Band 1 - Weltbild

Inhalt Band 1
Ableitungen und Geometrie im R3
1 Was
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
ist Mathematik?
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die moderne Welt . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Rolle der Mathematik . . . . . . . . . . . . .
Entwurf und Herstellung von Autos . . . . . . . .
Wettervorhersagen und globale Erwärmung . . .
Navigation: Von den Sternen zu GPS . . . . . . .
Medizinische Tomographie . . . . . . . . . . . . .
Molekulare Dynamik und Arzneimittelforschung .
Wirtschaft: Aktien und Optionen . . . . . . . . .
Sprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mathematik als Wissenschaftssprache . . . . . . .
Fundamentale Bereiche der Mathematik . . . . .
Was ist Wissenschaft? . . . . . . . . . . . . . . .
Was ist Bewusstsein? . . . . . . . . . . . . . . . .
Wie man dieses Buch als Helfer begreift . . . . .
1
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3
3
3
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11
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13
13
14
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16
17
18
19
2 Das mathematische Labor
2.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Mathematikerfahrung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
24
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XVIII
Inhalt Band 1
3 Einführung in die Modellbildung
3.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Modell einer Mittagssuppe . . . . .
3.3
Das Modell vom schlammigen Hof
3.4
Ein Gleichungssystem . . . . . . .
3.5
Gleichungen aufstellen und lösen .
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29
29
32
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4 Kurzer Kurs zur Infinitesimalrechnung
4.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Algebraische Gleichungen . . . . . . .
4.3
Differentialgleichungen . . . . . . . . .
4.4
Verallgemeinerung . . . . . . . . . . .
4.5
Der Jugendtraum von Leibniz . . . . .
4.6
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . .
4.7
Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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37
37
38
38
44
46
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49
5 Natürliche und ganze Zahlen
5.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . .
5.3
Gibt es eine größte natürliche Zahl? . . .
5.4
Die Menge N aller natürlichen Zahlen . . .
5.5
Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6
Absolutwert und Abstand zwischen Zahlen
5.7
Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . .
5.8
Zerlegung in Primzahlen . . . . . . . . . .
5.9
Ganze Zahlen im Computer . . . . . . . .
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53
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60
62
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65
66
6 Mathematische Induktion
6.1
Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Insektenpopulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
69
74
7 Rationale Zahlen
7.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Wie die rationalen Zahlen konstruiert werden . . .
7.3
Zur Notwendigkeit der rationalen Zahlen . . . . . .
7.4
Dezimale Entwicklungen der rationalen Zahlen . .
7.5
Periodische Dezimaldarstellungen rationaler Zahlen
7.6
Mengenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7
Die Menge Q der rationalen Zahlen . . . . . . . . .
7.8
Die rationale Zahlengerade und Intervalle . . . . .
7.9
Bakterienwachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Chemisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . .
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79
80
83
83
85
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90
90
92
93
8 Pythagoras und Euklid
8.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
97
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Inhalt Band 1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
9 Was
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Der Satz von Pythagoras . . . . . . . . . . . . .
Die Winkelsumme in Dreiecken beträgt 180◦ . .
Ähnliche Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wann stehen zwei Gerade senkrecht? . . . . . .
GPS Navigation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Definition von sin(υ) und cos(υ) .
Geometrischer Beweis von Additionsformeln für
Erinnerung an einige Flächenformeln . . . . . .
Griechische Mathematik . . . . . . . . . . . . .
Die euklidische Ebene Q2 . . . . . . . . . . . .
Von Pythagoras über Euklid zu Descartes . . .
Nicht-euklidische Geometrie . . . . . . . . . . .
ist eine Funktion?
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen im täglichen Leben . . . . . . . .
Darstellung von Funktionen ganzer Zahlen . .
Darstellung von Funktionen rationaler Zahlen
Eine Funktion zweier Variabler . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . .
10 Polynomfunktionen
10.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Lineare Polynome . . . . . . . . . . . . .
10.3 Parallele Geraden . . . . . . . . . . . . .
10.4 Senkrechte Geraden . . . . . . . . . . . .
10.5 Quadratische Polynome . . . . . . . . .
10.6 Arithmetik mit Polynomen . . . . . . .
10.7 Graphen allgemeiner Polynome . . . . .
10.8 Stückweise definierte Polynomfunktionen
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XIX
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cos(υ)
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101
101
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136
136
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142
148
150
11 Kombinationen von Funktionen
11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Summe zweier Funktionen und Produkt einer
Funktion mit einer Zahl . . . . . . . . . . . .
11.3 Linearkombination von Funktionen . . . . . .
11.4 Multiplikation und Division von Funktionen .
11.5 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Zusammengesetzte Funktionen . . . . . . . .
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155
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12 Lipschitz-Stetigkeit
12.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Lipschitz-Stetigkeit einer linearen Funktion
12.3 Definition der Lipschitz-Stetigkeit . . . . . .
12.4 Monome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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161
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167
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XX
Inhalt Band 1
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
12.10
12.11
Linearkombinationen von Funktionen . . .
Beschränkte Funktionen . . . . . . . . . .
Das Produkt von Funktionen . . . . . . .
Der Quotient von Funktionen . . . . . . .
Zusammengesetzte Funktionen . . . . . .
Funktionen zweier rationaler Variablen . .
Funktionen mehrerer rationaler Variablen
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189
189
191
192
195
196
14 Wurzel Zwei
14.1 √
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2
2 ist keine rationale
Zahl! . . . . . . . . . . . . . . .
√
14.3 Berechnung von 2 durch Bisektion . . . . . . . . . .
14.4 Der Bisektionsalgorithmus konvergiert! . . . . . . . . .
14.5 Erste Begegnung√mit Cauchy-Folgen . . . . . . . . . .
14.6 Berechnung von 2 mit dem Dekasektionsalgorithmus
201
201
203
204
206
208
209
15 Reelle Zahlen
15.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Addition und Subtraktion reeller Zahlen . . . . . .
15.3 Verallgemeinerung zur Lipschitz-stetigen Funktion
f (x, x̄) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Multiplikation und Division reeller Zahlen . . . . .
15.5 Der Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Vergleich zweier reeller Zahlen . . . . . . . . . . . .
15.7 Zusammenfassung
der Arithmetik reeller Zahlen . .
√ √
15.8 Warum 2 2 gleich√2 ist . . . . . . . . . . . . . .
15.9 Betrachtungen über 2 . . . . . . . . . . . . . . .
15.10 Cauchy-Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . .
15.11 Erweiterung von f : Q → Q zu f : R → R . . . . .
15.12 Lipschitz-Stetigkeit erweiterter Funktionen . . . . .
15.13 Graphen von f : R → R . . . . . . . . . . . . . . .
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213
213
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218
218
218
219
219
220
222
223
223
224
13 Folgen und Grenzwerte
13.1 Ein erstes Treffen mit Folgen und Grenzwerten . .
13.2 Ringschraubenschlüsselsatz . . . . . . . . . . . . .
13.3 J.P. Johanssons verstellbarer Schraubenschlüssel .
13.4 Die Macht der Sprache:
Von unendlich Vielen zu Einem . . . . . . . . . . .
13.5 Die − N Definition eines Grenzwertes . . . . . . .
13.6 Konvergente Folgen haben eindeutige Grenzwerte .
13.7 Lipschitz-stetige Funktionen und Folgen . . . . . .
13.8 Verallgemeinerung auf Funktionen zweier Variablen
13.9 Berechnung von Grenzwerten . . . . . . . . . . . .
13.10 Computerdarstellung rationaler Zahlen . . . . . . .
13.11 Sonya Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhalt Band 1
15.14
15.15
15.16
15.17
Erweiterung einer Lipschitz-stetigen Funktion
Intervalle reeller Zahlen . . . . . . . . . . . .
Was ist f (x) für irrationales x? . . . . . . . .
Stetigkeit versus Lipschitz-Stetigkeit . . . . .
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16 Bisektion für f (x) = 0
16.1 Bisektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Berechnungsaufwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
235
237
239
17 Streiten Mathematiker?*
17.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Die Formalisten . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Die Logiker und die Mengentheorie . . . . . .
17.4 Die Konstruktivisten . . . . . . . . . . . . . .
17.5 Peano’sche Axiome für natürliche Zahlen . . .
17.6 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.7 Cantor versus Kronecker . . . . . . . . . . . .
17.8 Wann sind Zahlen rational oder irrational? . .
17.9 Die Menge aller möglichen Bücher . . . . . .
17.10 Rezepte und gutes Essen . . . . . . . . . . . .
17.11 Neue Mathematik“ in der Grundschule . . .
”
17.12 Die Suche nach Stringenz in der Mathematik
17.13 Ein nicht konstruktiver Beweis . . . . . . . .
17.14 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .
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243
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246
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252
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255
255
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259
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265
266
266
267
267
267
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268
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269
269
270
271
272
273
274
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278
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18 Die Funktion y = xr
√
18.1 Die Funktion x . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
18.2 Rechnen
mit der Funktion x . . . . . . . . . . . .
√
18.3 Ist x Lipschitz-stetig auf R+ ? . . . . . . . . . . .
18.4 Die Funktion xr für rationales r = pq . . . . . . . .
18.5 Rechnen mit der Funktion xr . . . . . . . . . . . .
18.6 Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit . . . . .
18.7 Turbulente Strömung ist Hölder- (Lipschitz-)stetig
zum Exponenten 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 Fixpunkte und kontrahierende Abbildungen
19.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Kontrahierende Abbildungen . . . . . . . .
19.3 f (x) = 0 umformuliert zu x = g(x) . . . . .
19.4 Kartenverkaufsmodell . . . . . . . . . . . .
19.5 Modell für das Privateinkommen . . . . . .
19.6 Fixpunkt-Iteration im Kartenverkaufsmodell
19.7 Eine kontrahierende Abbildung
hat einen eindeutigen Fixpunkt . . . . . . .
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XXI
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XXII
19.8
19.9
19.10
19.11
Inhalt Band 1
Verallgemeinerung auf g : [a, b] → [a, b] . . .
Lineare Konvergenz der Fixpunkt-Iteration
Schnellere Konvergenz . . . . . . . . . . . .
Quadratische Konvergenz . . . . . . . . . .
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280
281
282
283
20 Analytische Geometrie in R2
20.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Descartes, Erfinder der analytischen Geometrie . . . .
20.3 Descartes: Dualismus von Körper und Seele . . . . . .
20.4 Die euklidische Ebene R2 . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5 Vermesser und Navigatoren . . . . . . . . . . . . . . .
20.6 Ein erster Blick auf Vektoren . . . . . . . . . . . . . .
20.7 Geordnete Paare als Punkte oder Vektoren/Pfeile . . .
20.8 Vektoraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.9 Vektoraddition und das Parallelogramm . . . . . . . .
20.10 Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl . .
20.11 Die Norm eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.12 Polardarstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . .
20.13 Standardisierte Basisvektoren . . . . . . . . . . . . . .
20.14 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.15 Eigenschaften des Skalarproduktes . . . . . . . . . . .
20.16 Geometrische Interpretation des Skalarproduktes . . .
20.17 Orthogonalität und Skalarprodukt . . . . . . . . . . .
20.18 Projektion eines Vektors auf einen Vektor . . . . . . .
20.19 Drehung um 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.20 Drehung um einen beliebigen Winkel θ . . . . . . . . .
20.21 Nochmals Drehung um θ! . . . . . . . . . . . . . . . .
20.22 Drehung eines Koordinatensystems . . . . . . . . . . .
20.23 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.24 Die Fläche eines Dreiecks mit einer Ecke im Ursprung
20.25 Fläche eines beliebigen Dreiecks . . . . . . . . . . . . .
20.26 Die Fläche eines durch zwei Vektoren
aufgespannten Parallelogramms . . . . . . . . . . . . .
20.27 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.28 Projektion eines Punktes auf eine Gerade . . . . . . .
20.29 Wann sind zwei Geraden parallel? . . . . . . . . . . . .
20.30 Ein System zweier linearen Gleichungen
mit zwei Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.31 Lineare Unabhängigkeit und Basis . . . . . . . . . . .
20.32 Die Verbindung zur Infinitesimalrechnung
einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.33 Lineare Abbildungen f : R2 → R . . . . . . . . . . . .
20.34 Lineare Abbildungen f : R2 → R2 . . . . . . . . . . . .
20.35 Lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme .
20.36 Eine erste Begegnung mit Matrizen . . . . . . . . . . .
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Inhalt Band 1
20.37
20.38
20.39
20.40
20.41
20.42
20.43
20.44
20.45
20.46
20.47
20.48
Erste Anwendungen der Matrixschreibweise
Addition von Matrizen . . . . . . . . . . . .
Multiplikation einer Matrix mit einer reellen
Multiplikation zweier Matrizen . . . . . . .
Die Transponierte einer Matrix . . . . . . .
Die Transponierte eines 2-Spaltenvektors . .
Die Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . .
Die Inverse einer Matrix . . . . . . . . . . .
Nochmals Drehung in Matrixschreibweise! .
Eine Spiegelung in Matrixschreibweise . . .
Nochmals Basiswechsel! . . . . . . . . . . .
Königin Christina . . . . . . . . . . . . . . .
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Zahl
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21 Analytische Geometrie in R3
21.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar
21.3 Skalarprodukt und Norm . . . . . . . . . . . . . . . .
21.4 Projektion eines Vektors auf einen Vektor . . . . . .
21.5 Der Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . .
21.6 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7 Geometrische Interpretation des Vektorprodukts . .
21.8 Zusammenhang zwischen den Vektorprodukten
in R2 und R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.9 Volumen eines von drei Vektoren
aufgespannten schiefen Würfels . . . . . . . . . . . .
21.10 Das Dreifach-Produkt a · b × c . . . . . . . . . . . . .
21.11 Eine Formel für das von drei Vektoren
aufgespannte Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.12 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.13 Projektion eines Punktes auf eine Gerade . . . . . .
21.14 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.15 Schnitt einer Geraden mit einer Ebene . . . . . . . .
21.16 Zwei sich schneidende Ebenen ergeben eine Gerade .
21.17 Projektion eines Punktes auf eine Ebene . . . . . . .
21.18 Abstand zwischen Punkt und Ebene . . . . . . . . .
21.19 Drehung um einen Vektor . . . . . . . . . . . . . . .
21.20 Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.21 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten . . . . . .
21.22 Lösung eines 3 × 3 Systems durch Gauss-Elimination
21.23 3 × 3-Matrizen: Summe, Produkt und Transponierte
21.24 Betrachtungsweisen für lineare Gleichungssysteme . .
21.25 Nicht-singuläre Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . .
21.26 Die Inverse einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . .
21.27 Verschiedene Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.28 Linear unabhängige Menge von Vektoren . . . . . . .
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XXIV
Inhalt Band 1
21.29 Orthogonale Matrizen . . . . . . . .
21.30 Lineare Abbildungen vs. Matrizen . .
21.31 Das Skalarprodukt ist invariant unter
orthogonalen Abbildungen . . . . . .
21.32 Ausblick auf Funktionen f : R3 → R3
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22 Komplexe Zahlen
22.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Addition und Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Die Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.4 Offene Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.5 Polardarstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . .
22.6 Geometrische Interpretation der Multiplikation . . . .
22.7 Komplexe Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.8 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.9 Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . .
22.10 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.11 Lösung der quadratischen Gleichung w2 + 2bw + c = 0
22.12 Gösta Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23 Ableitungen
23.1 Veränderungsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.2 Steuern bezahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.3 Wandern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.4 Definition der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . .
23.5 Die Ableitung einer linearen Funktion ist konstant .
23.6 Die Ableitung von x2 ist 2x . . . . . . . . . . . . . .
23.7 Die Ableitung von xn ist nxn−1 . . . . . . . . . . . .
23.8 Die Ableitung von x1 ist − x12 für x = 0 . . . . . . . .
23.9 Die Ableitung als Funktion . . . . . . . . . . . . . .
23.10 Schreibweise der Ableitung von f (x) als Df (x) . . .
df
23.11 Schreibweise der Ableitung von f (x) als dx
. . . . .
23.12 Ableitung als Grenzwert von Differenzenquotienten .
23.13 Wie wird die Ableitung berechnet? . . . . . . . . . .
23.14 Gleichmäßige Differenzierbarkeit auf einem Intervall
23.15 Eine beschränkte Ableitung impliziert
Lipschitz-Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.16 Ein etwas anderer Blickwinkel . . . . . . . . . . . . .
23.17 Swedenborg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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24 Ableitungsregeln
24.1 Einleitung . . . . . . . . . . . .
24.2 Regel für Linearkombinationen
24.3 Produktregel . . . . . . . . . .
24.4 Kettenregel . . . . . . . . . . .
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Inhalt Band 1
24.5
24.6
24.7
24.8
24.9
24.10
24.11
24.12
Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . n. . . . .
Ableitungen von Ableitungen: f (n) = Dn f = ddxnf . . .
Einseitige Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadratische Näherung: Taylor-Formel zweiter Ordnung
Ableitung einer inversen Funktion . . . . . . . . . . . .
Implizite Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwischenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XXV
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25 Die Newton-Methode
25.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.2 Konvergenz der Fixpunkt-Iteration . . . . . . . . .
25.3 Die Newton-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.4 Die Newton-Methode konvergiert quadratisch . . .
25.5 Geometrische Interpretation der Newton-Methode .
25.6 Wie groß ist der Fehler einer Nullstellennäherung?
25.7 Endkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.8 Global konvergente Newton-Methoden . . . . . . .
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26 Galileo, Newton, Hooke, Malthus und Fourier
26.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.2 Newtons Bewegungsgesetz . . . . . . . . . . .
26.3 Galileos Bewegungsgesetze . . . . . . . . . . .
26.4 Das Hookesche Gesetz . . . . . . . . . . . . .
26.5 Newtonsches Gesetz plus Hookesches Gesetz .
26.6 Fouriersches Gesetz der Wärmeausbreitung .
26.7 Newton und der Raketenantrieb . . . . . . . .
26.8 Malthus und Populationswachstum . . . . . .
26.9 Einsteinsches Bewegungsgesetz . . . . . . . .
26.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .
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Literaturverzeichnis
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Sachverzeichnis
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