Diplom-Vorprüfung Physik I-III für Ingenieur

Diplom-Vorprüfung Physik I-III
für Ingenieur-Studenten der Fachrichtung
Elektrotechnik
Prüfungstermin : 05.10.2001 , 9.00 - 13.00 Uhr
Name
Vorname
Matrikel-Nummer
Vom Korrektor auszufüllen:
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Punkte
Note :
Universität Ulm
10
11
12
Hinweise zur Bearbeitung der Klausur
Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam durch,
bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.
1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner
zugelassen.
2. Die Klausur umfaßt:
a) 4 Blätter mit 12 Aufgaben und einer Formelsammlung (Konstanten, mathematische
Beziehungen, Formeln), die Sie nach Beendigung der Klausur mitnehmen können.
b) 1 Deckblatt, dieses Hinweisblatt, ein Blatt zur Bearbeitung der Aufgaben 2b) und 7c),
und 15 leere Blätter zur Bearbeitung der restlichen Aufgaben. Lassen Sie diese Blätter
zusammengeheftet und geben Sie sie am Ende der Klausur ab.
3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit
Name, Vorname und Matrikelnummer aus.
4. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der Formelsammlung.
5. Beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt mit Angabe der Aufgabennummer.
Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf dieses Blatt.
Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch.
Sollten Sie ausnahmsweise zur Bearbeitung einer Aufgabe mehrere nicht aufeinanderfolgende Blätter benötigen, so vermerken Sie, wo die Fortsetzung der Aufgabe zu finden
ist.
6. Führen Sie die in Aufgabe 2b) und Aufgabe 7c) verlangten Konstruktionszeichnungen in
den Abbildungen auf der ersten Seite des ausgeteilten Konzeptpapieres aus.
7. Benutzen Sie kein eigenes Konzeptpapier. Sollten Sie weitere leere Blätter zur Bearbeitung
der Klausur benötigen, so erhalten Sie diese von uns.
Viel Erfolg!
Aufgabe 2 b)
(A )
(B )
v
v
0
Aufgabe 7 c)
Z e rs tre u u n g s lin s e
G
F Z'
F
Z
1
Diplom-Vorprüfung Physik I-III
für Ingenieur-Studenten der Fachrichtung Elektrotechnik
Prüfungstermin : 05.10.2001 , 9.00 - 13.00 Uhr
Aufgabe 1 (Mechanik) (6 Punkte)
Auf einer Achterbahn mit Looping wird ein antriebsloser, zunächst ruhender Wagen bei der
Höhe h0 losgelassen (siehe Zeichnung). Reibungseffekte sollen im folgenden vernachlässigt werden.
B
1
h
R
3
0
h
2
4
A
a) Berechnen Sie die momentane Geschwindigkeit v des Wagens als Funktion der Höhe h
und zeichnen Sie das Schaubild der Funktion v(h). Achten Sie auf eine detaillierte Achsenbeschriftung! (2 Punkte)
b) Berechnen Sie die Beschleunigungen aA und aB , die auf den Passagier an den Punkten A
und B zusätzlich zur Erdbeschleunigung wirken, in Abhängigkeit vom Loopingradius R
und der Anfangshöhe h0 . Wie groß muss h0 mindestens sein, damit der nicht angeschnallte
Passagier im Punkt B nicht aus dem Wagen fällt? Wie groß ist dann aA , ausgedrückt durch
die Erdbeschleunigung g, mindestens? (4 Punkte)
Aufgabe 2 (Mechanik) (6 Punkte)
Eine Kugel mit der Masse m1 stoße mit der Geschwindigkeit v0 elastisch auf eine zweite,
zunächst ruhende Kugel mit der Masse m2 . Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß seien v1
und v2 .
a) Zeigen Sie für den Fall m2 = m1 , dass v1 und v2 aufeinander senkrecht stehen.
(Hinweis: Eine kurze, elegante Lösung erhält man unter Zuhilfenahme geeigneter Erhaltungssätze und einer Skizze.) (3 Punkte)
b) Nun gelte m2 = 2m1 . Die nachfolgenden Zeichnung zeigt in (A) den Geschwindigkeitsvektor der ersten Kugel vor dem Stoß und in (B) nach dem Stoß. Konstruieren Sie in
(B) den Geschwindigkeitsvektor v2 der zweiten Kugel. Begründen Sie Ihre Konstruktion!
(2 Punkte)
c) ”Bei einem inelastischen Stoß bleibt die Energie nicht erhalten.” Ist diese Aussage richtig
oder falsch? Begründen Sie Ihre Entscheidung! (1 Punkt)
1
(A )
(B )
v
0
v
1
Aufgabe 3 (Mechanik) (6 Punkte)
Am unteren Ende eines oben fest eingespannten Stabes befinde
sich ein Querbalken der Länge l = 40 cm, an dessen beiden Enden jeweils eine Vollkugel der Masse mK = 1 kg mit Radius r =
10 cm befestigt wird (siehe Abbildung). Bei einer Verdrillung des
Stabes führt die Anordnung eine Drehbewegung um die Stabachse aus. Das zugehörige Trägheitsmoment sei J = JS + JK , wobei
JS das Eigenträgheitsmoment des Stabes inklusive Balken und
JK das gesamte Trägheitsmoment der beiden Kugeln bezeichnet.
r
l
a) Berechnen Sie JK . (2 Punkte)
b) Die Bewegungsgleichung für die Drehbewegung lautet
d2
J 2 ϕ + Dϕ = 0 ,
dt
mit der Winkelrichtgröße D und dem Drehwinkel ϕ. Zeigen Sie mit Hilfe eines geeigneten Lösungsansatzes
für die Bewegungsgleichung, dass die Schwingungsdauer gegeben ist
durch T = 2π J/D. (1,5 Punkte)
c) Eine Messung der Schwingungsdauer ergibt T1 = 2 Sekunden. Nach Entfernen der beiden
Kugeln misst man T2 = 0,5 Sekunden. Berechnen Sie die Winkelrichtgröße D und das
Eigenträgheitsmoment JS . Wenn Sie Aufgabe a) nicht lösen konnten, dann rechnen Sie
mit JK = 0,1 kgm2 . (2,5 Punkte)
Aufgabe 4 (Mechanik) (6 Punkte)
a) Die leere Hülle eines Zeppelins (Luftschiff) und die zu transportierende Last besitzen
zusammen eine Masse von m = 10 t. Wie groß muß sein Volumen V mindestens sein, damit
er nach dem Befüllen mit Heliumgas von der Erdoberfläche abheben kann ? (2 Punkte)
b) Welche maximale Flughöhe h kann er ohne die Unterstützung von Propellern höchstens
erreichen, wenn sein tatsächliches Volumen V = 10.000 m3 beträgt? (2 Punkte)
c) Mit welcher Beschleunigung a steigt der Zeppelin unmittelbar nach dem Abheben von
der Erdoberfläche nach oben? (2 Punkte)
2
Aufgabe 5 (Wärmelehre) (6 Punkte)
Die molare, isochore Wärmekapazität von Kupfer (molare Masse: 63,5 g/mol) ist temperaturabhängig und lässt sich für sehr tiefe Temperaturen beschreiben durch cV (T ) = aT + bT 3 , mit
a = 6, 86 · 10−4 J/(molK2 ) und b = 4, 84 · 10−5 J/(molK4 ). Für hohe Temperaturen T ≥ 400 K
gilt das Dulong-Petitsche Gesetz: cV = 24, 9J/molK.
a) Skizzieren Sie den temperaturabhängigen Verlauf von cV (T ) für 0 ≤ T ≤ 500 K. (1 Punkt)
b) Welche Wärmemenge ist jeweils nötig, um ein Kupferstück der Masse mK = 500 g um
3 K zu erwärmen, wenn die Anfangstemperatur einmal 1 K und einmal 400 K beträgt?
(3,5 Punkte)
c) Leiten Sie mit Hilfe des Begriffs des Freiheitsgrades den Zahlenwert im Dulong-Petitschen
Gesetz her. Genaue Begründung! (1,5 Punkte)
Aufgabe 6 (Wärmelehre) (6 Punkte)
a) Zeichnen Sie folgenden Kreisprozess eines idealen Gases sowohl im pV-Diagramm als auch
im pT-Diagramm:
1. Schritt: Isotherme Expansion von (p0 , V0 , T0 ) nach (p1 , V1 , T1 )
2. Schritt: Isobare Kompression von (p1 , V1 , T1 ) nach (p2 , V2 , T2 )
3. Schritt: Isochore Erwärmung von (p2 , V2 , T2 ) nach (p0 , V0 , T0 )
(3 Punkte)
b) Bei einer isobaren Expansion von 1 kmol Helium (ideales Gas mit cV = 12,47 J/molK)
erhöhe sich seine Temperatur um 50 K. Berechnen Sie die zugeführte Wärme, die Änderung der inneren Energie und die Ausdehnungsarbeit. (3 Punkte)
Aufgabe 7 (Optik) (6 Punkte)
a) Wie nahe darf ein Fotograf mit seiner Kamera an eine 1,80 m große Person höchstens
herantreten, damit dessen Bild noch vollständig auf dem 24 mm hohen Film abgebildet
wird? Die Brennweite des Kameraobjektivs betrage 50 mm. (2,5 Punkte)
b) Die Brennweite einer Sammellinse betrage 50 cm. Eine zweite Linse soll im Abstand von 5
cm hinter die Sammellinse gestellt werden, so dass ein Linsensystem mit einer Brennweite
von 20 cm entsteht. Welchen Linsentyp muss man für die zweite Linse wählen und wie
groß muss ihre Brennweite sein? (1,5 Punkte)
Z e rs tre u u n g s lin s e
c) Konstruieren Sie für die
nebenstehende Anordnung
das von der Zerstreuungslinse erzeugte Bild
B des Gegenstandes G.
(2 Punkte)
G
F Z'
3
F
Z
Aufgabe 8 (Optik) (6 Punkte)
Das linear polarisierte Licht eines Helium-Neon-Lasers mit der Wellenlänge λ = 633 nm falle
in Luft unter einem Winkel α relativ zur Flächennormalen auf eine ebene Glasplatte mit dem
Brechungsindex n = 1,516. Die Einfallsebene werde durch den einfallenden und den reflektierten
Lichtstrahl definiert.
a) Falls das Licht parallel zur Einfallsebene polarisiert ist, wird die Intensität des reflektierten
Lichtstrahls bei einem bestimmten Einfallswinkel α0 gleich Null. Berechnen Sie α0 . Wie
nennt man diesen Winkel? (2 Punkte)
b) Zeichnen Sie die Intensität des reflektierten Laserstrahls als Funktion des Einfallswinkels
α für 0 ≤ α ≤ 90o einmal für eine Polarisation senkrecht, und einmal für eine Polarisation
parallel zur Einfallsebene. (2 Punkte)
c) Wie lässt sich aus linear polarisiertem Licht zirkular polarisiertes Licht herstellen?
Genaue Begründung! (2 Punkte)
Aufgabe 9 (Atomphysik) (5 Punkte)
Zur Zeit t = 0 Uhr Erdzeit passiert ein Raumschiff die Erde mit der Geschwindigkeit v = 0, 8c.
Im Raumschiff werden die Uhren dabei ebenfalls auf t = 0 Uhr gestellt. Zur Raumschiffzeit
t1 = 0.45 Uhr erreicht das Raumschiff eine Weltraumstation, die von der Erde den festen
Abstand s (in Erdkoordinaten) hat und deren Uhren Erdzeit anzeigen. Beim Passieren der
Station sendet das Raumschiff ein Funksignal zur Erde, das von der Erde aufgefangen wird.
a) Welche Zeit t1 zeigen die Uhren der Raumstation beim Passieren des Raumschiffs an?
(2 Punkte)
b) Wie groß ist die Entfernung s der Raumstation von der Erde? (1,5 Punkte)
c) Zu welcher Zeit t2 (Erdzeit) kommt das Funksignal auf der Erde an? (1,5 Punkte)
Aufgabe 10 (Atomphysik) (7 Punkte)
Beim Bohrschen Atommodel nimmt man an, dass sich das Elektron der Masse me auf einer
Kreisbahn um den Kern der Masse mK und der Kernladungszahl Z bewegt. Man kann den
Kern als in Ruhe befindlich betrachten, wenn man me durch die reduzierte Masse µ ersetzt.
Die Quantisierungsbedingung für den Radius rn der n-ten Kreisbahn lautet 2πrn = nλdB (n =
1,2,3...), wobei λdB die de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons mit der reduzierten Masse µ ist.
a) Zeigen Sie, dass der Radius rn der n-ten Bahn und die Geschwindigkeit vn des Elektrons
auf dieser Bahn gegeben sind durch:
rn =
!0 h2
e2 Z 1
2
,
v
=
·
n
· .
n
πe2 Zµ
2!0 h n
(3,5 Punkte)
b) Wie groß ist die Gesamtenergie En = Ekin + Epot des Teilchens auf den n-ten Bahn?
Welche Übergänge n → n beschreibt die Balmer-Serie des H-Atoms? (2,5 Punkte)
c) Zeigen Sie, dass für den Betrag des Elektron-Drehimpulses die Quantisierungsbedingung
Ln = n · h̄ gilt. (1 Punkt)
4
Aufgabe 11 (Atomphysik) (6 Punkte)
Auf eine Lithium-Oberfläche wird Licht der Frequenz ν eingestrahlt, wobei Elektronen ausgelöst
werden. Diese werden durch eine Bremsspannung U abgebremst, bevor sie auf einer Elektrode
detektiert werden und den Strom I erzeugen. In der Grafik ist die Abhängigkeit des detektierten
Stroms von der angelegten Gegenspannung U bei einer konstanten Intensität und Frequenz des
einfallenden Lichts qualitativ dargestellt.
a) Tragen Sie in dieselbe Grafik den qualitativen Verlauf bei doppelter Lichtintensität ein.
(1 Punkt)
b) Zeigt dieses Experiment den Wellencharakter oder den Teilchencharakter von Licht? Wie
wird dies in dem Experiment deutlich? Genaue Begründung! (2 Punkte)
c) Bei einer Wellenlänge des eingestrahlten Lichts von λ = 365 nm ist die Bremsspannung
U0 = 1,05 V, bei der keine Elektronen die Elektrode mehr erreichen. Berechnen Sie die
maximale kinetische Energie der ausgeschlagenen Elektronen Eemax und die Austrittsarbeit WA von Lithium. (3 Punkte)
I
I
-U
0
U
0
Aufgabe 12 (Atomphysik) (6 Punkte)
Man unterscheidet beim radioaktiven Zerfall generell zwischen drei verschiedenen Prozessen:
α-, β − - und γ-Zerfall.
a) Ergänzen Sie die angegebenen unvollständigen Reaktionsgleichungen für den α-, β − - und
γ-Zerfall und benennen Sie jeweils explizit die ausgesandten Teilchen. (3 Punkte)
α :
β− :
γ :
A
ZK →
A
ZK →
A ∗
ZK →
b) Die Energieverteilung der ausgesandten Strahlung einer dieser drei radioaktiven Zerfälle
ist kontinuierlich und nicht diskret, wie in den anderen beiden Fällen. Welcher Zerfall ist
das und warum wurde daraus auf die Existenz eines neuen Elementarteilchens geschlossen? (2 Punkte)
c) Die Halbwertszeit t1/2 kann definiert werden als die Zeit, in der die Aktivität A(t) =
A0 exp(−λt) auf die Hälfte abfällt. Leiten Sie daraus den Zusammenhang zwischen der
Halbwertszeit t1/2 und der Zerfallskonstante λ her. (1 Punkt)
5
Konstanten:
Elektronenmasse: me = 9, 11 · 10−31 kg
Protonenmasse : mp = 1, 67 · 10−27 kg
Elementarladung : e = 1, 60 · 10−19 C
Lichtgeschwindigkeit : c = 3 · 108 ms−1
Faraday-Konstante : F = 9, 65 · 104 Cmol−1
Avogadro-Konstante : NA = 6, 023 · 1023 mol−1
Planck-Konstante : h = 6, 63 · 10−34 Js
Boltzmann-Konstante : kB = 0, 086 · 10−3 eVK−1
Mag. Feldkonstante : µ0 = 4π · 10−7 VsA−1 m−1
El. Feldkonstante : !0 = 8, 8542 · 10−12 CV−1 m−1
Rydberg-Konstante : Ry = 13, 6 eV
Gaskonstante : R = 8, 314 JK−1 mol−1
Erdbeschleunigung : g = 9, 81 ms−2
Gravitationskonstante: γ = 6, 67 · 10−11 m3 kg−1 s−2
Masse der Erde: mE = 5, 974 · 1024 kg
Radius der Erde: RE = 6378 km
Viskosität von Wasser : η = 1, 00 · 10−3 Pa·s
Luftdruck auf der Erdoberfläche : p0 = 1,013 bar
Dichte von Eis : ρE = 0, 92 gcm−3
Spez. Schmelzwärme Eis : QE = 334 kJkg−1
Dichte von Wasser : ρW = 1, 00 gcm−3
Spez. Wärmekapazität Wasser : cW = 4, 18 kJkg−1 K−1
Dichte von Stahl : ρS = 7, 8 · 103 kg/m3
Spez. Wärmekapazität Stahl : cS = 0, 50 kJkg−1 K−1
Wärmeleitfähigkeit Stahl λS = 15 Wm−1 K−1
Längenausdehnungskoeff. Stahl : αS = 16 · 10−6 K−1
Dichte von Luft : ρL = 1,29 kg/m3
Dichte von Helium : ρHe = 0,18 kg/m3
1 Joule (J) = 6,24·1018 eV
1 bar = 105 Pa
Mathematische Beziehungen:
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
α+β
α−β
sin α + sin β = 2 sin
cos
2
2
6
Formeln:
Volumen einer Kugel: V = 4πr3 /3
Kreisfläche : A = r2 π
Kreisumfang : U = 2πr,
Vollzylinder : J = mr2 /2
Dünnwandiger Hohlzylinder : J = mr2
Kugel : J = 2mr2 /5
Quader : J = m(a2 + b2 )/12
Trägheitsmomente
bzgl. Symmetrieachse:
m1 m2
r2
1 q1 q2
1 q1 q2
Coulomb-Kraft : FC =
,
Coulomb-Energie : Epot =
2
4π!0 r
4π!0 r
Auftriebskraft : FA = V 3g , 3 : Dichte des umgebenden Mediums
Gravitationsgesetz : FG = γ
Bernoulli-Gleichung : p + 3v 2 /2 + ρgh = konst.
Barometrische Höhenformel : 3(h) = 30 exp(−30 gh/p0 )
Reibungsgesetz von Stokes : FR = 6πηrv
Zustandsgleichung realer Gase : (p + an2 /V 2 )(V − bn) = nRT
Wärmestrom bei Wärmeleitung: ∆Q/∆t = λA∆T /∆x
Molare Wärmekapazität bei konst. Volumen : cV = Anz.F reiheitsgrade × R/2
Differenz der molaren Wärmekapazitäten bei idealen Gasen : cP − cV = R
Innere Energie eines idealen Gases : U = ncV T
Adiabatische Zustandsänderung eines idealen Gases : pV κ = const.
+ v × B)
Lorentz-Kraft : FL = q(E
Zentrifugalkraft : FZ = mω 2 r = mv 2 /r
Resultierende Brennweite f von zwei Linsen im Abstand e :
Relativistische kinetische Energie :
Geschwindigkeitsabhängige Masse :
Zeitdilatation :
∆t = Ekin = (m − m0 )c2
m0
m= 1 − v 2 /c2
∆t
1 − v 2 /c2
l = l 1 − v 2 /c2
h
de-Broglie-Wellenlänge : λdB =
p
m1 m2
Reduzierte Masse : µ =
m1 + m2
Längenkontraktion :
7
1
1
1
e
=
+
−
f
f1 f2 f1 f2