Aufgabenblatt 4

Übungsblatt 4
Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Stetige Verteilungen
Materialien zur Lösung der folgenden Aufgaben:
- in Übung 3 beigefügte Tabelle „Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter
und stetiger Zufallsgrößen - Übersicht“
- beigefügte Tabelle spezieller stetiger Verteilungen im Anhang dieses
Übungsblattes
Aufgabe 1
Die Zeit X (in Jahren) bis zum Ausfall eines Kühlaggregates soll durch eine Verteilungsdichte
modelliert werden.
100 Messungen ergaben folgende Klassenhäufigkeitstabelle:
Klasse
Ki (in
Jahren)
Anzahl
Hn(KI)
[0-1)
[1-2)
920
552
[2-3)
[3-4)
[4-5)
[5-6)
[6-7)
[7-8)
350
100
30
10
5
1
a) Zeichen Sie das Histogramm
b) Schätzen Sie aus den Daten die erwartete Lebensdauer EX!
c) Passen Sie eine geeignete Dichtefunktion an das Histogramm an! Geben Sie dabei die
Funktionsgleichung der Dichtefunktion an und schätzen Sie alle unbekannten Parameter in
dieser Funktion aus der Stichprobe! Skizzieren Sie die Dichtefunktion!
d) Berechnen Sie mit Hilfe Ihrer Dichtefunktion den Anteil aller Kühlaggregate, die
bereits nach 2 h ausfallen!
e) Berechnen Sie mit Hilfe der Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
zufällig aus der Grundgesamtheit ausgewähltes Kühlaggregat die mittlere Lebensdauer
der Stichprobe überschreitet!
1
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Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Stetige Verteilungen
Aufgabe 2
Bei der Produktion von Wellen wurden Abweichungen des Wellendurchmessers von einer Norm
festgestellt. Bei früheren Messungen der Wellendurchmesser X wurde ein Histogramm erstellt
und daraus auf eine stetige Gleichverteilung für X geschlossen, X~ [a,b].
Für stetige Zufallsgrößen ist bekannt, dass gilt
EX = (a+b)/2 und Var(X) = (b-a)2/12.
(1)
a) Stellen Sie (1) nach a und b um!
b) Die Messungen von X ergaben einen Mittelwert x = 10,5 und eine Streuung
s 2 = 1,2.
Schätzen Sie daraus die Grenzen a und b von X !
c) Wieviel % aller Wellendurchmesser sind größer als 10,3 cm?
d) Eine weitere Stichprobe 1 Jahr später ergab folgende Werte für X (in cm):
10,3 10,1 10,3 10,4 10,1 10,2 10,2 10,4 10,1 10,3
Berechnen Sie Mittelwert x und Streuung s 2 der Stichprobe.
Haben sich die Grenzen a und b verschoben?
Aufgabe 3
X sei eine normalverteilte Zufallsgröße, X~N(EX, Var(X)). Dabei sind EX=µ, Var X=(σ)2
unbekannt.
Berechnen Sie trotzdem die Wahrscheinlichkeiten für folgende Intervalle und stellen Sie diese
grafisch als Flächen unter der Dichtefunktion f(x) der Normalverteilung dar!
a)
P( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ )
c) P ( µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ )
b) P ( µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ )
Was stellen Sie fest? Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse in Worten!
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Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Stetige Verteilungen
Aufgabe 4
Eine Geschwindigkeitsmessung an einer Stelle S ergab für die Geschwindigkeit X
vorbeifahrender Autos eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert EX = 100 km/h und
der Varianz Var(X) = (10 km/h)2 , d.h. X~N(100,102)
a)
Was können Sie unter Verwendung der Ergebnisse der Aufgabe 3 aus der Angabe
N(100,102) über den Anteil aller Autos schließen, die
a1) zwischen 90 und 110 km/h fahren,
a2) zwischen 100 und 110 km/h fahren,
a3) zwischen 80 und 120 km/h fahren,
a4) zwischen 100 und 120 km/h schnell sind
a5) mehr als 120 km/h schnell sind
b) In welchem Bereich fahren fast alle Autos? Schließen Sie das nur aus der Angabe
N(100,102) (ohne Rechnung)!
c) Wie groß ist der Anteil der Autos, die zwischen 103 und 109 km/h fahren
d) Wie groß ist der Anteil der Autos, die nicht schneller als 85 km/h fahren?
e) Problematisch ist aus verkehrstechnischer Sicht eine Geschwindigkeit zu weit unter
100 und zu weit über 100. In welchen Toleranzbereich [100-c, 100+c] um den
Erwartungswert EX = 100 km/h herrum liegen 95% aller Geschwindigkeiten, d.h. für
welches c sind 10 % aller gefahrenen Geschwindigkeiten als problematisch
anzusehen?
3
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Stetige Verteilungen
Anhang: Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Verteilung der
Zufallsgröße X
Stetige Gleichverteilung auf
einem Intervall zwischen a und b
Exponentialverteilung
Parameter
a,b ∈R, a<b
λ>0
µ, σ2
Bezeichnung
X~R(a,b)
X~E(λ)
X~N(µ, σ2)
Dichtefunktion
EX
 1

f (t ) =  b − a
 0
a+b
2
falls a ≤ t ≤ b
sonst
Normalverteilung
Logarithmische NormalVerteilung
λe − λt
f (t ) = 
0
µ, σ2
µ∈R, σ>0
X~logN(µ, σ2)
2
(t − µ )
−
falls t ≥ 0
1
2
f (t ) =
e 2σ ,
sonst
σ 2π
(ln t − µ )
 1
−
2σ 2

für t > 0
f (t ) = σt 2π e

0
sonst

2
∀t ∈ R
µ
1
e
λ
4
µ∈R, σ>0
µ+
σ2
2
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Var(X)
Anwendungsgebiete
(b − a) 2
12
Man weiß: Beobachtungen von X
liegen zwischen a und b und es gibt
keine Häufung.
Wird deshalb auch als
nichtinformative Verteilung
bezeichnet.
Stetige Verteilungen
σ2
e 2 µ +σ (eσ − 1)
Beschreibung von Wachstums- oder Abklingvorgängen, Lebensdauern,
Bediendauern und
Zwischenankunftszeiten.
Beschreibung von symmetrischen
Häufigkeitsverteilungen.
Besonderheiten: siehe *1)
Beschreibung von schiefsymmetrischen Häufigkeitsverteilungen.
(Häufung auf der linken Seite)
nichtnegativer Zufallsgrößen .
- Zeit bis zum ersten Ausfall
eines Bauelementes
- Längen
X unterliegt einer logarithmischen
Normalverteilung, wenn ln(X) eine
Normalverteilung besitzt.
1
2
2
λ2
- Gewichte
- Telefongesprächsdauern
-r IQ
-Wartezeiten
-Messfehler
- Zwischenzeit zwischen
treffenden Signalen
5
-zuf. Rauschen