Eine Kraft ist nie allein

Aufgaben:
11. Ein LKW  m  18t  fährt auf horizontaler Ebene mit einer Geschwindigkeit von
v  60 km
h . Vor einer Rast lässt der Fahrer den LKW ausrollen. Welchen Weg legt der
LKW noch bis zum Stillstand zurück, wenn die Reibungszahl 0,035 beträgt?
Es gilt: a  g
 60 : 3, 6  ms2
v2
 v02
v2
v  v  2ax  x  0 
 0 
 0, 40 km
2a 2g 2g 2  0, 035  9,81 sm2
2
2
0
v 0
2
2
Für die dazu benötigte Zeit würde gelten:
60 : 3, 6  ms

v
v vn  v v vn 0 v v
a
 t 



 49s
t
a
g
g 0, 035  9,81 sm2
12. Eine Lokomotive mit der Masse m  120t beschleunigt auf einer ebenen Gleisstrecke
fünf angehängte Wagen von je mW  28t in 90s aus dem Ruhezustand auf die
Geschwindigkeit 72 km
h . Die Reibungszahl beträgt 0,005.
a) Welche Kraft F muss die Lokomotive aufbringen?
Feff  FZ  FR  FZ  Feff  FR  Feff  FN  Feff  FG  mGes  a eff  mGesg
 v

FZ  mGes   a eff  g   mGes  
 g 
 t

  72 : 3, 6  ms

FZ  260 103 kg  
 0, 005  9,81 sm2   71kN
90s


b) Berechne die Zugkraft FK auf die Kupplung zwischen der Lokomotive und dem
ersten Wagen.
FK  Fa  FR 5Wagons  Fa    5  mW  g  70,5 103 kN  0,005 140 103 kg  9,81 sm2  77 kN
13. Ein LKW der Masse m  15,0t und der Geschwindigkeit v0  80 km
h soll auf ebener
Strecke in 30 s zum Stehen kommen. Die Reibungszahl beträgt 0,020.
a) Berechne die notwendige Bremskraft.
v 
 v  v0
 vn  0

Feff  FZ  FR  FZ  mGes   a eff  g   m Ges   n
 g   m Ges   g  0 
t 
 t


m

80 : 3, 6  s   8, 2 kN Bremskraft
FZ  15 103 kg   0, 020  9,81 sm2 

30s


b) Wie lange ist dabei der Bremsweg?
v 0
 v 2  v 2  t
 v02  t
v 2  v02  2ax  x  0  0

 1  v 0  t
2a
2v
2  vn  v0  2
x  12   80 : 3, 6  ms  30s  0,33km
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Weitere Aufgaben:
Ein Vater  mV  75kg  zieht einen Schlitten  mS  5, 0 kg  auf dem seine Tochter
 mT  20 kg  sitzt. Die Reibungszahl zwischen dem Schlitten und dem Schnee hat den Wert
  0, 20 .
a) Mit welcher Kraft muss der Vater den Schlitten (mit Tochter) ziehen damit sich dieser in
der horizontalen Ebene mit der konstanten Geschwindigkeit vS  3,0 ms bewegt.
b) Der Vater hört nun auf den Schlitten zu ziehen. Wie weit fährt der Schlitten und wie lange
dauert seine Fahrt noch (in der horizontalen Ebene).
A) Ein Fahrzeug der Masse mF  1, 25 t steht an einem Berg mit den Neigungswinkel
  2,5 . Die Fahrbahnlänge beträgt  150 m , die Reibungszahl zwischen Auto und Straße
hat den Wert   0,020 . Der Fahrer des Fahrzeugs löst aus Versehen die Handbremse, so
dass der Wagen anfängt sich hangabwärts zu bewegen.
a) Berechnen Sie ausgehend von einer ordentlichen Skizze in welche Sie die wirkenden
Kräfte eintragen, mit welcher Beschleunigung sich das Fahrzeug in Bewegung setzt?
a  g sin   g cos   ...  0, 23 sm2
b) Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis der Wagen unten angekommen ist und mit welcher
Geschwindigkeit es unten ankommt?
2
 ...  36s
a
v  at  ...  8,3 ms
t
B)
Ein Auto der Masse mA  1, 25 t beschleunigt in der horizontalen in 4,5s von 0 auf
100 km
h . Die Reibungszahl zwischen Auto und Straße beträgt dabei 0,020.
a) Ermitteln Sie die Motorkraft des Autos
 v

FZ  m 
 g   ...  7,961kN  8, 0 kN
 t

b) Das Fahrzeug fährt nun einen Berg (   5,0 ) herunter bzw. hinauf. Wie lange
benötigt es nun um von 0 auf 100 km
h zu beschleunigen?
m  v
 ...  3,9s
FZ  mg sin   mg cos 
m  v
 ...  5, 2s
hinauf: t 
FZ  mg sin   mg cos 
hinunter: t 
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2
C)
Ein Schlitten steht an einem Berg mit dem Neigungswinkel  . Die Reibungszahl
zwischen dem Schlitten und dem Schnee beträgt   0,035 .
a) Berechnen Sie, wie groß  mindestens sein muss, damit sich der Schlitten in
Bewegung setzt.
  tan  a  arctan 0,035  2,0
b) Welche Zugkraft ist notwendig um den Schlitten samt Fahrer  m  40 kg  einen Berg
mit dem Neigungswinkel   12,0 mit konstanter Geschwindigkeit hochzuziehen?
FZ  FH  FR  mg  sin    cos    ...  95 N
c) Nun fährt der Schlitten samt Fahrer den Berg herunter. Nach welcher Strecke hat der
Schlitten eine Geschwindigkeit von v  10 ms .
Fa  FH  FR  a  gsin   g cos 
v2  v02  2ax  x 
x
v2
2a
v2
 ...  29 m
2g   sin    cos  
d) Nachdem der Schlitten die Geschwindigkeit von v  10 ms erreicht hat muss er, damit
sich die Geschwindigkeit nicht weiter erhöht bremsen. Berechnen Sie die nötige
Bremskraft.
FB  FH  FR  mg  sin    cos    ...  68 N
e) Welche Bremskraft ist nötig, damit der Schlitten binnen einer Zeit von 2, 0s steht?
v
 ...  200 N
t
 268 N
Für die zusätzlich Bremskraft gilt: FB2  ma  m
Somit folgt für die gesamte Bremskraft: FBges
Aufgaben:
14. Ein Motorrad der Masse m  250kg soll auf einer Bergstraße mit der Steigung 12%
bergauf so anfahren, dass es nach 50m die Geschwindigkeit 72 km
h hat. Die Reibungszahl
beträgt   0,020 . Berechne die vom Motor aufzubringende Motorkraft.
 v2

FZ  m 
 g sin   g cos    ...  1,3kN
 2x

15. Bei einem Schrägaufzug befindet sich ein Wagen der Masse mW  50,0kg auf einer
schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel   30 . Durch ein Seil, das über eine Rolle
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geführt wird, ist der Wagen mit einem Antriebskörper der Masse mA  40,0kg
verbunden. Der Antriebskörper hat vor dem Start die Höhe h  1,80m über dem Boden.
Die Reibung zwischen Wagen und Unterlage ist durch die Reibungszahl   0,010
gekennzeichnet. Die Reibung und die Masse von Rolle und Seil sind vernachlässigbar.
Rolle
Seil
Wagen
Antriebskörper
h
  30
a) Mit welcher Beschleunigung a setzt sich das aus dem Wagen und dem
Antriebskörper bestehende Gespann in Bewegung?
Fa  FZ  FH  FR
 mA  m W  a  mA  g  m W  g  sin     m W  g  cos 
m  g  m W  g  sin     m W  g  cos 
a A
mA  mW
a
40 kg  9,81 sm2  50 kg  9,81 sm2  sin  30   0, 010  50 kg  9,81 sm2  cos  30 
40 kg  50 kg
 1, 6 sm2
b) Berechne die maximale Geschwindigkeit v max , die das Gespann erreichen
kann.
v 2  v02  2a x
v
0
2
max
h
 2ah
v max  2ah
v max  2 1, 6 sm2 1, 6 m  2, 4 ms
c) Nach Aufsetzen des Antriebskörpers führt der Wagen eine verzögerte
Bewegung aus. Berechne den dabei zurückgelegen Weg.
Berechnung der Beschleunigung:
Fa  FZ  FH  FR
0
m W  a  m W  g  sin     m W  g  cos 
a  g   sin     cos  
a  9,81 sm2   sin  30   0, 01  cos  30    4,99 sm2
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Berechnung des zurückgelegten Weges:
v 2  v 02  2ax
0
 v 2max  2ax
x
x
v 2max
2a
 2, 4 ms 

2
2  4,99 sm2

 0,58 m
16. Ein Körper K1 der Masse m1  12,0kg befindet sich auf
einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel   35 .
K1 beginnt mit der Anfangsgeschwindigkeit v0  2,50 ms
abwärts zu gleiten.
a) K1 gleitet zunächst reibungsfrei. Welche
Beschleunigung erfährt K1 ? Wie groß ist seine
Geschwindigkeit nach s1  2,50m Gleitweg?
K1

K2
a  g sin   ...  5,6 sm2
v2  v02  2as1  v2  2as1  v02  2s1g sin   v02  v  2s1g sin   v02  ...  5,9 ms
b) In einem neuen Versuch beträgt die Gleitreibungszahl   0,85 . K1 hat wieder die
abwärts gerichtete Anfangsgeschwindigkeit v 0 . Nach welchem Gleitweg s 2 kommt
K1 zum Stillstand?
a  gsin   g cos 
v2  v02  2as 2  s 2 
0
 v02
 v02

 ...  2, 6 m
2a 2g  sin    cos  
c) Nach welcher Zeit ist die Geschwindigkeit auf den halben Wert gesunken? Für
welchen Neigungswinkel würde sich K1 gleichförmig bewegen?
v  t   at  v0 
1
2
v0  at  v 0  at   12 v 0  t 
 v0
2a
 v0
 ...  1, 04s
2g  sin    cos  
  tan  a  40, 4
t
d) Nun wird ein Körper K 2 der Masse m 2 mit einem Seil an K1 befestigt (siehe
Zeichnung). Wie groß muss m 2 bei   35 gewählt werden, damit K1 gleichförmig
abwärts gleitet? Wie groß ist die Zugkraft am Seil?
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Fa  FZ  FH  FR
0
FZ  FR  FH
FZ  mg   cos   sin  
FZ  14, 4 N
F
FZ  m2g  m2  Z  ...  1, 47 kg
g
17.
Ein Wagen der Masse mW  600 kg fährt am Sandstrand    0,30  . Der Motor bringt
eine Leistung von 3, 0 kN auf die Räder.
a) Berechnen Sie die auftretende Beschleunigung.
Feff  FZ  FR  m  a eff  FZ  mg  a eff 
a eff 
FZ
 g
m
3000 N
 0,30  9,81 sm2  2,1 sm2
600 kg
b) Wie lange braucht der Wagen von 0 auf 100 km
h ?
a
v  v v vv 0 vn 100 : 3, 6  ms
v
 t  n
 

 13s
t
a
a
2,1 sm2
c) Wenn der Wagen eine Sanddüne mit dem Neigungswinkel 8,0° hinauffährt, so
verringert sich seine Beschleunigung. Um wie viel wird sie geringer?
Feff  FZ  FH  FR  ma eff  FZ  mg sin   mg cos 
FZ
 g sin   g cos 
m
3000 N
a eff 
 9,81 sm2  sin 8  0,30  9,81 sm2  cos8  0, 72 sm2
600 kg
Die Beschleunigung verringert sich somit um 1, 4 sm2 .
 a eff 
18.
Der Ferrari 599 GTB Fiorano  mF  1, 70 t  beschleunigt von 0 auf 100 km
h in 3, 7s .
Dabei darf natürlich die Reibung nicht vernachlässigt werden. Für die Reibungszahl
zwischen Gummi und Asphalt gilt:   0,015 .
a) Berechnen Sie die Motorkraft des Fiorano.
 v

Feff  FZ  FR  FZ  Feff  FR  m  a eff  mg  m  
 g 
 t

m
 100 : 3, 6  s

FZ  1700 kg  
 0, 015  9,81 sm2   13kN
3, 7 s


b) Wie lange würde der Beschleunigungsvorgang dauern, wenn man von Reibung
absehen würde?
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6
FZ  m  a  m 
100 : 3, 6  ms  3, 6s
v
v
 t  m 
 1700 kg 
t
FZ
13000 N
c) Bei einer Geschwindigkeit von 100 km
h wird der Gang herausgenommen, der Ferrari
rollt ohne Antrieb weiter. Wie lange würde es dauern bis das Fahrzeug steht und
welche Strecke hätte es dabei zurückgelegt.
Feff  FZ  FR
a eff 
FZ 0
 Feff  FR  mg  m  a eff  mg  a eff  g
100 : 3, 6  ms  1,9 102 s
v
v vn  v v vn 0 v v
 t 



t
a eff
g
g 0, 015  9,81 sm2
100 : 3, 6  ms2
 v02
 v02
v2
v  v  2a eff s  s 

 0 
 2, 6 km
2a eff 2g 2g 2  0, 015  9,81 sm2
2
v 0
2
0
2
2
d) Wie lange dauert die Beschleunigung (von 0 auf 100 km
h ), wenn der Ferrari an einem
Berg mit 15% Steigung anfährt.
Eine Steigung von 15% entspricht einem Winkel von   8,5°  tan   0,15 .
Für den Fall, dass sich der Körper mit Hilfe einer Zugkraft FZ (Motorkraft) nach
oben bewegt gilt:
Feff  FZ  FH  FR  ma eff  FZ  mg sin   mg cos 
FZ
v
v
 g sin   g cos  
 t 
FZ
m
t
 g sin   g cos 
m
100 : 3, 6  ms
t  13000 N
 4, 6s
m
m
1700kg  9,81 s 2  sin 8,5  0, 015  9,81 s 2  cos8,5
 a eff 
e) Berechnen Sie bis zu welchem Gefälle dieses Fahrzeug ohne angezogene
Handbremse und eingelegtem Gang gerade nicht wegrollt.
F0
F  FH  FR  FH  FR  FG sin   FG cos    
sin 
 tan 
cos 
Also : tan   0, 015
Das entspricht einem Gefälle von 1,5%    0,86 
19.
Der ICE 3  mZ  460 t  der DB hat bei einer Reibungszahl von   0,0020 eine
Beschleunigung von a  0,65 sm2 .
a) Wie lange benötigt der ICE von 0 auf 100 km
h bzw. von 0 auf seine
km
Höchstgeschwindigkeit von 330 h .
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7
v
v
v
 t 
 t n
t
a
a
m
100 : 3, 6  s  43s
t1 
0, 65 sm2
a
t2 
 330 : 3, 6  ms
0, 65 sm2
 141s
b) Berechnen Sie die Zugkraft des ICE 3.
Fa  FZ  FR  FZ  Fa  FR  ma  mg  m  a  g 


FZ  460 103 kg  0, 65 sm2  0, 0020  9,81 sm2  0,31MN
c) Berechnen Sie, bei welcher Steigung der ICE 3 gerade noch anfahren kann.
(Bemerkung: Diese Aufgabe ist nur durch eine Näherung lösbar!)
Es gilt: Fa  FZ  FH  FR
Damit der ICE gerade noch anfahren kann muss gelten: Fa  ma  0
0  FZ  FH  FR  FZ  FH  FR  FZ  mg sin   mg cos 
FZ  mg  sin    cos  
Diese Gleichung kann leider durch unsere mathematischen Mittel nicht gelöst
werden. Aber wenn man davon ausgeht, dass der Neigungswinkel sich vermutlich in
einer Größenordnung von ca. 5° liegt, dann folgt zunächst:
sin  5   0, 087
0, 002  cos  5   0, 002
Also ist der Anteil von  cos  im Vergleich zu sin  zu vernachlässigen. Also
folgt nun:
F
FZ  mg(sin    cos )  FZ  mg sin   sin   Z    3,9
mg
0
20.
Ein Golf GTI der Masse mG  1,6 t hat eine Motorkraft von 6,5kN . Der GTI wird von
0 auf 100 km
h beschleunigt. Berechnen Sie die Beschleunigungszeit und die
Beschleunigungsstrecke für eine Bewegung
a) auf einer horizontal verlaufenden Straße ohne Reibung
b) auf einer horizontal verlaufenden Straße mit Reibung (Reibzahl   0, 20 )
c) auf einer Straße mit einer Steigung von 12% ohne Reibung
d) auf einer Straße mit einer Steigung von 12% mit Reibung (Reibzahl   0, 20 )
e) auf einer Straße mit einem Gefälle von 12% ohne Reibung
f) auf einer Straße mit einem Gefälle von 12% mit Reibung (Reibzahl   0, 20 )
Fertigen Sie für jede Teilaufgabe eine Zeichnung an, in der alle an der Bewegung
beteiligten Kräfte eingezeichnet werden.
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8
21.0
21.1
Zur Ermittlung der Reibungszahl zwischen zwei Materialien wird ein zu
untersuchender quaderförmiger Körper auf eine Ebene mit einem anderen Material
gelegt. Nun neigt man langsam die Ebene, bis der Gegenstand zu rutschen beginnt.
Bei der Untersuchung einer bestimmten Materialkombination wird ein Grenzwinkel
von   16 gemessen.
Fertigen Sie einen Kräfteplan mit allen auf den Körper einwirkenden Kräften für den
Fall an, dass der Körper gerade noch haftet.
FE
FR
FH
FN
21.2
Leiten Sie, ausgehend von Ihrem Kräfteplan, die Formel für die Berechnung der
Reibungszahl her und berechnen Sie diese anschließend aus obigen Angaben.
0  FH  FR
mg cos   mg sin 
sin 
 tan
cos 
  0, 29

21.3.0 Nachdem der Körper beim oben angegebenen Grenzwinkel von   16 ins Gleiten
gekommen ist, rutscht er beschleunigt nach unten und erreicht nach einer Strecke von
45cm eine Geschwindigkeit von v  1, 2 ms .
21.3.1 Fertigen Sie erneut einen Kräfteplan mit allen auf den Körper einwirkenden Kräften
an.
21.3.2 Berechnen Sie die Beschleunigung a des Körpers entlang der schiefen Ebene.
Zwischenergebnis : a  1,6 sm2


v 2  v 02  2ax
v2
2x
a  1, 6 sm2
a
21.3.3 Zeigen Sie, dass für die Formel zur Berechnung der Reibungszahl gilt:
a
  tan  
g  cos 
21.3.4 Berechnen Sie die Reibungszahl  der verwendeten Materialpaarung.
  tan  
a
 0,12
g  cos 
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9
22.0
22.1
22.2
Ein Wagen der Masse m1  60 kg und ein zweiter
der Masse m 2 sind über eine Rolle miteinander
verbunden. Der Neigungswinkel der schiefen Ebene
ist   55 . Der Einfluss der Reibung bleibt
m2
zunächst unberücksichtigt. (Die Anordnung
befindet sich in Ruhe.)
Fertigen Sie einen Kräfteplan mit den Kräften, die
auf die beiden Massen m1 und m 2 wirken.
Berechnen Sie die Masse m 2 damit der Wagen
durch sie im Gleichgewicht gehalten wird.
 Ergebnis : m2  49 kg
m1

FG 2  FH
m 2g  m1g sin 
22.3.0
22.3.1
22.3.2
22.3.3
22.3.4
m 2  m1 sin   ...  49 kg
Nun wird die Masse m1 um die zusätzliche Masse m3  10 kg vergrößert. Außerdem
soll nun ein Reibungskoeffizient von   0,12 berücksichtigt werden.
Fertigen Sie je einen Kräfteplan an mit allen auf m1 sowie m 2 wirkenden Kräften
(einschließlich Fa ) vom ruhenden Bezugssystem aus betrachtet.
Wie groß ist die Beschleunigung nach Betrag und Richtung?
Welche Zeit benötigt der Wagen für eine 4,80 m lange Strecke; wie groß ist dann v?
Berechnen Sie die im Seil wirkende Kraft FS .
FS  FG2  FH  FR
23.0 Ein Gegenstand ruht auf
einem Brett, das man um
s
einen beliebigen Winkel 
Lichtschranke
neigen kann.
v
Für die Bestimmung des
Haftreibungs- sowie des
Gleitreibungskoeffizienten
zwischen Gegenstand und
Holzbrett beginnt man den

Winkel  langsam von Null
aus zu steigern, bis sich der Gegenstand plötzlich beschleunigt über die Strecke
s  0,80 m in Bewegung setzt.
Für den Grenzwinkel wird Grenz  27 gemessen.
Beim Durchgleiten durch die Lichtschranke wird eine Geschwindigkeit von v  0,75 ms
ermittelt.
23.1 Zeichnen Sie den Kräfteplan für den Grenzwinkel einmal für den (noch) ruhenden
Gegenstand und einmal für den beschleunigt bewegten Gegenstand.
23.2 Bestimmen Sie den Haftreibungs- sowie den Gleitreibungskoeffizienten der
Kombination Gegenstand / Holzbrett mit Hilfe obiger Angaben.
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