Kapitel 1

INHALTSVERZEICHNIS
i
Inhaltsverzeichnis
I
Collegium Logicum
1
Die Aussagenlogik
1.1 Syntax der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition der aussagenlogischen Formeln . . . . . . .
1.1.2 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau . . . .
1.1.4 Definition durch Rekursion über den Formelaufbau . .
1.2 Semantik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Wahrheitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Interpretation von aussagenlogischen Formeln . . . . .
1.2.3 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe . . .
1.2.4 Einige wichtige allgemeingültige Formeln . . . . . . .
1.2.5 Einige wichtige Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Boolesche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Einsetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Ersetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Entscheidungsverfahren für Boolesche Normalformen
1.3.2 Boolescher Repräsentationssatz . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Das Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Der semantische Folgerungsbegriff: Erfüllbarkeit . . . . . . .
1.4.1 Zusammenhang zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit
1.5 Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit . . . . . .
1.5.1 Axiomensysteme und Beweise . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Korrektheit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Einige Axiomensysteme der Aussagenlogik . . . . . .
1.6 Vollständigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
1.6.7
1.6.8
1.6.9
2
3
ii
Verallgemeinerte Expansion . . . . . . . . . . . . . .
Lemma über die Negation . . . . . . . . . . . . . . .
Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit von Theorien
Lemma über Beweisbarkeit und Konsistenz . . . . . .
Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerter Vollständigkeitssatz . . . . . . . . .
Kompaktheitssatz der Aussagenlogik . . . . . . . . .
Strukturen und formale Sprachen
2.1 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mehrsortige Strukturen . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Symbole für formale Sprachen . . . . . . . . .
2.2 Unterstrukturen und Morphismen . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Satz über Unterstrukturen . . . . . . . . . . .
2.2.3 Homomorphes Bild, Identifizierung . . . . . .
2.3 Terme einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Interpretation von Termen . . . . . . . . . . .
2.3.2 Spracherweiterung durch Namen . . . . . . . .
2.3.3 Erzeugte Unterstrukturen . . . . . . . . . . . .
2.4 Formeln einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau
2.4.2 Freie und gebundene Variable . . . . . . . . .
2.4.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelle und Theorien
3.1 Das Wahrheitsprädikat: Modelle . . . . . . . . . .
3.1.1 Satz über neue Konstanten . . . . . . . . .
3.2 Axiome und Theorien . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Der Kompaktheitssatz und einige Folgerungen . . .
3.3.1 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Satz über die Existenz unendlicher Modelle
3.4 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Diagrammlemma . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
3.5
4
3.4.2 Universelle Theorien . . . . . . . . . . .
3.4.3 Modellerweiterungssatz von Keisler . . .
3.4.4 Erhaltungssatz für universelle Formeln .
3.4.5 Satz von Łoś-Tarski . . . . . . . . . . .
Einige mathematische Theorien . . . . . . . . .
3.5.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Gruppen- und Körpertheorie . . . . . . .
3.5.3 Axiomatisierbarkeit: Elementare Klassen
3.5.4 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . .
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Gesetze der Prädikatenlogik
4.1 Ein Axiomensystem für die Prädikatenlogik . . . . . . . . . .
4.1.1 Axiomensystem von Shoenfield . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Definition eines Beweises . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Substitution und universeller Abschluß . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Hintere Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Satz über die Generalisierung . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Substitutionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Abschlußsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Ersetzung und Umbenennung, Gleichheit . . . . . . . . . . .
4.4.1 Ersetzungstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Eigenschaften des Gleichheitsprädikates . . . . . . . .
4.5 Pränexe Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Umformungen mit der Negation . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Umformungen mit Konjunktion und Disjunktion . . .
4.5.3 Umformungen mit der Implikation . . . . . . . . . . .
4.5.4 Das Dualitätsprinzip für die Prädikatenlogik . . . . . .
4.6 Das Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Erweiterungen von Theorien, Widerspruchsfreiheit . . . . . .
4.7.1 Erweiterungen und Expansionen . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Satz über rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
4.7.3 Widerspruchsfrei/widerspruchsvoll . . . . . . . . . .
4.7.4 Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit . . . . . . . .
4.8 Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
4.8.1 Kanonische Struktur einer Theorie, Termstruktur . . . . .
4.8.2 Satz über Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Vervollständigung von Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Satz von Lindenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Henkin-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Der Gödelsche Vollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Vollständigkeit der Prädikatenlogik / Modellexistenz-Satz
4.11.2 Satz von Löwenheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.3 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grundlagen der Mengenlehre
5.1 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Definition der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Satz: Charakterisierung von Ordinalzahlen . . . . .
5.1.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . .
5.2 Mengen und Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Komprehensionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Auswege aus den Antinomien . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen
5.2.4 Überblick über verschiedene Axiomensysteme . . .
5.3 Extensionalität und Aussonderung . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Vereinigung und Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt . . . . . . .
5.6 Überblick über die ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen von Mengen von . . .
6.1 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . .
6.1.1 Ordnungen auf Klassen . . . . . . . .
6.1.2 Minimumsprinzip . . . . . . . . . . .
6.1.3 Induktionsprinzip für Wohlordnungen
6.1.4 Segmente . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Rekursionssatz für Wohlordnungen .
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6.2
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III
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v
6.1.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen . .
6.1.7 Transfinite Rekursion . . . . . . . . . . . .
Die von-Neumannsche Hierarchie . . . . . . . . .
Die Rolle des Unendlichkeitsaxioms . . . . . . . .
6.3.1 PA in mengentheoretischer Sprache . . . .
6.3.2 Die Theorie der endlichen Mengen . . . . .
6.3.3 Anwendungen der numerischen Rekursion
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Das Auswahlaxiom
7.1 Zermelos Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Mengentheoretisch äquivalente Formen . . . . .
7.1.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz . . . . . . .
7.1.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff .
7.2 Anwendungen des Auswahlaxioms . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. . . . . . . .
7.2.2 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Nicht-meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Äquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen
7.2.5 Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Boolesches Primidealtheorem . . . . . . . . . .
Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
8.1 Endliche und abzählbare Mengen . . . . . .
8.2 Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
8.3 Überabzählbare Mengen . . . . . . . . . .
8.4 Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Satz von Cantor-Schröder-Bernstein
8.4.2 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs .
8.4.3 Satz von Cantor . . . . . . . . . . .
8.5 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Operationen auf den Kardinalzahlen
8.5.2 Satz von Hessenberg . . . . . . . .
8.5.3 Satz von Bernstein . . . . . . . . .
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Grundlagen der Modelltheorie
Hin und her: Vollständigkeit und elementare Äquivalenz
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INHALTSVERZEICHNIS
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Elementare Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Die Theorie der dichten linearen Ordnung . . . . . . . . . . . . . 175
Kategorizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10 Auf und ab: Elementare Substrukturen
10.1 Elementare Substrukturen . . . . . . . . . . . .
10.2 Diagrammlemma (Fortsetzung) . . . . . . . . .
10.3 Kriterium von Tarski . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (abwärts) .
10.5 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (aufwärts)
10.6 Test von Vaught . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Vereinigungen, Durchschnitte und Ketten
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11.1 Satz über Ketten von Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.2 Satz von Chang- Łoś-Szusko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12 Produkte und Ultraprodukte
12.1 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Ultrafiltersatz, Boolesches Primidealtheorem
12.4 Reduziertes Produkt . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Satz von Łoś . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . .
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13 Modellvollständigkeit
198
13.1 Robinsonscher Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
IV
Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit
14 Berechenbare Funktionen
14.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . .
14.2 URM-berechenbare Funktionen . . . . . .
14.3 Churchsche These . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Aufzählbarkeitssätze . . . . . . . . . . . .
14.5 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . .
14.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen
14.7 Partielle Entscheidbarkeit . . . . . . . . . .
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205
207
208
209
209
212
214
INHALTSVERZEICHNIS
vii
15 Definierbarkeit berechenbarer Funktionen
15.1 Eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA
15.2 Arithmetische Formeln . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Enderweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen
15.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Gödels Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7 Definierbarkeitssatz für rekursive Funktionen . .
15.8 Repräsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
16 Die Gödelschen Sätze
16.1 Gödel-Nummern . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Diagonalisierungslemma . . . . . . . . . .
16.3 Satz von Gödel-Rosser . . . . . . . . . . .
16.4 Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz .
16.5 Kombinatorische Prinzipien . . . . . . . .
16.6 Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz
16.7 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar .
16.8 Unentscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . .
17 Literatur
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235
238
1
Teil I
Collegium Logicum
2
Mein teurer Freund, ich rat´ Euch drum
Zuerst Collegium Logicum.
Da wird der Geist Euch wohl dressiert
In spanische Stiefeln eingeschnürt,
Daß er bedächtiger so fortan
Hinschleiche die Gedankenbahn.
J. W. v. Goethe: Faust I
Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist ein Mensch,
also ist Sokrates sterblich.
So lautet ein bekanntes Beispiel eines logischen Schlusses. Dabei sagt die Logik nichts aus über die Gültigkeit der Einzelaussagen, insbesondere behauptet sie
nicht die Sterblichkeit von Sokrates, sondern die Wahrheit dieser Aussage unter
Annahme, daß die beiden vorangehenden Aussagen (die Prämissen) wahr sind.
Nach dem gleichen Muster könnte man auch folgern:
Alle Tappel haben einen Deppel, Knobbel ist ein Tappel,
also hat Knobbel einen Deppel.
Bereits A RISTOTELES (384 - 322 v. Chr.) hat in seiner Syllogistik damit begonnen, derartige Schlußweisen zu formalisieren und alle möglichen Schlüsse systematisch auf ihre Gültigkeit zu untersuchen1 . Auch erste Ansätze einer Aussagenlogik finden sich bei A RISTOTELES ; sie wird vor allem in der Stoa und in der
Scholastik weiterentwickelt. Den obigen Schluß können wir in moderner Symbolik in der Form
∀X(M(X) → T (X)), M(S)
also: T (S)
1 I.
Susan Russinoff hat 1999 darauf hingewiesen, daß die endgültige Klassifizierung der Syllogismen erst 1883 von einer Schülerin des amerikanischen Logikers C.S. Peirce dargestellt wurde:
Christine Ladd-Franklin. Bereits 1882 hatte sie alle Voraussetzungen für eine Promotion an der
John Hopkins University erfüllt; da sie aber damals als Frau nicht zugelassen wurde, erhielt sie
ihren Ph.D.-Grad erst 1926, und ihre Arbeit blieb über hundert Jahre unbeachtet.
3
schreiben. Daraus wird deutlich, daß der Schluß ganz allgemein und allein aufgrund seiner Form gilt - die Untersuchung derartiger Schlußweisen ist Gegenstand der Mathematischen Logik (auch Formale Logik, Symbolische Logik oder
Metamathematik, von Philosophen auch Moderne Logik oder Logistik genannt).
Die Mathematische Logik ist
(i) eine Logik für die Mathematik; sie untersucht Ausdrucksmöglichkeiten in
formalen Sprachen und Schlußweisen, wie sie in der Mathematik insbesondere für axiomatische Theorien gebräuchlich sind. Das bedeutet - thematisch
- natürlich eine starke Einschränkung gegenüber der allgemeinen (philosophischen) Logik, aber - methodisch - ermöglicht diese Beschränkung es andererseits, sie selbst als
(ii) eine formale mathematischen Theorie zu entwickeln. Dadurch kann die Mathematische Logik (als Metatheorie) über die Mathematische Logik selbst
(und zwar nun als formale mathematische Theorie) Aussagen machen. Diese sind möglicherweise rückbezüglich und damit häufig widerspruchsvoll
(z. B.: Antinomie des Lügners); in diesem Fall jedoch kann man sie nach K.
G ÖDEL benutzen, um die Grenzen ihrer eigenen Methode aufzeigen (etwa
in Form der G ÖDELschen Unvollständigkeitssätze).
4
Kapitel 1
Die Aussagenlogik
Die Aussagenlogik untersucht die Verknüpfungen “nicht”, “und”, “oder”, “wenn
. . . dann” und “genau dann, wenn”. Diese Operationen kommen auch in der Umgangssprache vor, allerdings möglicherweise mit zusätzlichen Aspekten, die über
den Gebrauch in der Mathematik hinausgehen und hier natürlich unberücksichtigt bleiben sollen. Aufgrund dieser Einschränkung wird die Aussagenlogik (AL)
zu einem einfachen Kalkül (dem Aussagenkalkül) der beiden Wahrheitswerte W
und F; mathematisch gesehen handelt es sich um eine sehr einfache Theorie die Algebra der zwei Werte 0 und 1. Wir wollen sie hier trotzdem ausführlicher
behandeln, denn
• die AL ist Grundlage der Computerlogik mit zahlreichen Anwendungen (etwa auf die Untersuchung von Schaltungen) und
• sie ist Bestandteil fast jeder weiteren Logik, insbesondere der später einzuführenden Prädikatenlogik (PL).
• Grundlegende Begriffsbildungen, die besonders für die PL wichtig werden,
können hier in einer einfachen Situation vorbereitet werden.
Beginnen werden wir mit dem Aufbau einer formalen Sprache: Aus einer vorgegebenen Liste von Zeichen oder
• Symbolen (entsprechend dem Alphabet einer natürlichen Sprache) werden
nach bestimmten formalen Gesetzen Zeichenreihen gebildet und als
• Formeln (entsprechend den Wörtern einer natürlichen Sprache) ausgezeichnet; die Bedeutung der Formeln wird dann durch
• Interpretationen (Modelle) festgelegt.
1.1. S YNTAX DER AUSSAGENLOGIK
5
1.1 Syntax der Aussagenlogik
Mit Hilfe der Symbole
¬ (nicht), ∧ (und), ∨ (oder), → (wenn . . . dann), ↔ (genau dann . . . wenn)
und den Aussagenvariablen (für aussagenlogisch nicht weiter zerlegbare Grundaussagen) definieren wir den Begriff einer aussagenlogischen Formel, abgekürzt
a. F., wie folgt:
1.1.1 Definition der aussagenlogischen Formeln
(F1) A0 , A1 , A2 , . . . sind a. F., und zwar Aussagenvariable.
(F2) Ist ϕ eine a. F., so auch ¬ ϕ.
(F3) Sind ϕ und ψ a. F., so auch (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ) und (ϕ ↔ ψ).
(F4) Das sind alle a. F.
Aussagenlogische Formeln werden wir wie oben mit kleinen griechischen Buchstaben ϕ, ψ, χ, . . . bezeichnen, Aussagenvariable auch mit A, B,C, . . .
Achtung: Formeln sind formale endliche Zeichenreihen; ihre Bedeutung haben
wir zwar oben bereits in Klammern angegeben, aber davon werden (und dürfen)
wir zunächst keinen Gebrauch machen!
Beispiele für aussagenlogische Formeln sind:
A, ¬A, ¬¬¬B, (((¬¬A ∨ B) ∧ ¬A) → (A ∧ ¬C)),
während A¬, B∨), A ∧ ¬C keine aussagenlogischen Formeln sind!
Klammerregeln
Klammern dienen der eindeutigen Darstellbarkeit von Formeln, können zur besseren Lesbarkeit jedoch in einigen Fällen eingespart werden:
• Äußere Klammern können fortgelassen werden: Schreibe
A ∧ ¬C statt (A ∧ ¬C).
1.1. S YNTAX DER AUSSAGENLOGIK
6
• ∧ und ∨ “binden stärker” als → und ↔: schreibe
B ∧ ¬A → A ∨ ¬C statt ((B ∧ ¬A) → (A ∨ ¬C)).
Dagegen werden wir ∧ und ∨ gleichberechtigt behandeln, d. h. bei
(¬¬A ∨ B) ∧ ¬A sowie (A ∨ B) ∧C bzw. A ∨ (B ∧C).
kann man keine weiteren Klammern einsparen.
• Für ∧ und ∨ benutzen wir die assoziative Schreibweise:
A ∨ B ∨C steht für (A ∨ (B ∨C)) und A ∧ B ∧C für (A ∧ (B ∧C)).
Die andere mögliche Klammerung führt formal zu einer anderen, inhaltlich
jedoch äquivalenten Formel. Rechtsklammerung werden wir später auch
wählen bei
•
A→B→C
für
A → (B → C),
welches jedoch nicht äquivalent zu (A → B) → C ist! Gelegentlich findet man
weitere Vereinbarungen über das Fortlassen von Klammern; gänzlich entbehrlich
sind sie bei der polnischen Notation: Hier schreibt man etwa
Nϕ für ¬ϕ, Aϕψ für ϕ ∨ ψ, Kϕψ für ϕ ∧ ψ,
so daß ¬(p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬¬q) in polnischer Notation KNApqK pNNq geschrieben wird.
1.1.2 Induktion und Rekursion
Eine explizite Definition des Begriffs “a. F.” würde diesen auf bereits bekannte
zurückführen und von der Form sein
ϕ ist a. F. :⇐⇒ . . .,
wobei rechts eine Eigenschaft von ϕ steht (das Definiens), in welcher das Definiendum, nämlich a. F., selbst nicht vorkommt. Dagegen ist die Definition 1.1.1
rekursiv, indem zwar auf der rechten Seite auch das zu Definierende vorkommt,
aber zurückgeführt auf kürzere Ausdrücke.
Eine rekursive Definition hat den Vorzug, daß sie in der Regel zugleich ein
Verfahren enthält, in endlich vielen Schritten “effektiv” nachzuprüfen, ob der vorgelegte Ausdruck der Definitionsanforderung genügt oder nicht. Man sagt in diesem Fall auch: Das Prädikat
7
1.1. S YNTAX DER AUSSAGENLOGIK
z1 . . . zn ist eine aussagenlogische Formel
ist entscheidbar, d. h. es gibt ein “mechanisches” Verfahren, das - angewandt auf
eine vorgegebene endliche Zeichenreihe z1 . . . zn - nach endlich-vielen Schritten
feststellt, ob z1 . . . zn eine aussagenlogische Formel ist oder nicht. Eine Präzisierung der Begriffe “entscheidbar”, “effektives” Verfahren werden wir später vornehmen. Ein weiterer Vorteil einer rekursiven Definition liegt darin, daß man eine
Aussage über den neuen Begriff beweisen kann, indem man sie
(1) zunächst für den Anfangsfall und dann
(2) für die aufbauenden Fälle nachweist,
also vom einfachen Fall zum komplizierten übergeht - man spricht dann von einem
Beweisverfahren durch Induktion. Dieses Prinzip ist bekannt aus der Theorie der
natürlichen Zahlen:
Induktionsprinzip für die natürlichen Zahlen
Es sei E eine Eigenschaft mit
(i) E(0),
(ii) falls E(n), so auch E(n0 ).
Induktionsanfang
Induktionsschluß
Dann gilt E(n) für alle natürlichen Zahlen n.
Dabei besteht der Induktionsschluß aus der Induktionsvoraussetzung E(n) und
der Induktionsbehauptung E(n0 ).
Wenn man die gewöhnliche Ordnung auf den natürlichen Zahlen benutzt, kann
man das Induktionsprinzip auch in der folgenden Form anwenden:
(Starkes) Induktionsprinzip für die natürlichen Zahlen
Es sei E eine Eigenschaft mit
(ii’) falls E(m) für alle m < n, so auch E(n).
Induktionsschluß
Dann gilt E(n) für alle natürlichen Zahlen n.
Diese beiden Induktionsprinzipien sind untereinander und mit dem Minimumsprinzip äquivalent:
8
1.1. S YNTAX DER AUSSAGENLOGIK
Minimumsprinzip für die natürlichen Zahlen
Falls es eine natürliche Zahl m mit der Eigenschaft E(m) gibt,
so gibt es eine kleinste derartige Zahl.
Aussagen über alle Formeln kann man durch Induktion beweisen, indem man
ein Komplexitätsmaß einführt, d. h. eine Funktion k, die allen Formeln eine natürliche Zahl zuordnet, so daß
k(ϕ) < k(¬ϕ),
z. B.:
k(ϕ), k(ψ) < k(ϕ ∗ ψ),
lz(ϕ) = Anzahl der logischen Verknüpfungen ¬, ∧, ∨, →, ↔ in ϕ,
l(ϕ) = Anzahl aller Zeichen in ϕ (Länge von ϕ).
Besonders nützlich ist dafür die Rangfunktion, rekursiv definiert durch
ρ(Ai ) = 0,
ρ(¬ϕ) = ρ(ϕ) + 1,
ρ(ϕ ∗ ψ) = max(ρ(ϕ), ρ(ψ)) + 1, wobei ∗ = ∧, ∨, →, ↔ .
1.1.3 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau
Es sei E eine Eigenschaft mit
(i) E(A) gilt für alle Ausagenvariablen A,
(ii) gilt E(ϕ), so auch E(¬ϕ), und
(iii) gelten E(ϕ) und E(ψ), so auch E(ϕ ∗ ψ) für ∗ = ∧, ∨, → und ↔ .
Dann gilt E(ϕ) für alle a. F. ϕ.
Legt man ein Komplexitätsmaß k zugrunde, so kann man die drei Bedingungen
(i) - (iii) ersetzen durch eine einzige:
(ii’) Gilt E(ψ) für alle ψ mit k(ψ) < k(ϕ), so auch E(ϕ).
Die Rangfunktion haben wir oben durch Rekursion definiert; damit dies zulässig ist, benötigen wir die
1.1. S YNTAX DER AUSSAGENLOGIK
9
Eindeutige Lesbarkeit von Formeln
Es sei ϕ eine a. F. Dann ist ϕ entweder eine Aussagenvariable oder läßt sich auf
genau eine Weise in der Form
¬ψ, (ψ ∧ χ), (ψ ∨ χ), (ψ → χ) oder (ψ ↔ χ)
schreiben.
Zum Beweis benutze man das folgende (technische) Lemma:
Lemma
Es sei ϕ eine a. F., w eine endliche Zeichenreihe. Dann gilt:
Falls die Zeichenreihe ϕw eine a. F. ist, so ist w leer, also ϕw = ϕ.
Dieses Lemma - zugleich ein gutes Beispiel für eine syntaktische Aussage!
- beweist man am besten durch Induktion über die Anzahl l(ϕw) der Zeichen in
ϕw.
Neben der rekursiven Definition eines Prädikats (wie im Falle des Formelbegriffs) haben wir im Falle der Rangfunktion eine rekursive Definition einer Funktion. Auch derartige Funktionen haben ihr Vorbild in der Zahlentheorie, wo man
etwa die Funktion n! rekursiv definiert durch
0! = 1, (n + 1)! = n!(n + 1).
Diese Definition liefert nur deshalb eine Funktion, weil für eine Zahl n 6= 0 der
Vorgänger m von n (mit m0 = n) eindeutig bestimmt ist. Die entsprechende Voraussetzung für den Formelbegriff haben wir gerade mit der eindeutigen Lesbarkeit
der Formeln bewiesen.
1.1.4 Definition durch Rekursion über den Formelaufbau
Zu gegebenen Funktionen g0 , . . . , g5 (geeigneter Stellenzahl) läßt sich eine Funktion g auf der Menge der a. F. definieren durch:
g(A) = g0 (A)
g(¬ϕ) = g1 (g(ϕ))
g(ϕ ∧ ψ) = g2 (g(ϕ), g(ψ))
g(ϕ ∨ ψ) = g3 (g(ϕ), g(ψ))
g(ϕ → ψ) = g4 (g(ϕ), g(ψ))
g(ϕ ↔ ψ) = g5 (g(ϕ), g(ψ))
10
1.2. S EMANTIK DER AUSSAGENLOGIK
1.2 Semantik der Aussagenlogik
Die Bedeutung der aussagenlogischen Verknüpfungen wird üblicherweise durch
die Wahrheitstafeln festgelegt - die aussagenlogischen Verknüpfungen werden dadurch zu Funktionen auf den Wahrheitswerten
• W (“wahr”), manchmal auch mit 1 oder V bezeichnet, und
• F (“falsch”), manchmal auch mit 0 oder Λ bezeichnet.
(Wir behandeln hier die 2-wertige Logik, nehmen also an, daß es genau zwei
Wahrheitswerte gibt, nämlich W und F.)
1.2.1 Wahrheitsfunktionen
1-stellige Wahrheitsfunktionen
id
¬
F
W W
W F
F
W
F
F
W
W
F
Unter den vier 1-stelligen gibt es nur eine nicht-triviale Wahrheitsfunktion,
2
die die Wahrheitswerte vertauscht und der Negation entspricht. Es gibt 22 = 16
2-stellige Wahrheitsfunktionen; lassen wir die trivialen weg, so erhalten wir:
2-stellige (nichttriviale) Wahrheitsfunktionen
W
W
F
F
W
F
W
F
∧
∨
→
←
∇
↔
a
`
↓
↑
W
F
F
F
W
W
W
F
W
F
W
W
W
W
F
W
F
W
W
F
W
F
F
W
F
W
F
F
F
F
W
F
F
F
F
W
F
W
W
W
Neben den bereits eingeführten tritt hier noch das entweder-oder ∇ auf, das
weder-noch ↓ (“nor”, P EIRCE) sowie ↑ (“nand”, S HEFFER´s stroke).
3
Weiterhin gibt es bereits 22 = 256 3-stellige Wahrheitsfunktionen, allgemein
n
22 n-stellige Wahrheitsfunktionen, auf die wir später noch zurückkommen werden.
1.2. S EMANTIK DER AUSSAGENLOGIK
11
Wir wollen nun jeder aussagenlogischen Formel ϕ(A1 , . . . , An ) in den Aussagenvariablen A1 , . . . , An den Wahrheitswert zuordnen, der sich durch Auswertung
gemäß den Wahrheitstafeln ergibt. Dieser Wert hängt ab
(1) von den Wahrheitswerten, die die Aussagenvariablen erhalten, sowie davon,
(2) wie ϕ aus den Aussagenvariablen mit Hilfe der aussagenlogischen Verknüpfungen zusammengesetzt ist:
1.2.2 Interpretation von aussagenlogischen Formeln
ϕ sei eine aussagenlogische Formel, V sei eine beliebige (u. U. unendliche) Menge
von Aussagenvariablen. Man bezeichnet mit
f: V → {W,F}
B(V) := { f | f : V −→ {W,F}}
V (ϕ)
F(V) := {ϕ|V (ϕ) ⊆ V }
Belegung von V (mit Wahrheitswerten),
Menge der Belegungen von V.
Menge der Aussagenvariablen in ϕ
Menge der Formeln mit Variablen in V.
Es sei nun ϕ eine aussagenlogische Formel mit Variablen in V, f : V −→ {W, F}
eine Belegung mit V (ϕ) ⊆ V . Dann definieren wir
f(ϕ) als Wahrheitswert (oder: Interpretation) von ϕ unter der Belegung f
durch Rekursion über den Aufbau von ϕ wie folgt:
f (ϕ) = f (A),
f alls ϕ = A eine Aussagenvariable ist,
f (¬ϕ) = ¬ f (ϕ),
f (ϕ ∗ ψ) = f (ϕ) ∗ f (ψ).
Dabei steht * für die 2-stelligen Operationen. Zu beachten ist, daß auf der linken Seite innerhalb der Klammern die Symbole für die aussagenlogischen Verknüpfungen, auf der rechten Seite aber die zugeordneten Operationen stehen, die
man aus den Wahrheitstafeln entnimmt (und die wir dort der Einfachheit halber
auch mit den entsprechenden Symbolen bezeichnet haben).
Beispiel
Es sei ϕ = ¬(A ↔ C) ∧ ¬D, also V (ϕ) = {A,C, D}. Ferner sei V = {A, B,C, D},
und f : V −→ {W, F} sei definiert durch
12
1.2. S EMANTIK DER AUSSAGENLOGIK
f (A) = W, f (B) = W, f (C) = F, f (D) = W.
Dann erhält man durch sukzessive Berechnung (entsprechend der rekursiven Definition):
f
A
B
C
D
A↔C
¬(A ↔ C)
D
¬D
ϕ
W
W
F
W
F
W
W
F
F
f (ϕ) hängt hier natürlich nicht von f (B) ab, da B nicht in ϕ vorkommt. Allgemein
gilt:
Satz
f (ϕ) hängt nur von f V (ϕ) (und natürlich von ϕ) ab, d. h. sind f und g zwei
Belegungen, die (mindestens) auf V (ϕ) definiert sind und dort übereinstimmen, so
ist f (ϕ) = g(ϕ).
Beweis: durch Induktion über den Formelaufbau von ϕ.
1.2.3 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe
Es seien ϕ, ψ ∈ F(V ).
ag[ϕ]
kd[ϕ]
er f b[ϕ]
ϕ äq ψ
ϕ impl ψ
: ⇐⇒
: ⇐⇒
: ⇐⇒
: ⇐⇒
: ⇐⇒
⇐⇒
f ür alle f ∈ B(V )
f ür alle f ∈ B(V )
es gibt ein f ∈ B(V )
f ür alle f ∈ B(V )
f ür alle f ∈ B(V )
ag[ϕ → ψ]
gilt:
gilt:
mit:
gilt:
gilt:
f (ϕ) = W
ϕ ist allgemeingültig
f (ϕ) = F
ϕ ist kontradiktorisch
f (ϕ) = W
ϕ ist erfüllbar
f (ϕ) = f (ψ) ϕ ist äquivalent zu ψ
f (ϕ) = W ⇒ f (ψ) = W
ϕ impliziert ψ
Einfache Beispiele
ag[A ∨ ¬A], kd[A ∧ ¬A], er f b[A], er f b[¬A], aber A (und auch ¬A) sind weder
allgemeingültig noch kontradiktorisch.
13
1.2. S EMANTIK DER AUSSAGENLOGIK
Es gilt offenbar:
ag[ϕ]
⇐⇒
kd[¬ϕ]
er f b[ϕ]
⇐⇒
nicht kd[ϕ]
ag[¬ϕ]
=⇒
nicht ag[ϕ] (aber die Umkehrung gilt i. a. nicht)
ag[ϕ ∧ ψ]
⇐⇒
ag[ϕ] und ag[ψ]
er f b[ϕ ∨ ψ]
⇐⇒
er f b[ϕ] oder er f b[ψ]
ag[ϕ] oder ag[ψ]
=⇒
ag[ϕ ∨ ψ]
er f b[ϕ ∧ ψ]
=⇒
er f b[ϕ] und er f b[ψ] (i. a. ohne Umkehrung!)
(i. a. ohne Umkehrung!)
Bemerkung
Die hier eingeführten Prädikate sind entscheidbar. Ein Entscheidungsverfahren
liefert (unmittelbar nach Definition) die Wahrheitstafelmethode; dieses Verfahren
besitzt jedoch exponentielle Komplexität: Hat ϕ n Variable, so hat B(V (ϕ)) bereits
2n Elemente! Für jedes einzelne f ∈ B(V (ϕ)) muß man f (ϕ) berechnen, wobei
die Komplexität dieser Berechnung abhängig ist von der Anzahl der logischen
Symbole in ϕ.
Damit läßt sich die Aussagenlogik kalkülmäßig behandeln - man spricht daher auch vom Aussagenkalkül. Dagegen wird sich später zeigen, daß die Allgemeingültigkeit einer prädikatenlogischen Aussage sich i. a. nicht mehr entscheiden läßt; trotzdem spricht man (aus Gründen, die später im Rahmen einer Axiomatisierung deutlicher werden) auch vom Prädikatenkalkül.
14
1.2. S EMANTIK DER AUSSAGENLOGIK
1.2.4 Einige wichtige allgemeingültige Formeln
A ∨ ¬A
A→A
¬(A ∧ ¬A)
¬(A ↔ ¬A)
¬A → (A → B)
A ∧ (A → B) → B
¬B ∧ (A → B) → ¬A
A → A∨B
A∧B → A
(A → B) ∧ (B → C) → (A → C)
(A ∨ B) ∧ (A → C) ∧ (B → C) → C
((A → B) → A) → A
tertium non datur
Selbstimplikation
Gesetz vom Widerspruch
Gesetz vom Widerspruch
regula falsi
modus ponens (als Gesetz)
modus tollens (als Gesetz)
(hintere) Abschwächung
(vordere) Abschwächung
Kettenschluß
Gesetz der Fallunterscheidung
Formel von Peirce
Einige dieser allgemeingültigen Formeln ergeben gültige Implikationen, wie
z. B.
A impl A ,
A impl B und B impl C =⇒ A impl C ,
A impl B und B impl A =⇒ A äq B .
1.2.5 Einige wichtige Äquivalenzen
¬ ¬ A äq A
A → B äq ¬B → ¬A
¬(A → B) äq (A ∧ ¬B)
¬(A ∨ B) äq (¬A ∧ ¬B)
¬(A ∧ B) äq (¬A ∨ ¬B)
A → (B → C) äq A ∧ B → C
A → B ∨C äq (A → B) ∨ (A → C)
A → B ∧C äq (A → B) ∧ (A → C)
A ∨ B → C äq (A → C) ∧ (B → C)
A ∧ B → C äq (A → C) ∨ (B → C)
Gesetz der doppelten Verneinung
Kontraposition
de M ORGANsches Gesetz
de M ORGANsches Gesetz
Importation / Exportation
Distrib. der Implikation “von rechts”
Distrib. der Implikation “von rechts”
Zu beachten ist der Wechsel von ∨ zu ∧ (und umgekehrt) in den beiden letzten
Formeln!
15
1.2. S EMANTIK DER AUSSAGENLOGIK
1.2.6 Boolesche Gesetze
A∩B = B∩A
A∪B = B∪A
A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩C
A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪C
A∩A = A
A∪A = A
A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)
A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)
A ∩ (B ∪ A) = A
A ∪ (B ∩ A) = A
A ∪ −A = V, A ∩ −A = 0/
− −A = A
− 0/ = V, −V = 0/
− (A ∩ B) = − A ∪ − B
− (A ∪ B) = − A ∩ − B
Kommutativgesetze
Assoziativgesetze
Idempotenzgesetze
Distributivgesetze
Absorptionsgesetze
Komplementgesetze
de M ORGANsche Gesetze
Dieses sind die Gesetze einer B OOLEschen Algebra, und zwar in mengentheoretischer Form ausgedrückt. Die entsprechenden aussagenlogischen Gesetze
erhält man, wenn man folgende Ersetzungen vornimmt:
mengentheoretisch
=
−
∩
∪
0/
V
aussagenlogisch
äq
¬
∧
∨
A ∧ ¬A
A ∨ ¬A
Die obigen Gesetze haben wir für Aussagenvariable aufgeschrieben; sie gelten
aber allgemeiner für a. F. anstelle der Aussagenvariablen. Diese Tatsache ergibt
sich aus der
1.2.7 Einsetzungsregel
ϕ(A)
ϕ[ψ/A]
1.2. S EMANTIK DER AUSSAGENLOGIK
16
Damit ist gemeint: Wenn der obere Teil allgemeingültig ist, so auch der untere.
Dabei schreiben wir auch ϕ(A), um anzudeuten, daß die Aussagenvariable A in
ϕ(A) vorkommt, und mit
ϕ[ψ/A]
bezeichnen wir die Formel, die aus ϕ wie folgt hervorgeht: Setze in ϕ an allen
Stellen, an denen die Aussagenvariable A vorkommt, die Formel ψ ein.
Beispiel
Es ist ag[A ∨ ¬A] und damit auch ag[ϕ ∨ ¬ϕ] für jede Formel ϕ.
1.2.8 Ersetzungsregel
ϕ ↔ψ
χ ↔ χ(ψ/ϕ)
Dabei bezeichnet
χ(ψ/ϕ)
die Formel, die aus der Formel χ wie folgt hervorgeht: Ersetze in χ an einigen
(möglicherweise allen) Stellen die Formel ϕ durch die Formel ψ.
Beispiel
Es ist ag[¬ ¬ A ↔ A], nach der Einsetzungsregel also auch ag[¬ ¬ ϕ ↔ ϕ],
und somit erhält man aus einer Formel χ eine äquivalente Formel, indem man an
einigen (oder allen Stellen) ¬ ¬ ϕ durch ϕ ersetzt.
Beweis der Einsetzungsregel:
Es sei ϕ ∗ := ϕ[ψ/A] mit V (ϕ) = {A, A1 , . . . , An } und V (ψ) = {B1 , . . . , Bm },
somit: V (ϕ ∗ ) = {A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm }.
Für eine beliebige Belegung g : V (ϕ ∗ ) −→ {W, F} ist zu zeigen: g(ϕ ∗ ) = W .
Dazu definiere man eine Belegung f : V (ϕ) −→ {W, F} durch
f (A) = g(ψ), f (Ai ) = g(Ai )
und zeige: g(ϕ ∗ ) = f (ϕ), also = W , da ag[ϕ].
Beweis der Ersetzungsregel:
Es sei χ ∗ := χ(ψ/ϕ) und f : V (χ) ∪V (χ ∗ ) −→ {W, F} eine beliebige Belegung. Zeige: f (χ) = f (χ ∗ ) durch Induktion über den Formelaufbau von χ.
17
1.3. N ORMALFORMEN
1.3 Normalformen
In diesem Abschnitt werden wir uns mit aussagenlogischen Formeln beschäftigen, die nur die Operationen ¬, ∨, ∧ enthalten und B OOLEsche Formeln genannt
werden.
Boolesche Umformung
Zu jeder aussagenlogischen Formel ϕ gibt es eine äquivalente B OOLEsche Formel
ϕ b , die dieselben Aussagenvariablen wie ϕ enthält:
ϕ äq ϕ b , wobei V (ϕ) = V (ϕ b ).
Beweis: Eliminiere die Symbole → und ↔ durch Umformungen zu äquivalenten Formeln; d. h. ersetze in ϕ jede Teilformel der Form
ψ → χ durch die äquivalente Formel ¬ψ ∨ χ,
ψ ↔ χ durch die äquivalente Formel (¬ψ ∨ χ) ∧ (¬χ ∨ ψ).
Bemerkung
Indem man die entsprechenden Äquivalenzen benutzt, kann man auch noch ∨
durch ¬ und ∧ (bzw. ∧ durch ¬ und ∨) ausdrücken und erreichen, daß ϕ b nur
noch ¬ und ∧ (bzw. ¬ und ∨) enthält, was im Hinblick auf manche Anwendungen (z. B. Dualitätssatz) aber nicht immer erwünscht ist. Tatsächlich kann man
eine aussagenlogische Formel in eine äquivalente umformen, die nur noch eine
aussagenlogische Operation (nämlich ↓ bzw. ↑) enthält.
Endliche Konjunktionen und Disjunktionen
ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ ϕ3 := ϕ1 ∧ (ϕ2 ∧ ϕ3 ),
V
ϕi = ϕ1
Vi=1,...,n
V
i=1,...,n ϕi = ϕ1 ∧ i=2,...,n ϕi
allgemein:
für n = 1,
für n > 1,
und analog definiert man die endlichen Disjunktionen
W
i=1,...,n ϕi .
Eine Formel ist in konjunktiver Normalform (KNF) gdw sie eine Konjunktion
von Disjunktionen ist, wobei die einzelnen Disjunktionsglieder kein ∧ und kein ∨
mehr enthalten, d. h. wenn sie von der folgenden speziellen Form ist
V
i=1,...,n
W
j=1,...,mi ϕi j ,
18
1.3. N ORMALFORMEN
wobei jedes ϕi j eine Aussagenvariable oder eine negierte Aussagenvariable ist,
in disjunktiver Normalform (DNF) gdw sie von der Form
W
i=1,...,n
V
j=1,...,mi ϕi j
ist, wobei wiederum jedes ϕi j eine Aussagenvariable oder eine negierte Aussagenvariable ist. (Insbesondere sind A ∨ ¬B sowie A ∧ ¬B in konjunktiver und zugleich
in disjunktiver Normalform.)
Satz (Boolesche Normalform)
Zu jeder aussagenlogischen Formel ϕ gibt es äquivalente Formeln ϕ k bzw. ϕ d in
konjunktiver bzw. disjunktiver Normalform, die dieselben Aussagenvariablen wie
ϕ enthalten:
ϕ äq ϕ k äq ϕ d , wobei
V (ϕ) = V (ϕ k ) = V (ϕ d ), ϕ k in KNF, ϕ d in DNF.
Beweis: Eine disjunktive NF läßt sich aus ϕ mittels folgender Umformungen
konstruieren:
(1) ϕ äq ϕ b
für eine B OOLEsche Formel ϕ b .
(2) ϕ b äq ϕ n für eine Formel ϕ n , wobei in ϕ n ein Negationszeichen höchstens
vor Aussagenvariablen vorkommt; dazu benutze man folgende Äquivalenzen:
¬¬ψ äq ψ , ¬(ψ ∨ χ) äq ¬ψ ∧ ¬χ, ¬(ψ ∧ χ) äq ¬ψ ∨ ¬χ (De Morgan).
(3) eliminiere in ϕ n ∧ “vor” ∨ mittels der Distributivgesetze:
ψ ∧ (χ ∨ δ ) äq (ψ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ δ )
(ψ ∨ χ) ∧ δ äq (ψ ∧ δ ) ∨ (χ ∧ δ )
Als Ergebnis erhält man eine disjunktive NF ϕ d , welche zu ϕ äquivalent ist.
Die im 2. Schritt erhaltene Formel ϕ n , in welcher das Negationszeichen höchstens
vor Aussagenvariablen vorkommt, nennt man auch eine Negationsnormalform
von ϕ. Um eine konjunktive NF zu erhalten, bilde man zuerst wieder eine Negationsnormalform und wende im 3. Schritt die dualen Distributivgesetze an (vertausche ∧ mit ∨). (Der Beweis liefert ein effektives Verfahren, um ϕ zu einer
äquivalenten konjunktiven bzw. disjunktiven Normalform umzuformen.)
19
1.3. N ORMALFORMEN
1.3.1 Entscheidungsverfahren für Boolesche Normalformen
(i) ϕ sei in KNF. Dann gilt:
ag[ϕ ] ⇔ in jedem Konjunktionsglied von ϕ kommt mindestens eine Aussagenvariable zusammen mit ihrer Negation vor.
(ii) ϕ sei in DNF. Dann gilt:
kd[ϕ ] ⇔ in jedem Disjunktionsglied von ϕ kommt mindestens eine Aussagenvariable zusammen mit ihrer Negation vor.
Beispiel
(A ∨ D ∨ ¬A) ∧ (¬B ∨ A ∨ A ∨ B) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬B ∨ A ∨C)
ist allgemeingültig, nicht aber (¬A ∨ B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A ∨ A ∨ D).
Beweis von (i): Es ist
ag[
V
i=1,...,n
W
j ϕi j ]
⇐⇒ für alle i = 1, ..., n : ag[
W
j ϕi j ].
Gibt es zu jedem i ein j und ein k, so daß ϕi j = A und ϕik = ¬A für eine
W
Aussagenvariable A ist, so ist für jedes i
ϕi j allgemeingültig, also gilt “⇐”.
Vj
W
Zum Beweis der Umkehrung sei ϕ = i=1,...,n j ϕi j in KNF, aber in (mindeW
stens) einem Konjunktionsglied, etwa ϕi = j ϕi j , komme keine Aussagenvariable
mit ihrer Negation vor. Dann können wir eine Belegung f : V (ϕ) −→ {W, F} definieren mit


falls A in ϕi negiert vorkommt,

W,
f (A) = F,
falls A in ϕi unnegiert vorkommt,


beliebig, etwa W , falls A in ϕ nicht vorkommt.
i
Dann wird f (ϕi ) = F und damit auch f (ϕ) = F, also ist ϕ nicht allgemeingültig.
Hiermit erhält man ein weiteres Verfahren, die Allgemeingültigkeit einer aussagenlogischen Formel ϕ zu testen: Forme ϕ in eine KNF um und prüfe nach,
ob die Bedingung von 1.3.1 (i) erfüllt ist. Auch dieses Entscheidungsverfahren ist
von exponentieller Komplexität wegen der Notwendigkeit, bei der Umformung
in eine KNF das Distributivgesetz anzuwenden. Dabei werden aus Konjunktionen
von Disjunktionen wesentlich längere Disjunktionen von Konjunktionen (und umgekehrt): Das allgemeine Distributivgesetz lautet:
20
1.3. N ORMALFORMEN
V
i=1,...,n
W
j=1,...,mi ϕi j
äq
W
f ∈P
V
i=1,...,n ϕi f (i) ,
wobei P = { f | f : {1, . . . , n} −→ N mit 1 ≤ f (i) ≤ mi f ür alle i = 1, . . . , n}. Falls
alle mi = 2 sind, so hat P die Anzahl 2n .
Der folgende Satz besagt, daß sich jede n-stellige Wahrheitsfunktion mittels
der B OOLEschen Operationen ¬, ∨, ∧ darstellen läßt, und aus dem Beweis ergibt
sich zugleich eine Darstellung in disjunktiver bzw. konjunktiver Normalform:
1.3.2 Boolescher Repräsentationssatz
Es sei G eine beliebige n-stellige Wahrheitsfunktion, also G : B(V ) −→ {W, F},
wobei V die Menge der Aussagenvariablen {A1 , . . . , An } ist.
Dann existiert eine B OOLEsche Formel ϕ in diesen Ausagenvariablen, d. h.
mit V (ϕ) = V , deren Auswertung nach den Wahrheitstafeln gerade die Funktion
G ergibt:
G(g) = g(ϕ) für alle g ∈ B(V ).
Beweis: Wir definieren zunächst für jedes f ∈ B(V ) eine Formel ϕ f , die genau
bei der Belegung f wahr wird (was wir unten mit (*) zeigen werden):
f (A1 )
ϕ f = A1
f (An )
∧ . . . ∧ An
F
, wobei AW
i = Ai , Ai = ¬Ai .
Es sei M := { f ∈ B(V ) | G( f ) = W }. Dann ist
ϕ :=
W
f ∈M ϕ f
eine B OOLEsche Formel (in disjunktiver NF), die die Behauptung erfüllt, weil sie
gerade für alle f ∈ M wahr und sonst falsch wird:
g(ϕ) = W
(*)
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
g(ϕ f ) = W
f =g
g∈M
G(g) = W.
für ein f ∈ M
für ein f ∈ M
Zum Beweis von (*) beachte, daß für alle i = 1, . . . , n:
f (A )
g(ϕ f ) = W =⇒ g(Ai i ) = W
=⇒ [ f (Ai ) = W =⇒ g(Ai ) = W ] und
=⇒ [ f (Ai ) = F =⇒ g(Ai ) = F], also f = g,
21
1.3. N ORMALFORMEN
und offenbar gilt auch umgekehrt f (ϕ f ) = W .
Was passiert, wenn die Funktion G überall den Wert F annimmt? Dann ist
die Menge M leer und die zugehörige Formel ϕ eine Disjunktion über eine leere
Indexmenge, und eine solche Disjunktion erklärt man als “falsch”. Da wir hierfür
keine Konstante in der aussagenlogischen Sprache haben, benutzen wir dafür (wie
auch im Satz von B OOLE) die Formel A0 ∧ ¬A0 , ähnlich erklärt man die Konjunktion über eine leere Indexmenge für stets “wahr” (und kann sie mit A0 ∨ ¬A0
gleichsetzen).
Ein alternativer Beweis (welcher zugleich eine konjunktive NF liefert) geht
aus von der Menge N := { f ∈ B(V ) | G( f ) = F}.
Folgerungen
aus dem obigen Satz (bzw. aus dem Beweis) ergeben sich für
• die Schaltalgebra ,
• den Übergang von einer DNF zu einer äquivalenten KNF,
• die Existenz nur endlich-vieler Formeln ϕ mit Variablen A1 , . . . , An , die
nicht miteinander äquivalent sind (dagegen gibt es stets unendlich viele zueinander äquivalente Formeln).
1.3.3 Das Dualitätsprinzip
Im folgenden betrachten wir nur B OOLEsche Formeln! Wir definieren drei syntaktische Operationen für B OOLEsche Formeln:
D(ϕ) :
vertausche ∨ mit ∧ in ϕ : duale Formel zu ϕ,
N(ϕ) :
setze vor jede Aussagenvariable in ϕ ein ¬-Zeichen,
∗
N (ϕ) :
setze vor jede Aussagenvariable in ϕ ein ¬-Zeichen, falls dort
keines steht, sonst streiche es!
Beispiele
D(¬(¬A ∨ B) ∧ ¬C)
N(¬(¬A ∨ B) ∧ ¬C)
N ∗ (¬(¬A ∨ B) ∧ ¬C)
DN ∗ (¬(¬A ∨ B) ∧ ¬C)
=
=
=
=
¬(¬A ∧ B) ∨ ¬C
¬(¬¬A ∨ ¬B) ∧ ¬¬C
¬(A ∨ ¬B) ∧C
¬(A ∧ ¬B) ∨C
22
1.3. N ORMALFORMEN
DN ∗ (A)
=
∗
DN (A ∧ B) =
DN ∗ (A ∨ B) =
¬A
¬A ∨ ¬B äq ¬(A ∧ B)
¬A ∧ ¬B äq ¬(A ∨ B)
Offensichtlich sind N(ϕ) und N ∗ (ϕ) miteinander äquivalent, und die letzten
drei Formeln kann man verallgemeinern zum Teil a) von
Satz
a) ¬ϕ äq D(N ∗ (ϕ))
b) ϕ äq ψ ⇐⇒ Dϕ äq Dψ
Bildung der Negation
Dualitätssatz
und b) leicht aus a) folgern, was wir hier nicht ausführen. Natürlich kann man
eine Aussage negieren, indem man einfach das Negationszeichen davorschreibt;
Teil a) des obigen Satzes gibt eine sinnvollere Darstellung, in welcher das Negationszeichen “nach innen” verschoben wird (obwohl man in praktischen Fällen
es nicht gleich bis vor die atomaren Teilformeln verschieben wird). Der Dualitätssatz erklärt u. a., weshalb die B OOLEschen Gesetze stets in jeweils doppelter Form
auftreten.
1.4. D ER SEMANTISCHE F OLGERUNGSBEGRIFF : E RF ÜLLBARKEIT
23
1.4 Der semantische Folgerungsbegriff: Erfüllbarkeit
Eine Formel ist allgemeingültig, wenn sie uneingeschränkt den Wert W erhält.
Diesen Begriff werden wir jetzt relativieren zum Folgerungsbegriff:
Aussagenlogische Folgerungen
ϕ sei eine Formel, T eine (möglicherweise unendliche) Menge von Formeln, V
eine Menge von Aussagenvariablen mit T ⊆ F(V ), ϕ ∈ F(V ), und schließlich sei
f : V −→ {W, F} eine Belegung der Variablen in V .
f |= ϕ
f |= T
erfb[ϕ]
erfb[T]
T |= ϕ
:
:
:
:
:
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
f (ϕ) = W
für alle ψ ∈ T : f |= ψ
es gibt ein f mit f |= ϕ
es gibt ein f mit f |= T
für alle f : falls f |= T, so f |= ϕ
f erfüllt ϕ
f erfüllt T
ϕ ist erfüllbar
T ist erfüllbar
ϕ folgt aus T
T |= ϕ besagt also: alle Belegungen f , die T erfüllen, erfüllen auch ϕ,
oder vereinfacht:
ϕ ist immer dann wahr, wenn alle Formeln in T wahr sind.
Falls T endlich ist, schreiben wir auch
ϕ1 , . . . , ϕn |= ϕ für {ϕ1 , . . . , ϕn } |= ϕ,
und aus 0/ |= ϕ wird natürlich |= ϕ, so daß
|= ϕ ⇐⇒ ag[ϕ] .
Beispiele
(a) ϕ |= ϕ, (b) ϕ |= ϕ ∨ ψ, (c) ϕ, ψ |= ϕ ∧ ψ, (d) ϕ → ψ ∧ δ , δ → ¬ψ |= ¬ϕ,
aber: A 6|= A ∧ B.
Im Falle der Ersetzungsregel gilt: ϕ ↔ ψ |= χ ↔ χ(ϕ/ψ);
im Falle der Einsetzungsregel gilt jedoch i. a. nicht: ϕ(A) |= ϕ[ψ/A]!
1.4. D ER SEMANTISCHE F OLGERUNGSBEGRIFF : E RF ÜLLBARKEIT
24
Satz
ϕ1 , . . . , ϕn |= ϕ ⇐⇒ |= ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn → ϕ
Der Folgerungsbegriff für endliche Formelmengen läßt sich somit zurückführen auf den Begriff der Allgemeingültigkeit, der allgemeine Folgerungsbegriff
aber auch auf den Erfüllbarkeitsbegriff: Als Verallgemeinerung von
ag[ϕ] ⇐⇒ nicht erfb[¬ϕ]
erhalten wir den
1.4.1 Zusammenhang zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit
T |= ϕ ⇐⇒ nicht erfb[T ∪ {¬ϕ}]
T 6|= ϕ ⇐⇒ erfb[T ∪ {¬ϕ}]
Lemma
erfb[T] ⇐⇒ es existiert kein ϕ mit T |= ϕ und T |= ¬ϕ
⇐⇒ es existiert ein ϕ mit T 6|= ϕ
Bemerkungen
1. Ist T endlich, so ist entscheidbar, ob T |= ϕ oder T 6|= ϕ. Es ist aber möglich,
daß weder T |= ϕ noch T |= ¬ϕ gilt (wenn T nämlich zu wenig Information
über die Variablen in ϕ enthält, z. B. A 6|= B und A 6|= ¬B für zwei verschiedene Variable A und B)! Denn es gilt zwar
T |= ¬ϕ =⇒ T 6|= ϕ (für erfüllbares T), aber nicht umgekehrt!
2. Ist T endlich, so gibt es eine effektive Aufzählung der Folgerungsmenge
{ϕ | T |= ϕ}.
3. Allgemeiner: Gibt es eine effektive Aufzählung von T, so gibt es auch eine
effektive Aufzählung der Folgerungsmenge {ϕ | T |= ϕ}.
1.5. D ER SYNTAKTISCHE F OLGERUNGSBEGRIFF : B EWEISBARKEIT
25
1.5 Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit
1.5.1 Axiomensysteme und Beweise
Ein (formales) Axiomensystem A wird bestimmt durch
1. die Sprache von A, gegeben durch eine (i. a. abzählbare) Menge von Symbolen, dem Alphabet der Sprache von A,
z. B. A0 , A1 , . . . , ¬, ∨, ∧, →, ↔, (, ) im Falle der Aussagenlogik,
2. eine Menge von Formeln als bestimmte endliche Folgen von Symbolen,
z. B. den aussagenlogischen Formeln,
3. eine Menge von Axiomen, wobei jedes Axiom eine Formel ist,
z. B. ϕ ∨ ¬ϕ, ϕ → ¬¬ϕ,
ϕ, ψ
ϕ
oder
,
ψ
δ
ϕ, ϕ → ψ
ϕ
, modus ponens:
.
z. B.
¬¬ϕ
ψ
4. eine Menge von Regeln der Form
Es sei nun A ein Axiomensystem, ϕ eine Formel, T eine Menge von Formeln (der Sprache von A). Ein (A-)Beweis von ϕ aus T ist eine endliche Folge
(ϕ1 , . . . , ϕn ) von Formeln, so daß
(B1) ϕn = ϕ,
(B2) für jedes m ≤ n gilt:
(1) ϕm ist Axiom von A oder
(2) ϕm ist Formel aus T oder
(3) es gibt ein i < m, so daß ϕm aus ϕi hervorgeht durch Anwendung einer
Regel von A oder
(4) es gibt i, j < m, so daß ϕm aus ϕi und ϕ j hervorgeht durch Anwendung
einer Regel von A mit 2 Prämissen.
Wir schreiben (analog zum semantischen Folgerungsbegriff):
T `A ϕ : ⇐⇒ es gibt einen A-Beweis von ϕ aus T
`A ϕ : ⇐⇒ 0/ ` ϕ
ϕ ist aus T beweisbar,
ϕ ist (in A ) beweisbar.
1.5. D ER SYNTAKTISCHE F OLGERUNGSBEGRIFF : B EWEISBARKEIT
26
Statt T `A ϕ werden wir auch kurz T ` ϕ schreiben, wenn das Axiomensystem
aus dem Zusammenhang bekannt (oder unwesentlich) ist, statt “ϕ ist aus T beweisbar” auch “ϕ folgt aus T” oder “ϕ ist aus T ableitbar” sagen.
1.5.2 Korrektheit und Vollständigkeit
A korrekt
: ⇐⇒ für alle ϕ:
`A ϕ ⇒ |= ϕ,
A korrekt bzgl. Folgerungen
: ⇐⇒ für alle ϕ, T: T `A ϕ ⇒ T |= ϕ,
A (syntaktisch) widerspruchsfrei : ⇐⇒ es gibt ein ϕ mit 6`A ϕ,
A (semantisch) vollständig
: ⇐⇒ für alle ϕ:
|= ϕ ⇒ `A ϕ.
A vollständig bzgl. Folgerungen : ⇐⇒ für alle ϕ, T:
T |= ϕ ⇒ T `A ϕ.
In einem korrekten Axiomensystem sind alle beweisbaren Aussagen allgemeingültig, für ein vollständiges Axiomensystem gilt die Umkehrung. Vollständigkeit und Korrektheit zusammen besagen also, daß genau die allgemeingültigen
Aussagen beweisbar sind.
• Ein korrektes Axiomensystem ist widerspruchsfrei: die Aussagenvariable A
ist nicht allgemeingültig, kann dann also auch nicht beweisbar sein.
• In einem widerspruchsvollen (d. h. nicht widerspruchsfreien) Axiomensystem ist alles beweisbar;
• ein widerspruchsfreies Axiomensystem (mit modus ponens als Regel) enthält keinen Widerspruch in dem Sinne, daß keine Formel und zugleich auch
ihre Negation beweisbar ist:
Bemerkung
Enthält A den modus ponens als Regel und gilt
`A ϕ → (¬ϕ → ψ) oder `A ¬ϕ → (ϕ → ψ), so:
A widerspruchsfrei ⇐⇒ es gibt keine Formel ϕ mit `A ϕ und `A ¬ϕ.
1.5. D ER SYNTAKTISCHE F OLGERUNGSBEGRIFF : B EWEISBARKEIT
27
Satz
T und S seien Formelmengen, ϕ eine Formel.
1. Ist ϕ ∈ T oder ϕ Axiom von A, so gilt T `A ϕ.
2. (Endlichkeitssatz für `)
Falls T `A ϕ, so existiert ein endliches T0 ⊆ T mit T0 `A ϕ.
3. (Transitivität von `) Falls T `A ϕ und S `A ψ für jedes ψ ∈ T, so S `A ϕ.
4. A enthalte den modus ponens als Regel. Dann gilt:
T `A ϕ und T `A ϕ → ψ =⇒ T `A ψ. .
1.5.3 Einige Axiomensysteme der Aussagenlogik
Es gibt zahlreiche Beispielen für Axiomensysteme der Aussagenlogik mit unterschiedlichen Vorzügen und Nachteilen, wir erwähnen nur die folgenden:
(a) Hilbert-Bernays
• Sprache: A, B,C, . . . , ¬, ∨, ∧, →, ↔, (, )
• Axiome:
1. A → (B → A)
(A → (A → B)) → (A → B)
(A → B) → ((B → C) → (A → C))
2. A ∧ B → A
A∧B → B
(A → B) → ((A → C) → (A → B ∧C))
3. A → A ∨ B
B → A∨B
(A → C) → ((B → C) → (A ∨ B → C))
4. (A ↔ B) → (A → B)
(A ↔ B) → (B → A)
(A → B) → ((B → A) → (A ↔ B))
5. (A → B) → (¬B → ¬A)
A → ¬¬A
¬¬A → A
(bis hier: Positive Logik)
(bis hier: Minimalkalkül)
(bis hier: Intuitionistische Logik)
(klassische Logik)
1.5. D ER SYNTAKTISCHE F OLGERUNGSBEGRIFF : B EWEISBARKEIT
28
• Regeln:
Einsetzungsregel:
ϕ(A)
ϕ, ϕ → ψ
und modus ponens:
ϕ[ψ/A]
ψ
Interessant ist hier die Gruppierung der Axiome nach den einzelnen aussagenlogischen Operationen, zudem ist die Anordnung der letzten Axiome so gewählt,
daß man durch Weglassen verschiedene Teilsysteme der Aussagenlogik erhält, die
sich durch ihre jeweiligen Anforderungen an die Negation unterscheiden.
(b) Shoenfield
• Sprache: A, B,C, . . . , ¬, ∨, (, )
Die übrigen aussagenlogischen Operationen werden wie üblich definiert,
endliche Folgen von Disjunktionen und Implikationen werden durch Klammerung von rechts definiert:
ϕ1 → ϕ2 . . . → ϕn : ↔ ϕ1 → (ϕ2 → (. . . ϕn )),
ϕ1 ∨ ϕ2 . . . ∨ ϕn : ↔ ϕ1 ∨ (ϕ2 ∨ (. . . ϕn )).
• Axiome: ¬ϕ ∨ ϕ
(tertium non datur)
• Regeln:
Expansion:
Kürzung:
ψ
ϕ ∨ψ
ϕ ∨ϕ
ϕ
Assoziativität:
Schnitt:
ϕ ∨ (ψ ∨ δ )
(ϕ ∨ ψ) ∨ δ
ϕ ∨ ψ, ¬ϕ ∨ δ
ψ ∨δ
Die Axiome sind hier als Formelschemata aufgeschrieben, so daß keine Einsetzungsregel erforderlich ist.
(c) Nicod
Dieses Axiomensystem kommt allein mit einer aussagenlogischen Verknüpfung
aus, nämlich mit ↑ (wobei A ↑ B bedeutet: nicht A oder nicht B), außerdem wird
auch nur nur ein Axiomenschema und nur eine Regel benötigt:
(α ↑ (β ↑ γ)) ↑ {[δ ↑ (δ ↑ δ )] ↑ [(ε ↑ β ) ↑ ((α ↑ ε) ↑ (α ↑ ε))]}
α, α ↑ (β ↑ γ)
γ
1.6. VOLLST ÄNDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT
29
Das ist wohl das allerkürzeste (wenn auch nicht besonders intuitive) Axiomensystem. Hat ein Axiomensystem wenig Grundsymbole und/oder wenig Axiome und Regeln, so läßt sich seine Korrektheit i. a. sehr schnell zeigen, dagegen
werden Beweise in einem solchen System sehr lang und umständlich, und die
Vollständigkeit ist dann entsprechend mühsam zu zeigen.
Alle diese Axiomensysteme sind korrekt, widerspruchsfrei und vollständig, jedoch nicht bezüglich Folgerungen, wenn sie die Einsetzungsregel enthalten. Um
diese Regel zu vermeiden, muß man die Axiome (wie in den letzten beiden Axiomensystemen) als Formelschemata schreiben!
Die Korrektheit beweist man in allen Fällen durch Induktion über die Länge
eines Beweises, d. h. man zeigt
• die Axiome sind allgemeingültig und
• sind die Prämissen einer Regel allgemeingültig, so auch die Konklusion.
Gilt außerdem:
• aus der (den) Prämisse(n) einer Regel folgt die Konklusion,
so sind die Axiomensysteme auch korrekt bzgl. Folgerungen; modus ponens und
die übrigen betrachteten Regeln - außer der Einsetzungsregel! - erfüllen diese Bedingung. So kann man leicht nachweisen, daß das Axiomensystem von S HOEN FIELD korrekt bezüglich Folgerungen ist.
1.6 Vollständigkeit und Kompaktheit
Die Vollständigkeit eines Axiomensystems ist i. a. schwieriger als seine Korrektheit zu beweisen, und wie es auch kein irgendwie “kanonisches” Axiomensystem
für die Aussagenlogik gibt, so gibt es auch keine Standardmethode zum Nachweis der Vollständigkeit, vielmehr muß man die Beweismethode dem Charakter
des jeweiligen Axiomensystems anpassen. Hier wollen wir als Beispiel das Axiomensystem von S HOENFIELD behandeln. Der Beweisbegriff ` bezieht sich also
auf dieses System; die Ergebnisse gelten jedoch (mit möglicherweise anderen Beweisen) auch für andere vollständige Axiomensysteme der Aussagenlogik!
Kommutativität
ϕ ∨ψ ` ψ ∨ϕ
1.6. VOLLST ÄNDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT
30
Beweis: Aus der Voraussetzung ϕ ∨ ψ und dem Axiom ¬ϕ ∨ ϕ erhält man mittels
der Schnittregel: ψ ∨ ϕ.
Das bedeutet also, daß man
ϕ ∨ψ
ψ ∨ϕ
als Regel hinzunehmen kann (man sagt auch, daß diese Regel ableitbar sei).
Modus Ponens
ϕ, ϕ → ψ ` ψ
d. h. auch der modus ponens
ϕ, ϕ → ψ
ψ
ist eine ableitbare Regel.
Beweis: Aus
ϕ
(Voraussetzung)
ψ ∨ϕ
(Expansion) erhalten wir mit Komm. und der Vor. ¬ϕ ∨ ψ
ϕ ∨ ψ, ¬ϕ ∨ ψ
(Schnitt)
ψ ∨ψ
ψ (Kürzung)
Die Kommutativregel, Expansionsregel und die Assoziativregel lassen sich
verallgemeinern, wobei wir mit einem Spezialfall beginnen:
Lemma
Für 1 ≤ i < j ≤ n gilt:
ϕi ∨ ϕ j ` ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn .
Beweis durch Induktion über n, wobei man n > 2 annehmen kann: Setze ϕ :=
ϕ3 ∨ . . . ∨ ϕn . Dann ist zu zeigen: ϕi ∨ ϕ j ` ϕ1 ∨ (ϕ2 ∨ ϕ).
Fall 1: i ≥ 2. Dann gilt ϕi ∨ ϕ j ` ϕ2 ∨ ϕ nach Induktionsvoraussetzung (da ϕ1 weggelassen wurde, handelt es sich nur noch um n − 1 Formeln). Also gilt nach
der Expansionsregel: ϕi ∨ ϕ j ` ϕ1 ∨ (ϕ2 ∨ ϕ).
Fall 2: i = 1, j ≥ 3. Dann ist aus der Voraussetzung ϕi ∨ ϕ j beweisbar:
31
1.6. VOLLST ÄNDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT
ϕ1 ∨ ϕ
ϕ ∨ ϕ1
ϕ2 ∨ (ϕ ∨ ϕ1 )
(ϕ2 ∨ ϕ) ∨ ϕ1
ϕ1 ∨ (ϕ2 ∨ ϕ)
nach Ind.vor. für die n − 1 Formeln ohne ϕ2
nach Komm.
mit der Expansionsregel
mit der Assoziativregel
nach Komm.
Fall 3: i = 1, j = 2. Dann ist aus der Voraussetzung ϕi ∨ ϕ j , d. h. ϕ1 ∨ ϕ2 beweisbar:
ϕ ∨ (ϕ1 ∨ ϕ2 )
(ϕ ∨ ϕ1 ) ∨ ϕ2
ϕ2 ∨ (ϕ ∨ ϕ1 )
(ϕ2 ∨ ϕ) ∨ ϕ1
ϕ1 ∨ (ϕ2 ∨ ϕ)
mit der Expansionsregel
mit der Assoziativregel
nach Komm.
mit der Assoziativregel
nach Komm.
Mit ähnlichen kombinatorischen Überlegungen zeigt man:
1.6.1 Verallgemeinerte Expansion
Für n, m ≥ 1, i1 , . . . im ∈ {1, . . . , n} gilt:
ϕi1 ∨ . . . ∨ ϕim ` ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn .
Beweis durch Induktion über m:
Fall 1: m = 1, i1 = i. Dann gilt ϕi nach Induktionsvoraussetzung, also:
(ϕi+1 ∨ . . . ∨ ϕn ) ∨ ϕi
ϕi ∨ ϕi+1 ∨ . . . ∨ ϕn
ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn
mit der Expansionsregel
nach Komm.
mit der Expansionsregel (i − 1)-mal.
Fall 2: m = 2. Dieser Fall ergibt sich aus dem vorigen Lemma zusammen mit
Komm.
Fall 3: m ≥ 3. Setze ϕ := ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn . Aus der Voraussetzung
ϕi1 ∨ . . . ∨ ϕim
(ϕi1 ∨ ϕi2 ) ∨ . . . ∨ ϕim
(ϕi1 ∨ ϕi2 ) ∨ ϕ
(ϕ ∨ ϕi1 ) ∨ ϕi2
(ϕ ∨ ϕi1 ) ∨ ϕ
folgt
mit der Assoziativregel
nach Ind.vor. für m − 1 Formeln
mit Komm.- und Assoziativregel
nach Ind.vor. für 2 Formeln (m = 2)
1.6. VOLLST ÄNDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT
(ϕ ∨ ϕ) ∨ ϕi1
(ϕ ∨ ϕ) ∨ ϕ
ϕ
32
mit der Komm.- und Assoziativregel
nach Induktionsvor. für 2 Formeln (m = 2)
nach Assoziativregel und Fall 1.
Dabei zählt bei der Induktionsvoraussetzung für m − 1 Formeln die Formel (ϕi1 ∨
ϕi2 ) als eine Formel!
Mit der Kommutativregel erhalten wir hieraus auch die Umkehrung der Assoziativregel:
(ϕ ∨ ψ) ∨ δ
ϕ ∨ (ψ ∨ δ )
1.6.2 Lemma über die Negation
(i) ϕ ∨ ψ ` ¬¬ϕ ∨ ψ
(ii) ¬¬ϕ ∨ ψ ` ϕ ∨ ψ
(iii) ¬ϕ ∨ δ , ¬ψ ∨ δ ` ¬(ϕ ∨ ψ) ∨ δ
Den Beweis überlassen wir als Übungsaufgabe.
Nunmehr können wir den (schwachen) Vollständigkeitssatz beweisen als
1.6.3 Tautologiesatz
(i) |= ϕ =⇒ ` ϕ
(ii) ϕ1 , . . . , ϕn |= ϕ =⇒ ϕ1 , . . . , ϕn ` ϕ
Beweis: Zunächst zeigen wir, daß (ii) bereits aus (i) folgt: Sei ϕ1 , . . . , ϕn |= ϕ.
Dann gilt |= ϕ1 → . . . → ϕn → ϕ, also nach (i):
` ϕ1 → . . . → ϕn → ϕ
ϕ1 ` ϕ1 → . . . → ϕn → ϕ,
ϕ1 ` ϕ2 → . . . → ϕn → ϕ,
ϕ1 , ϕ2 ` ϕ3 → . . . → ϕn → ϕ,
ϕ1 , . . . , ϕn ` ϕ.
und also auch
woraus mit modus ponens folgt
ebenso:
usw. bis
Der Beweis von (i) erfolgt durch eine raffiniert angesetzte Induktion: Wir zeigen
|= ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn =⇒ ` ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn
1.6. VOLLST ÄNDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT
33
durch Induktion über Σi=1,...,n lz(ϕi ), wobei lz(ϕ) = Anzahl der logischen Zeichen
in ϕ ist:
1. Fall: Jedes ϕi ist eine Aussagenvariable oder eine negierte Aussagenvariable. Falls |= ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn , so muß ein ϕi = ¬ϕ j für ein j sein. Es ist dann aber
ϕi ∨ ϕ j ein Axiom, also beweisbar, und damit nach 1.6.1 auch ` ϕ1 , . . . , ϕn .
Falls der 1. Fall nicht vorliegt, so ist mindestens ein ϕi keine Aussagenvariable und auch keine negierte Aussagenvariable; durch Vertauschen können wir
annehmen, daß diese Voraussetzung auf ϕ1 zutrifft.
2. Fall: ϕ1 = ψ ∨ δ für ein ψ bzw. δ . Dann folgt aus der Annahme:
|= ψ ∨ (δ ∨ . . . ∨ ϕn ), also gilt nach Induktionsvoraussetzung (hier liegt der Trick
des Beweises!) auch ` ψ ∨ (δ ∨ . . . ∨ ϕn ) und nach der Assoziativregel dann auch
` ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn .
3. Fall: ϕ1 = ¬¬ψ für ein ψ. Dann folgt aus der Annahme |= ψ ∨ ϕ2 ∨ . . . ∨ ϕn ,
also nach Induktionsvoraussetzung auch ` ψ ∨ ϕ2 ∨ . . . ∨ ϕn , und nach Lemma
1.6.2 (i) gilt dann ` ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn .
4. Fall: ϕ1 = ¬(ψ ∨ δ ) für ein ψ bzw. δ . Dann ist unter der Annahme
|= ¬(ψ ∨ δ ) ∨ ϕ2 ∨ . . . ∨ ϕn ,
auch
|= ¬ψ ∨ ϕ2 ∨ . . . ∨ ϕn und |= ¬δ ∨ ϕ2 ∨ . . . ∨ ϕn , und somit
` ¬ψ ∨ ϕ2 ∨ . . . ∨ ϕn und ` ¬δ ∨ ϕ2 ∨ . . . ∨ ϕn
nach Ind.vor., woraus
` ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn
mit Lemma 1.6.2 (iii) folgt.
Mit Hilfe des Tautologiesatzes kann man nun beweisen:
1.6.4 Deduktionstheorem
T ` ϕ → ψ ⇐⇒ T ∪ {ϕ} ` ψ
Wir werden dieses rein syntaktische Ergebnis später im Rahmen der Prädikatenlogik auch rein syntaktisch beweisen.
1.6.5 Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit von Theorien
Widerspruchsfreiheit (Konsistenz) und Vollständigkeit haben wir als syntaktische
Begriffe in 1.5.2 für Axiomensysteme definiert; der erste Begriff wird entsprechend auf Formelmengen (später: Theorien) übertragen. Aufpassen muß man dagegen bei dem Begriff der Vollständigkeit: Dieser wird im Falle von Formelmengen eine andere Bedeutung haben als für Axiomensysteme.
1.6. VOLLST ÄNDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT
T konsistent:
T vollständig:
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⇐⇒ es gibt ein ϕ mit T 6` ϕ
⇐⇒ es gibt kein ϕ mit T ` ϕ und T ` ¬ϕ
⇐⇒ für alle ϕ gilt: T ` ϕ oder T ` ¬ϕ.
Somit ist eine Formelmenge
T vollständig und konsistent ⇐⇒ für alle ϕ gilt: entweder T ` ϕ oder T ` ¬ϕ.
Gleichbedeutend damit ist die Aussage, daß die Menge der Folgerungen aus T
C(T) := {σ | T ` σ }
maximal konsistent ist, d. h. C(T) ist konsistent, besitzt aber keine echte konsistente Erweiterung.
Eine Theorie ist inkonsistent (oder widerspruchsvoll) gdw. sie nicht konsistent ist; ähnlich wie im Fall der semantischen Analoga (1.4.1) hängen Beweisbarkeit und (In-)konsistenz miteinander zusammen:
1.6.6 Lemma über Beweisbarkeit und Konsistenz
(i) T 6` ϕ
⇐⇒ T ∪ {¬ϕ} konsistent,
(ii) T ` ϕ
⇐⇒ T ∪ {¬ϕ} inkonsistent.
Beweis: Gilt T ` ϕ, so erst recht T ∪ {¬ϕ} ` ϕ und natürlich auch T ∪ {¬ϕ} `
¬ϕ, also ist T ∪ {¬ϕ} inkonsistent.
Ist umgekehrt T∪{¬ϕ} inkonsistent, so ist alles beweisbar, insbesondere auch
T ∪ {¬ϕ} ` ϕ und nach dem Deduktionstheorem T ` ¬ϕ → ϕ, woraus T ` ϕ
folgt. Damit haben wir (ii) gezeigt (und damit auch (i)).
Den verallgemeinerten Vollständigkeitssatz werden wir nun in der Form
jede konsistente Theorie ist erfüllbar
beweisen. Dazu werden wir in zwei Schritten zeigen:
• jede konsistente Menge T läßt sich zu einer vollständigen Menge erweitern,
• eine vollständige Menge ist (in kanonischer) Weise erfüllbar.
35
1.6. VOLLST ÄNDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT
1.6.7 Vervollständigung
Zu jeder konsistenten Formelmenge T gibt es eine vollständige Erweiterung TV ⊇
T.
Beweis: Es sei ϕ0 , . . . , ϕn , . . . eine Aufzählung aller Formeln. Durch Induktion
erweitern wir T, indem wir T0 = T setzen und
(
Tn
falls Tn ` ϕn ,
Tn+1 =
Tn ∪ {¬ϕn } sonst.
Nach obigem Lemma 1.6.6 (i) bleibt Tn+1 auch im “sonst”-Fall konsistent, so
daß alle Tn konsistent sind und damit auch die Vereinigung
TV :=
[
Tn
n∈N
(nach dem Endlichkeitssatz für die Beweisbarkeit, s. 1.5.2). Da die Formel ϕn oder
ihre Negation spätestens im (n + 1)-ten Schritt zu T hinzugefügt werden, ist TV
auch vollständig.
1.6.8 Verallgemeinerter Vollständigkeitssatz
T |= ϕ
=⇒
T ` ϕ,
T |= ϕ
⇐⇒
T ` ϕ.
(ii) T konsistent
=⇒
T hat ein Modell,
T konsistent
⇐⇒
T hat ein Modell.
(i)
also
also
Beweis von (i) mittels (ii):
T 6` ϕ
=⇒ T ∪ {¬ϕ} konsistent
=⇒ T ∪ {¬ϕ} erfüllbar
=⇒ T 6|= ϕ.
nach 1.6.6 (i)
nach (ii)
(Umgekehrt kann man aus (i) auch leicht (ii) erhalten!)
Beweis von (ii): Es sei T konsistent, TV eine vollständige Erweiterung von T.
Wir definieren dann eine Belegung f von allen Aussagenvariablen durch
f (A) = W ⇐⇒ TV ` A.
Dann gilt allgemeiner für alle Formeln ϕ:
(∗)
f |= ϕ ⇐⇒ TV ` ϕ.
Diese Behauptung beweist man leicht durch Induktion über ρ(ϕ):
36
1.6. VOLLST ÄNDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT
1. Ist ϕ eine Aussagenvariable, so gilt (*) nach Definition von f .
2. Ist ϕ = ¬ψ, so
f |= ϕ ⇐⇒
f 6|= ψ
⇐⇒
TV 6` ψ
⇐⇒
⇐⇒
nach Ind.vor. für ψ
TV ` ¬ψ da TV vollständig
TV ` ϕ
3. Ist ϕ = ψ ∨ δ , so
f |= ϕ ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
f |= ψ oder f |= δ
TV ` ψ oder TV ` δ nach Ind.vor. für ψ, δ
TV ` ϕ,
wobei sich die letzte Äquivalenz wie folgt ergibt:
Gilt TV ` ψ oder TV ` δ , so auch TV ` ϕ nach der (verallgemeinerten) Expansionsregel.
Sei umgekehrt TV ` ϕ vorausgesetzt. Falls weder TV ` ψ noch TV ` δ , so gilt
wegen der Vollständigkeit von TV : TV ` ¬ψ und TV ` ¬δ , also nach 1.6.2 (iii):
TV ` ¬(ψ ∨ δ ), d. h. TV ` ¬ϕ, und TV wäre damit inkonsistent, Widerspruch! Mit Hilfe des Endlichkeitssatzes (aus 1.5.2) erhalten wir als Korollar den
1.6.9 Kompaktheitssatz der Aussagenlogik
T ist erfüllbar ⇐⇒ jedes endliche T0 ⊆ T ist erfüllbar.