Mathematik verstehen und anwenden von den - Beck-Shop

Mathematik verstehen und anwenden – von den Grundlagen bis zu FourierReihen und Laplace-Transformation
von
Steffen Goebbels, Stefan Ritter
1. Aufl.
Mathematik verstehen und anwenden – von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation –
Goebbels / Ritter
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
Spektrum Akademischer Verlag 2011
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 8274 2761 8
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Natürliche und ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Summen und Produkte, Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Beträge und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Über das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . .
Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Notation reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Eigenschaften von reellen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Signum- und Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Polynome und gebrochen-rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.7 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.8 Exponentialfunktionen und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.9 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.10 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit . . . . . . . .
1.6.2 Komplexe Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Die Gauß’sche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Euler’sche Gleichung und Polarform komplexer Zahlen . . . . . . . . . . .
1.6.5 Komplexe Wechselstromrechnung ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.6 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
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7
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12
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23
23
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71
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136
139
144
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
viii
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Inhaltsverzeichnis
1.7.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Matrizen, Zeilen- und Spaltenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Lösen linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Inverse Matrix und transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.5 Symmetrische und orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.6 Dreiecksmatrizen, Bandmatrizen und LR-Zerlegung ∗ . . . . . . . . . . . . .
Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Definition und elementare Eigenschaften von Determinanten . . . . . .
1.8.2 Determinanten und lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Definition und Grundbegriffe von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Konvergenz und Divergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Rechnen mit konvergenten Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Die Euler’sche Zahl e als Grenzwert von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Approximation reeller Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Bestimmte Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Häufungspunkte einer Folge ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlen-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Definition und Konvergenz einer Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Rechnen mit konvergenten Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Alternativen zur Definition der Reihenkonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Umgebungen und Überdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzierbarkeit und Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Das Differenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zentrale Sätze der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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195
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284
286
288
Inhaltsverzeichnis
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
3.4
ix
2.5.1 Satz von Fermat: notwendige Bedingung für lokale Extrema . . . . . . .
2.5.2 Mittelwertsätze der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Regeln von L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Rechenregeln zur Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.7 Volumen und Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz von Taylor, Kurvendiskussion und Extremalprobleme . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Taylor-Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Kurvendiskussion und Extremalprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Unendliche Taylor-Summen und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Einschub: Funktionenfolgen ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Konvergenz von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Differenziation und Integration von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Der Zusammenhang zwischen Potenzreihen und Taylor-Reihen . . . .
2.8.6 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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294
301
301
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338
342
342
346
356
356
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374
375
377
Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoren in der Ebene und im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Skalarprodukt und Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Vektorprodukt und Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Anwendungen des Skalar-, Vektor- und Spatprodukts . . . . . . . . . . . .
Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Geraden in der Ebene und im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Definition des Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Skalarprodukt und Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Orthogonalität, Orthogonal- und Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . .
Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Summe, skalares Vielfaches und Verkettung linearer Abbildungen . .
3.4.3 Kern und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz . . . . . . . . .
385
385
385
393
399
405
407
408
415
422
422
429
438
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453
454
458
461
x
3.5
3.6
3.7
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
5
5.1
5.2
Inhaltsverzeichnis
3.4.4 Umkehrabbildung und inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Koordinaten- und Basistransformationen ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Berechnung von linearen elektrischen Netzwerken ∗ . . . . . . . . . . . . . .
Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Diagonalisierung von Matrizen ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
468
470
474
474
478
487
487
496
500
Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungen von reellwertigen Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . .
4.2.1 Ableitungsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Fehlerrechnung ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extremwertrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Lokale und globale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Extrema unter Nebenbedingungen ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integralrechnung mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Integration über mehrdimensionale Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Integration über Normalbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Quellen, Senken und Wirbel in Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.5 Satz von Green ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.6 Flächenintegrale ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.7 Die Sätze von Gauß und Stokes ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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512
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541
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560
563
565
572
573
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582
Gewöhnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Beispiele für Differenzialgleichungen aus Physik und Technik . . . . . .
5.1.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Konstruktion einer Lösung, Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . .
5.1.4 Iterationsverfahren von Picard und Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . .
5.2.1 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
585
585
586
590
594
598
599
600
Inhaltsverzeichnis
5.3
5.4
5.5
6
6.1
6.2
6.3
6.4
xi
5.2.2 Nicht-lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differenzialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Motivation: Eine Schaltung mit Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Homogene Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Partikuläre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Komplexe und mehrfache Eigenwerte ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Lösung über ein lineares Differenzialgleichungssystem . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Lösung mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Schwingungsgleichung ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Eine schwingende Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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626
626
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650
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662
667
669
Fourier-Reihen und Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Fourier-Koeffizienten und Definition der Fourier-Reihe . . . . . . . . . . .
6.1.2 Sinus- und Kosinus-Form der Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Komplexwertige Funktionen und Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . .
6.1.4 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Konvergenz von Fourier-Reihen ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.6 Gibbs-Phänomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.7 Entwicklung 2p-periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Fourier-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Fourier-Umkehrtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Fourier-Koeffizienten und Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Eigenschaften der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Von der Fourier- zur Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Rechnen mit der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Laplace-Transformation in der Systemtheorie ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Ausgangspunkt: Koeffizienten einer Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Diskrete Faltung ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 FFT-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.5 Numerische Berechnung von Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.6 Abtastsatz für trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.7 Leck-Effekt (Leakage) ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
673
674
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711
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753
756
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768
773
775
783
xii
6.5
7
7.1
7.2
7.3
7.4
Inhaltsverzeichnis
6.4.8 Numerische Berechnung der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . .
6.4.9 Abtastsatz der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.10 Leck-Effekt und Fensterfunktionen ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.11 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
784
785
792
793
793
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Empirische Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Lageparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Streuungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen und Korrelation . . . . . . . .
7.1.6 Lineare Regressionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Zufallsexperimente und Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Wahrscheinlichkeit und Satz von Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Unabhängige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . .
7.2.5 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Lage- und Streuungsparameter von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . .
7.2.7 Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.8 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schließende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Punktschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Begriffe der Fehlerrechnung ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Intervallschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
799
800
800
805
806
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814
817
822
822
825
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886
888
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899