Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule - Beck-Shop

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Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und
Berufsakademie
mit ausführlichen Erläuterungen und zahlreichen Beispielen
Bearbeitet von
Prof. Dr. Guido Walz
1. Auflage 2010. Taschenbuch. xi, 580 S. Paperback
ISBN 978 3 8274 2521 8
Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm
Gewicht: 884 g
Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematik Allgemein
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
v
Grundlagen und Lineare Algebra
1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition und Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Potenzmenge und kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Wichtige Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
6
13
16
1.2
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Die imaginäre Einheit i und die Menge der komplexen Zahlen
1.2.2 Grundrechenarten für komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Die gaußsche Zahlenebene und die trigonometrische Form
komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
25
1.3
Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
39
1.4
Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Summenformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Rekursionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
47
52
55
2
Lineare Gleichungssysteme, Vektoren und Matrizen . . . . . .
59
2.1
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Einführende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Der Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . .
60
60
63
74
2.2
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.3
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Addition und Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Invertierung von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
84
91
93
2.4
Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Definition der Determinante und der Entwicklungssatz . . . .
2.4.2 Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Definite Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Invertierbarkeit von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Prüfung auf lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Die cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
101
106
110
113
114
116
28
32
viii
Inhaltsverzeichnis
3
Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.1
Vektoren im dreidimensionalen Raum und Vektorprodukte . . . . . . 119
3.2
Geraden und Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2.1 Darstellungsformen für Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . 127
3.2.2 Schnittpunkte und Schnittgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4
Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.1
Ein erstes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2
Lineare Optimierung mit zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Grafische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Rechnerische Lösung durch Eckpunktberechnung . . . . . . . . .
4.2.3 Der Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
151
159
162
4.3
Lineare Optimierung mit beliebig vielen Variablen . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Problemstellung und allgemeine Vorbemerkungen . . . . . . . .
4.3.2 Der Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Modifikationen des Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . .
170
171
172
181
II
Analysis und Anwendungen
5
Folgen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.1
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.1.1 Beschränktheit und Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.1.2 Konvergente Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.2
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Verkettung, Umkehrbarkeit und Monotonie . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
197
207
218
5.3
Wichtige Funktionenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
229
229
232
237
242
6
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.1
Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Ableitungen einiger elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Nicht differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
248
251
255
258
6.2
Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
259
260
263
265
Inhaltsverzeichnis
ix
6.2.5 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.2.6 Wichtige Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.3
Anwendungen der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Monotoniekriterien für differenzierbare Funktionen . . . . . . . .
6.3.2 Extremstellen und Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Wendestellen und Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Die l’hopitalsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
272
275
283
285
7
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.1
Integration von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechung . . . . . .
7.1.3 Stammfunktionen einiger wichtiger Funktionen . . . . . . . . . . .
289
289
294
300
7.2
Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
301
302
304
308
7.3
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Volumen von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316
316
319
321
8
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
8.1
Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Definition und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326
327
330
336
8.2
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Konvergenzradius und Konvergenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Operationen mit Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
340
341
346
8.3
Taylor-Reihen und Taylor-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
8.4
Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Fourier-Reihendarstellung periodischer Funktionen . . . . . . . .
8.4.3 Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
9.1
Vorbemerkungen und einleitende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
9.2
Definitionen; Existenz und Eindeutigkeit der Lösung . . . . . . . . . . . . 373
9.3
Lösungsverfahren für spezielle Typen von Differenzialgleichungen 378
9.3.1 Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
9.3.2 Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
355
355
358
367
x
Inhaltsverzeichnis
9.3.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
9.4
Lineare Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Struktur der Lösungsmenge einer linearen Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: homogener Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: inhomogener Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
387
393
402
9.5
Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
10
Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
10.1
Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
10.2
Partielle und totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
10.2.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
10.2.2 Totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
10.3
Extremwertberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
10.3.1 Extrema ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
10.3.2 Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
11
Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
11.1
Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik . . . . .
11.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.3 Verknüpfungen von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.4 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . .
11.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse . .
11.2
Zufallsgrößen und Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
11.2.1 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
11.2.2 Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
11.3
Einblicke in die mathematische Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
11.3.1 Deskriptive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
11.3.2 Induktive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
12
Numerische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
12.1
Fixpunkte und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Definitionen und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Berechnung von Fixpunkten: Der Fixpunktsatz von Banach
12.1.3 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
12.2.1 Problemstellung und Lösung durch Lagrange-Polynome . . . 510
12.2.2 Dividierte Differenzen und die newtonsche Form des Interpolationspolynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
447
447
449
455
458
462
500
500
501
505
Inhaltsverzeichnis
xi
13
Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.1
Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.2
Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
13.3
Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
13.4
Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
13.5
Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
13.6
Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
13.7
Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
13.8
Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
13.9
Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
13.10 Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
13.11 Kapitel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
13.12 Kapitel 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
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