Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
I Grundlagen
1 Bestimmte und allgemeine Zahlen . . . . . . . . . . . . .
1.1
Geschichtliches, Zahldarstellung, Zahlensysteme . .
1.1.1 Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Zahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Bestimmte Zahlen, allgemeine Zahlen . . . . . . . . . .
1.2.1 Bestimmte Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Allgemeine Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Grundrechenarten für ganze Zahlen . . . . . . . . . . .
1.3.1 Die Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Die Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Die Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Das Quadrat einer Zahl, der Potenzbegriff .
1.3.5 Die Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Brüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Dezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . .
1.5.2 Direkte und indirekte Proportionalität . . .
1.5.3 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21
2 Klammern, Terme, Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Einführung in die Klammerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mehrere Klammern, Schachtelungen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Terme, Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Definition des Begriffes Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Erklärung der Summe, Summanden . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Addition und Subtraktion zweier Summen . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Multiplikation einer Summe mit einer Zahl, Ausklammern
eines Faktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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II
Inhaltsverzeichnis
2.2.5
2.2.6
2.2.7
2.2.8
2.3
Multiplikation zweier Summen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Division einer Summe durch eine Zahl, Kürzen . . . . .
Division einer Summe durch eine Summe, Bruchterme,
Zerlegen in Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Relationen und Operationen mit Mengen
3.3
Aussagen und Aussageformen . . . . . . . .
3.4
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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II Funktionen und Gleichungen
4 Lineare Gleichungen, Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Bedeutung der Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Einteilung der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4.1 Identische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4.2 Funktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4.3 Bestimmungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Das Lösen von Bestimmungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten . . . . . . . . . .
4.2.2 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten . . . . . . . .
4.2.3 Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten . . . . . . . .
4.2.4 n lineare Gleichungen mit n Unbekannten . . . . . . . . . . . .
4.3
Gleichungssysteme und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Zweireihige Determinanten, Cramer-Regel . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Dreireihige Determinanten, Regel von Sarrus . . . . . . . . . .
4.3.3 Determinantengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 n-reihige Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Rechengesetze für Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4.1 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen . . . . .
4.4.4.2 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen . . . . .
4.4.4.3 Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen
4.5
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81
Inhaltsverzeichnis
III
5 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Definition und Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2.1 Die Funktionstafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2.2 Die Funktionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2.3 Die Funktionskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Die lineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Definition und graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Graphische Lösung einer linearen Gleichung . . . . . . . . . .
5.2.3 Graphische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit
zwei Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Anwendungsbezogene Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
108
113
115
6 Potenzrechnung, die Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . .
6.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Begriff der Potenz, Definitionen . . . . . . . . .
6.1.2 Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Potenzgesetze (Rechengesetze der Potenzen) . . . . . .
6.2.1 Addition/Subtraktion von Potenzen . . . . . .
6.2.2 Multiplikation von Potenzen . . . . . . . . . . .
6.2.2.1 Potenzen mit gleichen Exponenten .
6.2.2.2 Potenzen mit gleichen Basen . . . . .
6.2.3 Division von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.1 Potenzen mit gleichen Exponenten .
6.2.3.2 Potenzen mit gleichen Basen . . . . .
6.2.4 Potenzieren einer Potenz . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
Die Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Graphen der Potenzfunktionen . . . . . . . . . .
6.4.2.1 Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2.2 Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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123
123
124
124
132
135
137
7 Wurzelrechnung, Wurzelfunktionen . . . . .
7.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Grundbegriffe und Definitionen .
7.1.2 Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Kubikwurzel . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Rationale und irrationale Zahlen
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87
87
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88
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93
96
96
103
IV
Inhaltsverzeichnis
7.2
7.3
7.4
7.5
7.1.5 Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechengesetze für Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten . . . . .
7.2.2 Addition und Subtraktion von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Multiplikation von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten
7.2.4 Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten . . . .
7.2.5 Radizieren von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Radizieren von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.7 Wurzeln mit verschiedenen Exponenten . . . . . . . . . . . . . .
Rationalmachen des Nenners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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154
158
8 Quadratische und Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2
Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.1 Rein quadratische Gleichungen . . . . . . .
8.2.1.2 Quadratische Gleichungen mit fehlendem
Absolutglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Gemischt-quadratische Gleichungen . . . . . . . . . .
8.2.2.1 Quadratische Ergänzung, die p-q-Formel .
8.2.2.2 Lösung in allgemeiner Form . . . . . . . . .
8.2.2.3 Graphische Lösungen . . . . . . . . . . . . . .
8.3
Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4
Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5
Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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177
9 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . .
9.1
Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Grundbegriffe und Definition . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2
Logarithmische Funktion, Logarithmenrechnung . . . . .
9.2.1 Logarithmische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Rechnen mit Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.5 Funktionspapiere mit logarithmischem Maßstab
9.2.5.1 Einfach-logarithmisches Papier . . . . .
9.2.5.2 Doppelt-logarithmisches Papier . . . . .
9.3
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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179
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186
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200
201
203
205
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V
10 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Grad- und Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Winkel an Geraden und Parallelen . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Definition der Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Darstellung der Winkelfunktionen am Einheitskreis . . . . .
10.2.3 Graphen und Eigenschaften der Winkelfunktionen . . . . . .
10.2.3.1 Die Graphen der Winkelfunktionen . . . . . . . . . .
10.2.3.2 Periodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3.3 Definitions- und Wertebereich . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3.4 Symmetrieeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Funktionen des doppelten Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Summe und Differenz der sin- und cos-Werte zweier Winkel
10.3.4 Quadrantenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Graphische Darstellung der Arkusfunktionen . . . . . . . . . .
10.4.3 Darstellung am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.4 Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen . . . . . . . . . . .
10.4.5 Bestimmung von Winkeln mit den Arkusfunktionen . . . . .
10.5 Goniometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Sinusfunktion, harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Algebraische rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Einteilung der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Algebraische ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Algebraische gebrochene rationale Funktionen . . . . . . . . . . .
11.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Besondere Eigenschaften der gebrochenen rationalen
Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2.1 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2.2 Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2.3 Lücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2.4 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VI
Inhaltsverzeichnis
III Geometrie und Vektorrechnung
12 Das Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Die Kongruenz von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Die Ähnlichkeit von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Höhen, Mittelsenkrechte und Seitenhalbierende . . . .
12.5 Flächeninhalt des Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Das rechtwinklige Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 Das gleichschenklige Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Das gleichseitige Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9 Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks . . . . . . . . .
12.9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.2 Der Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3 Der Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.4 Die Grundaufgaben der Dreiecksberechnung
12.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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301
304
13 Das Viereck, Vielecke . . .
13.1 Das allgemeine Viereck
13.2 Spezielle Vierecke . . . .
13.3 Das n-Eck . . . . . . . . .
13.4 Aufgaben . . . . . . . . .
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14 Der Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1 Definition, Umfang und Fläche . . . . . . .
14.2 Geraden, Strecken und Winkel am Kreis .
14.3 Kreissektor und Kreissegment . . . . . . . .
14.4 Ähnlichkeitssätze am Kreis . . . . . . . . . .
14.5 Zwei Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15 Körperberechnung . . . . . . . .
15.1 Allgemeines über Körper .
15.2 Der Quader . . . . . . . . . .
15.3 Das Prisma . . . . . . . . . .
15.4 Die Pyramide . . . . . . . .
15.5 Der Zylinder . . . . . . . . .
15.6 Der Kegel . . . . . . . . . . .
15.7 Die Kugel . . . . . . . . . . .
15.8 Aufgaben . . . . . . . . . . .
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16 Grundlagen der Vektorrechnung
16.1 Grundbegriffe, Definitionen . .
16.1.1 Vektor und Skalar . . .
16.1.2 Definitionen . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
16.2
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Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
388
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2 Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Komponenten, Koordinaten, Richtungswinkel . . . . . .
Lineare Abhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . .
Skalares Produkt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . .
16.5.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5.2 Eigenschaften des skalaren Produktes . . . . . .
16.5.3 Komponentendarstellung des Skalarproduktes
Vektorprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.2 Eigenschaften des Vektorproduktes . . . . . . . .
16.6.3 Komponentendarstellung des Vektorproduktes
Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7.2 Geometrische Deutung des Spatproduktes . . .
16.7.3 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII
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