BA Horb Mathematik für Wirtschaftsingenieuere Wenn Sie bei der

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Mathematik für Wirtschaftsingenieuere
Wenn Sie bei der Bearbeitung der folgenden Übungsaufgaben an irgendeiner Stelle
Probleme irgendwelcher Art haben oder wenn Sie die verwendeten Begriffe nicht verstehen oder noch nie gehört haben, dann sollten Sie den Vorkurs besuchen!
1. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke
a) pn · p2n
b) (x−n−1 · xn )/(xn+1 · x−n )
c) (4 − a2 )m /(2 + a)m
2. Vereinfachen Sie die folgenden Brüche:
1
1 − x5
+ 2
7
x
x
2
p + pq
(u + v)4
b)
·
(u2 − v 2 )2 p2 − q 2
2
b2
a2 + b 2
a
−
÷
c)
b2
a2
a2 · b 2
1
1
d) 3
+ 2 2
2
2
a ·b+a ·b
a · b + a · b3
a)
3. Ordnen Sie die folgenden Zahlen der Größe nach (von der kleinsten zur größten
Zahl):
a) 3, −10−23 , 57, −45, 1269, 10−23 , 102
b) (−2 + 2i), (3 − 3i), 57, (−64 + 128i), (1012 + i), (−1012 + i)
4. Berechnen Sie die folgenden komplexen Zahlen:
a) (−3 + 6i) + (8 − 5i)
b) (−3 + 6i) · (8 − 5i)
(−3 + 6i)
c)
(8 − 5i)
5. Berechnen Sie für z = 2 + 2i zunächst z 4 und anschließend alle weiteren Werte,
welche in der 4. Potenz dieselbe Zahl z 4 ergeben.
6. Untersuchen Sie die Folge an =
und Monotonie.
3n2 + n + 1
, n ∈ N auf Beschränkung, Konvergenz
4n2 + 5
7. Gegeben ist die Funktion f (x) =
√
1 + x2
.
1+x
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich.
Beispielaufgaben
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b) Untersuchen Sie das Verhalten an der Definitionslücke. Bestimmen Sie die
Asymptoten.
c) Geben Sie die Nullstelle(n) an.
d) Skizzieren Sie die Funktion und treffen Sie eine Aussage über (eine) mögliche
Umkehrfunktion(en).
8. Gegeben ist die Funktion g(x) = 3 sin(2x − π2 ). Untersuchen Sie Symmetrieverhalten und Periodizität. Nehmen Sie die Additionstheoreme zu Hilfe (Formelsammlung!).
9. Gegeben ist das Polynom h(x) = 6x4 + 7x3 − 13x2 − 4x + 4. Versuchen Sie mit
Hilfe des Horner-Schemas zunächst ganzzahlige Nullstellen abzutrennen und bestimmen Sie anschließend die restlichen Nullstellen.
10. Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten der Funktion i(x) =
1 3
x − 32 x + 1
2
.
x2 + 3x + 2
11. Bestimmen Sie alle Winkel im Bereich 0 ≤ x ≤ 2π, welche die folgende Gleichung
erfüllen:
cos2 x = 34
Geben Sie die Winkel als Vielfache von π im Bogenmaß an.
12. Bestimmen Sie die Parameter der Funktion k(x) = a · e−b·x so, dass die Punkte
A(0|10) und B(5|3) auf der Kurve liegen.
13. Bestimmen Sie die erste Ableitung:
a) l(x) = 4x7 + 3 cos( x2 ) − ln(x)
b) m(t) = sin2 (2t − 4)
c) n(x) = 4x·ln(x)
14. Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion o(x): y = arcsin x mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion.
 
 
 
2
−2
1
~





1
2 ,b =
und ~c = 1.
15. Gegeben sind die Vektoren ~a =
1
3
−1
a) Bestimmen Sie die Winkel zwischen den Vektoren.
Berechnen Sie außerdem:
b) (~a + ~c) · ~b
c) (~a + ~b) · (~b − ~c)
d) ~a · (~b + ~c)
Beispielaufgaben
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 
 
 
0
−2
1
16. Gegeben sind die Vektoren ~a = λ , ~b =  4  und ~c = 2. Bestimmen Sie
3
11
4
den Parameter λ so, dass die Vektoren komplanar sind.
17. Geben Sie die Gleichung der Gerade durch die Punkte P (10|5| − 1) und Q(1|2|5)
an. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M zwischen P und Q.
18. Die Punkte R(3|5|1), S(4|6|2) und T (5|6|4) definieren eine Ebene. Geben Sie diese
Ebene in vektorieller Form, Hessescher Normalenform und Koordinatenform an.
Bestimmen Sie den Abstand zum Ursprung.
19. Welche Lagebeziehung haben die beiden Ebenen E1 und E2 zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade, den Schnittwinkel bzw. den Abstand.
 
  
 
  
1
2
2
3










= 0,
E2: 0 · ~x − 5 = 0
E1: 1 · ~x − 5
1
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6
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Beispielaufgaben
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