2.¨Ubungsblatt zur Quantenmechanik

Institut für Theoretische Physik
O. Lauscher, C. Mayrhofer
Dozent: T. Weigand
Universität Heidelberg
Sommersemester 2011
2. Übungsblatt zur Quantenmechanik
Abgabe der schriftlichen Aufgaben: Do., 21.04.2011, nach Vorlesungsende
Aufgabe 2.1 (7 Punkte):
Gegeben seien (i.a. komplexwertige) Funktionen f einer reellen Variablen x, von denen wir
annehmen, daß sie integrierbar sind. Die Fourier-Transformation einer solchen Funktion
f (x) ist durch
Z∞
dx
√ e−ikx f (x)
f˜(k) = F[f (x); k] =
2π
−∞
gegeben. Die inverse Transformation ist dann
Z∞
f (x) =
−∞
dk
√ eikx f˜(k)
2π
(a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte f˜(k) von f (x) = e−|x|
Z∞
(b) Zeigen Sie:
δ(x) =
dk ikx
e
2π
−∞
Hierbei bezeichnet δ(x) die Diracsche Deltafunktion mit der (formalen) definierenden Eigenschaft
Z∞
dx δ(x) f (x) = f (0) für jede lokal integrierbare Funktion f
−∞
(c) Zeigen Sie, daß die Deltafunktion mittels
lim f (x − x0 ) = δ(x − x0 )
&0
dargestellt werden kann, wenn f durch
(2 )−1 für |x| ≤ f (x) =
0
sonst
gegeben ist. Zeigen Sie weiterhin, daß die Deltafunktion auch eine Darstellung mittels der Gaußkurve besitzt, d.h.
(x − x0 )2
1
exp −
= δ(x − x0 )
lim √
&0
2 2
2π
1
Aufgabe 2.2 (7 Punkte):
Definition 2.1. Es seien V und W komplexe Vektorräume über C. Eine Abbildung A :
V → W heißt linearer Operator, wenn für alle |xi, |yi ∈ V und alle λ, µ ∈ C gilt:
A(λ |xi + µ |yi) = λ A(|xi) + µ A(|yi)
Definition 2.2. Sei V ein komplexer Vektorraum über C, und sei ferner A : V → V
ein linearer Operator auf V. Existiert für ein λ ∈ C ein |vi ∈ V mit |vi =
6 |Oi, so daß
A(|vi) = λ |vi, so heißt λ Eigenwert von A. Ferner heißt dann |vi Eigenvektor von A zum
Eigenwert λ.
Bemerkung: Ist der Vektorraum V endlichdimensional, so kann jeder lineare Operator
A : V → V durch eine quadratische Matrix M dargestellt werden. Die Eigenwertgleichung
A(|vi) = λ |vi nimmt dann die Form M · |vi = λ |vi an, wobei |vi hier durch einen
Spaltenvektor dargestellt wird.
(a) Die drei Pauli-Matrizen sind durch
0 1
0 −i
σx =
, σy =
,
1 0
i 0
σz =
1
0
0 −1
gegeben. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Pauli-Matrizen, und
bestimmen Sie sowohl für i = x als auch für i = y jeweils eine Matrix U , durch die
σi gemäß der Beziehung
U −1 σi U = σz
diagonalisiert wird.
(b) Die drei Matrizen


0 0 0
Jx =  0 0 −i  ,
0 i 0


0 −i 0
Jz =  i 0 0 
0 0 0


0 0 i
Jy =  0 0 0  ,
−i 0 0
generieren Drehungen im dreidimensionalen Raum um die x-, die y- bzw. die zAchse. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrizen, und bestimmen Sie sowohl für i = y als auch für i = z jeweils eine Matrix U , durch die Ji
gemäß
U −1 Ji U = D
diagonalisiert wird. (D bezeichnet hier eine Diagonalmatrix.)
Aufgabe 2.3 (6 Punkte):
Für ein klassisches mechanisches System, dessen 2d-dimensionaler Phasenraum durch die
Koordinaten (q1 , . . . , qd ) ≡ ~q und die Impulse (p1 , . . . , pd ) ≡ p~ aufgespannt wird und das
durch die Hamilton-Funktion H(~q, p~, t) beschrieben wird, wird die Zeitentwicklung einer
Observablen A(~q, p~, t) durch
dA
∂A
= {A, H} +
dt
∂t
2
beschrieben. Dabei ist die Poisson-Klammer {B, C} zweier Phasenraumfunktionen B(~q, p~, t)
und C(~q, p~, t) allgemein durch
d X
∂B ∂C ∂B ∂C
−
{B, C} =
∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
i=1
definiert. Berechnen Sie unter Verwendung der obigen Zeitentwicklungsformel die Zeitentwicklungen von p~ und ~x für den dreidimensionalen, isotropen harmonischen Oszillator
p
~2
mit Hamilton-Funktion H(~q, p~, t) = 2m
+ k2 ~q 2 .
3