Fuzzymengen Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen – Was ist das? • Menge – Zuordnung von Werten zu Elementen x aus X einer Menge M durch charakteristische Funktion: 1 x M x : mM ( x) , M 0 x M • Problem – Anwendungen fordern „Übergänge“ zwischen Zugehörigkeit und Nicht-Zugehörigkeit zu einer Menge • Zugehörigkeitswerte 0,1 werden erweitert zu reellem Einheitsintervall I I 0 , 1 x 0 x 1 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen – Was ist das? • man erhält neue charakteristische Funktion x : mA ( x) 0 , 1, A – scharfe Mengen sind spezielle unscharfe Mengen • unscharfe Menge ist durch Zugehörigkeitsfunktion eindeutig bestimmt: A, B , x : A B mA ( x) mB ( x) • wichtige Größen: – Träger: – Höhe: – Kern: supp( A) def x mA ( x) 0 hgt( A) def sup mA ( x) x ker( A) def x mA ( x) 1 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen – Was ist das? • weitere scharfe Mengen zuordenbar: A def x mA (x) – α-Schnitt: – scharfer α-Schnitt: A def x mA (x) A def x mA (x) – α-Komponente: – A ist durch (scharfen) α-Schnitt eindeutig bestimmt und lässt sich in scharfe Mengen zerlegen x : mA ( x) sup mA ( x) sup mA ( x) sup mA ( x) 0,1 0,1 • Kern: ker( A) A1 • Träger: supp( A) A 0 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi 0,1 Fuzzymengen – Was ist das? • geltende Gesetze für A, B : x : A B def mA ( x) mB ( x) – Inklusion als Halbordnung: A A B B A A B A A A BBC AC A B 0,1 : A B 0,1 : A B A B supp( A) supp( B) A B hgt( A) hgt( B) Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen • t-Norm-basierte Operation: – ist eine binäre Operation t: 0 , 12 0 , 1 – kommutativ, assoziativ, monoton wachsend – 1 als neutrales Element, 0 als Nullelement – für beliebige x, y, z, u, v 0 , 1 muss gelten: (T 1) x t y y t x (T 2) x t( y t z ) ( x t y ) t z (T 3) x u y v x t y u t v (T 4) x t 1 x und xt0 0 – nicht interaktiv heißt eine t-Norm, wenn gilt: u t v u, v und besonders: u t u u • daraus folgt Idempotenz Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen • Durchschnitt t ist definiert durch: D : A t B : x : mD ( x) def mA ( x) t mB ( x) – übliche t-Normen ( u , v 0 , 1 ): • • • • Durchschnitt t0: algebraisches Produkt t1: beschränktes Produkt t2: drastisches Produkt t3: u t 0 v min u , v u t1 v u v u t 2 v max 0, u v 1 min u, v u 1 v 1 u t3 v 0 sonst – es gilt: u t 3 v u t 2 v u t1 v u t 0 v Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen • t-Conorm st ist eine zu t duale t-Conorm – Definition: u, v 0 , 1 : u s t v def 1 (1 u) t(1 v) – binäre Operation 0 , 12 0 , 1 – kommutativ, assoziativ, monoton wachsend – für beliebige u 0 , 1 muss gelten: u s t 0 u u st 1 1 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen • Vereinigung t – wird aus Durchschnitt mittels Komplementbildung erzeugt: A t B def ( AC t BC )C – D : A t B : x : mV ( x) def mA ( x) s t mB ( x) – übliche t-Conormen ( u , v 0 , 1 ): • • • • Vereinigung s0: algebraische Summe s1: beschränkte Summe s2: drastische Summe s3: u s0 v max u, v u s1 v u v uv u s 2 v min 1, u v max u, v u 0 v 0 u s3 v 1 sonst – es gilt: u s3 v u s 2 v u s1 v u s0 v Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen • kartesisches Produkt: – A B heißt unscharfes, t-Norm-basiertes kartesisches Produkt: C : A B : a, b : mC (( a, b)) mA (a ) t mB (b) – es gilt: A t ( B t C ) ( A t B) t C A B A t C B t C , C t A C t B A t t A A t ( B C ) ( A t B) ( A t C ) A t ( B C ) ( A t B) ( A t C ) Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen • ZADEH (1965) – Verallgemeinerungen der elementaren mengenalgebraischen Operationen für unscharfe Mengen • Vereinigung: C : A B : x : mC ( x) def max mA ( x), mB ( x) • Durchschnitt: D : A B : mD ( x) def min mA ( x), mB ( x) • Komplement: K : AC : x : mK ( x) def 1 mA ( x) – erkannte t 0 min, s0 max als einzige nicht-interaktive Verknüpfung, es gilt: A A A, A A A – deutete andere Varianten an Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen • geltende Gesetze: – α-Schnitte: ( A B) A B , ( A B) A B ( AC ) A1 x mA ( x) 1 – für beliebige unscharfe Mengen A,B,C gelten: A t B B t A A t ( B t C ) ( A t B) t C A A t B , B A t B A B A t C B t C A t A , A t • dabei kann durch ersetzt werden Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen • geltende Gesetze: A t ( B C ) ( A t B) ( A t C ) – Distributivgesetze A t ( B C ) ( A t B) ( A t C ) A t ( B C ) ( A t B) ( A t C ) A t ( B C ) ( A t B) ( A t C ) – Subdistributivgesetze ( A B) t ( A C ) A ( B t C ) ( A B) t ( A C ) A ( B t C ) ( A B) t ( A C ) A ( B t C ) ( A B) t ( A C ) A ( B t C ) • Gleichheit statt Inklusion nur für t 0 min, s0 max Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen • geltende Gesetze: – Komplementbildung C • ist idempotent A AC • kehrt Inklusionsbeziehung um A B BC AC • deMorgansche Gesetze gelten ( A t B )C AC t B C ( A t B )C AC t B C • nicht alle Eigenschaften des gewöhnlichen Komplements gelten – A t AC und A t AC sind möglich, da A a : mA (a) mAC (a) Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen • Werteverlauf für t0, s0 Funktionswerte 1 0.75 t00.5 0.25 0 0 der Norm t0 Funktionswerte 1 0.8 0.2 0.6 0.4 v 0.4 u 0.6 1 0.75 s00.5 0.25 0 0 0.2 0.8 s0 1 0.8 0.2 0.6 0.4 v 0.4 u 0.6 10 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi der Norm 0.2 0.8 10 Mengenoperationen Funktionswerte 1 0.75 t1 0.5 0.25 0 0 0.2 0.4 u 0.6 0.8 Funktionswerte 1 0.75 s1 0.5 0.25 0 0 0.2 der Norm t1 1 0.8 0.6 0.4 v 1 0.2 0 der Norm 0.2 0.8 1 0.75 t2 0.5 0.25 0 0 0.2 s1 1 0.8 0.6 0.4 v 0.4 u 0.6 Funktionswerte 10 0.2 t2 1 0.8 0.6 0.4v 0.4 u 0.6 0.8 Funktionswerte 1 0.75 s20.5 0.25 0 0 der Norm 1 0.75 t30.5 0.25 0 0 0.2 0.2 1 0 der Norm s2 1 0.8 0.6 0.4 v 0.4 u 0.6 Funktionswerte 0.2 0.8 10 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi 0.4 u 0.6 0.8 Funktionswerte 1 0.75 s3 0.5 0.25 0 0 0.2 der Norm t3 1 0.8 0.6 0.4 v 0.2 1 0 der Norm s3 1 0.8 0.6 0.4 v 0.4 u 0.6 0.2 0.8 10 Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen • einparametrische Familien von t-Normen – Teilklassen der Menge der möglichen t-Normen – für bestimmte Parameterwerte streben die Durchschnitte und Vereinigungen gegen die bereits definierten – ausreichend umfangreich – einfach handhabbar, überschaubar Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen • HAMACHER (1978) – Familie von t-Normen t H , mit Parameterbereich 0 u t H , v def – duale t-Conormen s H , u s H , v def uv (1 )(u v uv) u v uv (1 )uv 1 (1 )uv – t H , 1 t1 , t H , t 3 – s H , 1 s1 , s H , s3 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen • YAGER (1980) – Familie von t-Normen t Y , p mit Parameterbereich p 0 u t Y , p v def 1 p p 1 min 1, ((1 u ) (1 v) ) p – duale t-Conormen sY , p u sY , p v def 1 p p min 1, (u v ) p – tY , p t 0 , tY , p 1 t 2 , tY , p 0 t 3 – sY , p s0 , sY , p 1 s2 , sY , p 0 s3 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen • WEBER (1983) – Familie von t-Normen tW , mit Parameterbereich 1 u v 1 uv u tW , v def max 0, 1 – duale t-Conormen sW , uv u sW , v def min 1, u v 1 – tW , t1 , tW , 0 t 2 , tW , 1 t 3 – sW , s1 , sW , 0 s2 , sW , s3 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Mengenoperationen • Erweiterungsprinzip: sei g eine n-stellige Funktion in X: g : n lässt sich g auf unscharfe Zahlen aus F ( X ) erweitern? supp( B) soll sich aus supp( Ai ) ergeben Zugehörigkeitswerte mAi (ai ) sollen Zugehörigkeitswert mB ( g (a1...an )) bestimmen – g : n wird so zu gˆ : F ( )n F ( ) erweitert, dass gilt: – – – – Ai F ( ) : B : g ( A1... An ) : y : mB ( y ) def sup x1 ...x n y g ( x1 ...x n ) min mA1 ( x1 ),..., mAn ( xn ) – gilt auch α-Schnitt-weise: B g ( A1 ,..., An ) – statt min ist jede andere t-Norm möglich, min ist jedoch üblich Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik • praktischer Ansatz: – Zugehörigkeitsfunktion sollte nur 1 Maxima haben, d.h. die Menge ist konvex: a c b mA (c) min mA (a), mA (b) – Grundbereich sollte Menge der reellen Zahlen sein: – unscharfe Zahl: ker( A) a, d.h. Kern ist Einermenge – unscharfes Intervall: ker( A) a1 , a2 – jede unscharfe Zahl ist ein unscharfes Intervall – gewöhnliche Zahlen sind besondere unscharfe Zahlen Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik • Grundrechenarten: – Erweiterungsprinzip wird angewendet: a, x, y : mS (a) sup min mA ( x), mB ( y) a x y – für Summe, Differenz und Produkt sei # das entsprechende Operationszeichen (+,-,*) – Negatives N : A : a : mN (a) mA (a) – Quotient: nur für 0 supp( B) unscharfes Intervall mB (1/ a) (1/ a) supp( B) – Kehrwert K : B : mK (a) 0 sonst 1 – Quotient Q : A B def A B 1 : mQ (a) sup min mA ( x), mB ( y ) x , y ax / y Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik • Maximumbildung: C : max( A, B ) : z : mC ( z ) sup x , y z maxx , y min m A ( x), mB ( y ) – da z max x, y z x z y gilt besser: mC ( z ) max sup min mA ( z ), mB ( y ), sup min mA ( x), mB ( z ) x z y z max min mA ( z ), sup mB ( y ), min sup mA ( x), mB ( z ) x z y z • Mimimumbildung analog Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik • geltende Gesetze: – Kommutativ- und Assoziativgesetze gelten – Distributivgesetz nur bedingt: A ( B C ) ( A B) ( A C ) • A ( B C ) ( A B) ( A C ) nur, wenn 0 supp( A) 0 supp( B C ) oder A eine unscharfe Einermenge ist – -A nur bedingt additives Inverses von A 1 x 0 • da A A nur für m ( x) , aber i.A. A ( A) 0 x 0 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik • für Rechnen mit unscharfen Zahlen können folgende Vereinbarungen vorteilhaft sein: – mA (a0 ) 1 – Intervall (, a0 ) ist monoton steigend, Intervall (a0 , ) monoton fallend – beide Intervalle sind einem bestimmten Funktionstyp zuzuordnen • falls supp( A) (a1 , a2 ) – die Einschränkungen der Zugehörigkeitsfunktion interessieren nur auf ( a1 , a0 ) und ( a0 , a2 ) – werden mAL , mAR genannt Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen • Definition – eine L/R-Darstellung einer unscharfen Zahl liegt vor, falls A durch mAL , mAR seiner Zugehörigkeitsfunktion angegeben wird – sind mAL , mAR lineare Funktionen, heißt A unscharfe Zahl mit linearer L/R-Zerlegung oder dreiecksförmig • gilt zusätzlich ker( A) (a0 , a0 ) und supp( A) (a1 , a2 ) , dann heißt A trapezförmig – man schreibt A a0 ; a1 , a2 genau dann, wenn mA (a0 ) 1 und supp( A) (a1 , a2 ) Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen • seien A a0 ; a1, a2 und B b0 ; b1, b2 unscharfe Zahlen mit linearer L/R-Darstellung – – – – – Summe A B a0 b0 ; a1 b1 , a2 b2 Differenz A B a0 b0 ; a1 b2 , a2 b1 Negatives A a0 ;a2 ,a1 Multiplikation mit Skalar A a0 ; a1 , a2 x 1 Beispiel: X 3;1,5 , Y 5;3,6 y x y 0.5 2 x 4 6 x1 x y x 8 10 x y x 0.5 -4 -2 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi 2 4 6 8 10 Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen – Produkt und Quotient unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung sind i.A. keine unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung mehr • es existieren Näherungsformeln ( a1 , b1 0 0 supp( A) ): – Produkt: A B a0 b0 ; a1 b1 , a2 b2 – Quotient: A B a0 / b0 ; a1 / b2 , a2 / b1 , b1 0 – Kehrwert: B1 1/ b0 ;1/ b2 ,1/ b1 , b1 0 • Multiplikation ohne Einschränkung der Träger supp( A), supp( B ) – man setzt supp( A B) (cl , cr ) und findet: cl min a1 b1 , a1 b2 , a2 b1 , a2 b2 , cr max a1 b1 , a1 b2 , a2 b1 , a2 b2 und erhält als Näherungsformel: A B a0 b0 ; cl , cr Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen • statt linearer Funktionstypen für mAL , mAR auch andere möglich – mAL , mAR können verschiedene Funktionstypen haben – Ansatz von DUBOIS/PRADE (1987): • Funktionen mAL , mAR sind durch Hilfsfunktionen L,R bestimmt: – L, R : 0 , 1 – L(0) R(0) 1 – L,R monoton fallend für positive Argumente • mAL , mAR mit Parametern a0 , q, p , p, q 0 werden dann definiert als: x a0 : mAL ( x) L(( a0 x) / q ) x a0 : mAR ( x) R(( x a0 ) / p ) • man schreibt dann A a0 ; q, p L / R • sind L,R lineare Funktionen L( x) 1 bx und R( x) 1 cx, ergeben sich folgende Beziehungen: q b(a0 a1 ) , p c(a2 a0 ) Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen • seien A a; q, p L / R und B b; q, p L / R unscharfe Zahlen mit L/R-Zerlegung – Summe A B a b; q q, p p L / R – Negatives A a; p, q R / L • man beachte, dass L und R die Rollen vertauscht haben • Differenz A B A B ist nur für L=R eine einfache L/R-Darstellung – Produkt ( a, b 0 , 0 supp( A) , 0 supp( B) ) nur mit Näherungsformel A B ab; aq bq qq, ap bp pp L / R – Kehrwert ( 0 supp( B) ) ähnlich: B1 1/ b; p / b2 , q / b2 R / L • L und R haben wieder Rollen vertauscht Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi • Quellen: – BANDEMER/GOTTWALD • Einführung in Fuzzy-Methoden (Akademie Verlag, 1992) Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi