Stetige Gleichverteilung auf [a, b]

2.2.2
Stetige Verteilungen
Stetige Gleichverteilung auf [a, b]
Bezeichnung:
X ∼ U[a, b].
Dichtefunktion:
(a < b)
(
f (t) =
Verteilungsfunktion:
1
b−a
0


0
F (t) =
t−a
 b−a
Median(X) = EX =
a+b
2

1
:a≤t≤b
: sonst
:t<a
:a≤t≤b
:t>b
Kenngrößen:
und
VarX =
(a − b)2
12
Eigenschaften: nichtinformative Verteilung
Anwendung:
• Grundlage für die Erzeugung von Zufallszahlen
• In allen Teilintervalle von [a, b], mit gleicher Länge, liegt die gleichverteilte Zufallsvariable mit derselben Wahrscheinlichkeit.
Beispiel: X ∼ U[2, 4]
Normalverteilung
X ∼ N(µ, σ 2 ).
Bezeichnung:
Dichtefunktion:
(σ > 0)
1 t−µ 2
1
f (t) = √ e− 2 ( σ )
σ 2π
Kenngrößen:
Median(X) = EX = µ
VarX = σ 2
und
Eigenschaften:
• Die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen ist normalverteilt:
Xi ∼ N(µi , σi2 ) i = 1, . . . , n =⇒
n
X
Xi ∼ N(µ, σ 2 ) mit µ =
i=1
n
X
µi , σ 2 =
i=1
n
X
σi2 .
i=1
• Die standardisierte Summe unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen X1 , X2 , . . .
konvergiert in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung (Zentraler Grenzwertsatz).
Anwendungen:
• Die Normalverteilung eine wichtige Näherungsverteilung (Zentraler Grenzwertsatz).
• Zufällige Messfehler sind oft (zumindest näherungsweise) normalverteilt.
• Die zufällige Abweichungen vom Sollmaß beim Fertigen von Werkstücken ist oft
(zumindest näherungsweise) normalverteilt.
• Viele Verfahren der Statistik basieren auf dieser Verteilung.
Beispiele: X ∼ N(µ, σ 2 )
Verteilungsfunktionen
0.7
1.0
Dichtefunktionen
0.8
0.4
0.3
f(t)
F(t)
0.4
0.6
0.5
0.6
µ = 0, σ2 = 1
µ = 0, σ2 = 3
µ = − 2, σ2 = 1
µ = − 2, σ2 = 0.4
0.0
0.0
0.1
0.2
0.2
µ = 0, σ2 = 1
µ = 0, σ2 = 3
µ = − 2, σ2 = 1
µ = − 2, σ2 = 0.4
−6
−4
−2
0
t
2
4
6
−6
−4
−2
0
t
2
4
6
Standardnormalverteilung
Ist X normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 (X ∼ N(µ, σ 2 )) dann ist
Y =
X −µ
σ
standardnormalverteilt,
d.h. normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 1 (Y ∼ N(0, 1)).
Verteilungsfunktion: Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird
mit Φ bezeichnet und ist vertafelt.
Logarithmische Normalverteilung
X ∼ LogN(µ, σ 2 ).
Bezeichnung:
Dichtefunktion:
(σ > 0)
(
f (t) =
1 ln t−µ 2
1
√
e− 2 ( σ )
σt 2π
:t>0
0
:t≤0
Kenngrößen:
Median(X) = eµ ,
EX = eµ+
σ2
2
VarX = e2µ+σ
und
³
2
´
2
eσ − 1
ln X ∼ N(µ, σ 2 ).
Eigenschaften:
Anwendungen:
• bei Zeitstudien und Lebendaueranalysen in ökonomoischen,
technischen und biologischen Vorgängen;
• bei Untersuchungen in der analytischen Chemie, wie Konzentrationsund Reinheitsprüfungen;
• für zufällige nichtnegative Materialparameter, z.B. Permeabilitäten;
• als Grenzverteilung für Produkte unabhängiger positiver Zufallsgrößen
(unter bestimmten Bedingungen).
Beispiel: X ∼ LogN(0, σ 2 )
Verteilungsfunktionen
3.0
1.0
Dichtefunktionen
0.8
0.6
F(t)
1.5
0.4
σ=3
σ = 1.5
σ=1
σ = 0.5
σ = 0.25
σ = 0.125
0.2
1.0
0.0
0.5
0.0
f(t)
2.0
2.5
σ=3
σ = 1.5
σ=1
σ = 0.5
σ = 0.25
σ = 0.125
0
1
2
3
t
4
5
0
1
2
3
t
4
5
Exponentialverteilung
Bezeichnung:
X ∼ Exp(λ).
Dichtefunktion:
(λ > 0)
(
λ · e−λt
0
:t≥0
:t<0
(
1 − e−λt
F (t) =
0
:t≥0
:t<0
f (t) =
Verteilungsfunktion:
Kenngrößen:
ln 2
1
1
, EX =
und VarX = 2
λ
λ
λ
Eigenschaften: Verteilung ohne Gedächtnis“, d.h
”
P (X ≥ x + t|X ≥ x) = P (X ≥ t)
(Markov–Eigenschaft)
Median(X) =
Die Summe unabhängiger und identisch exponentialverteilter Zufallsgrößen ist
Gammaverteilt.
Anwendungen:
• Der Abstand zwischen zwei Ereignissen eines homogenen Poisson-Prozesses mit
Intensität λ ist exponentialverteilt mit Parameter λ. Für diesen homogenen PoissonProzess ist die Anzahl der Ereignisse im Intervall [0, t] poissonverteilt mit Parameter λ · t (Nt ∼ Poi(λ · t)). Weiter sind, gegeben Nt = n, die Punkte des
homogenen Poisson-Prozesses gleichverteilt auf [0, t].
• Anwendung findet die Exponentialverteilung als Lebensdauerverteilung (ohne
Alterung), in der Zuverlässigkeitstheorie und in der Bedienungstheorie.
Beispiele: X ∼ Exp(λ)
Verteilungsfunktionen
1.0
0.6
Dichtefunktionen
0.8
F(t)
0.3
0.4
λ = 0.25
λ = 0.5
λ = 0.75
λ=2
0.2
0.2
0.0
0.1
0.0
f(t)
0.6
0.4
0.5
λ = 0.25
λ = 0.5
λ = 0.75
λ=2
0
1
2
3
t
4
5
6
0
1
2
3
t
4
5
6
Gammaverteilung
Bezeichnung:
Parameter:
X ∼ Gam(p, λ).
λ > 0 : Skalenparameter
p > 0 : Formparameter
Dichtefunktion:
(
f (t) =
λp p−1
t
Γ(p)
exp (−λt) : t > 0
0
:t≤0
Mit Γ der Gammafunktion:
Z ∞
Γ(p) =
exp(−t)tp−1 dt p > 0
(damit ist Γ(1) = 1 und Γ(n) = (n−1)! für n ∈ N).
0
Momente:
EX =
p
λ
und
p
λ2
VarX =
Eigenschaften:
• X1 ∼ Gam(p1 , λ), X2 ∼ Gam(p2 , λ), unabhängig
=⇒ X1 + X2 ∼ Gam(p1 + p2 , λ)
• Xi ∼ Exp(λ), i = 1, . . . , n, unabhängig
=⇒
n
X
Xi ∼ Gam(n, λ)
i=1
Spezialfall: Erlangverteilung falls p = n ∈ N.
Anwendung: Lebensdauerverteilung.
Beispiele: X ∼ Gam(p, λ)
Verteilungsfunktionen
1.0
1.0
Dichtefunktionen
0.8
p = 0.5, λ = 1
p = 0.5, λ = 2
p = 1, λ = 1
p = 1, λ = 2
p = 2, λ = 1
p = 2, λ = 2
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
f(t)
F(t)
0.6
0.6
0.8
p = 0.5, λ = 1
p = 0.5, λ = 2
p = 1, λ = 1
p = 1, λ = 2
p = 2, λ = 1
p = 2, λ = 2
0
1
2
3
t
4
5
0
1
2
3
t
4
5
Weibull-Verteilung
Bezeichnung:
Parameter:
X ∼ Wei(α, β, m).
α:
Verschiebungsparameter (Lageparameter)
β > 0 : Skalenparameter und m > 0 : Formparameter
Bemerkung: Ist α = 0, so spricht man von der 2-parametrigen Weibullverteilung.
 ³ ´
 m t−α m−1
Dichtefunktion:
f (t) =
β
β
0
:t≤α
(
Verteilungsfunktion:
F (t) =
´
³
m
)
:t>α
exp −( t−α
β
³
´
t−α m
:t>α
1 − exp −( β )
0
:t≤α
Kenngrößen:
µ
¶
1
Median(X) = α + β · (ln 2)
und
EX = α + β · Γ 1 +
m
à µ
¶ µ µ
¶¶2 !
2
1
VarX = Γ 1 +
− Γ 1+
β2
mit Γ der Gammafunktion.
m
m
1
m
Anwendung: In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull-Verteilung
Anwendung als eine spezielle Partikelgrößenverteilung. Hier wird sie auch als RRSBVerteilung (nach Rosin, Rammler, Sperling und Bennet) bezeichnet. Eine Weibullverteilung kann als Grenzverteilung für das Minimum einer großen Zahl von unabhängigen
Zufallsgrößen auftreten (Verteilung des schwächsten Kettengliedes), deshalb sind
Lebensdauern von Sytemen oft weibullverteilt.
Beispiele: X ∼ Wei(0, 1, m)
1.0
Verteilungsfunktionen
2.5
Dichtefunktionen
0.8
0.6
0.4
0.2
m = 0.5
m=1
m = 1.5
m=5
0.0
0.0
0.5
1.0
f(t)
F(t)
1.5
2.0
m = 0.5
m=1
m = 1.5
m=5
0.0
0.5
1.0
1.5
t
2.0
2.5
0.0
0.5
1.0
1.5
t
2.0
2.5
3.0
Fréchet-Verteilung
Bezeichnung:
Parameter:
X ∼ Fre(α, β, m).
α:
Verschiebungsparameter (Lageparameter)
β > 0 : Skalenparameter
m > 0 : Formparameter
Dichtefunktion:
f (t) =
 ³ ´−(m+1)
 m t−α
β
β
0
³
´
−m
exp −( t−α
)
:t>α
β
:t≤α
Verteilungsfunktion:
(
F (t) =
³
exp
−m
)
−( t−α
β
´
:t>α
0
:t≤α
Kenngrößen: (mit Γ der Gammafunktion)
(
¡
µ
¶1
α+β·Γ 1−
1 m
Median(X) = α + β ·
und EX =
ln 2
∞
´
(³ ¡
¢
¡
¡
¢¢
2
Γ 1 − m2 − Γ 1 − m1
β2 : m > 2
VarX =
∞
: sonst
1
m
¢
:m>1
: sonst
Anwendung: Als eine Extremwertverteilung ist sie eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik.
Beispiele: X ∼ Fre(0, β, m)
1.0
Verteilungsfunktionen
1.2
Dichtefunktionen
0.8
F(t)
0.6
0.4
β = 1, m = 1
β = 1, m = 2
β = 1, m = 3
β = 2, m = 1
β = 2, m = 2
β = 2, m = 3
0.2
0.4
0.0
0.2
0.0
f(t)
0.6
0.8
1.0
β = 1, m = 1
β = 1, m = 2
β = 1, m = 3
β = 2, m = 1
β = 2, m = 2
β = 2, m = 3
0
1
2
3
t
4
5
0
1
2
3
t
4
5
Gumbel-Verteilung
Bezeichnung:
Parameter:
X ∼ Gum(α, β).
α:
Verschiebungsparameter (Lageparameter)
β > 0 : Skalenparameter
Dichtefunktion:
f (t) =
− t−α
1 − t−α
β
e β e−e
β
Verteilungsfunktion:
−e
F (t) = e
− t−α
β
Kenngrößen:
EX = α + βγ
mit γ ≈ 0, 5772 der Euler-Mascheroni-Konstante.
β 2π2
Median(X) = α − β ln(ln(2)) und VarX =
6
Anwendung: Als eine Extremwertverteilung z.B. in:
- der Wasserwirtschaft (für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten),
- der Verkehrsplanung,
- der Meteorologie,
- der Hydrologie.
Beispiele: X ∼ Gum(α, β)
Verteilungsfunktionen
0.6
1.0
Dichtefunktionen
0.8
F(t)
0.4
0.3
0.2
α = 0, β = 0.7
α = 0, β = 1
α = 0, β = 2
α = 1.5, β = 1
0.2
0.1
0.0
0.0
f(t)
0.6
0.4
0.5
α = 0, β = 0.7
α = 0, β = 1
α = 0, β = 2
α = 1.5, β = 1
−2
−1
0
1
t
2
3
4
−2
−1
0
1
t
2
3
4