Implementierung eines koalgebraischen EL

Implementierung eines
koalgebraischen EL-Reasoners
Ludwig Dietel
Department Informatik, Lehrstuhl für Informatik 8 – Theoretische Informatik
Erlangen, 31. Januar 2017
Inhalt
1. Koalgebraische Logiken
2. TBoxen
3. Tableauregeln zur Konstruktion des gfp Modells
4. Ergebnisse
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Syntax koalgebraische Logiken
• Die Formeln L(Λ) der koalgebraischen Logik
L(Λ) 3 ϕ ::= > | ¬ϕ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
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Koalgebraischer EL-Reasoner
(♥/n ∈ Λ) .
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Syntax koalgebraische Logiken
• Die Formeln L(Λ) der koalgebraischen Logik
L(Λ) 3 ϕ ::= > | ¬ϕ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
(♥/n ∈ Λ) .
• Postive Λ-Formeln mit den positiven propositionalen Kombinationen (Pos)
L+(Λ) 3 ϕ ::= > | ⊥ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ϕ1 ∨ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn ) (♥/n ∈ Λ)
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{z
}
Pos
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Syntax koalgebraische Logiken
• Die Formeln L(Λ) der koalgebraischen Logik
L(Λ) 3 ϕ ::= > | ¬ϕ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
(♥/n ∈ Λ) .
• Postive Λ-Formeln mit den positiven propositionalen Kombinationen (Pos)
L+(Λ) 3 ϕ ::= > | ⊥ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ϕ1 ∨ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn ) (♥/n ∈ Λ)
|
{z
}
Pos
• Konjunktive Λ-Formeln mit den konjunktiven Kombinationen (Conj)
L∧(Λ) 3 ϕ ::= > | ϕ1 ∧ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
|
{z
}
(♥/n ∈ Λ).
Conj
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Syntax koalgebraische Logiken
• Die Formeln L(Λ) der koalgebraischen Logik
L(Λ) 3 ϕ ::= > | ¬ϕ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
(♥/n ∈ Λ) .
• Postive Λ-Formeln mit den positiven propositionalen Kombinationen (Pos)
L+(Λ) 3 ϕ ::= > | ⊥ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ϕ1 ∨ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn ) (♥/n ∈ Λ)
|
{z
}
Pos
• Konjunktive Λ-Formeln mit den konjunktiven Kombinationen (Conj)
L∧(Λ) 3 ϕ ::= > | ϕ1 ∧ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
|
{z
}
(♥/n ∈ Λ).
Conj
• Erweiterung der koalgebraische Modallogik zum koalgebraischen
µ-Kalkül, dann erweitert man die positiven Λ-Formeln mit
Fixpunktkonstrukten über einer Menge ∆ von Variablen:
Lµ(Λ) 3 ϕ ::= · · · | a | µa.ϕ | νa.ϕ
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(♥/n ∈ Λ, a ∈ ∆) .
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Syntax koalgebraische Logiken
• Die Formeln L(Λ) der koalgebraischen Logik
L(Λ) 3 ϕ ::= > | ¬ϕ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
(♥/n ∈ Λ) .
• Postive Λ-Formeln mit den positiven propositionalen Kombinationen (Pos)
L+(Λ) 3 ϕ ::= > | ⊥ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ϕ1 ∨ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn ) (♥/n ∈ Λ)
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{z
}
Pos
• Konjunktive Λ-Formeln mit den konjunktiven Kombinationen (Conj)
L∧(Λ) 3 ϕ ::= > | ϕ1 ∧ ϕ2 | ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
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{z
}
(♥/n ∈ Λ).
Conj
• Erweiterung der koalgebraische Modallogik zum koalgebraischen
µ-Kalkül, dann erweitert man die positiven Λ-Formeln mit
Fixpunktkonstrukten über einer Menge ∆ von Variablen:
Lµ(Λ) 3 ϕ ::= · · · | a | µa.ϕ | νa.ϕ
(♥/n ∈ Λ, a ∈ ∆) .
• In diesem Fall lässt man nur Sätze zu, d. h. Formeln, für die jede
Fixpunktvariable a ∈ ∆ an einem Fixpunktoperator gebunden ist.
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Semantik
• Semantik hängt von einem Endofunktor T : Set → Set ab.
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Semantik
• Semantik hängt von einem Endofunktor T : Set → Set ab.
• Erzeugt T -Koalgebren (X , ξ) mit ξ : X → TX .
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Semantik
• Semantik hängt von einem Endofunktor T : Set → Set ab.
• Erzeugt T -Koalgebren (X , ξ) mit ξ : X → TX .
• n-stelliges Prädikatenlifting für einen Endofunktor T : Set → Set ist eine
natürliche Transformation der Form
J♥K : Qn → Q ◦ T op .
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Semantik
• Semantik hängt von einem Endofunktor T : Set → Set ab.
• Erzeugt T -Koalgebren (X , ξ) mit ξ : X → TX .
• n-stelliges Prädikatenlifting für einen Endofunktor T : Set → Set ist eine
natürliche Transformation der Form
J♥K : Qn → Q ◦ T op .
• Für festen Endofunktor T : Set → Set ist ein Modell eine T -Koalgebra
C = (X , ξ) mit Menge X ∈ Set von Zuständen und Transitionsfunktion
ξ : X → TX
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Semantik
• Semantik hängt von einem Endofunktor T : Set → Set ab.
• Erzeugt T -Koalgebren (X , ξ) mit ξ : X → TX .
• n-stelliges Prädikatenlifting für einen Endofunktor T : Set → Set ist eine
natürliche Transformation der Form
J♥K : Qn → Q ◦ T op .
• Für festen Endofunktor T : Set → Set ist ein Modell eine T -Koalgebra
C = (X , ξ) mit Menge X ∈ Set von Zuständen und Transitionsfunktion
ξ : X → TX
• Punktiertes Modell (C , r ) ist T -Koalgebra C ∈ CoAlg(T ) und Zustand
r ∈ X , der Punkt oder Wurzel
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Semantik
• Semantik hängt von einem Endofunktor T : Set → Set ab.
• Erzeugt T -Koalgebren (X , ξ) mit ξ : X → TX .
• n-stelliges Prädikatenlifting für einen Endofunktor T : Set → Set ist eine
natürliche Transformation der Form
J♥K : Qn → Q ◦ T op .
• Für festen Endofunktor T : Set → Set ist ein Modell eine T -Koalgebra
C = (X , ξ) mit Menge X ∈ Set von Zuständen und Transitionsfunktion
ξ : X → TX
• Punktiertes Modell (C , r ) ist T -Koalgebra C ∈ CoAlg(T ) und Zustand
r ∈ X , der Punkt oder Wurzel
• Erfülltheitsrelation |= wird definiert durch:
C , x |= ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
⇐⇒ ξ(x ) ∈ J♥KX (Jϕ1KC , . . . , Jϕn KC )
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Semantik
• Semantik hängt von einem Endofunktor T : Set → Set ab.
• Erzeugt T -Koalgebren (X , ξ) mit ξ : X → TX .
• n-stelliges Prädikatenlifting für einen Endofunktor T : Set → Set ist eine
natürliche Transformation der Form
J♥K : Qn → Q ◦ T op .
• Für festen Endofunktor T : Set → Set ist ein Modell eine T -Koalgebra
C = (X , ξ) mit Menge X ∈ Set von Zuständen und Transitionsfunktion
ξ : X → TX
• Punktiertes Modell (C , r ) ist T -Koalgebra C ∈ CoAlg(T ) und Zustand
r ∈ X , der Punkt oder Wurzel
• Erfülltheitsrelation |= wird definiert durch:
C , x |= ♥(ϕ1, . . . , ϕn )
⇐⇒ ξ(x ) ∈ J♥KX (Jϕ1KC , . . . , Jϕn KC )
• Extension einer Formel in einer T -Koalgebra C = (X , ξ).
JϕKC := {x ∈ X | C , x |= ϕ}
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Beispiele für koalgebraische Logiken
K RIPKE-Semantik der Modallogik K mit dem Ähnlichkeitstyp Λ = {♦, } und
dem Endofunktor T = P . T -Koalgebren sind dann K RIPKE-Rahmen.
Die Prädikatenliftings für die Modalitäten sind
P(X ) →
JKX :
A 7→
P(X ) →
J♦KX :
A 7→
P(P X )
{B ∈ P(X ) | B ⊆ A}
P(P X )
{B ∈ P(X ) | B ∩ A 6= ∅}
Auch zusätzlich mit propositionalen Atome in der Koalgebraischen
Logik.
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Beispiele für koalgebraische Logiken
K RIPKE-Semantik der Modallogik K mit dem Ähnlichkeitstyp Λ = {♦, } und
dem Endofunktor T = P . T -Koalgebren sind dann K RIPKE-Rahmen.
Die Prädikatenliftings für die Modalitäten sind
P(X ) →
JKX :
A 7→
P(X ) →
J♦KX :
A 7→
P(P X )
{B ∈ P(X ) | B ⊆ A}
P(P X )
{B ∈ P(X ) | B ∩ A 6= ∅}
Auch zusätzlich mit propositionalen Atome in der Koalgebraischen
Logik.
Monotone seriellen Nachbarschaftslogik Ms Ms(X ) := {B ∈
Q(Q(X )) | B nach oben abgeschlossen unter ⊆, X ∈ B , ∅ ∈
/ B }.
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Beispiele für koalgebraische Logiken
K RIPKE-Semantik der Modallogik K mit dem Ähnlichkeitstyp Λ = {♦, } und
dem Endofunktor T = P . T -Koalgebren sind dann K RIPKE-Rahmen.
Die Prädikatenliftings für die Modalitäten sind
P(X ) →
JKX :
A 7→
P(X ) →
J♦KX :
A 7→
P(P X )
{B ∈ P(X ) | B ⊆ A}
P(P X )
{B ∈ P(X ) | B ∩ A 6= ∅}
Auch zusätzlich mit propositionalen Atome in der Koalgebraischen
Logik.
Monotone seriellen Nachbarschaftslogik Ms Ms(X ) := {B ∈
Q(Q(X )) | B nach oben abgeschlossen unter ⊆, X ∈ B , ∅ ∈
/ B }.
PAULYs Koalitionslogik CLN mit einer Menge von Agenten N = {1, . . . , n}
und Λ = {hC i | C ⊆ N }.
T -Koalgebra hier ein Game-Frame über einer Menge N von Agenten.
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Reasoning-Probleme
Erfüllbarkeit (eng. Satisfiability): Eine Formel ϕ ∈ L(Λ) ist erfüllbar unter
einer TBox T , wenn es ein Modell C ∈ CoAlg(T ) von T gibt, sodass
JϕKC nicht leer ist.
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Reasoning-Probleme
Erfüllbarkeit (eng. Satisfiability): Eine Formel ϕ ∈ L(Λ) ist erfüllbar unter
einer TBox T , wenn es ein Modell C ∈ CoAlg(T ) von T gibt, sodass
JϕKC nicht leer ist.
Subsumtion (eng. Subsumption): Eine Formel ϕ ∈ L(Λ) wird von einer
Formel ψ ∈ L(Λ) unter einer TBox T subsumiert, wenn
JϕKC ⊆ JψKC für jedes Modell C ∈ CoAlg(T ) von T gilt.
Dafür schreibt man T ϕ v ψ .
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Reasoning-Probleme
Erfüllbarkeit (eng. Satisfiability): Eine Formel ϕ ∈ L(Λ) ist erfüllbar unter
einer TBox T , wenn es ein Modell C ∈ CoAlg(T ) von T gibt, sodass
JϕKC nicht leer ist.
Subsumtion (eng. Subsumption): Eine Formel ϕ ∈ L(Λ) wird von einer
Formel ψ ∈ L(Λ) unter einer TBox T subsumiert, wenn
JϕKC ⊆ JψKC für jedes Modell C ∈ CoAlg(T ) von T gilt.
Dafür schreibt man T ϕ v ψ .
Äquivalenz (eng. Equivalence): Zwei Formeln ϕ, ψ ∈ L(Λ) sind unter einer
TBox T äquivalent, wenn JϕKC = JψKC für jedes Modell
C ∈ CoAlg(T ) von T gilt.
Dafür schreibt man T ϕ ≡ ψ .
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Reduktionen
Für zwei Formeln ϕ, ψ ∈ L(Λ) gilt:
1. ϕ ist unerfüllbar ⇐⇒ ϕ ist subsumiert von ⊥
2. ϕ und ψ sind äquivalent ⇐⇒ ϕ subsumiert ψ und ψ subsumiert ϕ
3. ϕ und ψ sind disjunkt ⇐⇒ ϕ u ψ ist subsumiert von ⊥
4. ϕ wird von ψ subsumiert ⇐⇒ ϕ ∧ ¬ψ is unerfüllbar.
Diese Reduktionen gelten auch unter einer TBox T .
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FL0
Seien ϕ, ψ ∈ FL0 in Normalform mit
ϕ = A1 u · · · u Am u ∀R1.ϕ1 u · · · u ∀Rn .ϕn
ψ = B1 u · · · u Bk u ∀S1.ψ1 u · · · u ∀Sl .ψl
Dann gilt ϕ v ψ ⇐⇒
(i) ∀i ∈ {1, . . . , k } : ∃j ∈ {1, . . . , m} : Bi = Aj
(ii) ∀i ∈ {1, . . . , l } : ∃j ∈ {1, . . . , n} : Si = Rj ∧ ϕj v ψi
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FL0
Seien ϕ, ψ ∈ FL0 in Normalform mit
ϕ = A1 u · · · u Am u ∀R1.ϕ1 u · · · u ∀Rn .ϕn
ψ = B1 u · · · u Bk u ∀S1.ψ1 u · · · u ∀Sl .ψl
Dann gilt ϕ v ψ ⇐⇒
(i) ∀i ∈ {1, . . . , k } : ∃j ∈ {1, . . . , m} : Bi = Aj
(ii) ∀i ∈ {1, . . . , l } : ∃j ∈ {1, . . . , n} : Si = Rj ∧ ϕj v ψi
EL
• ϕ v ψ mit Formeln in Normalform A1 u · · · u Am u ∃R1.ϕ1 u · · · u ∃Rn .ϕn
• Konstruktion eines Materialisations Mϕ
• Model Checking Mϕ |= ψ
• In der Web Ontology Language enthalten als OWL 2 EL
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Terminologische Axiome
• Terminologische Axiome haben die Form
.
ϕ=ψ
oder
ϕvψ
mit ϕ, ψ ∈ L(Λ).
• Ein Axiom der ersten Art wird Gleichung und ein Axiom der zweiten Art
wird Inklusion genannt.
• Eine Gleichung, deren linke Seite eine Variable ist, wird Definition und
eine Inklusion, deren linke Seite eine Variable ist, wird Spezialisierung
genannt.
• Eine TBox T ist eine Menge von Definitionen ohne mehrfache
Definitionen.
• Die Variablen, die auf den linken Seiten der Definitionen in der TBox
vorkommen, werden definierte Variablen genannt und mit ∆ bezeichnet.
• Solche TBoxen werden klassisch genannt.
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TBox Semantiken
• Festlegung der Semantik: Deskriptive Semantik, Kleinste
Fixpunktsemantik und Größte Fixpunktsemantik.
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TBox Semantiken
• Festlegung der Semantik: Deskriptive Semantik, Kleinste
Fixpunktsemantik und Größte Fixpunktsemantik.
• Eine T -Koalgebra C ein Modell von T genau dann, wenn sie alle
definierten Variablen erfüllt, d. h.:
∀a ∈ ∆ : JaKC = JT (a)KC .
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TBox Semantiken
• Festlegung der Semantik: Deskriptive Semantik, Kleinste
Fixpunktsemantik und Größte Fixpunktsemantik.
• Eine T -Koalgebra C ein Modell von T genau dann, wenn sie alle
definierten Variablen erfüllt, d. h.:
∀a ∈ ∆ : JaKC = JT (a)KC .
• Man erhält einen vollständiger Verband und nach Fixpunktsatz von
TARSKI und K NASTER gibt es größte und kleinste Extensionen
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TBox Semantiken
• Festlegung der Semantik: Deskriptive Semantik, Kleinste
Fixpunktsemantik und Größte Fixpunktsemantik.
• Eine T -Koalgebra C ein Modell von T genau dann, wenn sie alle
definierten Variablen erfüllt, d. h.:
∀a ∈ ∆ : JaKC = JT (a)KC .
• Man erhält einen vollständiger Verband und nach Fixpunktsatz von
TARSKI und K NASTER gibt es größte und kleinste Extensionen
• So einen Fixpunkt C nennt man das größte Fixpunktmodell von T
(gfp-Modell)
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TBox Semantiken
• Festlegung der Semantik: Deskriptive Semantik, Kleinste
Fixpunktsemantik und Größte Fixpunktsemantik.
• Eine T -Koalgebra C ein Modell von T genau dann, wenn sie alle
definierten Variablen erfüllt, d. h.:
∀a ∈ ∆ : JaKC = JT (a)KC .
• Man erhält einen vollständiger Verband und nach Fixpunktsatz von
TARSKI und K NASTER gibt es größte und kleinste Extensionen
• So einen Fixpunkt C nennt man das größte Fixpunktmodell von T
(gfp-Modell)
• Für negationsfreie Terminologien T gibt es ein größtes und kleinstes
Fixpunktmodell von T
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Eingabe einer Anfrage
• Λ-Formeln
True, False, ident (atomic proposition),
<=> (equivalence), => (implication), | (or), & (and), ~ (not)
[R], <R> (universal/existential restrictions along role R
[{ aglist }], <{ aglist }> (aglist can force / cannot avoid)
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Eingabe einer Anfrage
• Λ-Formeln
True, False, ident (atomic proposition),
<=> (equivalence), => (implication), | (or), & (and), ~ (not)
[R], <R> (universal/existential restrictions along role R
[{ aglist }], <{ aglist }> (aglist can force / cannot avoid)
• Syntax von TBox und Anfrage:
problem ::= axioms |- axioms
axioms ::= axiom; axioms | axiom
axiom ::= formula := formula | formula [= formula
Mit formula für eine Λ-Formel.
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Normalisierte TBoxen
.
Eine TBox T ist normalisiert genau dann, wenn jedes Axiom a = ϕ ∈ T in
der Form
ϕ = ♥1b1 ∧ · · · ∧ ♥k bk
mit k ≥ 0, ♥1, . . . , ♥k ∈ Λ und b1, . . . , bk ∈ V vorliegt.
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Normalisierung
1. Formeln in Negationsnormalform ohne Negationen bringen.
2. Spezialisierungen entfernen.
Vorgehen ist dabei abhängig von der Semantik der TBox: Bei
gfp-Semantik können Inklusionen durch Definitionen ersetzt werden.
.
{a = ♥b}
{a v ♥b}
3. Einführung von Hilfsdefinitionen für verschachtelte Modalitäten:
.
{a = ♥1♥2b}
mit einem frischen c ∈ V .
.
.
{a = ♥1c ; c = ♥2b}
4. Entfernung der Fixpunktoperatoren duch Anwedung des B EKI Č-Prinzips
.
{a = ψ ∧ (νb.ϕ)}
.
.
{a = ψ ∧ b; b = ϕ}
5. Definitionen können auf der obersten Ebene definierte Variablen a ∈ ∆
enthalten.
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 .



a = b ∧ ♥a ;




.




b
=
b
∧
c
∧
d
;






.




c = a ∧ c;




.
d =

e ∧ ♥d ;
.

e
=
d ∧ f ∧ ♥g ; 




.




f
=
♥
f
;






.




g
=
g
∧
h
∧
♥
e
;




.
h=

h ∧ ♥d
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34
 .



a = b ∧ ♥a ;




.




b
=
b
∧
c
∧
d
;






.




c = a ∧ c;




.
d =

e ∧ ♥d ;
.

e
=
d ∧ f ∧ ♥g ; 




.




f
=
♥
f
;






.




g
=
g
∧
h
∧
♥
e
;




.
h=

h ∧ ♥d
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 .



a = b ∧ ♥a ;




.




b
=
b
∧
c
∧
d
;






.




c = a ∧ c;




.
d =

e ∧ ♥d ;
.

e
=
d ∧ f ∧ ♥g ; 




.




f
=
♥
f
;






.




g
=
g
∧
h
∧
♥
e
;




.
h=

h ∧ ♥d
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 .


a = ♥a ∧ ♥d ∧ ♥f ∧ ♥g ;




.




b
=
♥
a
∧
♥
d
∧
♥
f
∧
♥
g
;






.



c = ♥a ∧ ♥d ∧ ♥f ∧ ♥g ;




.

d =
♥d ∧ ♥f ∧ ♥g ;
.


e
=
♥d ∧ ♥f ∧ ♥g ;




.




f
=
♥
f
;






.




g
=
♥
d
∧
♥
e
;




.

h=
♥d
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36
Satz
Subsumtion zwischen Λ-Formeln unter einer TBox mit gfp-Semantik kann in
polynomieller Zeit auf Subsumtion zwischen Λ-Formeln unter einer
normalisierten TBox reduziert werden.
Beispiel








.
a1 = a2 ∧ a3 ∧ ♥1b1 


.

a2 = a3 ∧ a4 ∧ ♥2b2 

...


.



an−1 = an ∧ a1 ∧ ♥n bn 




.


an = a1 ∧ a2 ∧ ♥n bn
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Satz
Subsumtion zwischen Λ-Formeln unter einer TBox mit gfp-Semantik kann in
polynomieller Zeit auf Subsumtion zwischen Λ-Formeln unter einer
normalisierten TBox reduziert werden.
Beispiel








.
a1 = a2 ∧ a3 ∧ ♥1b1 


.

a2 = a3 ∧ a4 ∧ ♥2b2 

...


.



an−1 = an ∧ a1 ∧ ♥n bn 




.


an = a1 ∧ a2 ∧ ♥n bn
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
.
a1 = ♥1b1 ∧ ♥2b2 ∧ · · · ∧ ♥n bn 


.

a2 = ♥1b1 ∧ ♥2b2 ∧ · · · ∧ ♥n bn 








...


.



an−1 = ♥1b1 ∧ ♥2b2 ∧ · · · ∧ ♥n bn 




.


an = ♥1b1 ∧ ♥2b2 ∧ · · · ∧ ♥n bn
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Tableauregeln
• Sequent Γ ist eine endliche Menge von Λ-Formeln.
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39
Tableauregeln
• Sequent Γ ist eine endliche Menge von Λ-Formeln.
• monotone Einschritt-Tableauregel R für das Tableaukalkül hat die Form
Γ0
R=
Γ1 | · · · | Γn
mit Sequent Γ0 ∈ (Λ ∪ Λ̄)(V ) und Sequenten Γ1, . . . , Γn ⊆ V für n > 0.
Variablen aus V dürfen in der Prämisse nur einmal vorkommen und jede
Vaiable, die in einer Konklusion vorkommt, muss auch in der Prämisse
vorkommen.
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40
Tableauregeln
• Sequent Γ ist eine endliche Menge von Λ-Formeln.
• monotone Einschritt-Tableauregel R für das Tableaukalkül hat die Form
Γ0
R=
Γ1 | · · · | Γn
mit Sequent Γ0 ∈ (Λ ∪ Λ̄)(V ) und Sequenten Γ1, . . . , Γn ⊆ V für n > 0.
Variablen aus V dürfen in der Prämisse nur einmal vorkommen und jede
Vaiable, die in einer Konklusion vorkommt, muss auch in der Prämisse
vorkommen.
• Tableau-Regel definit, wenn Tableau-Regel genau eine Konklusion hat:
Γ ⊆ (Λ ∪ Λ̄)(V )
∆ ⊆V
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41
Tableauregeln
• Sequent Γ ist eine endliche Menge von Λ-Formeln.
• monotone Einschritt-Tableauregel R für das Tableaukalkül hat die Form
Γ0
R=
Γ1 | · · · | Γn
mit Sequent Γ0 ∈ (Λ ∪ Λ̄)(V ) und Sequenten Γ1, . . . , Γn ⊆ V für n > 0.
Variablen aus V dürfen in der Prämisse nur einmal vorkommen und jede
Vaiable, die in einer Konklusion vorkommt, muss auch in der Prämisse
vorkommen.
• Tableau-Regel definit, wenn Tableau-Regel genau eine Konklusion hat:
Γ ⊆ (Λ ∪ Λ̄)(V )
∆ ⊆V
• Menge R von definiten Einschrittregeln erhält Λ-Konvexität, wenn jede
Regel in folgender Form geschrieben werden kann und es gilt:
¯a
Γ1, ♥
Λ(V1) ⊇ Γ1, Γ2 ⊆ Λ̄(V2)
¯
=⇒ ∀ ♥a ∈ Γ2 :
∈R
V1 ⊇ ∆1, ∆2 ⊆ V2
∆1, a
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42
Beispiele für Tableau Regeln
• In K haben Regeln die Form
(Kn )
a1, . . . , an , ♦b
a1, . . . , an , b
und die Regelmenge ist RK := {Kn | n ≥ 0}.
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43
Beispiele für Tableau Regeln
• In K haben Regeln die Form
(Kn )
a1, . . . , an , ♦b
a1, . . . , an , b
und die Regelmenge ist RK := {Kn | n ≥ 0}.
• In Ms hat man RMs := {K0, K1, aa11 } als Regelmengen.
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44
Beispiele für Tableau Regeln
• In K haben Regeln die Form
(Kn )
a1, . . . , an , ♦b
a1, . . . , an , b
und die Regelmenge ist RK := {Kn | n ≥ 0}.
• In Ms hat man RMs := {K0, K1, aa11 } als Regelmengen.
• CLN
(Cn,m )
[C1]a1, . . . , [Cn ]an , hD ib, hN ic1, . . . , hN icm
[C1]a1, . . . , [Cn ]an
(Cn0 )
a1, . . . , an , b, c1, . . . , cm
a1, . . . , an
RCLN := {Ci ,j , Ck0 | i , j ≥ 0, k > 0}
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45
Definition
Ein Einschrittmodell (X , τ, t ) über V besteht aus einer (möglicherweise
leeren) Menge X , einer Valuation τ : V → P X , die die propositionalen
Variablen interpretiert, und einem t ∈ TX .
Die zu τ duale Darstellung ist τ̆ : X → P V , d. h. τ̆ (x ) := {p ∈ V | x ∈ τ (p)}.
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46
Satz zu Modellkonstruktion aus Tableauregeln
Sei Λ endlich.
Wenn R die Λ-Konvexität erhält, dann erhält man einen
V
Einschrittmaterialisator einer konjunktiven Einschritt-Λ-Formel ϕ = i ∈I ♥i ai
durch:
Setze W = {ai | i ∈ I } und definiere (X , τ ) bestehend aus einem Zustand
x ∈ X mit τ̆ (x ) = ∆σ , für jede Regel der Form
Γ
über V
•∆
¯b
Γ,♥
∆,Θ
•
mit Θ ⊆ {b} über V ] {b}
in R und jede Umbenennung σ : V → W mit Γ σ ⊆ ϕ;
Dann gibt es ein t ∈ TX , sodass (X , τ, t ) ein Einschrittmaterialisator von ϕ.
Effektiv ist das nur ein erweitertes Regelmatching.
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47
Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem
• Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ bei einer
gegebenen konjunktiven Einschitt-Λ-Formel ψ über V , einem
Modaloperator ♥ ∈ Λ und ρ ∈ Pos(V ), ist zu entscheiden, ob ψ v1 ♥ρ
gilt.
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48
Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem
• Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ bei einer
gegebenen konjunktiven Einschitt-Λ-Formel ψ über V , einem
Modaloperator ♥ ∈ Λ und ρ ∈ Pos(V ), ist zu entscheiden, ob ψ v1 ♥ρ
gilt.
• Wenn das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ in P ist,
dann kann man in polynomieller Zeit überprüfen, ob Cϕ, xϕ |= ψ für eine
positive Λ-Formel ψ gilt.
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49
Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem
• Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ bei einer
gegebenen konjunktiven Einschitt-Λ-Formel ψ über V , einem
Modaloperator ♥ ∈ Λ und ρ ∈ Pos(V ), ist zu entscheiden, ob ψ v1 ♥ρ
gilt.
• Wenn das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ in P ist,
dann kann man in polynomieller Zeit überprüfen, ob Cϕ, xϕ |= ψ für eine
positive Λ-Formel ψ gilt.
• Konjunktives Einschritt-Konsequenz-Problem ψ v1 ♥ρ kann auf die
Unerfüllbarkeit von ψ ∧ ¬♥ρ reduziert werden.
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Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem
• Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ bei einer
gegebenen konjunktiven Einschitt-Λ-Formel ψ über V , einem
Modaloperator ♥ ∈ Λ und ρ ∈ Pos(V ), ist zu entscheiden, ob ψ v1 ♥ρ
gilt.
• Wenn das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ in P ist,
dann kann man in polynomieller Zeit überprüfen, ob Cϕ, xϕ |= ψ für eine
positive Λ-Formel ψ gilt.
• Konjunktives Einschritt-Konsequenz-Problem ψ v1 ♥ρ kann auf die
Unerfüllbarkeit von ψ ∧ ¬♥ρ reduziert werden.
• Wendet man Tableauregeln an, so erhält man propositionale Formel der
Form χ ∧ ¬ρ, die man auf Unerfüllbarkeit überprüft mit Konjunktion χ und
positive Formel ρ.
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51
Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem
• Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ bei einer
gegebenen konjunktiven Einschitt-Λ-Formel ψ über V , einem
Modaloperator ♥ ∈ Λ und ρ ∈ Pos(V ), ist zu entscheiden, ob ψ v1 ♥ρ
gilt.
• Wenn das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ in P ist,
dann kann man in polynomieller Zeit überprüfen, ob Cϕ, xϕ |= ψ für eine
positive Λ-Formel ψ gilt.
• Konjunktives Einschritt-Konsequenz-Problem ψ v1 ♥ρ kann auf die
Unerfüllbarkeit von ψ ∧ ¬♥ρ reduziert werden.
• Wendet man Tableauregeln an, so erhält man propositionale Formel der
Form χ ∧ ¬ρ, die man auf Unerfüllbarkeit überprüft mit Konjunktion χ und
positive Formel ρ.
• Berechnete WSI-Modelle „klein“ bezüglich der Λ-Simulation, können aber
noch zu „groß“ sein.
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52
Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem
• Das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ bei einer
gegebenen konjunktiven Einschitt-Λ-Formel ψ über V , einem
Modaloperator ♥ ∈ Λ und ρ ∈ Pos(V ), ist zu entscheiden, ob ψ v1 ♥ρ
gilt.
• Wenn das konjunktive Einschritt-Konsequenz-Problem von Λ in P ist,
dann kann man in polynomieller Zeit überprüfen, ob Cϕ, xϕ |= ψ für eine
positive Λ-Formel ψ gilt.
• Konjunktives Einschritt-Konsequenz-Problem ψ v1 ♥ρ kann auf die
Unerfüllbarkeit von ψ ∧ ¬♥ρ reduziert werden.
• Wendet man Tableauregeln an, so erhält man propositionale Formel der
Form χ ∧ ¬ρ, die man auf Unerfüllbarkeit überprüft mit Konjunktion χ und
positive Formel ρ.
• Berechnete WSI-Modelle „klein“ bezüglich der Λ-Simulation, können aber
noch zu „groß“ sein.
• Für das Subsumtionsproblem durch Model Checking in polynomieller Zeit
darf das errechnete Modell nur polynomiell groß sein.
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53
Kriterien für polynomiell großes Modell
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54
Kriterien für polynomiell großes Modell
Definition
Einschritt-WSI-Modelle (X , τ, t ) von Einschritt-Λ-Formeln ϕ =
heißen k -beschränkt, wenn |τ̆ (x )| ≤ k für alle x ∈ X gilt.
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V
i ∈I
♥i ai
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Kriterien für polynomiell großes Modell
Definition
Einschritt-WSI-Modelle (X , τ, t ) von Einschritt-Λ-Formeln ϕ =
heißen k -beschränkt, wenn |τ̆ (x )| ≤ k für alle x ∈ X gilt.
V
i ∈I
♥i ai
Satz
Wenn Λ k-beschränkte Einschritt-WSI-Modelle für ein beliebiges k zulässt,
dann haben konjunktive Λ-Fixpunktformeln WSI-Modelle polymomieller
Größe.
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56
Konstruktion des gfp Modells

.

= ♥a3


.

2 = ♥a1
T =
.

a
=
♥a2 ∧ ♥a3
1




.
a =
♥a1 ∧ ♥a3
0


a3


a
EL
FL0
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57
• Ms mit Λ = {♦, }. Einbettung ander Logiken wie „(Concurrent)
Propositional Dynamic Logic“ ((C)PDL) und die „Game Logic“. Haben
einstellige Modaloperatoren mit Ähnlichkeitstyp Λ = {hψi, [ψ]}. ψ
Spielformel, die je nach Logik etwas anderes aufgebaut sein kann. Game
Logic kann in multimodales Ms mit Fixpunkten eingebettet werden.
Konjunktives Fragment der Game Logic als das Urbild der Einbettung.
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58
• Ms mit Λ = {♦, }. Einbettung ander Logiken wie „(Concurrent)
Propositional Dynamic Logic“ ((C)PDL) und die „Game Logic“. Haben
einstellige Modaloperatoren mit Ähnlichkeitstyp Λ = {hψi, [ψ]}. ψ
Spielformel, die je nach Logik etwas anderes aufgebaut sein kann. Game
Logic kann in multimodales Ms mit Fixpunkten eingebettet werden.
Konjunktives Fragment der Game Logic als das Urbild der Einbettung.
• CLN mit Λ = {[C ], hC i | C ⊆ N } \ {[∅], hN i}.
In diese Logik können andere Logiken eingebettet werden. Dazu gehören
die „Alternating-Time Temporal“-Logik und das
„Alternating-Time“-µ-Kalkül. Hat Ähnlichkeitstyp Λ = {hhC ii} und
erweitert die Syntax der aussagenlogische Konnektive nach
ϕ ::= · · · | hhC ii ϕ | hhC iiϕ | hhC ii[ϕ1 U ϕ2]
ϕ ::= · · · | hhC ii ϕ | a | µa.ϕ
(a ∈ ∆)
Die Formel hhC ii ϕ kann man als die Formel hC iϕ in der Koalitionslogik
auffassen und die Formel hhC iiϕ als die Fixpunktformel νa.(ϕ ∧ [C ]a) in
ATL
AMC
der Koalitionslogik.
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59
Wichtigste Ergebnisse
• Normalisierung der TBox in polynomieller Zeit.
• Konstruktion eines WSI-Modells für konjunktive koalgebraische
Fixpunktlogiken in polynomieller Zeit.
• Berechnung der Extensionen der definierten Variablen in der TBox in
polynomieller Zeit.
• Model Checking für koalgebraische Logiken in polynomieller Zeit.
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60
Wichtigste Ergebnisse
• Normalisierung der TBox in polynomieller Zeit.
• Konstruktion eines WSI-Modells für konjunktive koalgebraische
Fixpunktlogiken in polynomieller Zeit.
• Berechnung der Extensionen der definierten Variablen in der TBox in
polynomieller Zeit.
• Model Checking für koalgebraische Logiken in polynomieller Zeit.
Implementierung ist generisch für koalgebraische Logiken und somit
konnten folgende Ziele erreicht werden:
• Die Implementierung entscheidet das Subsumtionsproblem für EL in
polynomieller Zeit.
• Erstmalige Implementierung eines Reasoners, der das
Subsumtionsproblems in polynomieller Zeit für ein konjunktives Fragment
der Game Logic entscheidet.
• Erstmalige Implementierung eines Reasoners, der das
Subsumtionsproblem in polynomieller Zeit für ein konjunktives Fragment
des Alternating-Time µ-Kalkül (AMC) entscheidet.
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Zukünftige Arbeit
• Optimierung der Berechnung der TBox Extensionen durch Ausnutzung
der berechneten Äquivalenzklassen.
• Im Moment können Anfragen in einer Logik gestellt werden.
Koalgebraische Logik unterstützt jedoch auch mehrsortige Logiken durch
Choice A + B, Fusion A ∗ B und Sequence A.B von Logiken A und B.
• GCI-Axiome in den TBoxen wie in der Beschreibungslogik EL. Noch
unklar wie dann ein Modell konstruiert werden kann.
• Evaluation der Geschwindigkeit dieses generischen Ansatzes zur Lösung
des Subsumtionsproblems durch koalgebraische Logiken. Für
Beschreibungslogik EL gibt es bereits mehrere Reasoner.
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62
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Literaturverzeichnis I
Franz Baader
Terminological Cycles in a Description Logic with Existential Restrictions
LTCS-Report 2002
Franz Baader, Diego Calvanese, Deborah L. McGuinness, Daniele Nardi
und Peter F. Patel-Schneider
The Description Logic Handbook: Theory, Implementation, and
Applications
Cambridge University Press, 2003 – 0-521-78176-0
R. Berghammer
Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen
Vieweg+Teubner Verlag, 2008 – 9783834895325
Corina Cîrstea, Clemens Kupke und Dirk Pattinson
EXPTIME Tableaux for the Coalgebraic µ-Calculus
Springer Berlin Heidelberg, 2009 – 978-3-642-04027-6
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64
Literaturverzeichnis II
Daniel Gorín und Lutz Schröder
Subsumption Checking in Conjunctive Coalgebraic Fixpoint Logics
2014 – http://arxiv.org/abs/1401.6359
Tassilo Pellegrini und Andreas Blumauer
Reasoning im und für das Semantic Web
Springer Berlin Heidelberg, 2006 – 978-3-540-29325-5
Lutz Schröder
A finite model construction for coalgebraic modal logic
2007 – http://dx.doi.org/10.1016/j.jlap.2006.11.004
Lutz Schröder und Dirk Pattinson
PSPACE Bounds for Rank-1 Modal Logics
2007 – http://arxiv.org/abs/0706.4044
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65