¨Ubungen zur Vorlesung ” Lineare Algebra“

Prof. Dr. H. Dinges
Übungen zur Vorlesung
SS 2009
Blatt 2:
”
Lineare Algebra “
ez+w = ez · ew
http://ismi.math.uni-frankfurt.de/dinges/teaching/
Datum: April 2009
Abgabe: 5. Mai 2009
(Spezielle inverse Matrizen)
(3 Punkte)
"
b
eine Matrix mit ganzzahligen Einträgen und ad−bc = 1.
d
auch die inverse Matrix ganzzahlige
Einträge hat.


1 a b
Berechnen Sie die Inverse der Matrix0 1 c .
0 0 1
Aufgabe 10 :
!
a
a) Sei A =
c
Zeigen Sie, dass
b)
Aufgabe 11 : (‘Quaternionen’)
(2 Punkt)
Wir multiplizieren komplexe 2 × 2-Matrizen von einer speziellen Gestalt
!
"!
" !
"
a b
c d
e f
=
−b̄ ā
−d¯ c̄
? ?
Berechnen Sie die Zahlen e und f sowie die beiden fehlenden Einträge in der
Produktmatrix!
Zeigen Sie, dass jede dieser speziellen Matrizen mit Ausnahme der Nullmatrix
invertierbar ist.
Aufgabe 12 : (Zwölfte Einheitswurzeln)
Berechnen Sie das Quadrat und die dritte Potenz von
z0 =
1 √
1
· 3 + i = r · eiϕ
2
2
Aufgabe 14 :
(3 Punkte)
z
Bekanntlich definiert man e auch für komplexe Argumente z. Es gilt
(2 Punkte)
(Zeichnung)
Was sind r und ϕ?
Hinweis: Am gleichseitigen Dreieck liest man ab: sin(30◦ ) = sin( π6 ) = 12 .
für alle z, w ∈ C .
Man definiert dann für komplexes z
cos z =
(
1 ' iz
e + e−iz ;
2
sin z =
Zeigen Sie die Additionstheoreme
(
1 ' iz
e − e−iz .
2i
cos(z + w) = cos z · cos w − sin z · sin w
sin(z + w) = sin z · cos w + cos z · sin w .
Zeigen Sie weiter
sin(z +
π
) = cos z;
2
sin2 (z) + cos2 (z) = 1.
S-Aufgabe 15 : (Transponierte Matrizen)
(4 Punkte)
Sei A eine reelle I ×J-Matrix. A = (aij ). Man definiert dazu die transponierte
Matrix AT . Dies ist die J × I-Matrix B mit den Einträgen bji = aij (für
i ∈ I , j ∈ J).
Seien M und N Matrizen, für welche M · N definiert ist (wo also die Formate
passen). Zeigen Sie (M · N )T = N T · M T .