QUANTENMECHANIK

Theoretische Physik 3: QUANTENMECHANIK
Technische Universität München, Sommersemester 2006, Harald Friedrich
0. Einleitung
Grenzen der Newtonschen Mechanik, Photoeffekt, Beugung am
Doppelspalt, Bohrsches Atommodell
1. Materiewellen
freies Teilchen, Ort und Impuls, Unschärferelation
2. Schrödingergleichung
zeitabhängige, zeitunabhängige Schrödingergleichung,
Wahrscheinlichkeit, Erwartungswerte, Orts- und
Impulsdarstellung
3. Beispiele
harmonischer Oszillator, Kastenpotenzial
Quantenmechanik, SS06
Page 1
4. Algebraische Struktur der Quantenmechanik
Zustandsvektoren, Hilbertraum, lineare Operatoren
5. Drei Raumdimensionen
Drehimpuls, radiale Schrödingergleichung, Kugeloszillator,
Wasserstoffatom
6. Spin
Spin des Elektrons, Dirac-Gleichung, Spin-Bahn-Kopplung
7. Näherungsmethoden
Variationsprinzip, Störungstheorie
8. Symmetrien und Invarianzen
9. Äußere Felder
Stark-Effekt, Zeeman-Effekt
Quantenmechanik, SS06
Page 2
Lehrbücher
• Quantenphysik (9. Aufl.), S. Gasiorowicz, Oldenbourg,
München, 2005
• Quantenmechanik (2. Aufl.), T. Fließbach, Spektrum,
Heidelberg, 1995
• Nonrelativistic Quantum Mechanics (3rd ed.), A.Z. Capri,
World Scientific, Singapore, 2002
• Quantenmechanik (5. Aufl.), F. Schwabl, Springer-Verlag,
Berlin, 1998.
• Quantum Mechanics (3rd ed.), A.I.M. Rae, IOP Publishing,
Bristol, 1992.
• Quantum Mechanics, K.T. Hecht, Springer-Verlag, N.Y. 2000.
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Page 3
1. Materiewellen
monochromatische Welle:
Intenstität:
Energie:
Impuls:
Lichtwellen
Materiewellen
E~ ∝ ei(kx−ωt)
ψ ∝ ei(kx−ωt)
~ 2
|<(E)|
|ψ|2
E = hν = ~ω
E
c
=
~ω
c
Dispersionsrelation:
ω = ck =
Gruppengeschwindigkeit:
vg =
Quantenmechanik, SS06
dω
dk
E=
p2
2m
=
~2 k 2
2m
= ~ω
mv = p = ~k
E
~
=c
ω=
vg =
dω
dk
~k2
2m
=
E
~
=
~k
m
=
p
m
Page 4
Fourier-Transformation
1
f (x) = √
2π
Z
∞
e
ikx
φ(k) dk ,
−∞
φ(k)
δ(k − k0 )
Quantenmechanik, SS06
1
φ(k) = √
2π
Z
∞
e−ikx f (x) dx .
−∞
f (x)
√1
2π
eik0 x
√1 e−ikx0
2π
1/2
−b2 k2 /2
√b
e
π
√ −1/2 −x2 /(2b2 )
(b π)
e
φ(k)
f (x)
ik φ(k)
f 0 (x)
(ik)n φ(k)
f (n) (x)
δ(x − x0 )
Page 5
Symmetrie-Eigenschaft der Fourier-Transformation:
∗
f (−x) = [f (x)] ⇐⇒ φ(k) reell
f (x) reell
⇐⇒ φ(−k) = [φ(k)]
∗
f (x) reell und f (−x) = f (x) ⇐⇒ φ(k) reell und φ(−k) = φ(k)
Faltungstheorem:
h(x) =
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Z
∞
−∞
0
0
f (x ) g(x − x ) dx ⇐⇒ φh (k) =
√
2πφf (k)φg (k)
Page 6
Heisenbergsche Unschärferelation
Die Zahlen y ∈ (−∞, ∞) mögen mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
w(y) verteilt sein.
Z ∞
y w(y)dy
Mittelwert:
hyi =
Fluktuation: (∆y)2
−∞
=
=
h(y − hyi)2 i = hy 2 i − hyi2
Z ∞
y 2 w(y)dy − hyi2
−∞
Für den Ort: y ≡ x, für den Impuls: y ≡ p = ~k,
∆x ∆p ≥
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~
2
Page 7
Fundamente der Quantenmechanik
• Der Zustand eines Systems wird beschrieben durch eine
komplexwertige Wellenfunktion ψ, Beispiel: ψ(x, t)
• Physikalische Observable werden beschrieben durch lineare
Operatoren im Vektorraum aller möglchen Wellenfuntionen.
Ort
x̂ :
ψ(x) 7→ x ψ(x)
Beispiele:
~ ∂ψ
Impuls
p̂ :
ψ(x) 7→
i ∂x
~2 ∂ 2 ψ
kinetische Energie
T̂ :
ψ(x) 7→ −
2m ∂x2
• Mögliche Messwerte einer Observablen sind die Eigenwerte
des zugehörigen Operators.
• Ist die Wellenfunktion ψ eine Eigenfunktion des Operators Ô,
Ôψ = ωψ, so ergibt die Messung der Observablen mit
Sicherheit den zugehörigen Eigenwert ω.
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Page 8
DREI GESICHTER DER KLASSISCHEN MECHANIK
p2
mv 2
=
,
T =
2
2m
p~ = m~v = m~r˙
V = V (~r)
Newton:
Lagrange: L(qi , q̇i ; t) = T −V
Hamilton: H(qi , pi ; t) = T + V
Quantenmechanik, SS06
Masse×Beschleunigung = Kraft
d
¨
m~r = p~
dt
d ∂L
dt ∂ q̇i
dpi
dt
=
~ (~r)
−∇V
∂L
∂qi
=
=
dqi
dt
∂H
∂qi
∂H
=
∂pi
−
Page 9
2. Schrödingergleichung
Hamiltonoperator:
Ĥ = Ĥ(p̂, x) ,
~ ∂
p̂ =
i ∂x
∂ψ
Schrödingergleichung:
Ĥψ = i~
∂t
Wenn Ĥ nicht explizit von der Zeit abhängt, lohnt sich ein
Separationsansatz: ψ(x, t) = ψRaum (x)ψZeit (t). Erfüllt ψRaum die
zeitunabhängige, die stationäre Schrödingergleichung,
Ĥψ = Eψ ,
dann gibt es dazu eine Lösung der vollen, zeitabhängigen
Schrödingergleichung,
ψ = ψRaum e
Quantenmechanik, SS06
− ~i Et
Page 10
3. Beispiele, u.a. der eindim. harmonische Oszillator
2
Ĥ = −
2
~ d
+V (x) ,
2
2m dx
2
mω 2
~ω x
x =
V (x) =
,
2
2 β
Schrödingergleichung:
2
β=
r
~
mω
2m
d2 ψ m 2 ω 2 2
−
x ψ(x) = − 2 Eψ(x)
dx2
~2
~
d2 ψ
2
−
y
ψ(y) = −εψ(y)
dy 2
1
~ω
Eigenwerte: εn = 2n + 1 , En = n +
2
√ −1/2
2
2
(β π)
x
e−x /(2β )
Hn
Eigenfunktionen (normiert): ψn (x) = √
β
2n n!
Hn (y) sind die “Hermite-Polynome”
(s. Anhang)
Z
x
mit y = ,
β
Orthonormalität:
E
ε=
:
~ω/2
∞
ψm (x)ψn (x) dx = δm,n
−∞
Quantenmechanik, SS06
Page 11
Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators
4
n=3
3
E/hω
n=2
ψ(x)
2
n=1
1
n=0
0
-2
0
2
x/β
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Page 12
Schrödingergleichung im Impulsraum
Z ∞
|ψ(x)|2 dx = 1
Ortsraumwellenfunktion: ψ(x) ,
−∞
∞
1
eikx ψ̄(k)dk
Zerlegung nach monochromatischen Wellen: ψ(x) = √
2π −∞
Wahrscheinlichkeitsamplitude für Impuls p = ~k:
Z ∞
i
1
1
e− ~ px ψ(x)dx
φ(p) = √ ψ̄(k) = √
~
2π~ −∞
Z ∞
|φ(p)|2 dp = 1
Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum: |φ(p)|2 ,
Z
−∞
~ ∂φ
,
Operatoren im Impulsraum: p̂φ(p) = pφ(p) , x̂φ(p) = −
i ∂p
2
∂φ
~ ∂
p φ
φ = i~
+V −
Schrödingergleichung:
2m
i ∂p
∂t
Quantenmechanik, SS06
p2
Ĥ =
+V (x̂)
2m
Page 13
Erwartungswerte
R∞
2
|ψ(x)|
= 1,
Im Orstraum,
−∞
Zdx
Z ∞
∞
2
x|ψ(x)| dx =
ψ ∗ (x)xψ(x)dx ,
hxi =
−∞
R∞
−∞
2
hx i =
Z
∞
ψ ∗ (x)x2 ψ(x)dx .
−∞
2
|φ(p)|
= 1,
Im Impulsraum,
−∞
Z ∞
Zdp
Z ∞
∞
∂ψ
~
dx =
φ∗ (p)pφ(p)dp =
ψ ∗ (x)
ψ ∗ (x)p̂ψ(x)dx
hpi =
i ∂x
−∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
2
2
∗
2
∗
2 ∂
∗
2
φ (p)p φ(p)dp =
ψ (x) −~
ψ(x) dx =
ψ (x) p̂ ψ(x) dx
hp i =
2
∂x
−∞
−∞
−∞
2 Z ∞
2
2
∂
~
(p̂)
=
ψ ∗ (x) −
ψ(x) dx
hT̂ i =
2
2m
2m ∂x
−∞
Z ∞
2
2
~ ∂
∗
ψ (x) −
+ V (x) ψ(x) dx
hĤi = hT̂ + V (x)i =
2
2m
∂x
−∞
Z ∞
Z ∞
ψ ∗ (x) Ôψ(x) dx =
φ∗ (p) Ôφ(p) dp
ganz allgemein: hÔi =
−∞
Quantenmechanik, SS06
−∞
Page 14
4. Algebraische Struktur der Quantenmechanik
ξ stehe für einen (vollständigen) Satz von Variablen, die ein
physikalisches System quantenmechanisch beschreiben.
Beispiel: drei wechselwirkende Massenpunkten,
p1 , ~p2 , p~3 ) oder ξ ≡ (~r1 , p~2 , ~r3 ), etc.
ξ ≡ (~r1 , ~r2 , ~r3 ) oder ξ ≡ (~
Die Menge der stetigen, fast überall mindestens zweimal
differenzierbaren, quadratintegrablen komplexwertigen
(Wellen-)Funktionen mit geeigneten Randbedingungen,
Z
H = ψ(ξ) :
|ψ(ξ)|2 dξ < ∞ , Randbedingungen ,
ist ein Vektorraum über C mit höchstens abzählbar vielen linear
unabhängingen Vektoren.
Quantenmechanik, SS06
Page 15
Die Verknüpfung
ψ1 , ψ2 7→
Z
def
ψ1 (ξ)∗ ψ2 (ξ)dξ = hψ1 |ψ2 i
definiert ein unitäres Skalarprodukt mit den Eigenschaften
Linearität:
hψ1 |ψ2 + cψ3 i = hψ1 |ψ2 i + chψ1 |ψ3 i
hψ2 |ψ1 i = hψ1 |ψ2 i∗
unitäre Symmetrie:
Positivität:
hψ|ψi ≥ 0 ,
hψ|ψi = 0 ⇐⇒ ψ(ξ) ≡ 0
p
Die Norm kψk eines Elements ψ von H ist: kψk = hψ|ψi,
und der Abstand zweier Elemente ψ1 , ψ2 ist kψ1 − ψ2 k.
H ist vollständig in dem Sinne, dass eine Cauchy-Folge von
Elementen in H einen Limes in H besitzt.
Einen Vektorraum H mit den obigen Eigenschaften nennt man
einen Hilbertraum.
Quantenmechanik, SS06
Page 16
In der sogenannten “bra-ket-Schreibweise” wird die Wellenfuntion
ψ ohne Bezug auf die Wahl der Variablen als Zustandsvektor |ψi
geschrieben — als “ket”. Den hierzu “konjugierten” Zustandsvektor
hψ| nennt man “bra”. Im gegenwärtigen Fall steht hψ| für ψ(ξ)∗ .
Das Skalarprodukt der Zustandsvektoren |ψ1 i und |ψ2 i ist das
Produkt des bra hψ1 | mit dem ket |ψ2 i, das bracket hψ1 |ψ2 i.
Sei |φ1 i, |φ2 i, |φ3 i, . . . eine Basis von H. D.h. ein beliebiger
Zustandsvektor |ψi lässt sich eindeutig als Linearkombination
∞
X
darstellen,
cn |φn i .
|ψi =
n=1
Basis orthonormal, d.h. hφm |φn i = δm,n , =⇒ cn = hφn |ψi.
∞
X
|cn |2 ; kψk = 1 =⇒ |cn |2 ist die
Normierung: hψ|ψi =
n=1
Wahrscheinlichkeit dafür, das durch |ψi beschriebenes System im
Zustand |φn i ist.
Quantenmechanik, SS06
Page 17
Lineare Operatoren
Ô : H → H ,
|ψi 7→ Ô|ψi ;
Ô (|ψ1 i + c|ψ2 i) = Ô|ψ1 i + c|ψ2 i
Orthonormale Basis: |φ1 i, |φ2 i , . . . Bild der Basiszustände unter Ô:
Ô|φn i =
∞
X
m=1
Om,n |φm i ,
Om,n = hφm |Ô|φn i
P∞
Jeder Zustandsvektor |ψi = n=1 cn |φn i eindeutig durch die
Entwicklungskoeffizienten cn charakterisiert,
!
∞
∞
∞
∞
X
X X
X
cn Ô|φn i =
Om,n |φm i cn =
c0m |φm i
Ô|ψi =
n=1
c0m =
∞
X
n=1
Quantenmechanik, SS06
Om,n cn
n=1
bzw.
m=1
 c0   O
1,1
1
 c02   O2,1
 =
 c0   O3,1
3
···
···
m=1
O1,2
O2,2
O3,2
···
O1,3
O2,3
O3,3
···
· · ·   c1 
 
···
  c2 
· · ·   c3 
···
···
Page 18
Hermitesche Operatoren
Ein linearer Operator Ô ist hermitesch, wenn die zugehörige Matrix
(Om,n ) hermitesch ist, d.h. wenn (On,m )∗ = Om,n .
Diese Ausage ist basisunabhängig und gleichbedeutend mit:
hψ2 |Ô|ψ1 i∗ = hψ1 |Ô|ψ2 i für alle |ψ1 i, |ψ2 i ∈ H.
Physikalische Observable werden durch hermitesche Operatoren im
Hilbertraum dargestellt. Dazu sind drei Eigenschaften wichtig:
1. Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind stets reell.
Messwerte sind immer reelle Zahlen.
2. Eigenzustände zu verschiedenen Eigenwerten eines
hermiteschen Operators sind orthogonal.
Ein Eigenzustand zu einem Messwert enthält keine
Komponente zu einem anderen Messwert.
3. Die Eigenzustände eines hermiteschen Operators sind eine Basis.
Jeder Zustand kann vollständig in Komponenten zerlegt
werden, von denen jede einem festen Messwert entspricht.
Quantenmechanik, SS06
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Ein Eigenwert (eines eines hermiteschen Operators) heißt entartet,
wenn es dazu mehr als einen (lin.unabh.) Eigenvektor gibt. Im
Unterraum der Eigenzustände zu einem entarteten Eigenwert läßt
sich eine Orthonormalbasis konstruieren, z.B. mit dem
Schmidtschen Verfahren. So hat jeder hermitescher Operator eine
Orthnormalbasis von Eigenzuständen.
Beispiele für hermitesche Operatoren:
Ort
x̂ :
ψ(x) 7→ xψ(x)
Impuls p̂ :
ψ(x) 7→ (~/i)∂ψ/∂x
Energie Ĥ :
ψ(x) 7→ (−~2 /2m)∂ 2 ψ/∂x2 + V (x)ψ(x)
Projektionsoperator |φihφ| :
|ψi 7→ |φihφ|ψi
Vollständigkeitsrelation für Orthonormalbasis {|φn i} :
Quantenmechanik, SS06
X
n
|φn ihφn | = 1
Page 20
Sei |φ1 i, |φ2 i, . . . eine Orthonormalbasis von Eigenzuständen der
Observablen (des hermiteschen Operators) Ô: Ô|φn i = ωn |φn i. Ein
(normierter) Zustand |ψi im Hilbertraum ist eindeutig darstellbar
als:
∞
∞
X
X
cn |φn i und hψ|ψi =
|cn |2 = 1 .
|ψi =
n=1
n=1
|cn |2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass das durch |ψi beschriebene
System sich in dem Eigenzustand |φn i der Observablen Ô befindet.
Der Erwartungswert von Ô im Zustand |ψi ist:
hÔi = hψ|Ô|ψi =
∞
X
n=1
|cn |2 ωn ,
also der gewichtete Mittelwert der Messwerte (Eigenwerte) ωn .
Quantenmechanik, SS06
Page 21
Wenn ein linearer Operator Ô nicht hermitesch ist, so ist seine
Matrix Om,n (in Bezug auf eine Orthonormalbasis |φ1 i, |φ2 i, . . .)
nicht hermitesch, die Matrix
def
O† = (O T )∗ ,
def
(O † )m,n = (On,m )∗
ist nicht identisch mit der Matrix Om,n , und sie definiert einen
neuen Operator Ô† , den adjungierten oder hermitesch konjugierten
Operator zu Ô. Offenbar gilt für die Basisvektoren |φn i — und für
beliebige Vektoren |ψ1 i, |ψ2 i im Hilbertraum,
hφm |Ô† |φn i = hφn |Ô|φm i∗ ,
hψ1 |Ô† |ψ2 i = hψ2 |Ô|ψ1 i∗
Einige Rechenregeln:
(Ô† )† = Ô ,
(ÂB̂)† = B̂ † † ,
|ui = Ô|ψi ⇐⇒ hu| = hψ|Ô†
Ein hermitescher Operator ist definiert durch: Ô† = Ô.
Quantenmechanik, SS06
Page 22
Die Matrix eines hermiteschen Operators Ô in der (orthonormalen)
Basis seiner Eigenzustände ist diagonal: hφm |Ô|φn i = ωn δm,n .
Zwei hermitesche Operatoren (Observable) Â und B̂ heißen
gleichzeitig messbar, wenn sie eine gemeinsame Basis von
Eigenvektoren haben. In dieser gemeinsamen (orthonormalen)
Basis von Eigenvektoren sind beide Matrizen diagonal,
hφm |Â|φn i = αn δm,n , hφm |B̂|φn i = βn δm,n , und folglich ist
hφm |ÂB̂|φn i = αn βn δm,n = hφm |B̂ Â|φn i, d.h. ÂB̂ = B̂ Â.
Zwei Observable  und B̂ sind genau dann gleichzeitig messbar
(die Matrizen simultan diagonalisierbar) wenn ÂB̂ = B̂ Â, d.h.
wenn der Kommutator [Â, B̂] verschwindet.
Kommutator:
Rechenregeln: [B̂, Â] = −[Â, B̂] ,
Ort und Impuls:
Quantenmechanik, SS06
def
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â
[Â, B̂ Ĉ] = B̂[Â, Ĉ] + [Â, B̂]Ĉ
[p̂, x̂] =
~
i
Page 23
Zeitentwicklung und Ehrenfest-Theorem
i
dhψ|
i
d|ψi
= − Ĥ|ψi ,
= + hψ|Ĥ .
dt
~
dt
~
Für eine beliebige Observable Ô gilt (Produktregel für Diff.)
∂ Ô
dhψ|
d|ψi
Ô|ψi + hψ|
|ψi + hψ|Ô
dt
∂t
dt
∂ Ô
i
i
hψ|Ĥ Ô|ψi + hψ|
|ψi − hψ|ÔĤ|ψi
=
~
∂t
~
∂ Ô
i
hψ|[Ĥ, Ô]|ψi + hψ|
|ψi .
=
~
∂t
Für eine nicht explizit von der Zeit abhängenden Observable,
∂ Ô/∂t = 0, bedeutet [Ĥ, Ô] = 0 dass der Erwartungswert von Ô in
einem Zustand, der sich gemäß der zeitabhängigen
Schrödingergleichung entwickelt, konstant ist. Eine solche
Observable, ∂ Ô/∂t = 0, [Ĥ, Ô] = 0, ist eine Erhaltungsgröße.
d
d
hÔi = −h dx
V (x̂)i (“Ehrenfest-Theorem”)
Für Ô = p̂ folgt: dt
d
hψ|Ô|ψi =
dt
Quantenmechanik, SS06
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Algebraische Lösung für den harmonischen Oszillator
r
2 2
2
2
2
mω 2
~ω β p̂
x̂
~
p̂
+
x̂ =
+
,
β
=
Ĥ =
2m
2
2
~2
β2
mω
x̂
x̂
β p̂
β p̂
1
1
1
†
†
√
√
, b̂ =
⇒ Ĥ = ~ω b̂ b̂ +
.
+i
−i
b̂ =
β
~
β
~
2
2
2
Kommutatoren: [b̂, b̂† ] = −[b̂† , b̂] = 1 , [Ĥ, b̂] = −~ω b̂ , [Ĥ, b̂† ] = ~ω b̂†
Für die Eigenzustände |ψn i ≡ |ni des Hamiltonoperators gilt,
√
√
†
b̂|ni = n|n − 1i , b̂ |ni = n + 1|n + 1i , b̂† b̂|ni = n|ni
Für die Energien folgt En = ~ω(n + 1/2). Der Grundzustand ist
durch b̂|0i = 0 definiert woraus in Ortsdarstellung folgt:
√
ψ0 (x) = ( πβ)−1/2 exp [−x2 /(2β 2 )].
Die angeregten Zustände folgen gemäß |ni = (n!)−1/2 (b̂† )n |0i, was
in Ortsdarstellung genau wieder die Wellenfunktionen ψn (x) von
Seite 11 ergibt.
Quantenmechanik, SS06
Page 25
Hermite-Polynome
dHn
d2 Hn
− 2y
+ 2nHn (y) = 0
dy 2
dy
Differenzialgleichung:
Hn (y) =
expliziter Ausdruck:
X
0≤ν≤n/2
Z
Orthogonalität:
Rekursion:
explizite Beispiele:
Quantenmechanik, SS06
Hm (y)Hn (y) e
−y 2
n
√
dy = 2 n! π δm,n
−∞
Hn+1 (y) = 2yHn (y) − 2nHn−1 (y) ,
Ableitung:
H3 (y) = 8y 3 − 12y ,
∞
(−1)ν n!
(2y)n−2ν
ν!(n − 2ν)!
dHn
= 2nHn−1 (y)
dy
H0 (y) = 1 ,
,
n≥1
n≥1
H1 (y) = 2y ,
H4 (y) = 16y 4 − 48y 2 + 12 ,
H2 (y) = 4y 2 − 2 ,
H5 (y) = 32y 5 − 160y 3 + 120y
Page 26