Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule - Beck-Shop
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Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie mit ausführlichen Erläuterungen und zahlreichen Beispielen Bearbeitet von Prof. Dr. Guido Walz 1. Auflage 2010. Taschenbuch. xi, 580 S. Paperback ISBN 978 3 8274 2521 8 Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht: 884 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematik Allgemein Zu Leseprobe schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, eBooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte. Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I v Grundlagen und Lineare Algebra 1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definition und Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Potenzmenge und kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Wichtige Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6 13 16 1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Die imaginäre Einheit i und die Menge der komplexen Zahlen 1.2.2 Grundrechenarten für komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Die gaußsche Zahlenebene und die trigonometrische Form komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 25 1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 39 1.4 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Summenformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Rekursionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 47 52 55 2 Lineare Gleichungssysteme, Vektoren und Matrizen . . . . . . 59 2.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Einführende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Der Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . 60 60 63 74 2.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Addition und Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Invertierung von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 84 91 93 2.4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Definition der Determinante und der Entwicklungssatz . . . . 2.4.2 Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Definite Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Invertierbarkeit von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Prüfung auf lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Die cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 101 106 110 113 114 116 28 32 viii Inhaltsverzeichnis 3 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.1 Vektoren im dreidimensionalen Raum und Vektorprodukte . . . . . . 119 3.2 Geraden und Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.2.1 Darstellungsformen für Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . 127 3.2.2 Schnittpunkte und Schnittgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.1 Ein erstes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.2 Lineare Optimierung mit zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Grafische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Rechnerische Lösung durch Eckpunktberechnung . . . . . . . . . 4.2.3 Der Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 151 159 162 4.3 Lineare Optimierung mit beliebig vielen Variablen . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Problemstellung und allgemeine Vorbemerkungen . . . . . . . . 4.3.2 Der Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Modifikationen des Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 170 171 172 181 II Analysis und Anwendungen 5 Folgen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.1.1 Beschränktheit und Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.1.2 Konvergente Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Verkettung, Umkehrbarkeit und Monotonie . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 197 207 218 5.3 Wichtige Funktionenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 229 229 232 237 242 6 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Ableitungen einiger elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Nicht differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 248 251 255 258 6.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 259 260 263 265 Inhaltsverzeichnis ix 6.2.5 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 6.2.6 Wichtige Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 6.3 Anwendungen der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Monotoniekriterien für differenzierbare Funktionen . . . . . . . . 6.3.2 Extremstellen und Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Wendestellen und Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Die l’hopitalsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 272 275 283 285 7 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7.1 Integration von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechung . . . . . . 7.1.3 Stammfunktionen einiger wichtiger Funktionen . . . . . . . . . . . 289 289 294 300 7.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 301 302 304 308 7.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Volumen von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 316 319 321 8 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 8.1 Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Definition und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 327 330 336 8.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Konvergenzradius und Konvergenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Operationen mit Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 340 341 346 8.3 Taylor-Reihen und Taylor-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 8.4 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Fourier-Reihendarstellung periodischer Funktionen . . . . . . . . 8.4.3 Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 9.1 Vorbemerkungen und einleitende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 9.2 Definitionen; Existenz und Eindeutigkeit der Lösung . . . . . . . . . . . . 373 9.3 Lösungsverfahren für spezielle Typen von Differenzialgleichungen 378 9.3.1 Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 9.3.2 Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 355 355 358 367 x Inhaltsverzeichnis 9.3.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 9.4 Lineare Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Struktur der Lösungsmenge einer linearen Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: homogener Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: inhomogener Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 387 393 402 9.5 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 10 Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 10.1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 10.2 Partielle und totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 10.2.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 10.2.2 Totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 10.3 Extremwertberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 10.3.1 Extrema ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 10.3.2 Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 11 Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 11.1 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik . . . . . 11.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Verknüpfungen von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . 11.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse . . 11.2 Zufallsgrößen und Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 11.2.1 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 11.2.2 Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 11.3 Einblicke in die mathematische Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 11.3.1 Deskriptive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 11.3.2 Induktive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 12 Numerische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 12.1 Fixpunkte und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Definitionen und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Berechnung von Fixpunkten: Der Fixpunktsatz von Banach 12.1.3 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 12.2.1 Problemstellung und Lösung durch Lagrange-Polynome . . . 510 12.2.2 Dividierte Differenzen und die newtonsche Form des Interpolationspolynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 447 447 449 455 458 462 500 500 501 505 Inhaltsverzeichnis xi 13 Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 13.1 Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 13.2 Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 13.3 Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 13.4 Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 13.5 Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 13.6 Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 13.7 Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 13.8 Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 13.9 Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 13.10 Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 13.11 Kapitel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 13.12 Kapitel 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
