Serie 10

D-ITET
Prof. P. Nolin
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
FS 2017
Serie 10
1. Wir betrachten einen Kreis mit zufälligem Radius R. Der Radius R sei exponentialverteilt mit Erwartungswert 1/λ. Bestimmen Sie
a) die Verteilungs- und Dichtefunktion des Flächeninhalts A des zufälligen Kreises;
b) den Erwartungswert von A.
Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion
(
c
, x > 0,
(1 + x)5
f (x) =
0,
x ≤ 0.
c) Finden Sie c und die Verteilungsfunktion von X.
d) Finden Sie E[X] und E[X 2 ].
H INWEIS : Berechnen Sie zuerst E[1 + X] und E[(1 + X)2 ].
e) Was sind die Verteilungsfunktion und die Dichte von Y = eX ?
2. Herr Meier fährt täglich mit konstanter Geschwindigkeit dieselbe Strecke s0 (zum
Beispiel von Zürich nach Bern, s0 = 120 km). Die Geschwindigkeit V hängt vom
Wetter und den Verkehrsbedingungen ab, und ihre Dichte ist von der Form
C v 2 e−λv , falls v ≥ 0,
fV (v) =
0,
sonst,
und dem Mittel E[V ] = v0 (zum Beispiel v0 = 90 km/h).
a) Bestimmen Sie die WerteRder Parameter C und λ .
∞
H INWEIS : Benützen Sie 0 tn e−t dt = n! .
b) Berechnen Sie die Varianz von V .
c) Die Fahrzeit ist T = s0 /V . Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von T .
Bitte wenden!
3. Die Zufallsvariable X besitze eine Standardnormalverteilung, die Zufallsvariable Y
sei normalverteilt mit Erwartungswert −0.2 und Standardabweichung 3. Bestimmen
Sie mit Hilfe der Tabelle im Anhang die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P [X < −1.01], P [−3.02 < X ≤ 1], P [Y ≤ 8.8], P [0.43 ≤ |Y | < 1.54].
4. Eine Stadtverwaltung plant den Bau eines neuen Grossparkplatzes am Stadtrand. Erfahrungsgemäss kommen an Werktagen 10 000 Fahrzeuge in die Stadt. Aufgrund einer Umfrage nimmt die Stadtverwaltung an, dass die Fahrer der Autos sich unabhängig voneinander entscheiden, ob sie den neuen Parkplatz benutzen wollen, wobei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrer sich für den neuen Parkplatz entscheidet,
p0 = 80% beträgt.
a) Wie viele Stellplätze sollte der neue Parkplatz mindestens aufweisen, damit die
Stellplätze unter obiger Annahme mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
99% ausreichen?
b) Ein Jahr nach dem Bau des Parkplatzes stellt ein Verwalter fest, dass jeweils
immer noch 10 000 Autos in die Stadt fahren, aber nur 7500 der neuen Parkplätze
besetzt sind. Daraus schliesst er, dass der damals angenommene Wert von p0 =
80% für die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Fahrer für den neuen Parkplatz
entscheidet, “eindeutig” zu hoch war. Beurteilen Sie seine Folgerung, indem sie
folgende Werte berechnen.
i) Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 7500 Parkplätze besetzt werden, falls
p0 = 80% die richtige Wahrscheinlichkeit ist.
ii) Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 7500 Parkplätze besetzt werden, falls
p1 = 76% die richtige Wahrscheinlichkeit ist.
iii) Finden Sie diejenige Wahrscheinlichkeit p∗ , dass sich ein Fahrer für den neuen Parkplatz entscheidet, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 7500
Parkplätze besetzt werden, genau 5% beträgt.
H INWEIS : Benützen Sie jeweils eine geeignete Normalverteilung als Approximation
für die Verteilung der belegten Parkplätze.
Abgabe: Montag 29. Mai Übungsstunde.
Siehe nächstes Blatt!
Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung N (0, 1):
2
Za
1
z
√ exp −
Φ(a) =
dz
2
2π
−∞
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
1
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
2
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
3
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
4
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
5
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
6
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
7
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
8
.5319
.5714
.6103
.6408
.6844
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
9
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
.97725
.98214
.98610
.98928
.99180
.99379
.99534
.99653
.99744
.99813
.97778
.98257
.98645
.98956
.99202
.99396
.99547
.99664
.99752
.99819
.97831
.98300
.98679
.98983
.99224
.99413
.99560
.99674
.99760
.99825
.97882
.98341
.98713
.99010
.99245
.99430
.99573
.99683
.99767
.99831
.97932
.98382
.98745
.99036
.99266
.99446
.99585
.99693
.99774
.99836
.97982
.98422
.98778
.99061
.99286
.99461
.99598
.99702
.99781
.99841
.98030
.98461
.98809
.99086
.99305
.99477
.99609
.99711
.99788
.99846
.98077
.98500
.98840
.99111
.99324
.99492
.99621
.99720
.99795
.99851
.98124
.98537
.98870
.99134
.99343
.99506
.99632
.99728
.99801
.99856
.98169
.98574
.98899
.99158
.99361
.99520
.99643
.99736
.99807
.99861
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
.998650
.999032
.999313
.999517
.999663
.999767
.999841
.999892
.999928
.999952
.998694
.999065
.999336
.999534
.999675
.999776
.999847
.999896
.999931
.999954
.998736
.999096
.999359
.999550
.999687
.999784
.999853
.999900
.999933
.999956
.998777
.999126
.999381
.999566
.999698
.999792
.999858
.999904
.999936
.999958
.998817
.999155
.999402
.999581
.999709
.999800
.999864
.999908
.999938
.999959
.998856
.999184
.999423
.999596
.999720
.999807
.999869
.999912
.999941
.999961
.998893
.999211
.999443
.999610
.999730
.999815
.999874
.999915
.999943
.999963
.998930
.999238
.999462
.999624
.999740
.999822
.999879
.999918
.999946
.999964
.998965
.999264
.999481
.999638
.999749
.999828
.999883
.999922
.999948
.999966
.998999
.999289
.999499
.999651
.999758
.999835
.999888
.999925
.999950
.999967
Beispiel: Φ(3.74) = 0.999908.