Übungen zur Theoretischen Festkörperphysik: Vertiefung (TV

Übungen zur Theoretischen Festkörperphysik: Vertiefung (TV-2)
gegeben.
Der kinetische Anteil von Ĥ lässt sich als
X
7. Präsenzübung am 12. Juni 2014
ǫ(k)c†kσ ckσ
kσ
P13 ”Supraleiter” mit zwei Elektronen und drei Zuständen
Wir betrachten ein Elektron, das nur die drei Zustände k1↑ ,
k2↑ und k3↑ annehmen kann und dessen ”Wechselwirkungspartner” nur die Zustände −k1↓ , −k2↓ und −k3↓ .
Wir definieren zunächst die Paarerzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:
b†k = c†k↑ c†−k↓ ,
bk = c−k↓ ck↑
schreiben. Man kann auch
ǫF N̂ =
❦✸ ★
❦✷ ✧
❦✶ ✧
❦✶ ★
❦✷ ★
❦✸ ✧
k,k′
a) Überzeugen Sie sich nun, dass der der erste Term des Hamiltonian die kinetische Energie und der zweite Term einen Streuprozess beschreibt, indem Sie die Paaroperatoren
wieder auf die Erzeuger/Vernichter zurückführen.
b) Drücken Sie den Hamiltonian mittels folgenden Satzes von Vielteilchenbasisfunktionen
in Matrixdarstellung aus:
|φ1 i = |1k1 , 0, 0i , |φ2 i = |0, 1k2 , 0i , |φ3 i = |0, 0, 1k3 i
c) Lösen Sie die stationäre Schrödingergleichung
Ĥ|ψi = E|ψi
indem Sie
|ψi =
3
X
i=1
ǫF c†kσ ckσ
kσ
schreiben und somit lassen sich die beiden Terme zusammenfassen als
X
(ǫ(k) − ǫF ) c†kσ ckσ
T̂ :=
|
{z
}
kσ
=:ξk
und konstruieren mit diesen den Hamiltonian des Systems:
X †
X
bk′ bk .
b†k bk − V
Ĥ = 2ǫ0
k=k1 ,k2 ,k3
X
Die Wechselwirkung wird durch Streuung eines Cooperpaars mit Impulsen (l, −l) in ein
Cooperpaar mit Impulsen (k, −k) beschrieben. Also ist
X
V̂ =
Vkl c†k↑ c†−k↓ cl↓ c−l↑
kl
der Operator, der die Wechselwirkung beschreibt.
Das BCS-Energiefunktional kann somit in der einfacheren Form hϕ|T̂ + V̂ |ϕi geschrieben
werden.
Die BCS-Wellenfunktion lautet:
|ϕi =
∞
Y
k=0
Berechnen Sie das BCS-Energiefunktional
a) Berechnen Sie zunächst hϕ|T̂ |ϕi.
b) Berechnen Sie nun hϕ|V̂ |ϕi.
ci |φi i
als Ansatz für die Wellenfunktion benutzen.
Zeigen Sie, dass durch die Wechselwirkung eine neue Grundzustandsenergie vom ”Kontinuum” der ursprünglichen Zustände abgespalten wird. Überzeugen Sie sich ferner,
dass der Grundzustand von allen möglichen Lösungen den maximalen ”Phasenraum”
(Zahl der Basisfunktionen) in Anspruch nimmt.
P14 BCS Energiefunktional
Das BCS Energiefunktional ist als
hϕ|Ĥ − ǫF N̂ |ϕi
(uk + vk c†k↑ c†−k↓ )|0i =:
Y
k
Âk |0i
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8. Hausaufgabe, Abgabe: 17. Juni 2014, 10 c. t. (Kasten im Hörsaal)
H17 Normierung der BCS Wellenfunktion
Die BCS-Wellenfunktion ist als
|ϕi =
∞
Y
(uk + vk c†k↑ c†−k↓ )|0i =:
Y
k
k=0
gegeben.
Zeigen Sie, dass |ϕi normiert ist, wenn |uk |2 + |vk |2 = 1
Âk |0i
∀ k.
H18 Abschätzung der kritischen Temperatur für Supraleiter
Die kritische Temperatur eines Supraleiters ist durch die BCS Formel
Tc ≈ 1, 14~ωD e
−ρ1v
F
gegeben.
a) Zeigen Sie zunächst, dass die Zustandsdichte (fr̈ einen Spin) an der Fermikante durch
ρF =
3 N
V mkF
=
,
2π 2 ~2
4 ǫF
gegeben ist, wobei N die gesamte Elektronenzahl ist (mit beiden Spinorientierungen).
b) Zeigen Sie, dass Sie die Wechselwirkung v durch
|Wq |2
~ωD
s
iC
~
q
Wq = √
ρωq
V
|v| ≈
mit
abschätzen können. Hierbei ist ωD die Debye-Frequenz und ρ die Dichte des Kristallgitters.
c) Die wichtigsten Impulsüberträge sind q ≈ kF . Zeigen Sie, dass
2
2m
C
ρF v ≈
,
M
~ωD
gilt, wobei M die Atommasse ist.
d) Um eine Abschätzung für die Größenordnung von Tc zu erhalten, nehmen Sie ~ωD ≈
m
≈ 10−4 und C ≈ 1eV an und berechnen Sie damit einen Wert für Tc .
300◦ K, M
4
(1eV ≈ 10 ◦ K)
e) Diskutieren Sie, weswegen Sie sich nicht vom guten Ergebnis dieser Näherung täuschen
lassen sollten und es normal deutlich komplizierter ist Tc zu berechnen, weshalb Tc
also sehr stark von den Details des Systems abhängt und man ρF v sehr genau kennen
muss.