Vorlesung Formale Grundlagen (WIN) im 2007S

Vorlesung Formale Grundlagen (WIN) im 2007S
2. Prüfungstermin, am 2007-10-03, Ergebnis:
Name:
MatNr:
5. Jeder zusammenhängende Graph, der
1. Wichtige Operationen für formale Sprachen sind
+
+
+
+×
+×
+
+×
+×
+×
+
+×
+×
+×
+
+
Disjuktion;
Konjunktion;
Summe;
Iteration;
Durchschnitt;
Kartesisches Produkt;
Vereinigung.
Verkettung;
ein Kreis ist,
der einen Hamiltonschen Kreis enthält,
nur Knoten geraden Grades enthält,
höchstens zwei Knoten ungeraden Grades enthält,
keinen Knoten ungeraden Grades enthält,
der höchstens zwei Knoten geraden Grades enthält,
der mehr Knoten mit geradem Grad enthält als mit
ungeradem Grad,
+
der 2-färbbar ist.
2. Welche Eigenschaften haben endliche Automaten?
besitzt einen (offenen oder geschlossenen) Eulerschen KanSie erkennen nur endliche Sprachen.
tenzug.
Sie erkennen nur reguläre Sprachen;
6. Wie kann man nachweisen, daß eine formale Sprache reSie sind besonders einfach zu realisieren;
gulär ist?
Man kann damit jede durch eine Grammatik definier+
Mit dem Pumping Lemma für reguläre Sprachen;
te Sprache erkennen.
Alle Knotengrade müssen gleich sein;
+
+
Man kann damit eine Turingmaschine simulieren.
− × Indem man sie als Vereinigung zweier bereits als re+
Man kann damit auch nicht-kontextsensitive Spragulär bekannten Sprachen darstellt;
chen erkennen;
+ × Mit einer linkslinearen Grammatik;
+ × Sie terminieren unmittelbar nach einer einfachen Ab+
Mit einer nicht-kontextfreien Grammatik;
arbeitung der Eingabe;
− × Man kann sie minimieren.
+ × Indem man sie als Iteration einer bereits als regulär
bekannter Sprache darstellt;
3. Wie kann man feststellen, ob zwei reguläre Ausdrücke der
+
Man zeigt, daß sie weder kontextfrei noch kontextLänge n dieselbe Sprache beschreiben?
sensitiv ist.
− × Man findet zu jedem irgendeinen erkennenden Auto− × Indem man einen endlichen Automaten konstruiert,
maten; diese müßten dann gleich sein.
der genau diese Sprache erkennt.
+ × Man versucht es mit diversen Rechenregeln für re7. Das mengentheoretische Komplement einer
guläre Ausdrücke.
+
Test auf Gleichheit (bis auf die Reihenfolge);
+
durch eine Grammatik definierten
Das Problem ist jedenfalls entscheidbar;
+
endlichen
+
+
Eingabewort dere Länge n2 probieren;
+ × kontextsensitiven
+ × Man bestimmt deren Minimalautomaten und testet
+ × durch einen endl. Automaten definierten
diese auf Isomorphie;
+
rekursiv aufzählbaren
− × Man kann das Problem mittels Durchschnittsbe+ × regulären
rechnung auf den Test, ob eine Sprache leer ist,
+
kontexfreien
zurückführen.
+
×
rekursiven
+
Man wendet auf beide Ausdrücke das Pumping Lem+
−×
+×
+
Sprache ist stets wieder vom selben Typ?
ma an;
8. Von welchen der folgenden Probleme ist bekannt, daß sie
in der Komplexitätsklasse P sind?
4. Jeder zusammenhängende Graph, der
+×
+
+×
+
+×
+
+
+×
die Eigenschaft hat, daß jede Kante eine Brücke ist,
planar ist,
einen Knoten mehr hat als Kanten,
mindestens so viele Kanten hat wie Knoten,
keinen Kreis enthält,
3-färbbar ist,
regulär ist,
ein Wald ist,
+
Test, ob zwei Programme dieselbe Funktion realisieren;
+
Test, ob ein bestimmtes Programm terminiert;
+ × Entscheidung, ob ein bestimmtes Wort zu einer regulären Sprache gehört.
+ × Addition zweier ganzer Zahlen in Dezimaldarstellung;
+ × 2-Färbbarkeit;
+ × Lösen linearer Gleichungssysteme;
+
Auffinden aller Primfaktoren einer natürlichen Zahl;
+
Auffinden eines Hamiltonschen Weges;
ist ein Baum.
1
9. Von welchen der folgenden Probleme ist bekannt, daß sie 13. Jeder Baum
N P -vollständig sind?
+
enthält einen geschlossenen Eulerschen Kantenzug;
+
Auffinden eines kürzesten Weges in einem Graphen;
− × hat nur eine Zusammenhangskomponente;
+ × Auffinden eines Hamiltonschen Weges in einem Gra+
ist ein vollständiger Graph;
hat mehr Kanten als Knoten;
phebn;
+
+
ist regulär;
+ × Problem des Handelsreisenden (Travelling Salesman);
Test, ob zwei Programme dieselbe Funktion realisie+
+ × ist planar;
ren;
+ × ist r3-färbbar.
+
Auffinden aller Primfaktoren einer natürlichen Zahl;
+ × ist ein Wald;
+ × 3-Färbbarkeit eines Graphen;
14. Welche der folgenden Relationen in Z sind wohlfundiert?
+ × Allgemeingültigkeit eines boolschen Ausdrucks;
+
Alle Probleme, von denen bekannt ist, daß sie nicht
+
x < y;
in der Klasse P sind.
+
x > y;
+
×
|x| < |y|;
10. Wenn ein Graph
+ × x ist echter Teiler von y;
+
die Gleichung m + 6 ≤ 3n erfüllt,
Welche der folgenden Relationen in N sind wohlfundiert?
+
2-färbbar ist,
+ × in einer Ebene kreuzungsfrei und mit geraden Kanten
+ × x < y;
gezeichnet werden kann,
x > y;
+
+
auf der Oberfläche eines Torus kreuzungsfrei gezeich+ × x ist echter Teiler von y;
net werden kann,
+
x = y + 1;
+ × ein Wald ist,
+ × keine Verfeinerung eines der beiden Kuratowski- 15. Im Zusammenhang mit der Bestimmung kürzester Wege
ist uns aufgefallen:
Graphen enthält,
+
so gezeichnet werden kann, daß alle Kanten gerade
+
Um einen kürzesten Weg zu finden, gibt es nichts wesind,
sentlich besseres, als alle Wege auszuprobieren.
+ × in einer Ebene kreuzungsfrei gezeichnet werden kann,
+
Ist p ein kürzester Weg von s nach v, und ist q ein
kürzester
Weg von v nach t, dann ist auch der zusamdann ist er planar.
mengesetzte Weg pq ein kürzester Weg von s nach t.
11. Für eine Relation R von X nach Y , die in natürlicher
+ × Die Lösung eines Problems besteht manchmal darin,
Weise einer Funktion von X nach Y entspricht, gilt
ein allgemeineres Problem zu lösen.
Ein kürzester Weg kann auch einen Kreis enthalten.
+
R
+ x → x;
+
Kennt man einen kürzesten Weg zu einem Knoten,
R
+
x = y =⇒ x → y;
dann kann man daraus direkt einen kürzesten Weg zu
R
einem Nachbarknoten bestimmen.
+ × Zu jedem x : X gibt es ein y : Y , sodaß x → y;
+ × Jedes Teilstück eines kürzesten Weges ist ebenfalls
R
R
+ × x → y ∧ x → z =⇒ y = z;
ein küzester Weg.
R
+
Zu jedem y : Y gibt es ein x : X, sodaß x → y;
+ × Die Menge der Knoten, zu denen ein kürzester Weg
R
R
bekannt ist, läßt sich unter gewissen Bedingungen
+ × x → z ∧ x = y =⇒ y → z;
schrittweise erweitern.
R
R
+ × x → y ∧ y = z =⇒ x → z;
+ × Das Problem, einen kürzesten Weg zu finden, ist in
R
R
der Komplexitätsklasse P .
+
x → z ∧ y → z =⇒ x = y;
12. Eine Äquivalenzrelation ∼ in einer Menge X erfüllt für 16. Eigenschaften von Binärbäumen:
alle x, y, z : X die folgenden Bedingungen:
+
In einem Binärbaum hat jeder Knoten genau zwei
Nachfolger.
+ × x ∼ x;
+ × In einem Binärbaum ist zwischen dem linken und
+ × y ∼ y;
rechten Nachfolger zu unterscheiden.
+
x ∼ z =⇒ x ∼ y ∨ y ∼ z;
+
Es gibt einen Binärbaum, in dem jeder Knoten
+ × x ∼ y =⇒ y ∼ x;
Grad 2 hat.
+
x ∼ y ∧ x ∼ z =⇒ y = z;
+ × Ein nicht-leerer Binärbaum besteht, neben dem Wur+
x ∼ y ∧ y ∼ x =⇒ x = y;
zelknoten, aus exakt zwei Teilbäumen.
+
x ∼ z ∧ y ∼ z =⇒ x = y;
+
Die Anzahl der Knoten in einem Binärbaum ist
+ × x ∼ y ∧ y ∼ z =⇒ x ∼ z;
die Summe der Anzahl der Knoten in den beiden
Teilbäumen.
+
Binärbaume enthalten nur die Zahlen 0 und 1.
+ × Ein Binärbaum der Höhe n hat höchstens 2n Knoten.
− × In jedem Binärbaum mit mindestens 3 Knoten gibt
es einen, der Grad 3 hat.
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