Ubungen zur Vorlesung Theoretische Physik II Blatt 3

Lehrstuhl für Theoretische Physik II
Prof. Dr. U. Eckern, Dr. M. Dzierzawa
Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik II
Blatt 3
(Abgabetermin: 8. Mai 2007 )
8. Bewegung im elektromagnetischen Feld (5 Punkte)
Eine Punktladung q bewegt sich im homogenen elektromagnetischen Feld E = Eey ,
B = Bez unter dem Einfluss der Lorentzkraft F = q(E + v × B).
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit v(t) auf.
(b) Bestimmen Sie v(t) unter der Anfangsbedingung v(0) = 0.
(c) Berechnen Sie r(t) unter der Anfangsbedingung r(0) = 0 und skizzieren Sie die
Flugbahn des Teilchens.
9. Potential einer geladenen Kugel (5 Punkte)
Das Potential φ(r) einer (statischen) Ladungsverteilung ρ(r) erhält man mit
1
φ(r) =
4πε0
Z
d3 r 0
ρ(r0 )
|r − r0 |
Berechnen Sie damit das Potential φ(r) und das elektrische Feld E(r) einer homogen
geladenen Kugel mit Radius R.
Hinweis: Verwenden Sie für die r0 −Integration Kugelkoordinaten und legen Sie den
Vektor r in Richtung der z−Achse, d.h. r = (0, 0, r).
10. Deltafunktion (6 Punkte)
Die Dirac’sche Deltafunktion ist definiert durch die Beziehung
Z
∞
dx f (x)δ(x) = f (0)
−∞
(a) Leiten Sie aus dieser Definition die folgenden Eigenschaften der Deltafunktion ab:
δ(x) = δ(−x),
δ(x2 − c2 ) =
xδ(x) = 0,
xδ 0 (x) = −δ(x)
1
(δ(x + c) + δ(x − c))
2|c|
und
δ(g(x)) =
X
j
δ(x − xj )
|g 0(xj )|
wobei xj einfache Nullstellen von g(x) sind.
(b) Zeigen Sie, dass die folgenden Darstellungen der Deltafunktion
(i) δ(x) =
Z
∞
−∞
dk
exp(ikx)
2π
1
x2
(ii) δ(x) = lim √
exp −
ε→0
2ε
2πε
!
ihrer obigen Definition genügen.
Hinweis: Verwenden Sie für (i), dass die Funktion f (x) und ihre Fouriertrans˜
formierte f(k)
wie folgt zusammenhängen:
˜ =
f(k)
Z
∞
dx exp(−ikx)f (x),
f (x) =
−∞
Z
∞
−∞
dk
exp(ikx)f˜(k)
2π
11. Dipol (4 Punkte)
Betrachten Sie zwei Punktladungen im Abstand a voneinander, die eine mit Ladung q
bei a/2 und die andere mit Ladung −q bei −a/2.
(a) Bestimmen Sie das Potential φa (r) der Ladungsverteilung.
(b) Berechnen Sie den Grenzwert
φ(r) = lim φa (r)
a→0
unter der Nebenbedingung, dass das Produkt p = qa konstant gehalten wird.
(c) Berechnen Sie das zugehörige elektrische Feld E(r) = −∇φ(r) und skizzieren Sie
die Feldlinien.