j
j= I
A
vektoriell j = nqvD
mit
j
E
+
+
+
I
(immer)
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11.2 Elektrischer Widerstand
Es gilt:
I ~ U
z.B. I (bei 12 Volt Batterie) = 2 I(bei 6 Volt Batterie)
Aber: Gleiche Potentialdifferenz führt nicht
immer zum selben Strom = f (Widerstand R)
Def.: R =
U
I
[R] = V/A 1 V/A = 1 Ω (Ohm)
Für bestimmte Materialien gilt
Ohm‘sches Gesetz :
R=
z.B. Kupferstab
kontra Glasstab
U = konstant
I
U
I
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Symbol für Schaltkreise
Widerstand
Idealer elektrischer Leiter
Beispiel: Glühlampe (in Taschenlampe)
Widerstand der Glühlampe
R
+
3,0 V
1,5 V
Ein
Aus
-
I = 0,4 A
R = U/I
= 3,0 V / 0,4 A
= 7,5 Ω
Schalter
1,5V
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Spezifischer Widerstand
Es gilt (homogener Leiter)
R ~ 1/A (Leiterquerschnittsfläche)
R ~ l (Leiterlänge)
mit spezifischem Widerstand ρ (Proportionalitätskonstante) gilt:
l
R= ρ A
[ρ] = Ωm
UA = E
E= ρj
mit R = U
ρ =
j
I
Il
Def.: Leitfähigkeit σ
σ = 1/ρ
j= σE
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Temperaturabhängigkeit
Es gilt: Elektrische Widerstand = f(Temperatur)
Für viele Materialien gilt:
ρ = ρ0 [ 1 + α(T – T0)]
α: Temperaturkoeffizient des
spezifischen Widerstands
T0: frei wählbare
Referenztemperatur
ρ0: spezifische Widerstand
bei T0
mit R = ρl/A gilt
R = R0 [ 1 + α(T – T0)]
Material
ρ /Ωm
α x oC
Aluminium
Kupfer
Gold
Eisen
2,8 x 10-8
1,6 x 10-8
2,4 x 10-8
9,7 x 10-8
4,4 x 10-3
4,3 x 10-3
3,4 x 10-3
6,5 x 10-3
Silizium
Germanium
2,5 x 103
0,5
-70 x 10-3
- 0,05
Glas
Teflon
1010- 1014
1016
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11.3 Elektrische Leistung in Stromkreisen
I
Batterie
+
-
a
b
Batterie: Ursache für konstantes U
Leitendens Bauelement
z.B. Widerstand, Akku, Elektromotor
Ua > Ub
Strom I = konstant
Es gilt: dq = I dt
dq: Transportierte Ladung in Zeit dt in
dEpot = dq Uab = I dt Uab
Abnahme von elektrischer potentieller Energie
Umwandlung in andere Energie
Für Umwandlungsrate = Leistung P gilt:
dEpot
=P=UI
1VA= 1 J 1C = 1 J
C s
s
dt
=1W
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Beispiele für unterschiedliche Bauelemente:
- in Elektromotor, Umwandlung in mechanische Arbeit
- in Akku, Umwandlung in chemische Energie
- in Widerstand, Umwandlung in Wärme
Für Widerstand gilt mit R = U/I :
P = I2 R
U2
bzw. P =
R
Umwandlung elektrischer Energie in Wärme
innerhalb eines Ohm‘schen Widerstands
Beispiele: Glühlampe, Toaster,
elektrische Heizdrähte
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11.4 Elektrische Schaltkreise
11.4.1 Widerstände in Reihe und parallel
Annahme:
Drei Widerstände R1, R2 und R3 unterschiedlich kombiniert
a
a
R1
R1
R2
R3
R1 , R2 , R3
parallel
x
b
R2
a
y
R3
b
R2
R1
R3
R2, R3 parallel
in Reihe mit R1
R1, R2, R3 in Reihe
b
a
R1
R2
b
R3
R1, R2 in Reihe
parallel mit R3
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Allgemein gilt: Kombinationen von (Ohm‘schen) Widerständen
kann man durch einen Ersatzwiderstand RES darstellen.
Widerstände in Reihe geschaltet:
a
R1
x
R2
y
R3
Allgemein gilt: Uab = IRES
b
bzw.
Uab
RES =
I
Es gilt: Für alle Widerstände ist der Strom I identisch
WARUM ?
Uax = I R1 Uxy = I R2
Uyb = I R2
Uab = Uax + Uxy + Uyb = I (R1 + R2 + R3)
Uab = R + R + R
1
2
3
I
RES = R1 + R2 + R3
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Widerstände parallel geschaltet
a
R1
R2
R3
Es gilt: An jedem Widerstand herrscht die
b
dieselbe Potentialdifferenz Uab WARUM?
Für die Ströme durch Widerstände gilt:
Uab
R1
Uab
Uab
I1 =
I2 =
I3 =
R2
R3
1
1
1
I = I1 + I2 + I3 = Uab (
+
)
+
R1
R2
R1
Allgemein gilt:
(Widerstände parallel)
1
= R
ES
1
1 + 1
1
+ ........
=
+
RES R1
R2
R1
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11.4.2 Kirchhoff‘sche Regeln
Beispiel:
U1
R2
R1
+
-
Problem: Weder Regeln zur Reihennoch zur Parallelschaltung anwendbar
+
R3
U2
Stoßen in Stromnetzen drei oder mehr
Leitungen zusammen = Knoten
1. Kirchhoff‘sche Regel (Knotenregel)
I1
I0
I2
Summe aller Ströme, die zu einem Knoten
hinfließen = Summe der Ströme, die vom
Knoten wegfließen.
I0 = I1 + I2
Allgemein: Σ In = 0
WARUM ?
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2. Kirchhoff‘sche Regel (Maschenregel)
R1
U1
1
U2
+
+
-
3
2
Masche (Schleife):
eine geschlossene Leiterschleife = Masche
R2
Beim Durchlaufen einer Masche (= geschlossene Schleife)
ist die Summe aller Spannungen = null.
R3
Der Umlaufsinn kann dabei willkürlich gewählt werden.
Alternativ:
In einer Masche eines Stromnetzes ist die Summe der
Quellspannungen UQm gleich der Summe der
Spannungsabfälle InRn
Σ Uqm = Σ InRn
Masche
WARUM?
Masche
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R1
U1
1
U2
+
Volle
Batterie
+
-
Leere
Batterie
3
2
R2
Scheinwerfer an
R3
Masche 1
Masche 2
Masche 3
U1 – I1R1 – I3R3 = 0
– U2 + I2R2 – I3R3 = 0
U1 – I1R1 – I2R2 + U2 = 0
Achtung! Vorzeichen sind eine üble Fehlerquelle !
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11.5 Amperemeter und Voltmeter
U1
+
-
Amperemeter A = Strommesser
- in Reihe zum Stromkreis geschaltet
- der zu messende Strom fließt durch A
Innenwiderstand klein (ideal null)
R1
R3
A
R2
V
Voltmeter V = Spannungsmesser
- parallel zum (z.B.) Widerstand geschaltet
- misst Potentialdifferenz zwischen
Anschlusspunkten
Innenwiderstand groß
R V >> R2
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11.6 RC-Kreise
Elektrische Schaltkreise enthalten meist R + C
zeitabhängige Ströme
Beispiel: Laden eines Kondensators (Schalter S in Stellung a)
Es gilt:
a S
t = 0 Kondensator ungeladen
b
t > 0 Ladevorgang bis Q0 = C U0
Q+
+
I
U0 Q0: Gleichgewichtsladung
QQ = Q0(1 – e-t/(RC))
U = U0(1 – e-t/(RC))
U
I
t
mit τ = RC = Zeitkonstante
mit t = τ
Q = Q0. (0,632)
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Beispiel: Entladen eines Kondensators (Schalter S in Stellung b)
Es gilt:
a S
t = 0 Kondensator geladen mit Q0
b
t > 0 Entladung Q+ über R
Q+
+
U0 I
neutralisiert QQQ = Q0 e-t/(RC))
U
I
U = U0 e-t/(RC))
RC klein: schnelle Entladung
RC groß: langsame Entladung
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Anwendungen Laden\Entladen Kondensator
Impulsgeber Herzschrittmacher
AD-Wandlung
Intervallschaltung
Scheibenwischer
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