Klausur Mathematik A

Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. A. Pott
Klausur Mathematik A
17.02.2006
• Es gibt 5 Aufgaben.
• Jede Aufgabe ist 10 Punkte wert.
• Als Hilfsmittel sind zugelassen:
– Ein beidseitig beschriebenes oder bedrucktes DINA-4 Blatt als Formelsammlung
– Ein nicht graphikfähiger Taschenrechner
• Mobiltelefone müssen ausgeschaltet sein!
• Es müssen dokumentenechte Stifte benutzt werden (keine Bleistifte).
• Bei der Bearbeitung der Aufgaben muss der Lösungsweg klar erkennbar sein.
Das Ergebnis allein kann nicht gewertet werden.
• Benutzen Sie bitte für jede Aufgabe eine neue Seite im Klausurheft.
• Tragen Sie die auf dem Klausurheft gefragten Daten zu Ihrer Person ein und
versehen die Formelsammlung mit Ihrem Namen.
• Das Aufgabenblatt und die Formelsammlung sind mit dem Klausurheft abzugeben.
• Beachten Sie auch die Hinweise auf den von der Fakultät für Wirtschaftswissenschaft ausgegebenen Platzzetteln.
Viel Erfolg!
Klausur Mathematik A
17.02.2006
(1) Gegeben ist die Funktion f : R → R,
f (x) =
P (x)
Q(x)
mit P (x) = x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2 und Q(x) = x4 − x2 .
(a) Ermitteln Sie den maximalen Definitionsbereich D(f ).
(b) Bestimmen Sie die Nullstellen von f .
(c) Berechnen Sie
i) lim f (x),
x→∞
lim f (x)
x→−∞
ii) lim f (x)
x→1
iii) lim f (x),
x%0
iv) lim f (x),
x%−1
lim f (x)
x&0
lim f (x)
x&−1
(d) Bestimmen Sie die Polstellen und ggf. die Definitionslücken von f (x).
(e) Skizzieren Sie die Funktion f (x).
(2) (a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen (an )n∈N mit
7n2 − 2n
i) an =
3n2 + n
p
(1 + 2n)2 + n2
ii) an =
n+4
(b) Bestimmen Sie alle x ∈ R so, dass die Reihe
!
n
X
xk−1
konvergent ist.
k
3
k=1
n∈N
(c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe
n h
X
−1 k
k=0
2
+
1 k i
2
!
n∈N
(3) (a) Für welche reellen Zahlen a ist die Funktion
( 2
x
für −∞ < x ≤ 0
f (x) =
ln(x + 9a2 ) für 0 < x < ∞
stetig?
(b) Der Zusammenhang zwischen nachgefragter Menge f und dem Preis p einer Ware sei
durch die Funktion
450 − 10p
f (p) =
,
0 ≤ p ≤ 45
p+5
gegeben. Bestimmen Sie die Elastizität f (p) der Funktion f (p). Ist die Funktion f für
p = 4 elastisch oder unelastisch?
(c) Geben Sie die Partialbruchzerlegung von
4x − 4
x3 − 2x2
an.
(4) Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
x1 − 2x2 − x3 = 3
2x1 − 3x2 + 2x3 = 4
x1 + x2 + αx3 = β
wobei α, β ∈ R.
(a) Für welche Werte von α und β hat das Gleichungssystem
i) genau eine Lösung,
ii) unendlich viele Lösungen,
iii) keine Lösung.
(b) Man gebe im Fall α = 11 und β = −3 die Lösungen an. Bestimmen Sie in diesem Fall
auch diejenige Lösung, die zusätzlich x1 + x2 + x3 = 7 erfüllt (sofern dies möglich ist).
(5) Herr Meyer hat 100.000 ¤ im Lotto gewonnen!
(a) Reicht diese Summe aus, um eine vor vier Jahren aufgenommene Hypothek über
150.000 ¤ vollständig zu tilgen? Für die Hypothek wurde seinerzeit ein jährlicher Zinssatz von 6 % und eine jährliche Annuität von 15.000 ¤ vereinbart.
(b) Eine Bank schlägt vor, bei Einzahlung der 100.000 ¤ eine monatliche Rente in Höhe
von 1250 ¤ zu zahlen. Dazu wird das Guthaben mit monatlich 0, 3 % verzinst, und
die Auszahlung erfolgt jeweils zu Monatsbeginn. Wie lange kann die Rente gezahlt
werden?
(c) Herr Meyer beschließt, die 100.000 ¤ bei der Bank fest anzulegen. Welchen Zinssatz
muss die Bank anbieten, wenn sich das Kapital bei jährlicher Verzinsung nach 10
Jahren verdoppelt haben soll?