Klausur: Theoretische Physik IV

Theoretische Physik
Universität des Saarlandes
Prof. Dr. Ludger Santen
http://www.uni-saarland.de/fak7/rieger/santen/
Klausur: Theoretische Physik IV
Sommersemester 2006
Zur Bearbeitung stehen Ihnen 150 Minuten zur Verfügung. Bitte verwenden Sie außer Schreibzeug und
Papier keine Hilfsmittel (d. h. keine Bücher, Skripten, Taschenrechner, Laptops, Handys usw.). Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe eine neue Seite.
Hinweis (für alle Aufgaben): β = k 1T .
B
1. Kurzfragen
2+2+2+2+2=10 Punkte
a) Welche Größe hat in der mikrokanonischen Gesamtheit die gleiche Rolle wie die Zustandssumme in
der kanonischen Gesamtheit? Geben Sie die Definition der Entropie im mikrokanonischen Ensemble
an. Welche Annahme für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Mikrozustandes muss man
treffen, damit der Anschluss an die Thermodynamik gewährleistet ist?
b) Geben Sie den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik an.
c) Zwei verschiedene ideale Gase mit N/2 Teilchen seien bei gleichem Druck und gleicher Temperatur
in Teilvolumina V1 und V2 mit V1 = V2 eingeschlossen. Die Teilvolumina seien durch eine Wand abgetrennt. Wie ändert sich die Entropie bei der Durchmischung der beiden Gase, wenn die Trennwand
entfernt wird? (Wir setzen dabei voraus, dass die Entropien vor dem Entfernen der Wand in beiden
Teilvolumina identisch sind). Was ändert sich, wenn wir nur eine Teilchensorte betrachten?
d) Geben Sie den Ausdruck für die klassische kanonische Zustandssumme eines wechselwirkenden
Systems ununterscheidbarer Teilchen an, wobei Sie die thermische de Broglie-Wellenlänge verwenden sollen.
e) Geben Sie für ein ideales Fermi-Gas den Ausdruck für die Fermi-Energie in Abhängigkeit von
der Dichte des Systems an und beschreiben Sie die Voraussetzungen für die Anwendung der
Sommerfeld-Näherung.
2. Kreisprozess
5+3+1+2=11 Punkte
Ein ideals Gas durchlaufe den skizzierten quasistatischen
p
Kreisprozess, wobei
1 → 2 und 3 → 4 Isothermen und
2 → 3 und 4 → 1 Isochoren sind.
1
T2
4
2
T1
a) Welche Wärme muss zugeführt,
welche muss abgeführt werden?
3
b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad in Abhängigkeit der
Ti , Vi und von CV .
V1
V2
V
c) Skizzieren Sie das T -S-Diagramm des Prozesses.
d) Ist der Prozess für ein einatomiges oder ein zweiatomiges ideales Gas effizienter (mit Begründung)?
Hinweis: Berücksichtigen Sie für das zweiatomige Gas die Translations- und Rotationsfreiheitsgrade
der Moleküle.
3. Freie Ising-Spins im Magnetfeld
2+2+4+1+1=10 Punkte
Wir betrachten ein System von N unterscheidbaren Teilchen, die sich in zwei Zuständen befinden können.
Der Hamilton-Operator sei
N
H = −h ∑ σi
h = − µB H
,
i=1
und
σi = ±1 .
Führen Sie alle Rechnungen im kanonischen Ensemble durch und setzen Sie in der Zustandssumme
den Korrekturfaktor α := 1 (unterscheidbare Teilchen).
(k)
a) Berechnen Sie die kanonische N -Teilchen-Zustandssumme ZN .
b) Berechnen Sie die freie Energie F .
c) Gewinnen Sie aus F die Magnetisierung M = ∑N
i=1 σi .
Hinweis: Bestimmen Sie M als geeignete Ableitung von F .
d) Skizzieren Sie M(h)/N bei konstanter Temperatur T für große und kleine Temperaturen.
e) Berechnen Sie die Suszeptibilität χ =
¯
∂M ¯
∂ h ¯h=0 .
4. Harmonischer Oszillator
3+1+4=8 Punkte
Ein thermodynamisches System bestehe aus einem linearen harmonischen Oszillator der Frequenz ω .
Die Energie-Eigenwerte sind
εm = h̄ω (m + 1/2) , m = 0, 1, 2, . . .
(k)
a) Berechnen Sie die kanonische Ein-Teilchen-Zustandssumme Z1 .
b) Berechnen Sie die freie Energie F .
h
β h̄ω
Kontrollergebnis: F = kB T ln 2 sinh 2
i
.
c) Berechnen Sie die spezifische Wärme CV .
5. Klassisches ideales Gas im kanonischen Ensemble
3+2+2+3=10 Punkte
Gegeben sein ein klassisches ideales Gas aus N ununterscheidbaren Teilchen im Volumen V .
(k)
a) Berechnen Sie die kanonische N -Teilchen-Zustandssumme ZN .
b) Berechnen Sie die freie Energie F und verwenden Sie dazu die Stirling-Formel in führender Ordnung.
c) Bestimmen Sie aus der freien Energie die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases.
d) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Energie E = hH i, indem Sie die Mittelwertbildung explizit ausführen.
6. Ideales eindimensionales Fermi-Gas
2+1+6=9 Punkte
a) Berechnen Sie die Zustandsdichte D(ε ) des eindimensionalen idealen Fermi-Gases.

d √1 , falls ε ≥ 0
1 ε
Kontrollergebnis: D1 (ε ) =
.
0
sonst
R∞
b) Drücken Sie die Konstante d1 über die Fermi-Energie EF aus, sodass N = −∞ dε D1 (ε ) für T = 0
gilt.
Kontrollergebnis: d1 = 2√NE .
F
c) Berechnen Sie das Tieftemperaturverhalten des chemischen Potentials µ in führender Ordnung in
der Temperatur T .
Hinweise: Sommerfeld-Entwicklung anwenden.
Die Gleichung dritten Grades für µ muss nicht gelöst werden.
7. Bose-Gas in zwei Dimensionen in einem Parabel-Potential
4+4+4=12 Punkte
Wir betrachten N Bosonen in einem harmonischen Potential (Parabel-Potential) in zwei Dimensionen. Die
entsprechende Zustandsdichte ist dann
D(ε ) =


V
ε
(h̄ω )2
0
, falls ε ≥ 0
N = hN̂i =
sodass
sonst
Z ∞
−∞
dε D(ε ) f+ (ε ) .
Die Funktionswerte ζ (2) und ζ (3) der ζ -Funktion müssen nicht weiter vereinfacht werden.
a) Berechnen Sie die kritische Temperatur Tc für eine Bose-Einstein-Kondensation des Systems.
Hinweis: Berechnen Sie dazu die Teilchenzahldichte n im Bereich T > Tc ,
die durch n · (h̄ωβ )2 = g2 (z) gegeben ist.
b) Bestimmen Sie die thermische Zustandsgleichung für T ≤ TC .
CV
c) Berechnen Sie die spezifische Wärme Nk
für T > Tc .
B
8. Störungstheorie
6+4=10 Punkte
Gegeben sei der Hamilton-Operator des linearen harmonischen Oszillators in der Form
H = H0 + H1 ,
H0 =
p2
2m
+
mω 2 q2
2
und
H1 = α
mω 2 q 2
2
mit
|α | < 1 .
Das ungestörte Problem (α = 0), haben Sie bereits in Aufgabe 4 exakt gelöst:
·
¸
β h̄ω −1
Z0 = 2 sinh
2
und
·
¸
β h̄ω
F0 = kB T ln 2 sinh
.
2
a) Wenden Sie nun auf den vollen Hamilton-Operator H Störungstheorie erster Ordnung an.
Berechnen Sie also die freie Energie F in erster Ordnung in α .
−x(n+1/2) = 1 cosh(x/2) .
1
Hinweis: ∑∞
n=0 (n + /2)e
4 sinh2 (x/2)
b) Das volle Problem kann durch Substitution von ω in H0 auf den ungestörten Fall zurückgeführt
werden und ist damit exakt lösbar.
Zeigen Sie, dass für kleine α und hohe Temperaturen die erste Ordnung Störungstheorie das korrekte Resultat liefert.