Exponentialverteilung - TU Bergakademie Freiberg

Exponentialverteilung
X ∼ Exp(λ).
Bezeichnung:
Dichtefunktion:
(λ > 0)
Verteilungsfunktion:
{
λ · e−λt
f (t) =
0
:t≥0
:t<0
{
1 − e−λt
F (t) =
0
:t≥0
:t<0
Kenngrößen:
Median(X) =
ln 2
,
λ
EX =
1
λ
und
VarX =
1
λ2
Eigenschaften: Verteilung ohne Gedächtnis“, d.h
”
P (X ≥ x + t|X ≥ x) = P (X ≥ t)
(Markov–Eigenschaft)
Die Summe unabhängiger und identisch exponentialverteilter Zufallsgrößen ist
gammaverteilt.
Anwendungen:
• Der Abstand zwischen zwei Ereignissen eines homogenen Poisson-Prozesses mit
Intensität λ ist exponentialverteilt mit Parameter λ. Für diesen homogenen PoissonProzess ist die Anzahl der Ereignisse im Intervall [0, t] poissonverteilt mit Parameter λ · t (Nt ∼ Poi(λ · t)). Weiter sind, gegeben Nt = n, die Punkte des
homogenen Poisson-Prozesses gleichverteilt auf [0, t].
• Anwendung findet die Exponentialverteilung als Lebensdauerverteilung (ohne
Alterung), in der Zuverlässigkeitstheorie und in der Bedienungstheorie.
Beispiele: X ∼ Exp(λ)
Verteilungsfunktionen
1.0
0.6
Dichtefunktionen
0.8
F(t)
0.3
0.4
λ = 0.25
λ = 0.5
λ = 0.75
λ=2
0.2
0.2
0.0
0.1
0.0
f(t)
0.6
0.4
0.5
λ = 0.25
λ = 0.5
λ = 0.75
λ=2
0
1
2
3
4
5
6
0
t
1
2
3
t
26
4
5
6
Normalverteilung
Bezeichnung:
Dichtefunktion:
X ∼ N(µ, σ 2 ).
(σ > 0)
1 t−µ 2
1
f (t) = √ e− 2 ( σ )
σ 2π
Momente:
EX = µ
und
VarX = σ 2
Eigenschaften:
Die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen ist normalverteilt:
Xi ∼
N(µi , σi2 )
i = 1, . . . , n =⇒
n
X
2
Xi ∼ N(µ, σ ) mit µ =
i=1
n
X
2
µi , σ =
i=1
n
X
σi2 .
i=1
Anwendung: Viele Verfahren der Statistik basieren auf dieser Verteilung. Auch ist die
Normalverteilung eine wichtige Näherungsverteilung (Zentraler Grenzwertsatz).
Beispiele: X ∼ N(3, 0.36)
Standardnormalverteilung
Ist X normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 (X ∼ N(µ, σ 2 )) dann ist
Y =
X −µ
σ
standardnormalverteilt,
d.h. normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 1 (Y ∼ N(0, 1)).
Verteilungsfunktion: Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird
mit Φ bezeichnet und ist vertafelt.
Weibull-Verteilung
X ∼ Wei(α, β, m).
Bezeichnung:
Parameter:
α:
Verschiebungsparameter (Lageparameter)
β > 0 : Skalenparameter und m > 0 : Formparameter
Bemerkung: Ist α = 0, so spricht man von der 2-parametrigen Weibullverteilung.
 ( )
 m t−α m−1
Dichtefunktion:
f (t) =
β
β
0
(
)
m
exp −( t−α
)
:t>α
β
:t≤α
Verteilungsfunktion:
F (t) =
)
(
{
t−α m
:t>α
1 − exp −( β )
:t≤α
0
Kenngrößen:
(
)
1
Median(X) = α + β · (ln 2)
und
EX = α + β · Γ 1 +
m
( (
) ( (
))2 )
2
1
VarX = Γ 1 +
− Γ 1+
β2
mit Γ der Gammafunktion.
m
m
1
m
Anwendung: In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull-Verteilung
Anwendung als eine spezielle Partikelgrößenverteilung. Hier wird sie auch als RRSBVerteilung (nach Rosin, Rammler, Sperling und Bennet) bezeichnet. Eine Weibullverteilung kann als Grenzverteilung für das Minimum einer großen Zahl von unabhängigen
Zufallsgrößen auftreten (Verteilung des schwächsten Kettengliedes), deshalb sind
Lebensdauern von Sytemen oft weibullverteilt.
Beispiele: X ∼ Wei(0, 1, m)
1.0
Verteilungsfunktionen
2.5
Dichtefunktionen
0.8
0.6
0.4
0.2
m = 0.5
m=1
m = 1.5
m=5
0.0
0.0
0.5
1.0
f(t)
F(t)
1.5
2.0
m = 0.5
m=1
m = 1.5
m=5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.0
t
0.5
1.0
1.5
t
28
2.0
2.5
3.0