e = 1.602⋅10 As - TU Bergakademie Freiberg

2. Elektrostatik
2.1. Grundbegriffe / Maßsysteme
1)
Experimentelle Erfahrung: Es gibt zwei Arten von Ladungen, die man als
Q > 0: positive Ladung
Q < 0: negative Ladung
bezeichnet.
Das Vorzeichen ist so festgelegt, dass das Reiben eines Glasstabes auf
diesem die Ladung Q > 0 zurück lässt (Hartgummistab Q < 0).
2) Das Elektron besitzt die kleinste, nicht mehr teilbare Ladung:
Elementarladung e (Nachweis durch den Millikan-Versuch)
In unserer Definition ist die Ladung des Elektrons negativ.
−19
e = 1.602⋅10
Robert Andrews Millikan
22. März 1868 in Morrison, Illinois, USA
† 19. Dezember 1953 in San Marino USA
Nobelpreis für Physik 1923
As
Quarks
1
2
± e ,± e
3
3
11
Der experimentelle Nachweis von Elektronen gelang erstmals im Jahr 1897 durch den
Briten Joseph John Thomson.
Der Name kommt vom griechischen Wort elektron (ηλεκτρον) und bedeutet Bernstein.
Elektronen sind negativ geladene Elementarteilchen ohne räumliche Ausdehnung.
In guter Übereinstimmung mit der Quantenelektrodynamik ergaben ElektronElektron-Streuexperimente an Teilchenbeschleunigern eine maximale Elektronengröße von 10-19 m. Elektronen gehören zu den Leptonen. Ihre Antiteilchen sind die
Positronen (e+), mit denen sie bis auf ihre elektrische Ladung in allen Eigenschaften
übereinstimmen.
Sir Joseph John Thomson
18. Dezember 1856 in Cheetham Hall
† 30. August 1940 in Cambridge
Nobelpreis für Physik 1906
12
3) Es existiert ein Erhaltungssatz für Gesamtladungen, erhalten bleibt nur die
Summe von Ladungen. Er gilt nicht für nur positive oder negative Ladungen.
Ladung wird in Coulomb gemessen 1 C = 1 As.
4) SI-Maßsystem
Länge in m
Zeit in s
Masse in kg
Ladung in C = As
Das Ampere ist die Stärke des zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes durch zwei geradlinige,
parallele, ∞ lange und ∞ dünne Leiter, die den
Abstand 1 m haben und zwischen denen die durch den
Strom elektrodynamisch hervorgerufene Kraft im
leeren Raum je 1 m Länge der Doppelleitung 2*10-7 N
beträgt.
13
Verwendete Bezeichnungen:
Ladung Q = n e
(ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e)
Ladungsdichte ρ(r)
Ladung pro Volumeneinheit
-> Gesamtladung
Q = ∫  r  dV
V
Flächenladungsdichte σ: Ladung pro Flächeneinheit
Linienladungsdichte η:
Ladung pro Linienelement
14
2.2. Das Coulombsche Gesetz in Vakuum
Das Coulombgesetz beschreibt die elektrostatische Kraftwirkung zwischen
ruhenden Ladungen.
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleiche Ladungen ziehen sich an.
Q ' im Ursprung P 0,0 ,0
 = Q ' Q r
F
4  0 r 3
2
2
2
r = ∣r∣ =  x  y  z
Q' übt eine Kraftwirkung auf Q aus (r zeigt von Q' -> Q).
●
Kraftwirkung auf Q' hat den gleichen Betrag, ist aber entgegengesetzt gerichtet.
●
0
Dielektrizitätskonstante des Vakuums
0 = 8,854⋅10
Charles Augustin Coulomb
14. Juni 1736 in Angoulême
† 23. August 1806 in Paris
−12
As
Vm
15
Allgemeine Form des Coulombgesetzes für zwei Ladungen im Punkt r und r':
Q ' Q r −r '

F  r  =
4 0 ∣r −r '∣3
1) Die Kraft ist direkt proportional zu den Ladungen Q und Q',
2) Der Betrag ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden
Ladungen,
Q' Q
1
1
∣
F  r ∣=
∣
r
−
r
'∣
~


4 0 ∣r −r '∣3
∣r −r∣2
3) Die Kraft ist entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen gerichtet.
anziehend für Ladungen mit ungleichen Vorzeichen
abstoßend für Ladungen mit gleichen Vorzeichen
4) actio = reactio (Die Kraft, die eine Ladung spürt, entspricht der Kraft auf die
andere Ladung mit umgekehrtem Vorzeichen.).
16
2.2.1 Konzept des elektrischen Feldes E(r)
Obwohl die Messgröße eine Kraft ist, ist es zweckmäßig, den Begriff des
elektrischen Feldes einzuführen.
Das elektrische Feld E(r) wird durch eine gegebene Ladungskonfiguration erzeugt
und ist durch die Kraft definiert, die auf eine kleine positive Testladung q wirkt.
- Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe mit der Einheit V/m.
- Da die Testladung selbst das Feld verändern würde, gilt die Definition für das
elektrische Feld nur für den Grenzübergang zu einer sehr kleinen Testladung.
f

E  r  = lim
q 0 q
Das Feld-Konzept zerlegt die Kraftwechselwirkung in 2 Schritte:
1) Eine vorgegebene Ladungskonfiguration (Q') erzeugt ein elektrisches Feld
(unabhängig von der anderen Ladung)
2) Ladung Q reagiert auf das Feld E(r) durch Kraftwirkung
Q ' r −r '

E  r  =
4 0 ∣r −r '∣3
f  r  = Q 
E  r 
Q' am Ort r' erzeugt ein elektrisches Feld, dieses ist Ursache der Kraft auf Q
am Ort r.
17
2.2.2 Feldlinien
Veranschaulichung durch Bilder in Form von Feldlinien:
Feldlinien sind Bahnen, auf denen sich ein positiver
geladener, kleiner, anfangs ruhender Körper aufgrund
der Coulomb-Kraft fortbewegen würde.
+
-
22. September 1791 Newington Butts
† 25. August 1867 bei Hampton Court
Feldlinien von Punktladungen sind radial.
In jedem Raumpunkt r liegt das elektrische Feld E(r) tangential an der dort
existierenden Feldlinie. Feldlinien schneiden sich nie!
18
2.2.3 Elektrostatisches Potenzial U
Alle Kräfte die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes sind, sind
Potenzialkräfte. Die Rotation solcher Kraftfelder verschwindet und sie
besitzen ein skalares Potenzial.
Damit existiert auch für das elektrische Feld E ein skalares Potenzial U.
rot 
E =0
Q'
r −r '

E  r  =
4 0 ∣r −r '∣3
E besitzt ein elektrostatisches Potenzial U mit der Einheit Volt [V]..
 U r  = −grad U r 
E r  = − ∇
Das elektrostatische Potenzial kann durch Äquipotenziallinen dargestellt werden.
19
Wegunabhängigkeit der Potenzialdifferenz
Zu U kann immer eine beliebige Konstante addiert werden
-> messbar sind nur Potenzialdifferenzen
r2
r2
r1
r1
U  r2 − U  r1  = ∫ dU = ∫
grad U =

∂U ∂U ∂ U
∂x , ∂ y , ∂z


r2
r2
1
1
∂U
∂U
∂U
 r
dx 
dy 
dz = ∫ grad U⋅d r = −∫ E⋅
∂x
∂y
∂z
r
r

d r = dx , dy , dz
r2
U  r2  − U  r1  = −∫ 
E⋅d r
r1
Dieses Linienintegral ist wegunabhängig.
wegen:
Stokes'scher Satz (siehe Übung)
∫ rot a ⋅d f = ∮ a ⋅d r
F
∂F

E ⋅ d f = ∮ 
E ⋅d r = 0
∫ rot

F da rot E
 =0
20
Potenzial des elektrischen Feldes
Eine Ladung Q' sei im Nullpunkt unseres Koordinatensystems. Eine andere Ladung, die
aus dem Unendlichen zum Ort r' gebracht wird, muss die Potenzialdifferenz bewältigen
r '
⋅d r
U  r ' −U ∞=−∫ E
∞
übliche Wahl der Konstanten
r '
U  r '  = −∫ 
E  r ⋅ d r = −
∞
Q'
=−
4  0
U ∞ = 0 , und Q ' im Nullpunkt ,
r '
r ⋅ d r
∫
4  0 ∞ r 3
Q'
r '
dr
Q'
=
∫ r 2 4  r '
∞
0
r⋅d r = x dx ydy zdz=∣r∣∣d r∣
a⋅b=a bcos 
Das ist das elektrische Potenzial am Ort r' erzeugt durch eine Ladung Q' im
Nullpunkt, für eine Ladung Q' an einem beliebigen Ort r erhalten wir
U=
Q'
4  0∣r −r '∣
21
2.2.4 Superpositionsprinzip
Mehrere Punktladungen Qi an Orten ri
●
●
Jede Punktladung erzeugt ein Feld Ei(r) am Ort r
Gesamtfeld E (r)

E  r  = ∑ 
E i  r 
i
mit 
E i  r  =
Q i r − ri
4 0 ∣r − ri∣3
U  r  = ∑ U i  r 
i
Qi
1
U i  r  =
ri∣
4  0 ∣r − 
Ursache ist die Linearität der Maxwellschen Gleichungen. Die Summe von Lösungen
ist wieder Lösung der Maxwellschen Gleichungen.
Für sehr starke Felder treten nichtlineare Effekte auf, in diesen Fällen gilt das
Superpositionsprinzip dann nicht!
22
2.2.5 Raumladungsdichte - Raumladungswolke
d Qi
 r  =
dV
Qi = ∫ r dV
Vi
Ladung dQ im Volumen dV
Die Ladungdichte ist Ladung pro Volumen:
 r  =
dQ
dV
Übergang von diskreten Punktladungen zu Ladungsverteilungen:
U r  = ∑
i
3
Qi
r '  d r '
1
=
∫ ∣r−r '∣
4 0∣r − ri∣
4 0
3
d r ' = dx ' dy ' dz '
1
U  x , y , z =
dx ' dy ' dz '
∫∫∫
4 0
 x ' , y ' , z ' 
 x− x ' 2 y− y ' 2  z− z ' 2
23
2.2.6 Fluss des elektrischen Feldes durch eine Fläche
Fluss des elektrischen Feldes E durch die Oberfläche einer Kugel
∮ E ⋅d f
Ladung im Mittelpunkt einer Kugel
df: Flächenelement ist orientiert in Richtung der Normalen auf der Fläche
Q r
4  0 r 3
Q ∣r∣
Q 1
∣E  r ∣ =
=
4 0 r 3
4 0 r 2
E r  =
konstant auf Kugeloberfläche
E hat Richtung von r, df ebenfalls, E ist parallel zu df
∮ E⋅d f = ∮ E df
F
F
2
= E ∫ df = E 4
r

F
Kugel !
Q


E⋅d
f
=
∮
0
24
Für eine beliebige geschlossene Fläche ist E und die Flächennormale nicht mehr parallel.
Das elektrische Feld E hat die Richtung des Vektors r.
Raumwinkel
d  = sin  d  d 
cos  d f = r 2 d  er
r ⋅d f = r cos ∣d f ∣= r d 
3

E ∥ d f
Skalarprodukt bedeutet Projektion von df auf E
Q
Q
r⋅d f


∮ E⋅d f = 4  ∮ r 3 = 4 
0
0
2
r⋅r d 
Q
∮ r 3 = 4 
0
 2
d=
∮

4
Q
0
∫ ∫ sin  d  d  = 4 
0
0
25
●
Viele Ladungen in geschlossener Fläche
Superposition  E = ∑ Ei
Q = ∑ Qi
i
i
2.2.7 Physikalischer Gaußscher Satz
0 ∮ 
E ⋅ d f = Q
∂V
Der Fluss des E-Feldes durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens V ist
gleich der eingeschlossenen Gesamtladung mal einem Faktor (ε0).
Gauß'scher Satz aus der Mathematik:
∫ div E r  d 3 r = ∮
V
E ⋅d f
S V 
26
Zum Gaußschen Satz
Kann sich eine Punktladung im elektrischen Feld anderer Ladungen in einem
stabilen mechanischen Gleichgewicht befinden?
Stabiles Gleichgewicht für positive Ladung Q (stabil -> E = 0)
+
Es gibt keine stabilen Gleichgewichtspunkte in irgendeinem elektrostatischen Feld, außer genau an der Stelle
einer anderen Ladung.
(-> Atome: dynamisches Gleichgewicht, Elektronen auf Bahnen)
27
Viele Probleme mit Symmetrie lassen sich sehr einfach mit dem Gaußschen Satz lösen.
1.
∞ langer, homogen geladener Stab
λ = Ladung pro Längeneinheit
●
Fluss von E durch Fläche = Ladung im Inneren/ε0

r
●
Q ⋅l


E
⋅d
f
=
E
d
f
=
E
2
r⋅l
=
=
∮
∫
0
0
l
2.
wegen Symmetrie nur radiale Komponente E
E=

2 0 r
1
4 0
Q
r2
r R
1
E=
4 0
1
2
r
Qr
3
R
Die elektrische Feldstärke ist umgekehrt
proportional zum senkrechten Abstand
vom geladenen Stab.
homogen geladene Kugel
E=
R
3
r R
28
3.
homogen geladene dünne Kugelschale
P sei ein Punkt im Inneren einer homogen geladenen Kugelschale.
r1
kleiner Kegel mit Scheitel in P bis zur Kugeloberfläche
df = r2 sinθ dθ dφ
2
r2
df 1 r 1
=
df 2 r 22
Wenn die Kugeloberfläche homogen geladen ist, ist die Ladung dq auf jedem
Flächenelement proportional zum Flächeninhalt
dq 2 df 2
=
dq1
df 1
dq =  df
Nach dem Coulombschen Gesetz stehen die Beträge der Feldstärken, die von
diesen Flächenelementen in P erzeugt werden, im Verhältnis
2
E 2  q2 / r2
=
= 1.
E 1  q1 / r 21
Die Felder kompensieren einander. Das Feld im Inneren einer homogen geladenen
Kugel ist 0. Das ist allerdings nur so, wenn das Coulombgesetz ~ 1/r2 ist, ansonsten
29
verschwindet das elektrische Feld nicht.
B. Franklin hat als erster bemerkt, dass im Inneren eines geladenen hohlen
Körpers E = 0 ist. Er schloss daraus auf die quadratische Abstandsabhängigkeit
des Coulombgesetzes. (Priestley erreichte 1775 gleiches Ergebnis.)
Durch Messung des elektrischen Feldes im inneren eines geladenen Körpers, lässt
sich umgekehrt die Abstandsabhängigkeit des Coulombgesetzes überprüfen.
1
r
2
Maxwell ermittelte:
Plimpton + Laughton 1939:
δ < 10-5
δ < 10-9
Die Gültigkeit des Coulombgesetzes ist bis zu Abständen von 10-15 m gesichert,
darunter scheint es ca. 10 mal zu schwach zu sein (doch keine Punktladungen?).
Benjamin Franklin
17. Januar 1706 in Boston
† 17. April 1790 in Philadelphia
30
2.2.8 Dielektrische Verschiebung
Definition: Vektor der dielektrischen Verschiebung D

D = 0 
E
Aus dem physikalischen und mathematischen Gaußschen Satz erhalten wir:
∮ D ⋅ d f = Q
∫ div D ⋅d 3 r = Q = ∫  r  d 3 r
V
V
da V beliebig ist, muss gelten:
div 
D =  r 
Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes!
31
2.2.9 Grundgleichungen der Elektrostatik im Vakuum
1. rot E = 0
elektrische Felder sind wirbelfrei
1
2. div E = 
0
=
div D
 = 0 E
mit D
Integrale Darstellung:
1.∮ E ⋅d r = 0
1
2.∫ E ⋅d f = Q
0
F
32
1.
ist automatisch erfüllt, da rot grad = 0
E = - grad U
2.
Beide Gleichungen lassen sich zur Poisson-Gleichung umschreiben:
1
r
0
−
U =
lineare, inhomogene, partielle
0
div - gradU  =

2
2
2

−
∂
∂
∂
 2  2 U r  =
2
0
∂x ∂ y ∂z
Differenzialgleichung
Lösung:
1
U r  =
4 0
3
r '  d r '
∫ ∣r −r '∣
falls ρ(r') für alle r' bekannt ist und keine Randbedingungen für U(r) im
Endlichen vorliegen.
33
Randwertproblem der Elektrodynamik
Häufig ist allerdings ρ(r') in einem endlichen Volumen bekannt und die
Werte für U(r) oder deren Ableitungen auf einer Oberfläche gegeben.
Gesucht wird dann U(r) für alle r -> Randwertproblem.
34
Überprüfung der allgemeinen Lösung der Poissongleichung:
1
1
3
d
r
'

r
'




∫
r
∣r −r '∣
4 0
1
1
=− ∫ d 3 r '  r '    r −r '  = −
  r 
0
0
r U  r  =
Siehe z.B. Nolting Bd. 3 Elektrodynamik S. 32
 r −r '  = −
Beweis:
a)
r − r0  = 0
b)
∫d
V
3
1
1

4  ∣r −r '∣
r  r − r0  =
r ≠ r0
{
1 falls r0 ∈V
0 sonst
35