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Trigonometrie
für Maschinenbauer und Elektrotechniker
Ein Lehr· und Aufgabenbuch für den Unterricht
und zum Selbststudium
von
Dr. Adolf Hess
Profe•sor am kantonalen Technikum in Wintertbur
Zwölfte Auflage
Mit 120 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
ISBN 978-3-662-01219-2
ISBN 978-3-662-01218-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-01218-5
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1919 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Ursprünglich erschienen bei Julius Springer in Berlin 1919.
Softcoverreprint ofthe bardeover 12nd edition 1919
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
In diesem Lehrbuch der Trigonometrie wird auf das Rechnen
mit den natürlichen Werten der trigonometrischen
Funktionen das Hauptgewicht gelegt. Der praktische Ingenieur
rechnet tatsächlich fast einzig und allein mit den numerischen
Werten; zudem ist es auch methodisch entschieden besser,
die Aufmerksamkeit des Schülers direkt auf die trigonometrischen
Funktionen zu lenken, statt auf eine zweite Funktion, den Logarithmus, dieser Größen. Jeder, der die Rechnung mit den
natürlichen Werten beherrscht, wird sich übrigens im Gebiete
ihrer Logarithmen leicht zurechtfinden. Bei vielen Aufgaben
kommt man mit Hilfe des Rechenschiebers zu genügend genauen
Ergebnissen. Wird eine größere Genauigkeit verlangt, dann kann
man sich mit großem Vorteil der abgekürzten Rechnungsarten bedienen.
Sodann wurde auch auf die zeichnerische Darstellung
der trig. Funktionen besonderes Gewicht gelegt. Der Verlauf
der trig. Funktionen, die Interpolation, die Auflösung goniometrischer Gleichungen, die Kombination mehrerer Sinusfunktionen
usw. lassen sich an Hand von Kurven wohl am klarsten darlegen.
Die bezüglichen Textabbildungen sind vom Verlage in sehr
dankenswerter Weise sorgfältig und maßstäblich richtig ausgeführt worden.
Im letzten Paragraphen wird die Sinuskurve, die für den
Elektrotechniker und den Maschinenbauer von besonderer Wichtigkeit ist, etwas eingehender behandelt, und zwar werden ha.uptBichlich die geometrischen Eigenschaften der Kurve, im AnBChluß an die gleichförmige Drehung eines Vektors um eine Achse
entwickelt.
Das eigentlich Theoretische bildet nur einen kleinen Teil des
Buohes. Die zahlreichen 'Obungsaufgaben sind fast durchweg
dem Ideenkreis des TechnikF.Jrs entnommen und mit Ergebnissen
IV
versehen. "Das Lebendige der Mathematik, die wichtigsten Anregungen, ihre Wirksamkeit beruhen ja. durchaus a.uf den Anwendungen, d. h. auf den Wechselbeziehungen der rein logischen
Dinge zu allen anderen Gebieten. Die Anwendungen aus der Mathematik verbannen, wäre ebenso, als wenn man da.e Wesen des
lebenden Tieres im Knochengerüst allein finden wollte, ohne Muskeln, Nerven und Gefäße zu betrachten" 1. Man vermißt vielleicht
in dem Buche eine streng wissenschaftliche Systematik; a.ber man
bedenke, daß es für junge Leute mi geringer· mathematischer
Vorbildung geschrieben wurde, für Leute, die oft jahrelang im
praktischen Leben standen und nun ihre Kenntnisse an einer
technischen Mittelschule oder durch Selbststudium erweitern
wollen. Solchen Leuten darf man nicht "von Anfang an mit einer
ka.lten, wissenschaftlich aufgeputzten Systematik ins Gesicht
springen"'· Der Stoff ist methodisch angeordnet; nur wenige
Kapitel sind ganz ausführlich behandelt; überall wird dem Studierenden reichlich Gelegenheit zu eigener, nutzbringender Arbeit
geboten.
Die z w ö 1ft e Auflage stimmt mit der elften Auflage
überein.
Zürich, im Januar 1945.
Der Verfasser.
1 Nach Felix Klein: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus, I. Tell, S. 39. Leipzig.
t Ebenda, S. 589.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ I. Definition der trigonometrischen Funktionen eines spitzen
Winkels
Kofunktionen . . .
Komplementwinkel
Geschichtliches . .
§ 2. Geometrische Veranschaulichung der Funktionen durch Strecken
am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Trigonometrische Werte für einige besondere Winkel. Tabellen.
. . . . . . . . . .
Skalen am Rechenschieber
Gebrauch der Tabellen . . . . . . . . . . . .
Logarithmen der trigonometrischen Funktionen .
Die trigonometrischen Skalen am Rechenschieber
§ 4. Beziehungen zwischen den Funkt>ionen des nämlichen Winkels
§ 5. Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks
§ 6. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Über Projektionen . . . . . . . . . . . . .
Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften .
Rechnungen am Kreise . . . .
Regelmäßige Vielecke . . . . . . . . . . . .
Bogenmaß eines Winkels • . . . . . . . . . .
Kreisausschnitt. Kreisabschnitt . . . . . . . .
§ 7. Erklärung der trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkel.
Die Darstellung der Funktionswerte am Einheitskreis . . .
Das rechtwin.klige Koordinatensystem. . . . . . . . . .
Erklärung der trigonometrischen Funktionen für beliebige
Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veranschaulichung der Funktionen durch Strecken am Einheitskreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verlauf der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 8. Zurückführung der Funktionen beliebiger Winkel auf die Funktionen spitzer Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 9. Einige Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Beispiele zur Wiederholung und Erweiterurig des in
§ 6 besprochenen Stoffes . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Re'lmltiercnden mehrerer Kräfte. Vektoren
Rechtwinklige und Polarkoordinaten eines Punktes .
Raumkoordinaten .
Einige Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
3
4
4
8
9
13
14
17
20
23
28
30
34
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50
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55
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64
64
67
70
71
73
VI
Inhaltsverzeichnis.
§ 10. Berechnung des achiefwinkligen Dreiecks
Der Sinussatz . . . . . . . . . .
Der Kosinussatz . . . . . . . . .
§ 11. Beispiele zum Sinus- und Kosinussatz . . . . . . . . . .
§ 12. Funktionen der Summe und der Differenz zweier Winkel .
§ 13. Funktionen der doppelten und halben Winkel . . . .
§ 14. Übungen zu den beiden vorhergehenden Paragraphen
§ 15. Summen und Differenzen zweier gleicher Funktionen .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 16. Goniometrische Gleichungen . . . . . . .
§ 17. Die Sinuskurve . . . . . . . . . . . . .
Verschiedene Amplituden • . . . . .
Verschiedene Wellenlängen (Perioden) .
Horizontale Verachiebung einer Welle (Phasenverschiebung)
Tabellen der trigonometrischen Werte
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
74
76
77
88
91
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96
98
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111
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124
129
§ 1. Definition der trigonometrischen Funktionen eines
spitzen Winkels.
Wir- wählen auf dem einen Schenkel eines spitzen Winkels IX
(Abb. 1) beliebige Punkte B, B 1 , B 2 ••• und fällen von ihnen Lote
BG, B 1 G1 , B 2 G2 ••• auf den anderen Schenkel. Die dadurch entstandenen rechtwinkligen Dreiecke A BG, A B 1 G1 , A B 2 G2 •. •
sind ähnlich. Daher sind die Quotiet)ten aus den Längen gleichliegender Seiten für alle Dreiecke gleich. Es ist also
BC
AB=
BC
AC=
B1 C1
AB1
B 1 C1
AC1
=
=
B 1 Ca
AB1
B 1 C2
AC1
AGa
A01
AC
AB= AB1 = AB1
AAl
c c,
lZ
Abb. 1.
Die Werte dieser Verhältnisse sind nur abhängig von der
Form des Dreiecks, nicht aber von dem Maßstab, in dem das
Dreieck gezeichnet ist. Die Form des Dreiecks ist durch den
Winkel IX festgelegt. Erst eine .Änderung des Winkels bewirkt
eine .Änderung jener Brüche.
Man nennt in der Mathematik jede Größe, die von einer
andern gesetzmäßig abhängig ist, eine Funktion dieser andern
Größe. So ist z. B. der Inhalt eines Kreises eine Funktion des
Halbmessers; die Höhe eines Tones ist eine Funktion der Schwingungszahlen. Dementsprechend nennt man ~
jene Seitenverhältnisse AG:AB usw. Funka.
a
tionen des Winkels (IX) oder goniometri:KJ.0
cc
sehe , au ch trigonometrische Funktionen. (Goniometrie =Winkelmessung; TriAbb. 2.
gonometrie = Dreiecksmessung.)
In Abb. 2 ist ein beliebiges rechtwinkliges
Dreieck mit den spitzen Winkeln IX und {J gezeichnet. Für die
oben erwähnten Verhältnisse der Dreiecksseiten hat man die folgenden Bezeichnungen eingeführt:
2
Definition der trigonometrischen Funktionen eines spitzen Winkels.
l. Der Sinus (abgekürzt sin) eines spitzen Winkels ist daa
Verhältnis der diesem Winkel gegenüberliegenden Kathete zuJ~
Hypotenuse (Abb. 2).
.
a
Gegenkathete
sina=-=
c
Hypotenuse •
2. Der Kosinus (cos) eines spitzen Winkels ist das Verhältnis
der dem Winkel anliegenden Kathete zur Hypotenuse.
b
Ankathete
eosa=-=
c Hypotenuse •
3. Der Tangens (oder die Tangente, abgekürzt tg) eines
spitzen Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden zur
anliegenden Kathete.
t a = ~ = Gegenkathete
g
b
Ankathete
4. Der Kotangens (ctg) eines spitzen Winkels ist das Verhältnis der anliegenden zur gegenüberliegenden Kathete.
t
eg
a_
.!_ _ Ankathete
- a - Gegenkathete •
Außer diesen vier Funktionen gibt es noch zwei andere, die wir aber
später nicht benutzen werden, nämlich:
5. Der Sekans (die Sekante; sec) ist das Verhältnis der Hypotenuse
zur anliegenden Kathete:
sec IX= _I__ =!_= Hypotenuse.
cos IX
b
Ankathete
6. Der Kosekans (cosec) ist das Verhältnis der Hypotenuse zur
Gegenkathete:
1
c
Hypotenuse
c osec IX = - - = - = =-''-=---=--,-Bin IX
a Gegenkathete.
Die Größen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind, als Quotienten zweier Längen, unbenannte
Zahlen. Wird daher irgendeine Größe mit einer dieser Funktionen multipliziert oder durch eine der Funktionen dividiert,
so ändert sich die Dimension dieser Größe nicht. So ist z, B. eine
"Kraft" multipliziert mit dem Kosinus eines Winkels wieder
eine "Kraft"; eine "Länge'· dividiert durch einen Sinus gibt
wieder eine "Länge".
Übungen.
Es bedeuten im folgenden immer: a und b die Katheten, c die Hypo·
tenuse. oc liegt a gegenüber, wie in der Abb. 2.
3
Komplementwinkel. Kofunktionen.
1. Es sei a = 4 cm; b = 3 cm; berechne die trigonometrischen Funktionen des Winkels o:.
Man berechnet c = f4 8 31 = 5 cm. Daher ist
sino: = 4:5 = 0,8000
tgo: = 4:3 = 1,333
cos ot = 3:5 = 0,6000
ctg a: = 3:4 = 0,7500.
Genau die gleichen Werte erhält man, wenn a = 4 km, b = 3 km oder
a =16m und b =12m ist.
2. Dieselbe Aufgabe für a = 28; b = 45 cm. Man findet:
Bin IX = 0,5283; COS IX = 0,8491; tg IX = 0,6222; ctg IX = 1,607.
8. Ist irgendein trigonometrischer Wert eines Winkels gegeben, so kann
man den Winkel zeichnen.
Ist z. B. tg IX = 0,8, dann zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck
mit dem Kathetenverhältnis a: b = 0,8. Man wählt also z. B. a = 8;
b = 10 cm oder a = 4; b = 5 cm. Diese Dreiecke enthalten den Winkel IX.
Man zeichne IX ans tg IX = 1,6 und bestimme aus der Zeichnung sin oc,
cos IX. Man findet sin IX = 0,85; cos IX = 0,53.
Zeichne die Winkel IX ans
tgiX=l; tgiX=0,2; 0,4; 0,6; siniX=0,5; COSIX=0,5; COSot=0,25;
sin IX = 1,2! {unmöglich).
+
Komplementwinkel. Kofunktionen. Die Funktionen von Winkeln, deren Summe 900 beträgt, stehen in einem einfachen Zusammenhange. In Abb. 2 ist ß = 90 - IX, und es ist
sin IX= a:c = cos ß = cos (90- IX)
cosot= b:c = sinß= sin(90 -IX)
tg IX = a: b = ctg ß = ctg (90 - IX)
ctg IX = b: a = tg ß = tg (90 - IX)
Unter Weglassung der Zwischenglieder erhält man die wichtigen Gleichungen:
sina = cos (90- a)
cos a = sin (90 - a)
tga = ctg (90- a)
ctga = tg (90- a) d.h.
Sind zwei Winkel zusammen ooo, d. h. sind die Winkel
komplementär, so sind die Funktionen (sin, cos, tg, ctg) des
einen gleich den entsprechenden Kofunktionen (cos,
sin, ctg, tg) des andern. Man nennt nämlich Kosinus die Kofunktion des Sinus und umgekehrt Sinus die Kofunktion von
Kosinus. Ähnlich ist es mit den beiden andern Funktionen Tangell8 und Kotangens.
Hel, Trisonomet.rle.
1
Geometrische Veranschaulichung der Funktionen.
4
So ist z. B.:
sin 60° = cos 30°
sin 45° = cos 45°
tg 250 = ctg 650
cos (45° - a:) = sin (450
+ oc).
Gescbichtllches 1•
Die Aufstellung der Sinusfunktion verdankt man
den Indern. Die älteren griechischen Astronomen, wie Hipparch und
Ptolemäus, benutzten zur Rechnung die Sehnen des Bogens, welcher
zum Winkel gehört. Die Inder gebrauchten für sinus und cosinus die Wörter
ardhajya bzw. kotijyil. (jyil. = Sehne). Bei den Arabern wurde aus jyil. das
Wort dschiba, später dschaib (=Busen, Bausch, Tasche). Das latein;sche
sinus ist nur eine wörtliche Übersetzung der arabischen Bezeichnung. Während die Inder für den cosinus eine Bezeichnung hatten, sucht man bei
den Arabern und den :Mathematikern des Abendlandes bis zum 16. Jahrhundert vergeblich nach einer solchen. Seit :Mitte des 15. Jahrhunderts
spricht man vom sinus complemmti (also vom Sinus des Komplements);
die Schreibart cosinus wird erst seit 1620 benutzt. Die Tangens- und
Kotangensfunktion verdankt man dem Araber Al Battani (t 929,
Dama~kus).
§ 2. Geometrische Veranschaulichung der Funktionen
durch Strecken am Einheitskreise.
Alle trigonometrischen Werte eines beliebigen Winkels lassen
sich in sehr einfacher Weise durch Strecken veranschaulichen. In
Abb. 3 sei a: der gegebene Winkel; wir schlagen um den Scheitel A
einen Kreisbogen mit der Längeneinheit als Halbmesser, den Einheitskreis, und ziehen in den PunktenD und G die Tangenten.
Aus der Abbildung ergeben sich dann die Gleichungen:
.
BG
BG
Sinoc= AB = -1-=BO
sina=BC
AG
AG
unter .weglass_ung } cos a = AC
cosoc= AB = -1-=AO { der
Zwischenglieder
DE
DE
FG
FG
= AD = - 1-
=DE
tga = DE
ctgoc =AG=-~ =FG
etga= GF.
tgoc
In dieser Abbildung sind die trig. Werte durch Strecken dargestellt,
während im vorhergehenden Paragraphen ausdrücklich darauf hingewiesen
wurde, daß die trig. Werte reine Zahlen sind. In Wirklichkeit haben wir
1 Diese und alle weiteren geschichtlichen Bemerkungen sind dem
2. Bande der "Geschichte der Elementarmathematik", Leipzig 1903, von
Tropfke entnommen. Siehe auch Felix Klein: Die Elementarmathematik vom höhern Standpunkt au~. Bd. l.
Die Funktion Sinus.
5
es auch hier mit Verhältniszahlen zu tun. Nur die Bruchform ist verschwunden, weil durch die besondere Wahl der Dreiecke der Xl'nner zur
Einheit wurde. Wenn der Halbmesser des Kreises I ist, dann stimmen die
den Strecken B C, AC usw. zukommenden Maßzahlen mit den
entsprechenden trig. Werten überein. Die Strecken veranschaulichen die trigonometrischen Zahlen.
Dreht man in Abb. 3 den beweglichen Schenkel AF um A
in andere Stellungen, so ändert sich der Winkel oc, und mit ihm
ändern sich auch die trigonometrischen Werte.
Jedem beliebigen Winkel oc sind vier bestimmte Funktionswerte zugeordnet, die durch die
Strecken BO, AG, DE
und GF veranschaulicht
werden. Wir wollen nun
Abb. 8.
an Hand der Abb. 3 den
Verlauf jeder einzelnen
Funktion verfolgen, wenn der Winkel oc von 0° bis 90° wächst.
a) Die Funktion Sinus (Abb. 4). Der Viertelkreis der Abb. 3
ist in Abb. 4 in etwas größerem Maßstabe links nochmals gezeichnet. Die Teilpunkte euf dem Kreisbogen gehören zu den
Wiukeln ot = oo, 100, 200, . .. 900. Die einzelnen Stellungen des
beweglichen Schenkels sind nicht mehr gezeichnet, wohl aber die
den Sinus messenden Lote. Um einen klaren Einblick in die Beziehungen zwischen Winkel und Sinus zu erhalten, lösen wir die
Lote vom Einheitskreis los und tragen sie (rechts davon) in gleichen Abständen (entsprechend einer gleichmäßigen Zunahme des
Wiukels um 10°) als Lote (Ordinaten) zu einer horizontalen
Geraden ab. Die Endpunkte dieser Ordinaten verbinden wir
durch eine stetige Kurve, die wir das geometrische Bild der Funktion Sinus oder die Sinuskurve nennen. Man zeichne die Abb. 4
auf Millimeterpapier; den Halbmesser wählt man passend von
lOcm Länge; die Strecken oo-10°; 10o-2oo; usf. mögen je die
Länge 1 cm haben. Was lehrt uns die Abbildung 1
Die Kurve steigt, d. h.: Nimmt der Winkel von 0° bis
90° zu, dann wächst auch sein Sinus, und zwar von
0 bis 1. In der Nähe von 0° ist die Zunahme rascher als in der
Nähe von 90°. Man vergleiche in der Abbildung die Zunnhmen
6
Geometrische Vera.nschaulichung der Ftmktionen.
a und b, die einem Wachsen des Winkels von 10° auf 200 bzw.
von 70° auf 80° entsprechen. Winkel und Sinus sind nicht proportional. So ist z. B. sin 900 nicht 2·sin 30°.
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Abb. 4.
b) Die Funktion Kosinus (Abb. 5). In der Abb. 3 ist der
Kosinus des Winkels « durch die horizontale Strecke A 0 dargestellt. In Abb .. 5 sind die Kosinuswerte im Viertelkreis wieder
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0
o• 10• zo• .ro• ~D .wo 60" ro• 80° 90D
Abb. 6.
für die Winkel von 10° zu 10° eingezeichnet und rechts davon
als Ordinaten abgetragen. Es entsteht auf diese Weise die Kosinuskurve. Die Kurve fällt, d. h. die Funktion Kosinus
nimmt von 1 bis 0 ab, wenn der Winkel von oo bis 90°
wächst. Die Funktion Kosinus durchläuft die gleichen Zahlen-
7
Die Funktionen Tangens und Kotangens.
werte wie die Funktion Sinus, nur in. umgekehrter Reihenfolge;
es ist ja cos oc = sin (90 - oc).
Sinus und Kosinus sind immer echte Brüche, d. h.
sie können nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen.
Diese besondern Grenzwerte 0 und 1 erreichen aie nur für 0°
und 90°. Eigentlich hat man für 0° und 900 gar kein rechtwinkliges Dreieck mehr, aber man trifft doch die, auch durch die Abbildungen nahegelegte Festsetzung
sin0° = 0
cos 0° = l
sin 90°
cos 90°
=1
=
0.
c) Die Funktionen Tangens und Kotangens (Abb. 6).
Tangens und Kotangens werden in der Abb. 3 durch die Tan/
gentenabschnitte DE
und GF gemessen. Für
/ r- -r-··r f --,---.--!2,o
einen kleinen Winkeloc
/ ~ .....
_ii
f.8
ist tg oc auch klein,
/ /~
\1'
I'J
-- t.5
mit wachsendem Win/ / ll!
l /1-+--+--+--! t,~
kel wird der Abschnitt
/ / ,
t.z
J\[--,-
··li= ...
~rw~!on.ien:•JI,~if,~~~-~r~~i
/
~ ~ :;- _-_- -- v~,~~§§t.o
DE immer
und I
größer.
Fürgrößer
90° wird
DE größer als jede ..
0,8
,
,
·--
~~;! e~d~~~!es:::~~:: I ·ÜiiL~:::~s_ ~- - ·-·/
Q
0,6
' .;:
man sagt : tg 90° ist
o• to• zo• JO" ~· so• 5o" ?o• 80" w•
unendlich ( oo). Die
Abb. 6.
Kotangenswerte sind
für kleine Winkel sehr groß, mit wachsendem Winkel wird die
Strecke GF immer kleiner und kleiner und schließlich für 90° wird
ctg 90° = 0. Trägt man die einzelnen Tangens- und Kotangenswerte wieder als Lote zu einer horizontalen Geraden ab, so entsteht die Tangens- bzw. Kotangenskurve. Die Abbildung
lehrt uns:
Die Funktion Tangens nimmt von 0 bis oo zu, die
Funktion Kotangens von oo bis 0 ab, wenn der Winkel
von 0° bis 90° wächst. Während den Funktionen Sinus und
Kosinus nur ein beschränktes Zahlengebiet (zwischen 0 und 1)
zugewiesen ist, können die Funktionen Tangens und Kotangens jeden beliebigen Zahlenwert annehmen.
Einige besondere Winkel. Tabellen.
8
Jedem Wert zwischen 0 und oo entspricht ein Tangens eines
bestimmten Winkels zwischen 0° und 90° und umgekehrt. Den
echten Brüchen entsprechen die Tangenswerte für Winkel zwischen 0° und 45°.
§ 3. Trigonometrische Werte für einige besondere Winkel.
Tabellen. Skalen am Rechenschieber.
Die trigonometrischen
Werte der Winkel aoo,
45°, 60° lassen sich
leicht berechnen (Abb. 7
und 8).
46°. Dieser Winkel
kommtinjedem gleichAbb. 7.
Abb. 8.
schenklig
rechtwinkligen Dreieck vor. Wählt man die Hypotenuse gleich
der Längeneinheit, dann haben die Katheten die Längen 1 / 2 t2;
daraus folgt:
sin450 = 1 / 8 f2 = 0,7071 = cos45°
tg45° = 1 = ctg45°.
aoo und 60°. Diese Winkel sind vorhanden in den rechtwinkligen Dreiecken, in die ein gleichseitiges Dreieck durch eine
Höhe zerlegt wird. Wählt man die Seite des gleichseitigen Dreiecks als Längeneinheit, so erhält man für die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks die Längen 1 / 2 bzw. 1/ 2 f3. Daher ist:
sin 30° = COS 60° = 1/a: 1 = 1/s = 0,5000
cos 30° = sin 60° = 1 /al'3 = 0,8660
tg 30° = ctg 60° = 1/a: 1/g
= 1/a
= 0,5774
1
1
ctg 30° = tg 60° = /sf3: /s =
= 1,7321.
Diese
Werte
sollte man sich
oo 300 45° 6()0 90°
ins Gedächtnis einprägen; sie sind
sin
0
lf. 1/sl2 1/al3 I in der nebenstehenden Tabelle
- - - - - - - -1 - nochmals zusammengestellt:
i3
cos
-
tg
ctg
I
-
0
<X>
t.ra
1
/.}2 lf.
1
r3
i3
0
Man beachte: die Sinus- und TangellSwerte nehmen mit wachsendem
Winkel zu, die Kosinus- und Kotan~ <X>
genswerte
ab.
spielt nur bei den
- -1 Winkeln 30° und 60° eine Rolle. Man
1/a}3
0
prüfe die berechneten Werte an den
- - - - - -1 ~t.ra
l'3
I
-I
f3
Gebrauch der Tabellen
9
auf :Millimeterpapier gezeichneten Kurven (Abb. 4, 5 und 6). Aus jenen
Abbildungen kann man auch die trigonometrischen Werte für andere
Winkel von Grad zu Grad auf 2 Dezimalstellen genau ablesen. Man findet
z. B. sin 550 = 0,82; sin 240 = 0,407; cos 70° = 0,34 usf. Diese Werte
genügen für genauere Rechnungen selbstverständlich nicht. Am Schlusse
des Buches sind Tabellen, in denen die Werte für alle Winkel von 0° bis 90°
von 10 zu 10 :Minuten vierstellig angegeben sind.
Gebrauch der Tabellen.
Die in § 1 entwickelten Formeln über Komplementwinkel
ermöglichen eine Reduktion der Tabellen auf die Hälfte des Raumes; sie sind so eingerichtet, daß z. B. sin 36° und cos 54° an der
nämlichen Stelle abgelesen werden können. Die Sinustabelle ist
gleichzeitig eine Kosinustabelle. Will man einen trigonometrischen
Wert für einen bestimmten Winkel aufsuchen, so ermittelt man
die Gradzahllinks für sin und tg, rechts für cos und ctg und
die Minutenzahl oben für sin und tg und unten für cos und
ctg. Im Schnittpunkt der durch die Grad- und Minutenzahl bestimmten Reihen steht der gesuchte trigonometrische Wert.
Beispiele:
sin 20°
=
cos 20°
=
tg 36° 40' =
ctg 17° 10' =
0,3420
0,9397
0,7445
3,237
cos 480 30' =
sin 870 20' =
tg 640 50'=
ctg 79° 20' =
0,6626
0,9989
2,128
0,1883.
Ist der Winkel auf die Minuten genau angegeben, so kann
man den zu ihm gehörigen trigonometrischen Wert mit Hilfe der
Tabellen ebenfalls finden; es ist jedoch hierfür eine Zwischenwertberechnung, eine Interpolation, notwendig. Die folgenden zwei Beispiele sollen das Rechnungsverfahren klarmachen.
Beispiel: Wie groß ist sin26°34'7
sin 26° 30' (nach der Ta belle)= 0,4462.
sin 260 40'
= 0,4488.
(a)
(b)
Einer Differenz von 10' entspricht eine Tafeldifferenz von 44884462 = 26 Einheiten der letzten Dezimalstelle.
Einer Differenz von 1' entsprechen daher 2,6 Einheiten, und einer
solchen von 4' somit 10,4 (rund 10) Einheiten der letzten Dezimalstelle.
Diese Korrektur (c) von 10 Einheiten der letzten Dezimalstelle ist
zu dem Werte sin26° 30' = 0,4462 zu addieren, da dem größeren Winkel260 34' ein größerer Sinus entspricht; es ist somit sin 26° 34' = 0,4472.
Die gleichen Vberlegungen gelten auch für die Funktion Tangens.
Beispiel: Wie groß ist cos43047'?
cos 430 40' = 0,7234.
cos43050'=0,7214.
(a)
(b)
Einige besondere Winkel. Tabellen.
10
Tafeldifferenz = 20 Einheiten der letzten Dezimalstelle; dies entspricht
einer Zunahme des Winkels um 10'; für sieben Minuten beträgt daher die
Korrektur 7·2 = 14. Diese Zahl ist aber von cos43°40' = 0,~234 zu subtrahieren, da dem größeren Winkel ein kleinerer Kosinus entspricht.
Es ist also
cos 43° 47' = 0,7220.
Die gleichen Überlegungen gelten auch für die Funktion Kotangens.
Die Interpolation führt man meist im Kopf aus oder man benützt
die in einigen Tabellen zur Erleichterung der Rechnung beigefügten Proportionaltäfelchen, in denen die Produkte der einzelnen Minuten mit
dem zehnten Teil der Tafeldifferenzen angegeben sind 1•
Zur Erläuterung dieses Interpolationsverfahrens dienen die
Abb. 9 und 10, in denen ein Stück einer Sinus- bzw. Kosinuskurve in stark verzerrtem Maßstab gezeichnet ist. Den zwei aufeinander folgenden Tabellenwerten a und b mögen in den Abbildungen die beiden Ordinaten a und b entsprechen, ihr horizontaler Abstand entspreche dem lntervalllO'.
U
~..,
tl
I
f -1
><
Abb. 9. (Sinus.)
Abb. 10. (Kosinus.)
Aus den Abbil<Jungen ergeben sich die Proportionen:
x': 10' = c: (a- b),
x': 10' = c: (b- a),
b-a
a-b
Korrektur c = 10 · x .
Korrektur c = 10 · x .
Interpolierter Wert= a + c, InterpolierterWert = a- c,
c wird zu a addiert (Sinus, c wird von a subtrahiert
(Kosinus, Kotangens).
Tangens).
Die zu x' gehörigen trigonometrischen Werte sind aber, genau
genommen, gleich a c f bzw. a- c f. Bei der Interpolation begeht man also einen Fehler f, indem man nicht die
+ +
1
+
Vgl. z. B. die vierstelligen Tabellen von Gauß.
11
Übungen.
zu x' gehörige Ordinate der Kurve, sondern die der Sehne berechnet. Interpoliert man zwischen zwei aufeinanderfolgenden Tabellenwerten, so ist der Fehler f so klein, daß er sich
in der 4. DezimalsteHe meistens nicht bemerkbar macht, sondern
erst in der 5., 6. usw. Man darf also für so kleine Intervalle von
10' das besprochene Interpolationsverfahren anwenden.
"Übungen.
1. Prüfe:
sin 38° 49' =
sin 59° 34' =
tg 310 46' =
ctg 32° 54' =
tg 26° 54'=
cos 68° 12'
cos 75° 52'
sin 190 15'
ctg 74° 38'
sin 35° 36'
0,6269
0,8622
0,6192
1,546
0,5073
= 0,3714
= 0,2441
= 0,3297
= o,2748
= 0,5821.
2. Nach der Tabelle ist sin 30° = 0,5000 und sin 40° = 0,6428. Berechnet
man hieraus durch Interpolation sin 35°, so erhält man (0,5 + 0,6428): 2
= 0,5714. Der richtige Wert ist aber nach der Tabelle 0,5736. Wie groß
ist demnach der sich aus der Interpolation ergebende Fehler f? Warum ist
der interpolierte Wert zu klein ?
Berechne ebenso aus tg 30° = 0,5774 und tg 40° = 0,8391 durch Interpolation den Wert tg 35°. Warum wird der interpolierte Wert zu groß?
(Abb.6.)
sin 40° = 0,6428; sin 43° = 0,6820. Berechne durch Interpolation
sin 41° und sin 42° und vergleiche die Ergebnisse mit den Angaben der
Tabelle.
3. Beachte, daß die Sinus- und Tangenswerte für kleine Winkel in
den ersten Dezimalstellen übereinstimmen. sin 2° = ?, tg 2° =?Begründe
diese Eigentümlichkeit an Hand der Abb. 3.
4. Berechne die folgenden Ausdrücke:
a) ein cx + p, • cos cx, für p, = 0,1; cx = 20°
Ergebnis: 0,436
b)
tgcx
f"
-250·
tg (cx + e) ' ur cx'
c)
.
:
, für p = 0,1
sm 170 pcos 170
d) cp =
e)
!!
-30
e-
0,88
0,26
·1800. Wie groß ist coscp?
250
=!
2 . cos 630 38'
0,2975
281
f) ein 2 500 = 1
0,5868.
ö. Man ermittle mit Hilfe der Tabelle zu folgenden Funktionswerten
dell dazugehörigen Winkel.
ein cx = 0,5150
sin cx = 0,9112
cx = 31°
= 65°40'
0(
ctg y = 0,2836
ctg B = 1,437
y = 74° 10'
34° 50'
ß=
12
Einige besondere Winkel. Tabellen.
IX = 0,8124
IX = 35° 40'
008 X = 0,9261
X = 22° 10'
tg IX = 3,412
IX = 73° 40'
tg ß = 0,4557
ß = 24° 30'
Wie man zu verfahren hat, wenn der gegebene Wert in der Tabelle
nicht enthalten ist, zeigen die folgenden zwei Beispiele.
1. Beispie 1:
sin IX = 0, 7364
IX = ?
Der nächst kleinere Wert in der Tabelle ist 0,7353; er ent>pricht einem
Winkel von 47° 20'. Nun ist sin 47° 30' = 0,7373. Die Düferenz der Tabellenwerte, die "Tafeldifferenz", beträgt somit 7373- 7353 = 20 Ein·
hciten der letzten Dezimalstelle. Die Differenz zwischen dem kleinern 'l'a·
bellenwert und rlem gegebenen Wert, wir nennen sie "unsere Differenz",
beträgt 7364- 7353 = 11 Einheiten. Den 20 Einheiten entsprechen 10',
COS
somit den 11 Einheiten
~~ · 11 =
5,5'. Also ist IX = 47° 25,5'.
cos a = 0,4911
2. Beispiel:
IX= ?
Der nächst größere Wert in der T~belle ist 0,4924; ihm entspricht ein
Winkel von 600 30'. Tafeldifferenz = 4924- 4899 = 25. Unsere Diffe·
. 1st
.
.
' 13 = 5,~",. sormt
renz = 4924 - 4911 = 13. D1eser
entsprec hen 10
25 ·
IX= 60° 35'.
Auch hier leisten Proportionaltäfelchen gute Dienste. Man wird
für das zweite Beispiel in der mit 25 überschriebenen Tabelle den Wert
(rechts) aufsuchen, welcher der Zahl 13 am nächsten kommt. Das ist für
12,5 der Fall. 12,5 entsprechen (links) 5 Minuten.
Weitere Beispiele:
sin x = 0,5643
X= 34°21'
COS IX= 0,5647
IX= 55°37'
sin x = 0,8596
X= 59°16'
sin IX = 0,4792
28°38'
tg X= 3,000
X= 71°34'
sin ct = 0,9440
70°44'
tg X = 0,7350
X= 36°19'
sin IX = 0, 7000
44°26'
ctg IX = 0,5000
63°26'
tgcx= 6 / 5
IX= 50°11'
tg X= l2
X= 54°44'
tg IX = 0,2300
12°57'
ctg x = 2,201
X= 24°26'
COS X = 0,5773
X= 54°44'
ctg x = 0, 7337
X= 53°44'
COS X= 0,7400
42°16'
6. Berechne den Winkel x aus:
X= 110 15'
tg4x = 1
tg -~
X= 22°381
2 = 02
,
•
X
0~
s1n
X= 60°
2 = ,.,
sin2x = 1
X =45°
4sinx = 3,2 X= 53°8'
5cosx = 2
X= 66° 25'
&tgx=7,5
x=51020
7ctgx=42
X= 9028'
(1
+ sin x) 4 =
4.5
x = 70 11'
0,045 = 0,15 (I- cos x) x = 45° 34'
tg X = 0,84 • tg 260 15'
X= 390 5'.
0,034 ·15
7. Berechne oc aus cos IX
=: ~:
für : = 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20.
ErgebniBBe: 90°; 70°32'; 6QO; 5308'; 48011'; 3506'; 25012'.
13
Logarithmen.
8. Konstruktion von Winkeln mit Hilfe der Tangenswerte.
Soll ein Winkel von 35° gezeichnet werden, so entnimmt man der Tabelle
den Wert tg 350 = 0, 7002. Nun zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck
mit den Katheten b = 10 cm; a = 7 cm; dann ist IX= 35°. Siehe Abb. 3.
Konstruiere die Winkel 7°; 10°30'; 36°; 570.
Für größere Winkel wählt man praktischer die Kosinuswerte. Zeichne
die Winkel 74°; 81 °; 65°20'. In Abb. 3 wird r = 10 cm gewählt.
Logarithmen der trigonometrischen Funktionen.
Wer nicht mit Logarithmen rechnen kann, darf diesen Abschnitt übergehen; er wird den weitern Entwicklungen doch folgen können.
Sinus und Kosinus sind echte Brüche; daher sind ihre Logarithmen
negativ. Das trifft auch zu bei Tangens bzw. Kotangens für Winkel von
oo bis 45° bzw. 450 bis 90°. Die Logarithmentafeln (z. B. die fünfstelligen
von Gauß) enthalten für diese Winkel den um + 10 vergrößerten Logarithmus. Um den wahren Wert zu erhalten, muß man von dem Tafelwert 10
subtrahieren. Für die übrigen Winkel sind die Logarithmen vollständig
angegeben. Über die Korrektur gelten die frühern Bemerkungen.
1. log sin 32D28'36" = f
Nach der Tabelle ist log sin 32°28' = 9, 72982 - 10.
Tafeldifferenz = 20. Die Korrektur für 30" ist nach den Proportionaltäfelchen 10,0; für 6" beträgt sie 2, also für 36" ist sie 12 Einheiten der
letzten Dezimalstelle. Diese Korrektur wird addiert. Daher
.
log sin 32°28'36" = 9,72994- 10.
2. log cos 50°38'45" = f
Nach der Tabelle ist log cos 50038' = 9,80228- 10, die subtrahiert
wird; somit
log cos 50°38'45" = 9,80217 - 10.
8. log sin 36024' =
log cos 28°19' =
log tg 42041' =
log ctg 11 °50' =
9,77336- 10
9,94465- 10
9,96484 - 10
0,67878
log sin 65044' =
log ctg 74°23' =
log cos 84039' =
log cos 88°35' =
4. log sin 32019'28" =
log sin 65° 2'44" =
log tg 28°44'27" =
log cos 27°18'26" =
9,72812- 10
9,95743 - 10
9,73911 - 10
9,94868- 10
log ctg 60°28'34" =
log sin 28° 0' 48" =
log ctg 5039'15" =
log tg 14°48'25" =
5, log sin x = 9,63636 log sin x = 9,97435 log tg x = 0,24002
log ctg x = 0,00758
log sin x = 9,69240 log sin x = 9,80000 log tg x = 9,74900log cos IX = 9,97482 -
10
10
10
10
10
10
9,959829,44641 8,96960 8,39310-
9,75307- 10
9,67180 - 10
1,00434
9,42216- 10
25°39'
70°30'
X= 60°05'
X= 44°30'
X= 29°30'16"
X= 39° 7'15"
X= 29°17'40"
IX= 19°19'24"
X=
X=
10
10
10
10.
Einige besondere Winkel. Tabellen.
14
log ctg ß = 9,751&0- 10
log tg x = 0,28344
log cos x = 8,24600 - 10
ß = 60°32'52"
X=
X=
62°29' 44"
88059'25"
6. Aus dem Logarithmus eines trig. Wertes kann natürlich der kig.
Wert auch gefunden werden. So folgt aus:
log'sin x
Jog COS IX
=
=
9,43842- 10
9,83556 - 10
=
0,43842- 1
ein x
=
COS IX =
0.27442
0,68480.
l
Die trigonometri@cben Skalen am Rechenschieber.
Auch dieser Abschnitt kann übergangen werden. Es mögen bezeichnen:
...4. die Teilung auf der obern HäHte der Staboberfläche,
B "
"
" " untern "
"
"
Stab
L und R die zwei Ausschnitte an der Unterfläche des
·
Stabes, L links, R rechts.
a die Teilung auf der obern Hälfte der Zunge, } Zunge.
"
"
b "
"
" " untern "
Es folgen also von oben nach unten die Teilungen .A, a, b, B aufeinander.
Auf der Rückseite der Zunge befinden sich die trigonometrischen Teilungen S (Sinus) und T (Tangens).
Sinus und Kosinus. Es gibt so verschiedene Anordnungen der Skalen,
daß es unmöglich ist, hier alle zu erwähnen. Immerhin sollen die folgenden
Ausführungen so gemacht werden, daß sich jeder an seinem Rechenschieber
leicht zurechtfinden kann. Ma:r;1. zieh~ den Schieber (die Zunge)rechts eiamal so weit heraus, bis auf der Rückseite der Winkel 30° der S-Teilung auf
die obere Marke des Einschnittes R eingestellt ist. sin 30° = 0,5. Diesen
Wert liest man nun auf b rechts über dem Endstrich von B ab. (Es gibt
Fabrikate, bei denen man diesen Wert auf a rechts unter dem Endstrich von A abliest. Wer einen solchen Rechenschieber besitzt, hat im
folgenden stets b mit a und B mit .A zu vertauschen.)
Prüfe:
sin 21° =
sin 8° =
ein 74030' =
sin 36°40' =
0,358
0,139 (2)
0,964
0,597
sin IX = 0,6
sin IX = 0,242
sin IX = 0,97
sin IX = 0,434
IX
= 36°50'
IX=
IX=
IX=
14°
76°
25°40',
Die S-Teilung liefert auch die Kosinuswerte entsprechend der
Formel
cos IX = sin (90 - IX),
40° = sin 50° = 0, 766
cos 35040' = sin 54020' = 0,812
COB
cosiX = 0,420 = sin (90 -IX), also
90 - I X = 24°50'; IX= 65010',
Auch die reziproken Werte von Sinus und Kosinus, also
die Werte 1: sin IX und 1: cos IX können mit den nämlichen Einstellungen abgelesen werden. Die reziproken Werte sind natürlich
stets größer als 1. Stellt man die Marke bei R z. B. auf 21° der S-Teilung,
dann liest man auf B unter dem Anfangsstrich (links) von b den Wert
2,79 ab.
Skalen am Rechenschieber.
1: sin 34° = 1,79
1: sin 550 = 1,22
15
1: cos 72° = 1: sin ISO= 3,23 (6)
1: cos 25° = 1: sin 65° = 1,10.
Weitere Beispiele:
Nachdem sin 32° eingestellt ist, liest man über 58,2
von B auf b den Wert 30,8 ab.
2. 32·cos 68° =?
Man stellt sin 22° ein; über 32 vonBliest man auf b
den Wert 12 ab.
Nachdem 1 :sin 28° eingestellt ist, liest man unter
3. 34:sin 28° = 7
34 von b auf B den Wert 72,4 ab.
1: sin 40° wird eingestellt. Man verschiebt den
4. 85: sin 40° = ?
Läufer nach links über den Endpunkt von b; stellt
den Endstrich (rechts) von b auf diese Marke ein
und liest unter 85 von b auf B den Wert 132 ab.
1. 58,2·sin 32° = 7
Tangens und Kotangens. Für diese Funktionen benutzt man die
Teilung T und den Einschnitt L {links). Um z. B. tg 16° zu erhalten, zieht
man den Schieber links so weit heraus, bis auf der Rückseite der Winkel16°
der T-Teilung eingestellt ist. Dann liest man auf b links über dem Anfangs·
strich von B den Wert 0,287 = tg 16° al;>. Auf diese Weise kann man alle
Tangenswerte für Winkel von 5°44' bis 45° bestimmen. Da aber ctg oe
= 1 : tg oe ist, kann man mit den nämlichen Einstellungen auch die Ko·
tangenswerte dieses Winkels rechts auf B unter dem Endstrich von b ab·
lesen. So ist z. B. ctg 160 = 3,49.
tg 38°40' =
tg 40°20' =
=
ctg 22°
ctg 10050' =
0,800
0,849
2,475
5,225
tget = 0,543
tget = 0,435
ctget = 2,56
ctget = 1,20
Gt
= 28°30'
Gt
=
Gt
Gt
23°30'
= 21 °20'
= 39050'.
Für Winkel zwischen 5°44' und 45° liegen die Tangenswerte zwischen
0,1 und 1 und die Kotangenswerte daher zwischen 10 und 1.
Da tg et = ctg (90 - oe) und ctg r:t. = tg (90 - et) ist, findet man leicht
auch die Tangens- und Kotangenswerte für Winkel über 45°.
tg 600 = ctg 30° = 1,732
ctg 72030' = tg 17030' = 0,315.
Weitere Beispiele:
et ist größer als 45°; ctg (90- a:) = 2,0 liefert
90 - a: = 26°30', daher oe = 63°30'.
2. ctg IX= 0,28 et = 7 IX ist größer als 45°; tg (90- et) = 0,28 liefert
90- et = 15°40, daher oe = 74°20'.
Stellt man tg 26°40' ein, dann liest man über
3. 15,2·tg 26040' =?
15,2 von B auf b den Wert 7,63 ab.
4. 15,2·ctg 26°40' =? Da man unter 15,2 von b auf B ablesen soll, muß
man zuerst den Läufer über den Endstrich von b
bringen und dann den Schieber nach rechts ziehen,
bis der Anfangsstrich von b an der durch den
Läufer markierten Stelle steht. Man findet daa
Ergebnis 30,2.
1. tg et = 2,00 et =?
16
Einige besondere Winkel. Tabellen.
Kleine Winkel. Für Winkel unter 5°44' ist auf vielen Rechenschiebern
eine gemeinsame Teilung (Sund T) für Sinus und Tangens vorhanden. Für
so kleine Winkel stimmen nämlich die Sinus- und Tangenswerte bis auf 3 Dezimalstellen überein. (Siehe Aufgabe 60, § 5.) Die Funktionswerte liegen
für diese gemeinsame Skala zwischen 0,01 und 0,1 und werden genau wie
die übrigen Werte mit HiHe der Skalen b und B ermittelt. Eingestellt wird
auf die untere Marke R.
sin 30 = 0,0523 = tg 30
sin IX = 0,0345
IX = 1°58,5'
sin 106' = 0,0192 = tg 1°6'
tgiX = 0,0294
IX= 1°41'
ctg 880 = tg 2° = 0,0349
tg IX= 0,0736
IX= 4°12'.
Auf Rechenschiebern, denen die gemeinsame Teilung (Sund T) fehlt,
ist die Sinusteilung bis zu 35' fortgeführt. Für kleine Winkel benutzt man
für die Tangenswerte dann einfach die Sinuswerte. tg IX = sin IX.
Steckt man den Schieber umgekehrt in den Stab, so daß auf der Vorderfläche des Rechenschiebers die Teilungen ASTB untereinander liegen,
dann kann man, sofern die Anfangsstriche sämtlicher Teilungen aufeinander eingestellt sind, unter jedem Wert der S-Teilung auf B den zugehörigen Sinuswert, unter jedem Werte der T-Teilung auf B den zugehörigen
Tangenswert ablesen. Auf A befinden sich die Werte sin1 IX und tg 8 IX.
Geschichtliches. Die trig. Tafeln haben eine interessante Geschichte.
Der griechische Astronom Ptolemaeus (um 150 n. Chr.) berechnete
eine Sehnentafel, welche von 30' zu 30' fortschreitet. Sie liefert nicht
den Sinus eines Winkels, sondern die zu seinem Bogen gehörige Sehne.
Die Tafel enthält bereits Differenzen für Interpolationen.
Der Araber Al Battani (t 929) unternahm eine Neubearbeitung der
ptol. Tafeln mit Ersetzung der Sehnen durch die Halbsehnen, also durch
den Sinus selbst. Ihm verdankt man auch die älteste Kotangententafel.
Jahrhundertelang zehrte das Abendland von dPn reichen wissenschaftlichen
Schätzen der indischen und arabischen Gelehrten.
Eine vollständige Neuberechnung des trig. Zahlenmaterials unternahm
der hochbegabte Wiener Gelehrte Regiomontanus (1436-1476). Er
berechnete mehrere Tabellen. Die trig. Zahlen sind nicht für den Einheitskreis, sondern für einen Kreis mit dem Halbmesser 6000000 und in einer
späteren Tafel für einen Kreis mit dem Halbmesser 10000000 berechnet.
Diese letztere Tafel ist insofern wichtig, als sie den Übergang von dem
Sexagesimalsystem der Araber zum Dezimalsystem bildet. Die Tafeln wurden
erst lange nach dem Tode Regiomontanus' gedruckt. In Unkenntnis der
von Regiomontanus geleisteten Arbeit hat auch Nikolaus Koppernikus
(1473-1543) selbständig eine kleine trig. Tafel berechnet. Er begeisterte
seinen jüngeren Mitarbeiter Rhaeticus (1514-1596), aus dem Vorarlbergischen, zur Berechnung einer cigen<'n, auch für astronomische Zwecke
genügenden Tafel. Sie enthielt die Werte der trig. Funktionen lOsteilig
von 10" zu 10". In diesen Tabellen wurden zum erstenmal die Komplementwinkel am Fuße der Seiten mit rechts am Rande angegebenen Minuten
angegeben. Das gewaltige Tafelwerk konnte nur durch finanzielle Unter·
stützung des Kurfürsten Friedrich IV. von der Pfalz gedruckt werden und
erhielt ihm zu Ehren dt•n Tit{•) "opus palatinum". Rhaeticus erlebte die
17
Beziehungen zwischen den Funktionen.
Herausgabe seines Werkes nicht mehr. Eine verbesserte Neuausgabe dieser
Tafeln besorgte Pitiscus (1561-1613), der Kaplan des pfälz. Kurfürsten.
Diese 1613 als "Thesaurus mathematicus" herausgegebenen Tafeln ent·
halten die trig. Werte von 10" zu 10" und 15stellig. Dieses Werk bildet die
Grundlage für alle trig. Tafeln der Zukunft.
Um einen richtigen Begriff von der zur BE-rechnung der TafE-ln erforder·
Iichen Riesenarbeit zu erhalten, muß man bedPnken, daß fast alle die ge·
nannten Tafeln mit Hilfe der Formeln
•
IX
sm 2
=
1/1 V
COS IX
2
und
IX
CO>
2=
/1 +
v--2-J
COS IX
und durch Interpolation berechnet wurden. Die Sinus- und Kosinus-Reihen
waren damals noch nicht bekannt, und die ersten Logarithmentafeln erschienen erst ein Jahr nach der Drucklegung des Tafelwerks von Pitiscus.
Die Erfindung der Logarithmen durch den Schweizer Jobst Bürgi
(1552-1632) aus Lichtensteig und den Engländer Neper (1550-1617)
führte eine völlige Umgestaltung der trig. Tafeln herbei, indem statt der
trig. Zahlen deren Logarithmen in den Tafeln aufgenommen wurden. Die
heutige Form der Tafeln stammt von dem Engländer Henry Briggs
(1556-1630), der die "künstlichen" Logarithmen (Basis 10) der natür·
liehen Zahlen und der trigonometrischen Linien berechnete. Von den zahl·
reichen Tafeln, die seit jener Zeit entstanden sind, sei nur noch die berühm·
teste, der "Thesaurus logarithmornm completus" erwähnt, den der öster·
reichische Artillerieoffizier Vega 1794 herausgab. Er enthält die lOstclligen Logarithmen der natürlichen und der trig. Zahlen.
§ 4. Beziehungen zwischen den Funktionen des
nämlichen Winkels.
Lif
Bevor wir zu Anwendungen unserer bisherigen Kenntnisse
der Trigonometrie übergehen, wollen wir noch einige wichtige
Beziehungen zwischen den Funktionen des nämlichen Winkels
ableiten. Wir gehen dazu am bequemsten
von den Linien des Einheitskreises aus.
1
.~
Aus Abb. 11 folgt nach dem pythagoj
reischen Lehrsatz:
"' cosa: t
sin2 a cos2 a = 1,
(I)
Abb. 11.
d. h. das Quadrat des Sinus und das
Quadrat des Kosinus des nämlichen Winkels geben
zur Summe stöts I.
Die nämliche Abbildung liefert
sin a
t
cos fc
tg a = COs«'
c g a = slu u '
(2)
d. h. Tangens ist der Quotient aus Sinus durch Kosinus,
Kotangens ist der Quotient aus Kosinus dnrch Sinus.
+
18
Beziehungen zwischen den Funktionen des nämlichen Winkels.
Bildet man das Produkt der Gleichungen (2), so erhält man
sin a: cos a:
tgoc·ctgoc = --·-.= 1,
COS a:
Sln a:
1
tga=etga:
tga·ctga = 1 oder
1
(3)
ctga = tga:·
Tangens und Kotangens eines Winkels sind reziproke Werte, sie geben zum Produkt stets 1.
Dividiert man Gleichung (1) durch cos 2 oc bzw. sin 1 tX und
berücksichtigt die Gleichungen (2), so erhält man
1
+ tgt a = eos•a
bzw.
1
1 + ctg a = - i n
1
1
8
(4)
•
1
"'
Übungen.
1. Man leite die Formeln 1 bis 4 direkt aus einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten a, b, c ab.
2. Man nehme irgendwelche Werte aus den Tabellen, z. B. sin 25° und
cos 25°. Ist tatsächlich sin1 25 + cos•25 = 17 tg 25° = sin 25ct:cos 25°!
1 + tg 1 .45° = 1: cos• 457 usw.
8. Beweise die Richtigkeit der .folgenden Formeln:
+
a) sin01
Bina;-
b) cosa; = r<l
COBOI
COBOI
= tg01
+1 =
tga:- 1
+ sina:)(1- sina;).
1..-1- otga:'
1- ctg&X
sin1 a: - cos 1 a:
c).
=tga:-ctg.x.
sma: • oos.x
4. In den folgenden Gleichungen bedeutet a: einen zwischen oo und
90° liegenden Winkel. Will man a: bestimmen, so formt man die Gleichungen
mit Hilfe der Formeln 1 bis 4 um, bis sie nur noch eine Funktion enthalten,
löst dann Il8()h dieser Funktion auf und bestimmt z mit Hilfe der Tabelle.
Beispiel:
sin a:
tg z
= 2·cos z; man dividiert durch oos z
= 2; daher ist
X=
63°26',
Man mache die Probe durch Einsetzen der Werte sin z und cos z in
die erste Gleichung.
Weitere Beispiele:
3 sin z-= 4 cos z
Ergebnis: a: = 5308'
4,5 tgz=5sinz
z= oo oder :~:=25050'
3 otgz- = 7 cos x
"
x = 90° " :e = 215023'.
19
Trigonometrische Gleichungen.
5, a) Berechne die Größen R und a. aus den beiden Gleichungen
20 =Rcosa.
21 =R sin a..
Durch Quadrieren und Addieren der Gleichungen findet man R = 29;
durch Dividieren a. = 46°24'.
b) Beweise: aus
P 1 = R cos <X}
_
- -d
_ P1
folgt R- 11rP12 + P'22 un tga.- p .
_ R .
PzBID<X
I
c) Aus x = a c?s a. } fol t ..::_ + JC._ = 1.
y = b sm a.
g a2
b2
d) Aus e = a sin a. - b c?s <X} fol t e = fas + b'
O=acosa.+bsma.
g
'
e) Löse die Gleichungen x = x1 cos a.- y1 sin a.
y = x1 sin a. + y 1 cos a.
nach x1 und y1 auf. Man findet
x1 =
x cos a. + y sin a.
Y1 = - X sin <X +.Y COS <X.
Das Folgende kann ohPe Beeinträchtigung des Späteren vorläufig überschlagen werden.
Aus einer einzigen trig. Funktion eines Winkels
lassen sich alle übrigen Funktionen dieses Winkels
berechnen. Will man z. B. aus sin IX die Funktionen cos IX, tg IX
und ctg oc berechnen, so geht man von dem Dreieck am Einheitskreis aus (Abb. 3), das den Winkel IX und den Sinus als Kathete
enthält. Entsprechend für jede andere Funktion.
COS<X
tg
=fl- Bin2 a.,
<X=
t
c ga. =
sin a. =
t
ga.=
sina.
fl- sin2 a.
f 1- Bin1 <X
sina.
'
·
Abb. 12.
fl - cos 2 a. ,
f1- cos1 a.
COS<X'
Abb. lS.
Heß, Trigonometrie.
2
Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks.
20
.
S!D IX
COS IX
tgiX
= ----· ,
r 1 + tg
2 1X
I
= ,
}I
+ tg
f!J IX
__,
2 1X
l
ctgOt = - - .
tg IX
Sin<X=~~~
'
I
ctga;
I
--
--- f ----~
Abb, 14.
~'
;,._ -
ctg a:
Abb. 15,
Vbungen.
1. Leite die obigen Formeln auch aus den Formeln 1 bis 4 ab.
2. Berechne (ohne Tabelle) die übrigen Funktionen
1
aus sin x =
a) 0,5
b) 0,8
c)
" cos:z; =
a) 0,8
b) 0,4
c) 29
d) m
a) 0,75
b) 12
fä
d) m
tgx
=
5
3
20
c)
d) m
und prüfe die Ergebnisse nachträglich mit Hilfe der Tabelle.
8. Beweise: Ist tg <X =
!!:..b ,
dann ist sin Ot =
a
Ya 2 + b2
; cos a; =
.
b
fa 2 + b2
•
§ 5. Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist bestimmt durch zwei Seiten
oder durch eine Seite und einen der spitzen Winkel. Daher gibt
es die folgenden vier Grundaufgaben (Abb.l6):
1. Aufgabe.
Gegeben: die beiden Katheten a
und b.
Gesucht: die Hypotenuse und
die beiden Winkel.
Abb. 16.
1
Lösung 1 :
Nach dem pythagoreischenLehreatz ist
Eine andere Lösung liefert Aufgabe 2, § 6.
Die vier Hauptaufgaben.
21
c= f~-+ 62 ; der Winkel oc bestimmt sich aus
tg oc = a: b, oder ß aus tg ß = b: a; oc ß = 900.
Für a = 80 cm; b =50 cm wird
c = 80 2 + 502 = -v 8900 = 94,34 cm.
tg oc = 80: 50= 1,600; hieraus 01: = 58°, ß = 90- IX.
+
Beispiel:
r
2. Aufgabe.
Gegeben: die Hypotenuse und eine Kathete, z. B. a.
Gesucht: die andere Kathete und die beiden Winkel.
Lösung:
Beispiel:
Es ist b = c2 - a 2 • oc bestimmtsich aus sin oc = a:c.
Für c = 8 cm; a = 3 cm wird
b = 82 - 32- = (55= 7,42 cm.
sin oc = 3: 8 = 0,3750; hieraus oc = 22°1,5' und
ß = 67°58,5'.
3. Aufgabe.
Gegeben: die Hypotenuse und ein spitzer Winkel,
z. B. oc.
Gesucht: die Katheten a und b.
Lösung:
Es ist sin oc = a : c und cos oc = b : c; hieraus folgt
durch Multiplikation mit c
f
y
a = c · sin a und b = c · cos a, d. h.
eine Kathete ist gleich der Hypotenuse, multipliziert
mit dem Sinus des Gegen- oder dem Kosinus des
Anwinkels.
Beispiel: Für c = 5,73 m und 01: = 280 wird
a = 5,73·sin 28° = 5,73·0,4695 = 2,690 m
b = 5,73·cos 28° = 5,73·0,8829 = 5,059 m.
4. Aufgabe. Gegeben: eine Kathete a und ein spitzer Winkel.
Gesucht: die Hypotenuse und die andere Kathete.
Lösung: Gegeben: a und oc.
Lösung: Gegeben; a und ß.
Es ist sin oc = a: c, somit ist
Es ist cos ß = a: c, somit ist
c = a :sin a; ferner ist
c = a : cos {1; ferner ist
ctg 01: = b: a; hieraus folgt
tg ß = b: a; somit ist
b=a·tg{J.
b = a· ctga.
Wir erkennen hieraus:
Die Hypotenuse ist gleich einer Kathete, dividiert
durch den Sinus des Gegen- oder den Kosinus des Anwinkels.
2*
22
Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks.
Eine Kathete ist gleich der andern Kathete, multipliziert mit dem Tangens des Gegen- oder dem Kotangens des Anwinkels der gesuchten Kathete.
Beispiele: Für a = 40 cm; et = 50° wird
c = 40: sin 50° = 40:0,7660 = 52,22 cm;
b = 40·ctg 50° = 40 · 0,8391 = 33,56 cm.
Für a = 40 cm; ß = 20° wird
c = 40: cos 20° = 40 : 0,9397 = 42,57 cm;
b = 40 · tg 20° = 40 · 0,3640 = 14,56 cm.
Man möge sich mit der Lösung dieser Aufgaben und vor allem mit
den gesperrt gedruckten Sätzen recht vertraut machen. Zum leichten Einprägen der Sätze mögen die folgenden Bemerkungen dienen.
Die Funktionen Sinus und Kosinus werden nur dann verwendet, wenn
die Hypotenuse in der Rechnung eine Rolle spielt. Sinus und Kosinus
sind stets echte Brüche. Multiplikation mit diesen Funktionen bewirkt
eine Verkleinerung, Division dagegen eine Vergrößerung der ge.
gebenen Größen ·a = c·sin ~; b = c·cos a; c = a: sin a = b: cos a! Welche
der beiden Funktionen jeweils in Frage kommt, darüber entscheidet die
Lage des Winkels gegenüber der Kathete. Gegenwinkel: Sinus. Anwinkel:
Kosinus.
Wird eine Kathete aus der a.ndern Kathete und einem spitzen Winkel
berechnet, so hat man es nur mit den Funktionen Tangens und Kotangens
zu tun. Ob man mit Tomgens oder mit Kotangens multiplizieren muß,
darüber entscheidet die Lage des Winkels zur gesuchten Kathete. Gegenwinkel: Tangens. Anwinkel: Kotangens.
Die Division durch Tangens oder Kotangens kann immer vermieden
werden; denn es ist ja 1: tg IX= ctg IX, also z. B. 50: tg 20° = 50 ctg 20°.
Die Multiplikation ist rascher ausgeführt als die Division.
Die meisten Aufgaben, die an den Techniker herantreten, lassen sich
mit Hilfe der wenigen Sätze über das rechtwinklige Dreieck
lösen. Man zeichne zur Übung rechtwinklige Dreiecke in
allen möglichen Lagen, mit den verschiedensten Bezeichnungen der Seiten und Winkel, greife irgend zwei Stücke,
von denen eines eine Seite sein muß, heraus und berechne
die übrigen.
In Abb. 17 sei z. B. gegeben m und u. Man schreibt
unmittelbar hin 8 = m · cos u; r = m · sin u. Ist 8 und u
Abb. 17.
gegeben, so ist m = 8: cos u; r = 8 tg u usf.
Alle Zahlenbeispiele lassen sich natürlich auch
mit den Logarithmen berechnen. Für das Beispiel in der dritten
Aufgabe möge die Rechnung noch vollständig durchgeführt werden:
Es war
a = c sin et und b = c·cos oc,
23
Beispiele zum rechtwinkligen Dreieck.
somit ist
log a = log c + log sin ~X und log b = log c + log cos oc.
Das Rechnungsschema gestaltet sich hiernach so:
Gegeben:
Berechnet:
o=5,73m
cx = 28°
a = 2,690m
b = 5,0592 m
sincx
9,67161-10
0,75815
cos cx 9,94593-10
c
0,42976
0,70408
a
b
I
II
III
I+ II
II + III
Im allgemeinen gestalten sich die Rechnungen, bei einfachen
Zahlenwerten, einfacher, wenn man unmittelbar mit den Funktionswerten und nicht mit den Logarithmen rechnet, sofern man
bei den Rechnungen die abgekürzten Operationen verwendet. Fast alle Beispiele des folgenden Paragraphen sind ohne
Logarithmen berechnet worden.
§ 6. Beispiele.
1. Die folgenden Zahlenwerte können zu Übungen über rechtwinklige Dreiecke verwendet werden. Die Bedeutung der Größen ist aus
Abb. 16 ersichtlich. J ist der Inhalt des Dreiecks. Man greife irgend zwei
voneinander unabhängige Stücke aus einer horizontalen Linie heraus und
berechne alle übrigen.
a
b
c
cx
ß
J
36052' 53°8'
600 om 2
a) 30
cm 40 om
50 om
50°
50
40°
b) 32,14 "
615,5 "
38,30 "
34°40' 55°20' 2339
100
c) 56,88 "
82,25 "
39°48' 50°12' 1500
d) 50
60
78,1 "
840
43°36' 46°24'
e) 40
42
58
924
30°31' 59°29'
f) 33
65
56
"
840
18°56' 7!04'
74
g) 24
70
546
8°48' 81° 12'
h) 13
84
85
31°54'
630
58°6'
28
53
i) 45
Berechne in den Beispielen f bis i die zur Hypo·
tenuse gehörigeHöhe h des Dreiecks, und zwar
in Beispiel f aus a und cx Ergebnis: 28,43 cm
"
g " b " cx
"
22,70 "
,,
h " c " cx
"
12,85 "
,,
i " c " ß
23,77 "
2. Aus der Abb. 18 ergibt sich die folgende,
Abb. 18.
besonders bei Verwendung des Rechenschiebers,
einfache Berechnung der Hypotenuse c aus den beiden Katheten a und b
c = b +a· tg~
2
24
Beispiele.
Ähnlich findet man aus einer entsprechenden Figur
c=a+b·tgp_*.
2
Man verwendet diese Formeln passend so, daß immer die größere
Kathete zuerst hingeschrieben wird.
Ist z. B. a = 80; b = 50 cm, so benutzt man die Form c = 80 + 50 tg ~ •
Aus tgß = 50:80 folgt nach dem Rechenschieber ß = 32°; also ß:2=
16°, somit c = 80 + 50 tg 16° = 80 + 14,3 = 94,3 cm.
Zu a = 4,76; b = 8,53 gestaltet sich die Rechnung so: c = 8,53 +
4,76. tg;; tgiX = 4,76:8,53 = 0,558; somit IX= 29° 10'; cx: 2 = 14° 35';
c = 8,53 + 1,24 = 9,77 m.
3. Jedes gleichschenklige Dreieck wird durch die zur Grundlinie a
gehörige Höhe h in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Die
Länge der Schenkel sei b; IX sei der Winkel an der Spitze; jeder Winkel an
der Grundlinie sei ß.
a) Zu a=40 cm, h=30cm gehört ß=56°19'; IX=67°22'; b=36,06cm
b) " b=64 " ß=73°
"
IX=34° ; a=37,43 ; h=61,20 "
c) " h=70 " 1X=108°
ß=36°
; a=192,7; b=ll9,1 "
d) " a=8,42" ß=68°20' "
IX=43°20; b=11,40; h=10,60"
e) "o h=ll ,. b=6lcm
IX=159°14';ß=I0°23'; a=l20
f) " a=24
" b=37"
IX=37°50'; ß=71°5'; h=35
"
Der Anfänger hüte sich vor dem Fehler: 2h · tg ; = h tgiX! •
4. Es seien a und b die Seiten eines Rechtecks; d sei eine Eckenlinie
(Diagonale), IX der Winkel zwischen den Eckenlinien.
a) Zu a = 16 cm,
b = 7 cm gehört IX= 47016'; d = 17,46 cm;
J = 112cm1,
b) Zu d = 8,7 dm,
IX= 140°
a = 2,975;
b = 8,175dm;
"
J = 24,32 dm 2,
c) Zu d = 48,34 m, IX= 55°48' "
a = 42,72; b = 2~,62 m;
J = 966,2m1•
5. Die Eckenlinien eines Rhombus sind d = 8, D = 12 cm. Berechne
seine Seite 8 und den Winkel IX zwischen den Seiten (d ..e: D).
Man findet 8 = 7,21 ~m, IX= 670 23'.
Zu 8 = 36 cm, IX= 28°40' berechnet man d = 17,83; D = 69,76 cm
" d == 70 ..
IX= 132°40'
"
.. 8 = 87,19; D = 159,7 ..
6. a und b seien die Seiten eines Parallelogramms (oder beliebigen
Dreiecks) und y sei der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel, den wir
vorläufig als spitz voraussetzen wollen. Man leite die folgenden Inhalts·
formein ab:
• Siehe Runge und König: Numerisches Rechnen, S. 13. Berlin:
.Tulius Springer 1924.
25
Dreieck. Parallelogramm. Trapez.
,T =ab sin
ab
J
=T
sln
r
(Inhalt eines Parallelogrammes),
r
(Inhalt eines. Dreiecks).
Die Formeln gelten, wie wir später zeigen werden, auch für stumpfe Winkel y.
Was wird aus den Formeln und den entsprechenden Abbildungen für
y = 90° ? für a = b und y = 60°? Kleide die obigen Formeln je in einen
Satz.
7. Ein Punkt P auf der Halbierungslinie eines Winkels a hat vom
Scheitelpunkt 0 die Entfernung a. Ziehe durch P eine beliebige Gerade;
sie schneidet die Schenkel in A und B. Beweise: Ist OA = x; OB= y,
so ist _!_ + _!_ = konstant für jede Gerade durch P.
X
y
(Anleitung: Dreieck AOP +Dreieck BOP= Dreieck AOB.)
8. !Z und b seien die beiden Parallelen eines gleichschenkligen Trapezes (a > b). c = Schenkel, m =Mittellinie, h =Höhe, a = < ac.
Berechne aus
a) m = 20 cm; c = 5 cm; a = 38°40' die Größen a = 23,9; b = 16,1;
h = 3,124cm,
b) a = 80 cm; b =50 cm; et = 50° die Größenk = 17,88; c = 23,34 cm,
c) m =50 cm; h = 10 cm; et = 65°32' die Größen a = 54,55; b=45,45,
c = 10,98cm,
d) a = 20 cm; b = 5 cm; c = 10 cm den Winkel a = 41 024,5'.
9. Berechne für die in Abb. 19 gezeichneten Kegelräder, deren Achsen aufeinander senkrecht stehen, die Größen
o:, x, y, a und b. Ebenso die sogenannten
Ersatzhalbmesser R1 und R1 •
Ergebnisse: et = 38°40',
x = 137,5mm,
y = 171,9 "
a = 31,2 "
b = 39,0 "
R 1 = 128,0 "
R1 = 200,0 "
10.1 Berechne den Inhalt J des in
Abb. 20 gezeichneten KanalquerAbb.
schnitts, sowie den Umfang U des
benetzten Querschnitts aus den Größen b, h und cx.
19.
Ergebnisse: J = h (2b- h ctgcx); U = 2 [b +-/!:-(I- coscx)J
SlDCt
11. 1 Desgleichen für den Querschnitt in Abb. 21 aus b und
und cx.
1
et
oder h
Nach Weyrauch, R.: Hydraulisches Rechnen. 2. Auflage. 1912.
Beispiele.
26
1&1
Ergebnisse: J = b2 • 11in ot (2 - COsot) = - . - (2- COiot),
smot
21&
U = 2b (2- cosot) = - . - (2- cosot).
Sinot
12. Steigt eine gerade Linie g (Straße, Böschung) auf n bzw. 100 Längeneinheiten in horizontaler Richtung, I bzw. 'P Längeneinheiten in verti-
Abb. 21.
Abb. 20.
kaler Richtung, so sagt man, sie habe eine Steigung 1 :n oder eine Steigung
von 'P%. ot heißt der. SteigungswinkeL Wie die Abb. 22 zeigt, ist die Stei·
gung oder das Steig.ungsverhältnis nichts anderes als tg ot.
=! too·
tgor.
=
Man schreibt das Steigungsverhältnis gewöhnlich an die Hypotenuse
des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten sich wie 1 : n verhalten. Ptüfe: dem Steigungsverhältnis
1:3 .:utspricht der Steigungswinkel ot = 18026'
I :2
ot = 26034'
1: I,5
ot = 33°42'
I :1
"
ot = 45°
1:0,5
at = 63°26'.
Prüfe die folgende Tabelle auf.ihre Richtigkeit.
Steigung
in Ptozenten
Steigungswinkel
IO
I
20
40
5°43' / 11" 19' . 2! 048'
Abb. 22,
ooj
aoo 58'
1
80
90
1
IOO
38° 40' 41°59' I 45°
Abb. 23.
Steigung. Schraubenlinie,
27
13. Die Mantellinien des in .Abb. 23 gezeichneten konischen Zapfens
haben 12% Steigung, d. h. auf 100 mm Höhe vergrößert sich der Halbmesser
um 12 mm. Wie groß ist der Steigungswinkel IX? Wie groß der DurchmeeserD?
Ergebnisse: IX= 6°51' D = 128,8 mm.
14. Beweise, daß in dem .in Abb. 24 gezeichneten Gewindeprofil der
Kantenwinkel IX= 53°8' beträgt.
Abb. U.
Abb. .Ua.
Dem in Abb. 24a. gezeichneten Gewindeprofilliegt ein gleichschenkliges
Dreieck mit dem Kantenwinkel 55° zugrunde. Beweise, daß
t 0 = 0,9605 h ist.
16. Ein Rohr vom kreisförmigen QuerschnittF1 und dem Durchmesser
d1 wird durch ein kegelförmiges Stück mit einem zweiten Rohr vom Querschnitt F 2 = 2 F 1 verbunden. Die
Mantellinien des Kegels bilden miteinander den Winkel 6 = 40°. Wie
lang sind die Mantellinien 8 des Verbindungsstückes 1 (Abb. 25.)
Ergebnis: 8 = 0,605 d1 •
16. Gegeben: Eine Strecke a
und ein spitzer Winkel oq konstruiere Strecken von den Längen
~----+
Abb. 25.
Abb. 26.
a sin IX; a sin1 IX; a sin3 IX; • . • . • a tg IX; a tg•IX; a tg 8 IX;
17. Legt man ein rechtwinkliges Dreieck, dessen eine Kathete gleich
dem Umfang eines Zylinders ist, um den Zylinder (Abb. 26), so wird die
Beispiele-.
28
HypoteniiSe zu einer Schraubenlinie. Die beiden Endpunkte der Hypotenunc
liegen auf der nämlichen Mantellinie desZylinders.lhre vertikale Entfernung
wird die "Ganghöhe oder Steigung h" der Schraubenlinie genannt.
Der Winkel o: des Dreiecks wird zum Steigungswinkel o: der Schraube.
Er hängt mit dem Durchmesser d des Zylinders und der Ganghöhe durch
folgende Gleichung zusammen:
h
tg o: = dn"
Eine Schraube hat einen mittleren DurchmeSBer von 100 mm. Die
Steigung beträgt lO·n. Wie groß ist der Steigungswinkel?
Ergebnis: 5°43'.
A
Vber Projektionen.
18. Pr o j e k t i o n e i n er
Strecke (Abb. 27). Fällt man
,./
von den Endpunkten einer
Strecke A B Lote A A 1 , B B 1 auf
eine Ebene, so nennt man die
Strecke A 1 B 1 die Projektion
Abb. 27.
der Strecke AB auf die Ebene.
Der Winkel « zwischen der Raumstrecke und ihrer Projektion
wird der Neigungswinkel « der Geraden gegen die Ebene genannt. A B läßt sich leicht
aus AB und « berechnen.
Aus der Abbildung folgt :
BC =AB· cos «, da aber
BC = A B ist, so ist
A' B' ==AB· cos a,
d. h. d i e Pro j e k t i o n
(A'B') ist gleich der
wahren Länge (AB) der
Strecke multipliziert
mit dem Kosinus des
Neigungswinkels gegen die Projektionsebene. Da cos « stets
Abb. 28.
kleiner als 1 ist, ist die
Projektion kürzer als die Raumstrecke. Was wird aus der Gleichung für « = oo 1 « = 900 1 « = ooo !
1
1
1
1
19. Eine 12 cm lange Strecke ist gegen die Projektionsebene unter
einem Winkel o: = 50° geneigt; wie lang ist ihre Projektion! (7,71 om.)
29
Projektionen.
20. Eine Strecke von 20 cm Länge hat eine Projektion von 15 cm
bzw. 10 cm, 5 cm Länge. Wie groß ist in jedem Falle der Neigungswinkel
gegen die Projektionsebene?
Ergebnisse: 41 025', 60o, 75°32'.
21. Projektion einer beliebigen ebenen Figur. Wir
berechnen zunächst die Projektion eines Trapezes, dessen
Grundlinien a und b (Abb. 28) zur Projektionsebene parallel sind.
Dem Abstande h der beiden Parallelen a und b des räumlichen
Trapezes entspricht in der Projektion der Abstand h'. a und b
werden in der Projektion nicht verkürzt, und h' steht senkrecht
auf den Projektionen von a und b. Der Winkel zwischen h und h'
ist der Neigungswinkel a. des Trapezes gegen die Projektionsebene.
Nun ist
a+b
F = Inhalt des Trapezes = - 2-- • h ,
F' = hilialt der Projektion = a ~ b • h',
h' = h • cos a., somit ist
a+b
F' = 2 -·h·oosa.=F·cosa., also
F' =F·cosot.
Soll die Projektion einer beliebigen ebenen Figur berechnet
werden, so denkt man sich die Figur durch parallel zur Projektionsebene geführte Schnitte in eine außerordentlich große Zahl sehr kleiner Flächen. _fi
streifen von Trapezform zerlegt (Abb. 29).
Jz
Alle diese Flächen 11 , 12 , ls ... haben die
nämliche Neigung gegen die Projektionsebene. Somit gelten die Gleichungen:
Ii = / 1 • cos a.
/2 = 12 • cos ot
/8 =
/i
Abb. 211.
/s · cos a.
daher ist
+ /2 + /3 + .-.-.--~(l::-1 -:-+-1~1 + Ia + · · ·) cos a.
oder
I!,, = F cos a, d. h.
der Inhalt der Projektion einer beliebigen ebenen
Figur ist gleich dem Inhalt der Raumfigur, multipliziert mit dem Kosinus des Neigungswinkels gegen die
Projektionsebene.
30
Beispiele.
22. Ein Sechseck von 40 cm 1 Inhalt ist gegen eine Ebene um 25° geneigt. Wie groß ist die Projektion 1 Ergebnis: 36,25 cm 2 •
28. Die Projektion eines Kreises vom Halbmesser a ist eine Ellipse
mit den Achsen 2a und 2b. Die Achsen sind die Projektionenzweier aufeinander senkrecht stehender Kreisdurohmesser, von denen der eine zur
Projektionsebene parallel ist. Wie groß ist oos cx 1 Leite aus der Inhaltsformel a 2 n des Kreises die Inhaltsformel J = ab n der Ellipse ab.
24. Eine Ellipse mit den Halbachsen 8 und 5 cm sei die Projektion
eines Kreises. Der Halbmesser des Kreises, der Neigungswinkel der Kreisebene gegen die Projektionsebene, der Inhalt des Kreises sind zu bestimmen.
Ergebnisse: r = 8 cm, cx =51 °20', J = 201,06 cm 2 •
25. Ein gerader Kreiszylinder habe einen Durohmesser von 50 mm.
Er wird von einer Ebene geschnitten, die mit der Grundfläche einen Winkel
von 30° bzw. 50°, 60° einschließt. Der Inhalt jedes einzelnen Querschnitts
ist zu bestimmen.
Ergebnisse: 2267 mm1, 3055, 3927.
28. Ein Dach hat als Grundriß die
Abb. 30. Die Dachflächen schließen
mit der Horizontalebene den nämlichen Winkel cx = 40° ein. Wie viele
m 1 enthilt die Dachfläche 1
Ergebnis: Oberfläche = 308,1 m 2 •
27, Zeige, daß die Grundfläche
eines geraden Kreiskegels gleich ist
dem Produkt aus der Mantelfläche und
Abb. so.
dem Kosinus des Winkels zwischen
einer Mantellinie und der Grundfläche.
28. Von einem Winkel ab= ot liegt der Schenkel a in der Projektionsebene. Die Ebene ab schfulßt mit der Projektiollllebene den Winkel f11 ein.
Berechne den Winkel cx' zwischen a und der Projektion b' von b (tg ot' =
tg ot•cos rp).
Zusammense•ung und Zerlegung von Kräften.
29. Man veranschaulicht eirle Kraft zeichnerisch durch eine Strecke,
deren Richtung mit der Kraftrichtung übereinstimmt und deren Länge der
Größe der Kraft proportional ist. Sollen z. B. zwei
Krä.fteP1 = 80 kg undP1 =50 kg durch Strecken
dargestellt werden, so wird man etwa eine Kraft
von 10 kg durch eine Strecke von 1 cm Länge
veranschaulichen. P1 wird dann durch 8 cm, P 1
durch 5 om gemessen (Abb. 31). Die ResultieAbb. 81.
rendeR zweierKräfte, die auf den gleichen
Punkt wirken, geht durch den Angriffs.
punkt der beiden Kräfte P 1 und Pa und wird in Größe und
Richtung durch die Eckenlinie des aus P 1 und Pa gebildeten
Kräfteparallelogramms dargestellt.
31
K.rli.ftezerlegung.
Ist umgekehrt eine Kraft R nach zwei vorgeschriebenen Richtungen
in Einzelkräfte (Komponenten) zu zerlegen, so bildet man ein Parallelogramm mitR als Eckenlinie, dessen Seiten die vorgeschriebenen Richtungen
besitzen. Älle fol,genden Beispiele sollen sowohl durch Zeichnung als durch
Rechnung gelöst werden. Über die Konstrukti:.ln eines Winkels siehe § 3,
BeispielS und § 6, Beispiel 40.
Auf einen materiellen Punkt wirken zwei aufeinander senkrecht
stehende Kräfte P 1 und P 2 • Bestimme die Resultierende R, sowie den
Winkel RP1 = ct (Abb. 31) für
a) P 1 = 80
b) 50
c) 144
d) 15 kg
100
40
P 1 =50
50 "
175,3
Ergebnisse: R = 94,34
64,03
52,2"
ot = 320
38°40'
73°18'.
34°46'5
80. Die Kraft R soll in zwei aufeinander senkr~cht stehende Komponenten P 1 undP1 zerlegt werden, deren Richtung gegeben ist.
a) R = 100
b) 80
c) 1420
d) 56 kg
<}::: RP1 = oc = 500
440
20o
720
Ergebnisse: P1 = 64,28
57,54
1334
17,3 kg
P1 = 76,60
55,ö8
485,6
53,3 "
81, Auf einen Punkt wirken zwei gleich große Kräfte P; sie
schließen miteinander einen Winkel oc ein. (Zeichnung!) Zeige, daß die
Resultierende gegeben ist durch R = 2 P • cos ~ .
Für P =
oc = 148°40' wird R = 108 kg
= 50°
" R = 1813
"
oc = 104°
" R = 61,57 "
200 kg;
" P = 1000 "
"
P=
ct
50 "
p
/
Abb.32.
~
Abb. 83.
82. Eine Kraft R soll in zwei gleiche Komponenten P zerlegt werden,
die miteinander einen vorgeschriebenen Winkel IX einschließen.
Für R = 800 kg;
IX =
70° wird P = 488,3 kg
" R = 650 "
IX = 126°
" p = 716
88. Berechne für die in Abb. 32 gezeichnete Rolle den resultierenden
Zapfendruck R unter der Annahme P = Q = 100 kg für
d) 0°.
a) oc = 90°
b) 60°
c) 40°
200kg.
ErgebniBBe: R = 141,4
173,2
187,9
32
Beispiele.
84. An einem Träger, wie er in Abb. 33 gezeichnet ist, hängt eine Last
Q = 600 kg. b ist horizontal. Berechne die Spannungen P 1 und Pa in den
Stäben a und b für
a) (4 = 30°
b) 40°
c) 500
Ergebnisse: P 1 = 1200
933
783,2 kg
P 2 = 1039
715
503,5 "
85. In der Mitte eines Seiles, das mit seinen Endpunkten in gleicher
Höhe befestigt ist, hängt eine LastP = 80 kg. Wie groß sind die im Seile
auftretenden Spannungen, wenn die Seilstücke mit der horizontalen Richtung je einen Winkel a; = 40° einschließen? (62,23 kg.)
86. Die Gerade AB (Abb. 34) veranschauliche eine schiefe Ebene,
die gegen die horizontale Richtung AC unter einem Winkel a; geneigt ist.
Auf der Ebene liegt ein Körper vom Gewichte G. Die Reibung zwischen
-+--"
r
'
\
\
-+I
' '--j-.... /
I
Abb. 35.
Abb. M.
Körper und Ebene sei so klein, daß wir von ihr absehen können. Der Körper
erfährt von der schiefen Ebene her einen Normaldruck N; er bewegt sich
unter dem Einflusse dieser beiden Kräfte G und N mit einer Resultierenden
P längs der schiefen Ebene. Berechne N und P aus G und a;.
Ergebnis: N = G·cos a;; P = G·sin a;.
Für G = 200 kg und
a) a; = 10°
b) 30°
c) 50°
d) 70°
wirdP = 34,72
100
153,2
187,9 kg
N = 197
173,2
128,6
68,4 "
8?. In dem in Abb. 35 gezeichneten Kurbelgetriebe bedeutet l die
Länge der Schubstange, r die Länge des Kurbelhalbmessers. Zeige, daß der
Winkel {J mit dem Winkel a; in dem Zusammenhange steht:
• {J = Tsma;.
r .
sm
(1)
Berechne für verschiedene Winkel a; den zugehörigen Winkel {J für das
Verhältnis r:l = 1:5. Die Werte sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
{J
11°32'
Kurbelgetriebe.
33
Warum erreicht ß nach Gleichung (1) für IX = 900 den größten Wert?
Wie groß ist ß, wenn Schubstange und Kurbel aufeinander senkrecht
stehen~ ( lJO 19').
Für:<=- 0 befindet sich der PunktP in Q. Zeige, daß die Ver;;chlebung
x des Kreuzkopfes P berechnet werden kann aus
x = r (1- cosa) l ( l - cosß).
(2)
Berechne x für die oben gegebenen Winkel: die Kurbel habe eine Länge
von 300 mm und die Schubstange von 1500 mm1 •
+
z(mm)
330
Beachte, daß einer gleichmäßigen Zunahme von a keine gleichmäßige
Zunahme von x entspricht.
Die Gleichungen (1) und (2) gelten, wie wir später sehen werden, auch
für Winkel a > ooo.
Die Kolbenstange einer Dampfmaschine übertrage auf den Kreuzkopf
einen Druck P = 5000 kg (Abb. 36). Wir zerlegen P am Kreuzkopf in die
Schubstangenkraft S und den Normaldruck N auf die Gleitbahn. Am
anderen Ende der Schubstange wird S in den Tangentialkurbeldruck T
und den Radialdruck R zerlegt. Man berechne die Größen N, S, T und R
aus P, a, ß.
Ergebnisse: N = Ptgß
= 8-sinß;
R = S cos (cx
S
+
= cos
pß;
T = Ssin (cx
+ ß);
ß).
Für Leser, die den binomischen Lehrsatz kennen, sei .hier noch gezeigt, wie man x auch unmittelbar aus cx, ohne Kenntnis von ß berechnen
kann. Ersetzt man nämlich in (2) cos ß durch 1 - sin1 ß' oder da
1
sin ß =
~
sin a ist, durch
V
1- (
~ sin IX) 2 und
r
beachtet, daß dieser
Ausdruck mit sehr guter Annäherung durch 1 \verden kann, so findet man für x den Wert
X=
r (1- COS a)
+ ~ (; sina
Berechne einige Werte der Tabelle nach (3).
~ (~
r
sin oc) ersetzt
1
(3)
Beispiele.
34
5000
0
40°
ot+ß=90°
5099
5000
3414
0
3710
0
648
5042
1000
5099
0
Rechnungen am Kreise.
38. Berechnung der Sehnen; Bogenhöhen (Pfeilhöhen). Das Dreieck ABM in Abb. 37 ist gleichschenklig. Mist
der Mittelpunkt des Kreises. Es ist
:""',..---. 2ot , SOlll"t IS
. t die
'I
28 = BD = r•Sln
1
I
I
A ~'~~~-~~----~~' 8
Sehne S=2r·sin;.
(1)
Die Bogenhöhe GD = h =
MG- MD. Nun ist MG= r,
MD
M
r • cos ~ , somit ist die
Bogenhöhe h=r(l-cos ;). (2)
Abb. 37.
mittelbar aus
=
Der Zentriwinkel oc kann auch unund h berechnet werden; der Winkel GAB
8
= 21 ·-}:::. GM B = 4()(
(Umfangs- und Mittelpunktswinkel). Es
ist also:
(3)
Hieraus folgt:
8
=
()(
2hctg 4 .
{4)
In technischen Handbüc4ern findet man oft Tabellen, welche die
Sehnen und Bogenhöhen für Winkel von 0° bis 180° enthalten, und zwar
für den Einheitskreis, d. h. für einen Kreis, dessen Halbmesser die Längeneinheit ist. Der Zusammenhang dieser Tabellen mit den trigonometrischen
Tabellen ist aus den Gleichungen (1) und (2) leicht zu erkennen. Setzen
wir in diesen Gleichungen r = 1, so erhalten wir
81
= 2sin~
2
und h1 = 1 - cos ~
2 '
(5)
worin sich 8 1 und h1 auf den Einheitskreis beziehen. Durch Vergleichung
der }'ormeln (1) und (2) mit (5) erkennt man, daß sich die Sehneil und
Bogenhöhen eines beliebigen Kreises aus den entsprechenden Sehnen und
Bogenhöhen des Einheitskreises einfach durch Multiplikation mit r berechnen lassen: daß ferner jede Sinustabelle eine Sehnentabelle
und jede Kosinustabelle eine Tabelle der Bogenhöhe ersetzen
kann. So ist z. B.
35
Konstruktion eines Winkels.
für oc
oc
sin2
= 50°
= 51°
= 52°
0,4226
0,4305
0,4384
Sehne 81
• oc
2sm 2
I
0,8452
0,8610
0,8768
!
I
Bogenhöheh1
oc
cos 2
0,9063
0,9026
0,8988
1- cos!!-.
2
I
0,0937
0,0974
0,1012
I
i
39. Berechne für die Zentriwinkel oc = a) 22°, b) 46°50', c) 124°,
d) 161°44' die Sehnenlängen für Kreise mit den Halbmessern r = I
und r = 44cm.
Ergebnisse: a) 0,3816, 16,79 cm; b) 0,7948, 34,97 cm; c) 1,7658, 77,70 cm;
d) 1,9746, 86,88 cm.
40. Konstruktion eines Winkels mit Hilfe der Sehnen. Ein
Beispiel wird diese sehr praktische Konstruktion klar machen. Es soll
ein Winkel von 35° konstruiert werden. Die
zu diesem Winkel gehörige Sehne in einem
Kreise von 10 cm Halbmesser (Abb. 38) hat
·.
eine Länge von 6,014 cm. Das Weitere lehrt
die Abbildung. - Zeichne auf ähnliche Art die
~q-'0:>.>
Winkel 20°, 40°, 68°, 100040', 149° (Supple- A"'=-"";::::--.15-"-"---_..,...mentwinkel!). Ermittle umgekehrt die Größe
....::::::::::: ,..oO:>.> ~
eines beliebig gezeichneten Winkels. Vergleiche
-----1
die Konstruktion der Winkel mit Hilfe der
Abb. 38.
trigonometrischen Werte S. 3 und 13.
41. Berechne die Bogenhöhen für die Winkel und Halbmesser in
Aufg. 39.
Ergebnisse: a) 0,0184, 0,81 cm; b) 0,0824, 3,63 cm; c) 0,5305, 23,34 cm;
d) 0,8413, 37,02 cm.
42. Berechne den Mittelpunktswinkel oc aus demHalbmesserrund
der Sehllß 8 für
c) 48m
d) 40dm,
b) 45 cm
a = a) 20cm
r=
40"
250 "
28 "
30 "
l102'
83°38'.
Ergebnisse: 28° 57'
106°57'
43. Berechne den Mittelpunktswinkel oc aus dem Spannungsverhältnie (h:s) für
d) 1:10
e) 1:20.
b) 1:6
c) 1:8
h:8 = a) 1:5
22°52'.
56°8'
45°14'
Ergebnisse: 870 12'
73°44'
A
f' r-
44. Der Halbmesser eines Kreises kann aus 8 und h ohne Hilfe der
Trigonometrie berechnet werden. Aus dem rechtwinkligen Dreieck MBD
der Abb. 37 folgt: (r- h) 2
I'_,
Heß, Trigonometrie.
+ (;
r
=
r 2 ; hieraus findet man
~J2 + (::.)2
2
2h
s2
= 8/t
+ h2 •
3
36
Beispiele.
Regelmißige Vielecke.
Einem Kreise vom Halbmesserrist ein regelmäßiges n-Eck einbeschrieben. Berechne aus dem Halbmesser seine Seite 8 und seinen
Inhalt J.
Jedes regelmäßige n-Eck läßt sich in n-kongruente gleichschenklige
Dreiecke, mit dem Winkel 360 an der Spitze, zerlegen. Es wird
n
180°
r1
860°
(i;.
s=2:r·sln--,
n
J=n·-sln
-n- ·
2
46. Berechne die Seite und den Inhalt des regelmäßigen n-Ecks, das
einem Kreise mit demHalbmesserrum beschrieben werden kann.
180°
s=2r·tg--,
n
180°
J=n·r1 ·tg--.
n
47. Berechne aus der Seite 8 eines regelmäßigen n-Ecks seinen Inhalt J,
sowie den HalbmeBBer r des umbeschriebenen, den Halbmesser (! des einbeschriebenen Kreises.
s1
180°
J=n· -·etg - - ,
4
n
II
180°
Q=-·etg-.
180°'
2
n
2sln-n
48, Beispiele zu Aufgabe 45. Für r = 20 cm und
n = a.) 5
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
wird 8 =
23,51
20,0
15,3
12,36
10,35cm
J = 951,1
1039,2
1131,4
1175,6
1200cm1•
49. Beispiele zu .Aufgabe 46. Für r = 8 cm und
n = a.) 4
b) 5
c) 9
d) 10
e)
12
wird a =
16
11,62
5,82
5,2
4,29cm
J = 256
232,5
209,7
207,9
205,8 cm1•
60. Beispiele zu Aufgabe 47. Für a = 4 cm und
n = a) 3
b) 5
c) 12
d) 16
wird J =
6,93
27,53
179,1
321,7 cm•
r =
2,31
3,40
7,73
10,25 cm
(! =
1,16
2, 75
7,46
10,06 cm
öl. Der Inhalt eines regelmäßigen n-Ecks beträgt 60 cmz. Berechne
seine Seite 8 für n = 6, 8, 9, 10, 12. Man findet
B8 = 4,81,
88 = 3,525,
8 9 = 3,116,
a18 = 2,792, a11 = 2,315 cm.
&2. Berechnung von n. Man berechne aus dem Durchmesser d eines
Kreisss den Umfang des ein- und umbeschriebenen regelmäßigen 720-Ecks.
Nach den Aufgaben 45 und 46 wird
,._
U710
8
= 720 • d • sin 15'
u,.o = 720. d. tg 15'.
37
Vielecke.
Da die Tabellenwerte für diese Rechnungen zu ungenau sind, benutze
man die folgenden genp.ueren Angaben:
tg 15' = 0,00436335'.
sin 15' = 0,00436331,
Damit erhält man
U710 = 3,14158 d,
Ist u der Umfang des Kreises, so ist
U110
= 3,14161 d.
U11o < u < Uno·
Der Mittelwert der Zahlen 3,14158 und 3,14161 ist ungefähr gleich :Tt.
Man findet
11'=8,14169.
68. Berechne aus der Zähnezahl 0 und der Teilung t ( = Länge eines
Kettengliedes) einer GaUsehen Kette (Abb. ~9) den Durchmesser D des
Teilkreises.
Ergebnis: D
= .
;SO
smz
Man berechne D für t = 60 mm
und
c) 30
b) 20
0 = a) 10
574,0
383,5
194,2
D =
e) 80
3 = d) 35
1528m
D= 669,4
Abb. 39.
.Abb. 40.
54. n-Kugeln vom Durchmesser d werden auf einem Kreise mit dem
Durchmesser D so angeordnet, daß sie sich berühren (Abb. 40).
Berechne d aus D und n.
. 180
D ·SmErgebnis: d
=
. 1~0 •
1-smn
Für D = 20 cm und n = 40 wird d = 1, 7 cm.
Berechne d, wenn zwei aufeinanderfolgende Kugeln einen Abstand a
voneinander haben.
Beispiele.
38
oo, Zwei parallele Gerade haben die Entfernung a voneinander. Es soll
der Halbmesser des Kreises berechnet werden, der die beiden Geraden
unter dem Winkel"' bzw. ß schneidet, a) im Sinne der Abb. 41, b) im Sinne
der Abb. 42. (Unter dem Winkel zwischen Kreis und Gerade versteht man
den Winkel zwischen der Geraden und der Tangente des Kreises im Schnittpunkt.)
Leite aus Abb. 41 die Gleichung ab: a + e cos"' = !! cos ß, woraus folgt:
a
(}=cosß-COS<X
(mit ß ist der kleinere Winkel bezeichnet).
Was wird aus e für ß =IX?
Zahlenbeispiele:
ß=
l. IX = 30°,
ß=
2. IX = 30°,
ß=
3. IX = 90°,
ß=
4. IX = 60°,
20°,
10°,
30°,
30°,
\
a
a
a
a
lOcm.
10 "
10 "
= 10 "
=
Ergebnis:
=
=
= 135,7 c
84,2"
11,5"
(! =
e = 27,3"
(!
e=
:
Abb.U,
Abb. 42.
Konstruiere den Mittelpunkt des Kreises rein planimetrisch, ohne
Rücksicht auf den berechneten Wert e- Beweise, daß für Ahb. 42
a
COS ß
(! = COS IX
wird.
Für IX= 30°, ß = 34° und a = 10cm wird e = 5,9 cm
e = 5,77 "
" a: = 30°, ß = 30°
a = 10 "
"
56. Von zwei konzentrischen Kreisen mit
den Halbmessern R und r wird der kleinere
von einer Geraden unter dem Winkel IX geschnitten (Abh. 43). Vnter welchem Winkel ß
schneidet die Gerade den andern Kreis? Wie
lang ist das zwischen den Kreisen licw•ndc
Stück x?
Zeige, daß sich ß aus der Gleichung
r
cosß = R co~ x
+
39
Bogenmaß eines Winkels.
berechnen läßt. Warum folgt aus dieser Gleichung, daß
findet man, wenn ß bestimmt ist,
ß > oc
ist! Für
X
x = R sin ß - r sin oc.
Zahlenbeispiel: Für r = 5 cm, R = 10 cm, oc = 20° findet man
ß=61°58'; x=7,12cm.
Wie groß muß R sein, damit
ß=
Ergebnisse:
a) 40°
b) 60°
9,40cm
6,13 cm
c) 90° wird?
00,
Bogenmaß eines Winkels.
37. Ist r der Halbmesser eines Kreises, so gehört zum Mittelpunktswinkel oc 0 ein Kreisbogen b von der Länge
r:n
b = I so·· a.o ·
(l)
Dividiert man diese Gleichung durch r, so erhält man
b
·;: =
:n
Iso·a.o.
(2)
Man nennt diesen Quotienten das Bogenmaß des Winkels
und bezeichnet ihn mit Arcus a.0 , abgekürzt arc a. 0 oder auch
oc (Arcus heißt Bogen). Es ist also:
Bogen
b
o
~
:n
o
-----=-=arca
=a=--•a
Halbmesser
r
180 •
(3)
Das Bogenmaß ist als Quotient zweier Längen eine reine
Zahl. Es läßt sich in einfacher Weise
geometrisch veranschaulichen (Abb. 44).
Schlägt man nämlich um den Scheitel
eines Winkels a. 0 einen Kreis mit der
Längeneinheit als Halbmesser (den
1
Einheitskreis), so mißt der Bogen,
~""'~+---~
der zwischen den Schenkeln
Abb. 44.
liegt, das Bogenmaß des Winkels; denn für r = I erhält man rechts in Gleichung (1)
den Wert 1; 0 • a.0
Wir besitzen also zweierlei Maß zum Messen eines Winkels:
das Gradmaß und das Bogenmaß.
40
Beispiele.
Dem Gradmaß 36()0 entspricht das Bogenmaß 2n
,.
.,
1800
"
"
"
n
n
90°
.
.
.
600
"
2 n ist der Umfang des Einheitskreises.
Dem Buche ist am Schlusse eine Tabelle beigefügt, in der das Bogenmaß für alle Winkel von 0° bis 180° auf 5 Dezimalstellen angegeben ist.
Mit ihrer Hilfe gestalten sich die Umrechnungen von dem einen Maß in das
andere sehr einfach, wie aus den folgenden Beispielen zu ersehen ist.
&0 = 480 55'; ii = 1
ii = 1,84236; eto =!
aro 1050 = 1,83260
Rest = 0,00976
arc 480 = 0,83776
arc 33' = 0,00960
arc 55' = 0,01600
Rest = 0,00016
33'' = 0,00016
arc
ii = 0,85376
Rest ~--0-, somit ist
eto = 1050 33' 33" .
Berechne das Bogenmaß der Winkel
a) et0 = 350
b) 340 50'
c) 78° 42'
d) 1690 48' 28" •
Ergebnisse: ii = 0,6109
2,96371.
0,6079
1,3736
Berechne das Gradmaß or. 0 aus dem Bogenmaß
a) ii = 0,5706 b) ii = 0,9918 c) ii = 1,7153 d) ii = 3,9464
Ergebnisse: oc = 320 42'
eto = 560 50' eto = 980 17' a.o = 2260 7'
58. Für welchen Winkel ist das Bogenmaß gleich 1, d. h. für welchen
Mittelpunktswinkel ist der Bogen gleich dem Halbmesser? Nach (3) der
Aufgabe 57 ist
1 = _!!_ • oco, somit ist
180
180°
aO==67°, 2968 = (Q0).
7t
==
Man bezeichnet r/' = 180·60·60":n = 648000:n = 206265
mit einer besonderen Marke auf dem Rechenschieber.
= e"
69. sin ; ist gleichbedeutend mit sin 30°; es ist also sin : =
Prüfe die Richtigkeit der folgenden Gleichungen:
cos ; = 0;
sin ;
= 1;
tg ~ = 1; tg ; = oo;
oft
!.
41
Kleine Winkel. Kreisauasolmitt.
60. Kleine Winkel. Nach den Tabellen am Schlusse des Buches ist:
ocO
sin oc
tgoc
10
2D
3D
40
50
60
70 Ii
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
I
arcoc
I
= ~
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
Diese Zusammenstellung zeigt, daß die Werte sinoc, tgot,
arc oc für kleine Winkel nahezu übereinstimmen. Begnügt man
sich mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen, so kann man bis zu einem
Winkel von ungefähr 3°
sinoc = tgot = arcoc = ~
setzen. Bis zu einem Winkel von ao stiinmen die Werte auf 3 Dezimalstellen überein. Für Winkel unter 5°44' ist auf den Rechenschiebern
oft eine gemeinsame Teilung (Sund T) angegeben.
In Abb. 45 sind diese Verhältnisse am
Einheitskreis veranschaulicht. Beachte auch
Abb. 3. Je kleiner cx, desto weniger unter(
scheiden sich die drei den ein, tg, arc messenden Linien. Die Abbildung lehrt ferner,
/
I .· '
daß für alle Winkel zwischen 0 und 90°
I
sin oc < arc a; < tg oc.
Al ""~---->---'"'-Man vergleiche die oben gegebenen
Werte.
Kleine Winkel lassen sich auch leicht konstruieren mit HiHe eines
Kreises vom Halbmesser r = 180 :.n = ,..." 57,3 mm. Der Bogen, der
180 .1t
ZU ocO gehört, ist T ~ =
180 • oc 0 = oc 0, also gerade SO viele mm, Wie die
Zahl der Grade des Mittelpunktswinkels. Da sich die Sehne für kleine
Winkel nur wenig vom Bogen unterscheidet, erhält man die Sehne, indem
man ocO mm als ihre Länge ansieht. Zu 10° Mittelpunktswinkel gehört also
eine Sehne von 10 mm in dem Kreise vom Halbmesser 57,3 mm1 • Bei 20°
Mittelpunktswinkel ist der Bogen 20 mm, die Sehne 19,898 mm.
n •
Kreisausschnitt. Kreisabschnitt.
61. Bogenlänge. Kreisausschnitt (Sektor). Nach Gleichung (3) Aufgabe 57 ist
b = ·r ci,
(1)
1
Werkst.-Teohn. Jg. 13, H. 11, S. 173. 1919.
42
Beispiele
d. h. der Bogen b, der in einem Kreis mit dem Halbmesser r zum Mittelpunktswinkel ot 0 gehört, wird gefunden, indem man den Halbmesser mit dem Bogenmaß des Winkels multipliziert.
Der Inhalt J des Kreisausschnittes ist nach der Planimetrie
gleich dem halben Produkt aus Bogen und Halbmesser; da b = rot
ist, ist
(2)
62. Der Kreisabschnitt (Segment). Jeder Kreisabschnitt,
dessen Mittelpunktswinkel kleiner ist als 180°, ist die Differenz
eines Kreisausschnitts und eines Dreiecks. Beachte Abb. 37.
Der Inhalt des Ausschnittes AC BM ist nach Aufgabe 61
.
,.
gleich 2
gleich
durch
~
ot •
Der Inhalt des Dreiecks AB M ist nach Aufgabe 6
~ sin ot. Somit ist der Inhalt des Abschnittes gegeben
J
2
=':..
(a-sina).
(Inhalt eines Kreisabschnittes.)
Diese Formel gilt für jeden beliebigen Winkel cc. Damit wir uns im
folgenden nicht auf spitze Winkel beschränken müssen, möge man sich
merken, daß für stumpfe Winkel die Formel gilt:
sln a = sln (180- a).
Den Beweis hierfür geben wir in § 8. Es ist also z. B. sin l2ü 0 =
sin (ISO- 120°) = sin 60° = 0,8660. Wir können dadurch den Sinus eines
stumpfen Winkels durch den Sinus eines spitzen Winkels darstellen, nämlich durch den Sinus des Supplementwinkels.
63. Berechne aus dem Halbmesser r und dem Mittelpunktswinkel <X
die Bogenlänge b und den Inhalt J des Kreisausschnittes für
r = a) 40 cm
b) r = 4,6 m
c) r = 142m
<X =
50°
<X = 28°35'
<X = 108°56' 51".
Ergebnisse: a) 34,91 cm, 698,1 cm~; b) 2,295, 5,278; c) 270, 19171 m 2 •
64. Berechne aus b und r den Mittelpunktswinkel cc 0 für
b = a) 24cm
b) 50cm
c) 50m
d) 216m
, = 32 "
40 "
2Ö "
142 "
Ergebnisse: a) b:r = ii; daraus mit der Tabelle <X= 42°58',
b) 71°37',
c) 143°14',
d) 87°9'14".
60. Für die Angaben in Aufgabe 63 wird der !&halt des Kreisabschnittes
a)85,30cm 2
b)0,217m 9
c)9635m2,
43
Kreisabschnitt.
66. Von einem Kreisabschnitt kennt man die Sehne 8 und die Pfeilhöhe h; berechne den Mittelpunktswinkel cx, den Halbmesser r, den Bogen b
und den Inhalt J für
8 = a) 20 cm
b) 20
c) 20
d) 20
h=
5 "
4
3
2.
Ergebnisse: a) et = I06°I6'; r = 12,5; b = 23,I8; J = 69,90cm 2 •
b) cx = 87°12'; r = 14,5; b = 22,07; J = 54,99 "
c) cx = 66°48'; r = 18 1/ 1 ; b = 21,17; J = 40,72 "
d) cx= 45°16'; r=26;
b=20,54; J=26,92"
Beachte die Aufgaben 38 und 44.
67.Näherungsformeln für Bogenlängen und Kreisabschnitte.
Sind von einem Abschnitt h und 8 bekannt, so kann man den Bogen und
den Inhalt näherungsweise nach folgenden Formeln bestimmen; dabei
bedeutet s1 die Sehne, die zum halben Bogen gehört (Abb. 46)
881-8
Bogen b = ,...., - 3J1
2
= ,...., 3 8h oder genauer
81=ffi)~
2
h3
J 2 = ,...., 3 ah + 2.
J 1 liefert für Winkel cx < 50° Ergebnisse, die um weniger als I% vom
Inhalte abweichen; es entspricht dies - - - /
einem Verhältnis h:a = I:9.
Für
~
w~
größere Winkel sollte man J 1 nicht
~
~ _
.S
benutzen.
Bestimme b und J für die Angaben
Abb. 46.
der Aufgabe 66 nach den Nähernngsformeln und vergleiche die Ergebnisse tnit den angegebenen Werten.
Ith
68. Zwei Kreise mit den Halbme-ssern R nnd r (R > r) berühren sich
von außen. Unter welchem Winkel et schneiden sich die beiden äußern
Tangenten? ( sin
~ = ~ ~ ~) .
69. Einem Kreisausschnitt mit dem Halbmesser r und dem Mittelpunktswinkel a wird der größte Kreis einbeschriehcn;. berechne seinen
Halbmesser
x. (x = I+
r·sinsina:/2
cx/_!_)
·
70. Auf der gleichen Seite einer Geraden g liegen zwei Punkte A und B.
Der Punkt A habe von g die größere Entfernung als B. Verlängere die
Strecke AB bis zum Schnittpunkt C tnit g. Es sei AC= a; BC = b und
der spitze Winkel (AC, g) sei cx. Berechne die Halbmesser jener zwei Kreise,
die durch A und B gehen und g berühren. Beachte: die Tangente von C
an die Kreise hat dieLänge lfab· Ergebnis: (a + b =F 2fab·cosa:):2sina:.
71. Ein Kreis tnit dem Mittelpunkt M berührt eine Gerade g in A.
B sei ein beliebiger zweiter Punkt auf dem Kreisumfang, und es sei Winkel
AMB = a:. Fälle von B das Lot BC auf g. Beweise: AC= x = r·sin cx;
BC= y=2r·sin';.
44
Beispiele.
12. Berechne aus a und h die Länge der Wellenlinie (Abb. 47), die sich
aus zwei kongruenten Kreisboger. zusammensetzt. (Wellblech.)
a) Für a =12om, h = 4cm wird Z = 15,29cm
b) " a = 20 " h = 4 "
" l = 22,07 "
Berechne die Länge auch mit Hilfe der Näherungsformel in Aufgabe 67.
78. Es ist der Inhalt der in
-a;
Abb. 48 dargestellten Röhre von
kreisförmigem Querschnitt zu be·
rechnen. Die beiden äußersten ver·
tikalen Linien sind parallel; m ist
eine Symmetrielinie. Es seien gegeben
a, R, r, w (w =lichter Durchmesser
der Röhre).
Abb. 47.
Anleitung: Berechne
Abb. 48.
at;
sin ; =? Rauminhalt= Länge der Mittel-
linie mal Querschnitt = (R + r) oc.
Abb. 49.
w:n.
Abb, 60.
Füra=150cm; R=60cm; r=30cm; w=lOcmwird V=13,93dm8 •
74. Zwei geradlinige Eisenbahnlinien, die miteinander einen Winkel
at = 70° bilden, sollen durch einen Kreisbogen von 300 m Halbmesser verbunden werden (Abb. 49). Berechne die Länge der Kurve AOB; die Sehne
AB; die Bogenhöhe OD und die Strecke OE.
Ergebnisse: Kurve= 576 m; Sehne= 491,5 m;
Bogenhöhe = 127,9 m; OE= 223,0m.
7ö. InAbb. 50ista,R, r gegeben; berechnedie Länge der Kurve AB für
a) R = 4; r = 2; a = 5 cm
Ergebnis: 25,13 om
b) R = 5; r = 3; a = 6 "
"
31,28 "
Leite das allgemeine Ergebnis ab: Z = (R + r) (n + 2«). wenn r < a.
Berechnung von Flächenstücken.
76. Berechne den Inha.lt der gestrichelten Fläche (Abb. 51) a) aus r
und IX. b) aus t und IX.
I
Ergebnisse: J = rt- ~ (n- ii); t = r · ctg;; r = t. tg :
Für
"
"
"
a) r =
b) r =
c) t =
d) r =
10 cm; IX=
35 " IX =
30 " IX =
20 " t =
70° wird J = 46,8 cm•;
7,5 "
" J =
150°
" J = 201,7 "
54°
40 cm " IX= 53°8'
t = 14,28 cm
9,3S "
t=
r = 15,29 "
J = 357,1 cma.
Abb. 62.
77. In .Abb. 52 sind Ia und b parallel. Berechne aus den Angaben der
Abbildung (mm) die Länge der LinieABC sowie den Inhalt der gestrichelten
FlAche. Zeichne die Abbildung. Anleitung: cos ot =? ot =? usw.
J = 20,12 cm 1•
Ergebnisse: l = 10,29 cm.
78. Leite eine Inhaltsformel ab für den in Abb. 53 gezeichneten Quer•
schnitt durch ein Zementrohr.
Ergebnis: J = 2,3489
r•.
Abb. 68.
79. Von der in Abb. 54 gezeichneten Fliehe kennt man die Spannweite
a = 10m; die Pfeilhöhe p = 2m und die Wandstärke w = 0,8 m. Berechne
die FlAche F.
Beispiele.
46
Anleitung: Berechne
r, dann
et,
dann F nach w ·
(r + ; ) ii · =
9,314 m2 •
Für 8 = 4 m; w = 0,5 m; s:p = 6 wird F = 2,306 m 2 •
In Abb. 54a sind bekannt die Spannweite 8, die Pfeilhöhe p, die
Scheitelstärke h und die Stärke der Widerlager w. Der Inhalt der Fläche
ist zu berechnen. Es ist
--=- ,1\- l
---T-<~
j
L
Abb. 54a.
Beispiel:
8
= 4;
Ergebnisse:
et
= 1; h
Maßstab 1 :50.)
p = 1; w
J
=
=
lf2 (R2
ß-
r2 ii - a S).
Man berechnet:
I. et aus p und 8;
2. r aus 8 und et oder 8 und p;
3. y aus w und et; hieraus findet
man S;
4. x aus w und et; hieraus findet
man f und damit ß und R;
5. a wird gefunden aus R, r
und h.
0,5 m. (Zeichne die Abbildung im
= 106°16'; r = 2,5 m; R = 4,805 m;
a = 1,805 m; J = 3,51 m 2 •
ß = 71°16';
80. In einem Kreise vom Durchmesser d = 50 cm werden im Abstande
a = 30 cm zwei parallele gleich große Sehnen gezogen. Berechne den Inhalt und den Umfang der Fläche zwischen den beiden Sehnen und dem
Kreise.
Ergebnisse: u = 144,3 cm; J = 14,04 dm 2 •
81. Ein Rechteck ABOD hat die Seiten AB= b = 5 cm und BO =
a = 15 cm. Um die gegenüberliegenden Ecken A und 0 werden im Rechteck Viertelkreise mit dem Halbmesser b = 5 cm geschlagen. Man ziehe die
gemeinsame innere Tangente t. t berührt den Kreis um A in E und den
um 0 in Jl. Berechne die Länge der Linie BFED. Ergebnisse: t = 12,25 cm;
l = 15,88cm.
82. Ein Kreisring mit den Halbmessern R und r wird von einer Geraden g im Abstande a vom Mittelpunkt in zwei Stücke zerlegt. Berechne
den Inhalt der beiden Kreisringstücke, sowie die im Kreisringe liegenden
Abschnitte (x) der Geraden g für R = 30 cm; r = 20 cm; a = 15 cm.
Ergebnisse: J 1 = 462,0 cm 2 ; J 2 = 1109 em 2 ; x = 12,75 em.
83. Ein Rechteck hat die Seiten a = 20 cm, b = 8 cm. Um die Mittelpunkte der Seiten b werden durch Kreise von dem Halbmesser 5,8 cm
auf beiden Seiten des Rechtecks gewisse Flächenstücke abgeschnitten. Wie
groß ist die Restfläche ?
Ergebnis: J = 75,19 cm 2 •
Riemenlänge.
47
8·!1. Berechne aus b und er. den Umfang und den Inhalt des in Abb. 55
Kanalprofils.
Ergebnisse: u = 2b (cos er.+ Ci sin er.);
~ezeichneten
J = ; • b sin er. = bl (sin er. cos er.+ er. sin• er.).
85. Berechne ebenso Umfang und Inhalt des "Eiprofils" (Abb. 56)
aus r. Ergebnisse: er.= 36°52'; :r: = 0,5 r; u = 7.~930 r; Inhalt= A +
2 B + 0 = 4,594 r 2• Für r = 300 mm wiid J = 41,34 dml,
86. Berechnung der
Riemenlänge.
a) Offene Riemen
(Abb. 57). . Man berechne
aus den Halbmessern R
und r zweier Riemenschei·
ben und dem MittelpunktsAbb. 65.
abstand a die Länge L des
offenen Riemens.
L setzt sich zu$ammen aus zwei Tangenten t,
aus dem großen und kleinen umspannten Bogen B bzw. b.
L
=
2t +B + b.
(1)
Wir ziehen die Berührungshalbmesser und durch den Mittelpunkt des
kleinen Kreises eine Parallele zu einer Tangente. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den
Seiten a, R--r, t und dem
Winkel er.; es ist
R-r
.
stncr. = - - . {2)
a
Hieraus kann er. berechnet
werden.
Die Tangente t ist
t=acoscr.
ode;
t
=
ta'- (R- r)l.
{3)
Warum sind die Winkel
zwischen den vertikalen
Abb. 50.
Durchmessern und den Berührungshalbmcssern auch
gleich cr.?- Die Mittelpunktswinkel zu den Bogen B und b sind 180
und 180-2 er. 0 , oder in Bogenmaß n + 2 Ci und n- 2 Ci; somit ist
B
1
=
R(n
+ 21i)
und b = r(n- 2&).
+ 2 cr.O
(4)
Nach Weyrauch, R.: Hydraulisches Rechnen. 2. Auf!. S. 47. 1912.
Beispiele.
48
Der Riemen hat also die Unge
L = 2acoa ot + B(n + 2ii) + r(n- 2ot) oder
L= n(B + r) + 2ii(B- r) + 2acosot.
(5)
Beispiele:
a) FürB = 225mm;
r= 125mm;
a = 4 m findet man
L= 9,102m;
ot = 1°26'; sin ot darf
nach A'ufgabe 60
gleich a gesetzt
Abb. 67.
werden.
b) Für B = 40 cm; r = 20 cm; a = 5 m wird L = 11,900 m.
Ist ot sehr klein, so kann man in (5) ii = sin ot, und coa ot = 1 setzen,
und (5) nimmt die Form an:
B-r
L
= n(B +
r) + 2 · - - · (B-r)+ 2a • 1 oder
a
L
= n (B +
r) + 2 a + 2 ·
(B- r) 1
a
.
(6)
Berechne L nach dieser einfachen Näherungsfotmal für die beiden
gegebenen Beispiele und vergleiche die Ergebnisse mit den
gegebenen Werten. Beachte, daß
in (6) der Winkel ot nicht vorkommt.
b) Gekreuzte Riemen
(Abb. 58). Die Länge L ist
wieder gleich
f . - - - · - - a-- -- Abb.68.
L= 21 +B + b;
B+r
.
sma:=--·
a ,
t-fa1 -(B+r)1 oder t=acoaa:;
B = B (n + 2 ii) und b = r (n + 2 ii), somit ist
L = (n + 2ii)(B + r) + 2acosa:.
(7)
Auch für gekreuzte Riemen könnte man eine Näherungsformel ableiten.
L = n (B + r) + 2 a + 2 (B + r)•.
(8)
a
Berechne L für die oben gegebenen Beispiele nach (7) und zum Vergleiche auch nach (8). Es ist für a) L = 9,131 m, b) L = 11,960 m.
49
Kegelmantel.
Zeige, daß sich für verschiedene Riemenscheiben die Länge des gekreuzten Riemens nicht ändert, solange a den gleichen Wert hat und die
Summe der Halbmesser unverändert bleibt. (Stufenscheiben.)
87. Berechne den Inhalt der Abb. 57 für
b) R =
8 cm
c) R =
5 cm
a) R = 4 cm
r=2"
r= 6"
r= 3"
a = 12 "
a = R + r = 14 "
a = 20 "
J = 355 cm1
J = 214,2 cm1 •
Ergebnis: J = 104,4 cms
88. Abb. 59 stellt den Querschnitt durch einen Dampfkessel dar.
Gegeben: D = 1800 mm =innerer Durchmesser des Dampfkessels;
d = 800mm=Durchmesser des Flammrohres; h = 400 mm =Höhe des Dampfraumes. Berechne den Dampfraum- und
den Wasserraumquerschnitt (F1 und F 1 )
und bilde das Verhältnis F 1 :F1•
Ergebnisse: « = 1120 30';
F 1 = 0,421m1 ; F 1 =1,621m1 ;
F 1 :F1 = 1:3,85.
Abb.69.
Abb.GO.
89. Die Mantelfläche eines abgestumpften Kreiskegels wird in eine
Ebene ausgebreitet (Abb. 60). Man berechne aus den beiden Durchmessern
D und d und der Mantellinie m des Kegels die Größen y, «, p 1, p 2, s1, s1,
:.: und die Fläche F der abgewickelten Mantelfläche.
Für D = 1500 mm, d = 600 mm,
m = 1200 mm, wird
md
y= D-d=800mm,
D-d
«0 = - - - . 36QO = 1350,
2m
p1 = 494mm
s1 = 3696mm,
X= 459,2 "
PM= 1235 "
F = 3,958m1
Bt = 1478 "
50
Erklll.ru.ng der Funktionen beliebiger Winkel.
90. Durch die Endpunkte einer Strecke 8 = 10 cm werden zwei Kreisbogen a und b mit den Halbmessern r = 6 cm und R = 10 cm gelegt. Die zu
a und b gehörigen Mittelpunktswinkel seien beide kleiner als 1800, Berechne die zwischen den Bogen a und b liegende Fläche 1. wenn a und b
auf der gleichen, 2. wenn sie :ruf verschiedenen Seiten von 8 liegen. Ergebnisse: I. 9,82 cml; 2. 27,94 cm2.
§ 7. Erklärung der trigonometrischen Funktionen
beliebiger Winkel. Die Darstellung cler
Funktionswerte am Einheitskreis.
1. Das rechtwinklige Koordinatensystem.
Ehe wir erklären können, was man unter den trigonometrischen
Funktionen beliebiger Winkel zu verstehen hat, müssen wir uns
mit einem wichtigen Hilfsmittel der Mathematik, dem rechtwinkligen Koordinatensystem, vertraut machen. Wir ziehen
auf einem Blatt Papier
y
zwei aufeinander senk5
I
recht stehende gerade
1I
Linien, von denen wir
3 ----'~--;"?
die eine der Bequemlichkeit halber horizontal
e
wählen (s. Abb. 61). Wir
!I
1
nennen die horizontale
0
---+3--e+--_-+1-~-;,-e+---i3-+---J6---X Gerade die Ab sz is senachseoder X-Achse, die
·1
-z
vertikaledie Ordinaten-3
achse oder Y-Achse,
beide Achsen zusammen
lll
heißendieKoordina tenachsen; sie schneiden
Abb. 61.
sich im Nullpunkt oder
Koordinatenanfangspunkt 0. Der von 0 nach rechts gehende
Teil der X-Achse möge die positive, der nach links gehende die
negative Abszissenachse heißen. Die positive Ordinatenachse
geht von 0 nach oben, die negative nach unten.
Durch die Achsen wird die Ebene in vier Felder zerlegt, die
man Quadranten nennt und die wir im Sinne der Abbildung
als den I. bis IV. Quadranten unterscheiden. Dabei ist die Reihenfolge der Nummern so gewählt, daß die positive X-Achse, wenn
\
51
Das rechtwinklige Koordinatensystem.
sie um 0 im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigerdrehsinnes
einmal herumgedreht wird, der Reihe nach den I., li., III. und
IV. Quadranten überstreicht. Den Drehungssinn von der positiven X-Achse zur positiven Y-Achse nennen wir den positiven,
den entgegengesetzten den negativen. Der letzte stimmt also mit
dem Drehsinn des Uhrzeigers überein.
Auf beiden positiven Achsen tragen wir von 0 aus eine bestimmte Strecke als Einheitsstrecke ab, sie möge als Längeneinheit dienen zur Messung aller Strecken auf den Koordinatenachsen oder auf Geraden, die zu den Achsen parallel laufen.
Es sei nun P ein beliebig gewählter Punkt in einem der vier
Quadranten. Er möge von der Y-Achse den Abstand x, von der
X-Achse den Abstand y haben. Diese Abstände x und y eines
Punldes von den Koordinatenachsen, oder genauer gesagt, die
Maßzahlen, die diesen Strecken zukommen, nennt man die Koordinaten des Punktes P. Im besonderen heißt x die Abszisse,
y die Ordinate. Je nachdem der Punkt rechts oder links von
der Y-Achse liegt, rechnen wir seine Abszisse positiv oder negativ.
Für die Punkte oberhalb der X-Achse soll die Ordinate positiv,
für die unterhalb negativ gerechnet werden. In der folgenden
Tabelle sind die Vorzeichen der Koordinaten für die
vier Quadranten zusammengestellt.
Quadrant
I
Abszisse x
Ordinate y
+
+
II
+
III
IV
(1)
+
Nach Wahl eines Koordinatenkreuzes und einer Längeneinheit
entspricht jedem Zahlenpaar ein bestimmter Punkt des Blattes,
und umgekehrt, jedem Punkte des Blattes werden zwei Zahlengrößen, seine Koordinaten, zugeordnet. Man nennt den Punkt P
mit den Koordinaten x, y auch etwa den Bildpunkt des Zahlenpaares x, y.
2. Erklärung der trigonometrischen Funktionen für beliebige
Winkel.
Es sei <X in Abb. 62 ein beliebiger Winkel; einen Schenkel
nehmen wir der Einfachheit halber wieder horizontal an. Wir
wählen den Scheitel 0 zugleich zum Anfangspunkt eines Koordinatenkreuzes; die positive X-Achse falle mit dem horizontalen
HeB, Trigonometrie.
4
52
ErklArung der Funktionen beliebiger Winkel.
Schenkel zusammen. Je nachdem der zweite Schenkel des Winkels
durch den I., II., III. oder IV. Quadranten geht, sagt man, der
Winkel a. liege im I., II., III. oder IV. Quadranten.
Es sei nun P ein ganz belie~iger (von 0 verschiedener)
Punkt auf dem zweiten Schenkel; seine Koordinaten seien ~
und y, sein Abstand von 0 sei r; wir nennen r den Radius
von P und setzen fest, daß wirr immer positiv rechnen wollen.
Die im ersten Paragraphen gegebenen Erklärungen erweitern wir
nun wie folgt:
.
Ordinate
y
..y
p
sma = Radius = r'
I
Abszisse
x
lY
cosa = Radius = r'
I
(2)
I
Ordinate
--x
tg a = Abszisse
ctg a
Abb. G2.
=
y
x'
= Abllzlsse = ~.
Ordinate
y
Diese erweiterten Festsetzungen decken sich, solange IX kleiner
als 90° ist, genau mit den früher in § I gegebenen. Statt Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse sagen wir jetzt: Abszisse,
Ordinate, Radius. Ist aber IX größer als 90°, so sind die Begriffe
Kathete, Hypotenuse sinnlos, und die obigen Gleichungen (2)
sagen uns, was wir dann unter den trigonometrischen Funktionen
zu verstehen haben.
Da in den Gleichungen (2) Koordinaten vorkommen, haben
die Funktionen von jetzt an auch ein Vorzeichen, und
zwar hat, da wirr ja immer positiv rechnen,
der Sinus das Vorzeichen der Ordinate y,
der Kosinus das Vorzeichen der Abszisse ~.
Außerdem hat die Funktion Tangens immer das
gleiche Vorzeichen wie die Funktion Kotangens.
Aus den Gleichungen (2) ergibt sich mit Rücksicht auf die
Tabelle (l) die folgende Tabelle der Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen.
Quadrant
sin oc .
COS IX •
tgiX
ctg IX
•
I
I
.! +
.. , +
+
..
II
m
IV
+
-
-
-
+
+
-
+ I -
-
+
-
(3)
53
Veranschaulichung der Funktionen.
So ist z. B. ein 210° negativ; cos 280° positiv; tg 1000 negativ; ctg 2200
positiv usf.
1
1
2
1
oder da x2 + y2 = ,a
z
+
y
=
~
+
Ferner ist sin2 oc + cost oc = JL
,.
,.
,z
ist (und zwar auch dann, wenn x und y negative Vorzeichen haben), ist
sin 1 IX+ cos 2 oc = 1.
Man beweise ebenso, daß sämtliche Formeln, die wir im 4. Paragraphen für spitze Winkel nachgewiesen, auch für beliebige
Winkel Gültigkeit haben. In den Formeln auf S. 19 treten zum Teil
Quadratwurzeln auf. Man hat bei den Wurzeln immer das Vorzeichen so
zu wählen, daß die Funktion das aus Tabelle (3) ersichtliche Vorzeichen bekommt. So ist z. B. für einen Winkelot im zweiten Quadranten
sinoc =
+ fl- cos1 ot;
tg IX
cosoc = - fl- sin8 ot;
siniX
= - - - - .- usf.
fl- sm1 1X
3. Veranschaulichung der Funktionen durch Strecken
am Einheitskreis.
Wir kehren zu den Definitionsgleichungen (2) zurück. Die
Koordinaten x und y, die darin vorkommen, beziehen sich auf
einen Punkt P, der irgendwo auf dem zweiten beweglichen
Schenkel gewählt werden darf.. Die vier Verhältnisse y: r;
x: r; y: x und x: y behalten ihren Wert, wenn man den
Punkt P auf dem Schenkel wandern läßt, vorausgesetzt, daß der Winkel IX nicht verändert wird. Wir
wählen nun den Punkt P, wie früher, so, daß dio Nenner der
einzelnen Brüche gleich I werden; wir gewinnen dadurch ein einfaches Mittel zur Veranschaulichung der trigonometrischen
Funktionswerte durch Strecken. Wählen wir im besonderen
den Punkt P im Abstande r =I von 0, also auf dem Umfange
des Einheitskreises, so gehen die Gleichungen sin IX= y: r
und cos IX = x : r über in
(4)
sina=y und cosa=x,
d. h. Sinus und Kosinus eines beliebigen Winkels
stimmen mit den Koordinaten jenes Punktes überein,
in dem der bewegliche Strahl den Einheitskreis trifft,
vorausgesetzt natürlich, daß der erste Schenkel mit der Abszissenachse zusammenfällt. Siehe Abb. 63 und 64.
Auch die Werte tg IX und ctg IX lassen sich, wie früher, leicht
durch Strecken darstellen. Läßt man den Punkt P z. B. mit dem
Schnittpunkte 0 zusammenfallen, in dem der Schenkel die Tan-
••
54
Erklirung der Funktionen beliebiger Winkel.
gentein A trüft, so ist, weil OA =I, tgcx =AC. Die Koordinaten des Punktes F sind x = BF und y = BO = r = I, daher
ist ctg IX = x: y = BF. Wir haben also
tga=AC
und
etga=BF.
(5)
Diese beiden Gleichungen
bedürfen
noch einer Erklärung.
Ist nämlich der Winkel IX stumpf wie in
Abb. 64, so schneidet der bewegliche
Schenkel die vertikale Tangente rechts
nicht mehr. In diesem Falle wird der
Tangenswert nicht
von dem Schenkel,
Abb. 68
sondern von seiner
Rückverlängerung auf der Tangente in A abgeschnitten, denn
aus der Ähnlichkeit der Dreiecke in der Abbildung folgt:
sinr.t
AO
tg cx = - = OA =AC.
COStt
Ähnlich liegen die
Verhältnisse bei der
Funktion Tangens für
Winkel im III. Quadranten und bei der
Funktion Kotangens
·-t---'-__::..-....,__,..~---L--\.LL---:!:!+IX~ für Winkel im m.
und IV. Quadranten.
Wir können die Gleichungen (5) also dahin zusammenfassen:
Für jeden beliebiAbb. M.
gen Winkel cx werden die Werte tg cx und ctg cx durch die Abschnitte
AC und BF dargestellt; diese Abschnitte werden entweder von dem beweglichen Schenkel selbst oder von
+ !f
Verlauf der Funktionen.
55
seiner Rückverlängerung auf den in A und B gezogenen Ta-ngenten abgeschnitten. AC und BF bestimmen die
Werte tg oc und ctg oc auch dem Vorzeichen nach richtig. So
ist in Abb. 64 AC, weil nach unten gehend, negativ zu nehmen.
Die Gleichungen (4) und (5) und die dazu gehörigen Abbildungen möge sich der Lernende besonders gut einprägen; sie ersetzen die Gleichungen (2).
4. Verlauf der Funktionen.
Der Verlauf der trigonometrischen Funktionswerte läßt sich
an Hand der Gleichungen (4) und (5) und der Abb. 63 und 64
leicht verfolgen. Wenn der Winkel oc von 0° bis 360° wächst, d. h.
wenn wir den beweglichen Schenkel im positiven Sinne einmal
rings herum drehen, so ändern sich die Funktionswerte so, wie
die folgende Tabelle zeigt:
ot
cos ot
sin ot
oo
0
0-90°
nimmt zu
nimmt ab
90°
+I
0
90-180°
nimmt ab
180°
0
-1
0
180-270°
nimmt ab
nimmt zu
nimmt zu
270°
-1
0
270-360°
nimmt zu
nimmt zu
360°
0
+1
nimmt ab
I
+1
ctga;
tg ot
+oo
0
nimmt zu
nimmt ab
+oo
-
0
())
nimmt zu
+oo
-
())
nimmt zu
0
nimmt ab
+oo
())
nimmt ab
0
I nimmt.
I
+oo
ab
())
Wir erkennen hieraus:
Sinus und Kosinus sind (abgesehen von den Grenzwerten
0°, 90° ... ) stets echte Brüche.
Tangens und Kotangens können jeden belie bigcn
Zahlenwert annehmen.
Wächst der Winkel von oo bis 360°, so nimmt die Funktion
tg oc beständig zu. Für 90° nimmt tg oc zwei verschiedene Werte
an. Drehen wir nämlich in Abb. 63 den beweglichen Schenkel im
positiven Drehungssinn aus der Stellung 0 A in die Stellung 0 B
so wächst AC = tg oc nach oben über jedes endliche :J.Iaß hinaus.
56
Erklärung der Funktionen beliebiger Winkel.
und für oo• erreicht tg et den Grenzwert + oo (unendlich). Dreht
man dagegen in Abb. 64 den beweglichen Schenkel rückwirte
r-+-~-+--~~+-----~--~--~'~'
~--~~----~,4-------~-----4~~
_u~~~t;So·"
SinvskutW
a. •
3 • Cosinl/i$kld'Vt
Abb. 05,
in die Stellung 0 B, so wandert 0 auf der Tangente rechts nach
unten, und in der Grenzlage 90° wird jetzt A 0 = tg 900 = - oo.
\
\
\
\
i
Abb. 06.
1,$
1
-rl,.J
I
Für 90° ist also tg oc sowohl + oo als - oo. Das gleiche Verhalten
zeigt Tangens bei 270° und Kotangens bei 0° und 180°. Die Funk·
tion Kotangens nimmt bei wachsendem Winkel beständig ab.
57
Zurückführung auf spitze Winkel.
Der Verlauf der Funktionen wird in den Abb. 65 und 66 noch
durch Kurven veranschaulicht. Der Punkt A der Abb. 63 und 64
ist zum Anfangspunkt 0 eines Koordinatensystems gewählt
worden. Auf der Abszissenachse wurden in gleichen Abständen
die Bezeichnungen 0°, 90°, Isoo, 270°, 3600 angebracht und als
Ordinaten die zugehörigen Funktionswerte abgetragen, wie sie
aus dem links gezeichneten Einheitskreise leicht entnommen
werden können. Jeder Funktion entspricht eine besondere Kurve.
Greift man irgendeinen Punkt auf einer Kurve heraus,
so mißt seine Abszisse den Winkel, seine Ordinate den
zugehörigen Funktionswert. In den Kurvenstücken, die zur
Strecke 0° bis 90° gehören, wird man die früher erwähnten Kurven
(Abb. 4, 5 und 6) erkennen. Die Kurven sollten alle auf Millimeterpapier neu gezeichnet werden. Dabei lasse man auf der
Abszissenachse einem Winkelintervall von 20° eine Strecke von
I cm entsprechen, den Halbmesser des Einheitskreises wähle man
von der Länge 5 cm.
§ 8. Zurückführung der Funktionen beliebiger \Vinkel
auf die Funktionen spitzer \Vinkel.
Wir haben bis jetzt immer von Winkeln zwischen 0° und
3600 gesprochen. Es kann aber auch vorkommen, daß von Winkeln, die größer als 360° sind, die Rede sein muß. So kann z. B.
ein um eine Welle geschlungenes Seil wohl einen Winkel, der
größer als 360° ist, umspannen. Auch die trig. Funktionen solcher Winkel können vorkommen.
Wie man nun aus der Darstellung der Funktionen am Einheitskreis leicht erkennt (Gleichungen 4 und 5 des vorhergehenden Paragraphen), kehrt jede goniometrische Funktion des Winkels oc zu ihrem ursprünglichen Werte zurück, wenn der Winkel
um 3600 oder in Bogenmaß um 2 n zunimmt. Denn dreht man
den beweglichen Schenkel von ii:-gendeiner Stellung oc au~ im
positiven oder negativen Drehsinne ein- oder mehrmals rings
herum, so kommt er wieder in die Ausgangsstellung zurück, und
daher nehmen auch die Funktionen wieder die gleichen Werte an.
Somit gelten die Formeln:
sin (a n • 360°) = sin a; cos (a n · 360°) == cos a (1)
+
+
tg (cx
+ n · 3600) =
tgoc;
ctg (oc
+ n · 360°) =
ctg oc,
Zurückführung der Funktionen beliebiger auf die spitzer Winkel.
58
worin n eine beliebige positive oder negative ganze Zahl sein
kann. Man drückt dies auch so aus: Die goniometrischen Funktionen haben die Periode 360° (2;rr), womit eben nichts anderes
gesagt sein soll, als daß sich der Funktionswert nicht verändert,
wenn man den Winkel um 360° (2 ;rr) vergrößert.
Die Funktionen Tangens und Kotangens ändern sich aber
auch dann nicht, wenn man den Winkel nur um 180° oder Vielfache davon vergrößert. Aus dem vorhergehenden Paragraphen
ergibt sich ja, daß bei einer Drehung des beweglichen Schenkels
um 180° die gleichen den Tangens oder den Kotangens messen';
-
f;
·-t ----
,..,...-
I
8
r/ / '"'
~~~---------+----~~--~
Abb. 67.
den Strecken AC bzw. BF auf den bezüglichen Tangenten abgeschnitten werden. Es ist somit
tg (a +n ·180°) = tga; ctg (rc n ·180°) =ctga. (2)
Wir erkennen also:
Die Funktionen Sinus und Kosinus haben die Periode 360° (2;rr) und die Funktionen Tangens und Kotangens die Periode 180° (;<).
Hieraus folgt nun, daß man irgendeine Funktion eines Winkels,
der größer als 360° ist, immer darstellen kanndurch eine Funktion
eines Winkels, der in dem Gebiete von oo bis 3600 liegt, da man ja
ein beliebiges ganzes Vielfaches von 3600 subtrahieren kann.
Aus den Abb. 63 bis 66 ist ferner ersichtlich, daß jede Funktion, wenn wir vom Vorzeichen absehen, alle Zahlen-
+
Die beiden Zerlegungsarten.
59
werte, die sie überhaupt annehmen kann, schon durchläuft, wenn der Winkel alle Werte von 0° bis 90°
durchwandert. So nehmen die Funktionen sin ot und cos IX alle
Werte zwischen 0 und 1, tg IX und ctg IX alle Werte zwischen 0
und oo bereits im l. Quadranten an. - Unsere Aufgabe besteht
nun darin, zu zeigen, wie man die trig. Funktionen eines Winkels,
der größer als 90° ist, durch die Funktionen eines Winkels im
l. Quadranten darstellen kann. Hierzu dienen die Abb. 67 und 68.
~
DerGrundgedanke
bei der Ableitung
der folgenden Formeln ist der: Man
zerlegt den gegebenen Winkel x
in ein Vielfaches
von 90° plus oder
minus einen spitzen Winkel IX; also
in die Formen 900
± IX;
270°
180° ± IX;
± IX;
360°
Man stellt
die Funktionen des
Winkels x entsprechenddenGleichungen (4 und
5) in § 7 durch
Strecken am EinAbb. 68.
heitskreis dar und
vergleicht sie mit den Strecken, welche die Funktionen des.
spitzen Winkels IX veranschaulichen. Man erhält in den Abbildungen immer kongruente rechtwinklige Dreiecke -Wir unterscheiden die folgenden Formelgruppen:
I. Der Winkel wird zerlegt in 1800 ±IX; 360°- IX.
Aus der Abb. 67 lesen wir dann ohne weiteres ab:
l. sin (180°- a) =
sin a; denn E 1 D 1 =
ED
cos (18oo.- a) = - cosa; " OE1 =-OE
tg (180°- a) = - tga;
A 0 1 = -AC
ctg (180°- a) = - ctga; " BF1 = - BF
± IX.
60
Zurückführung der Funktionen beliebiger auf die spitzer Winkel.
2. sin (1800 + oc} = - sin oc; denn E 1D 1 = - E D
cos (1SOO + oc} = - cos«; " OE1 =-OE
tg (lSOO + ot) =
tg ot; " A 0 =
A0
ctg (180o + oc) =
ctg~;
" BF =
BF.
3. sin (3000- a) = sin (- a) = - sin a; denn E D 3 = - E D
cos(3600-a)=cos(-a)=
cosa;· " OE=
OE
tg (360o- a) = tg(- a) = - tga; " A01 = - AO
etg(3600-a)=etg(-a)= -ctga; " BF1 = -BF
II. Der Winkel wird zerlegt in eine der Formen
900 ± ot; 270° ± ot.
Aus der Abb. 68 ergibt sich:
4. sin (90°- a) = eosa; denn D1 E 1 =OE
eos (90°- a) = sin a; " OE1 = DE
tg (90°- a) = ctga; " A01 = BF
etg(90°-a)= tga; " BF1 =AO
5. sin (900 + oc) =
cos ot; .denn DsEa =
OE
cos (90° + ot} = - sinot; " OE 1 = -ED
tg (900 + oc) = - otg oc; " A01 = - BF
ctg (90o + ot) = - tg cc; " BF1 = - AO.
6. sin (270° - oc) = - oos ot; denn E,D 3 = - 0 E
oos (270°- cc} = - sin cc; " OE2 = - ED
tg(270D-oc)=
otgot; " A01 =
BF
ctg (270°- oc) =
tg oc; " BF1 =
AO
7. sin (270° + oc) = - oos oc; denn E1D, = -OE
cos (270° + oc) =
sin cx; " OE1
ED
tg (270° + oc) = - ctgoc; " A02 = - BF
ctg (270° + oc) = - tg oc; " BF2 = - AO.
Alle diese Formeln sollen auswendig gelernt werden. Das ist
nun nicht so schwierig, wie es den Anschein hat. Denn betrachten
wir alle Formeln, so erkennen wir, daß überall dort, wo in der
Zerlegung des Winkels ein gerades Vielfaches von 90° vorkommt (also 180°; 360° oder ein negativer Winkel), rechts genau
di~ gleiche Funktion vorhanden ist wie links. In allen Formeln
der Gruppe II dagegen steht rechts die Kofunktion der Funktion links.
Wir können daher alle Formeln in folgender Regel zusammen·
fassen:
Zahlenbeispiele zur Zerlegung.
61
a) Das Vorzeichen ergibt sich aus der Tabelle {3).
des § 7.
b) Abgesehen vom Vorzeichen ist jede
Funktion von J180°
und jede
~ cx] gleich der Funktion von cx;
lsooo-
cx
Funktion ven { 900 ± cx}gleioh der Kotunktion von cx.
270° ±Cl
Wie groß ist hiernach z. B. sin (180°- oc)? Der Winkel ist im zweiten
Quadranten, dort ist der Sinus positiv; wegen 180° bleibt die Funktion;
es ist also sin (180°- oc) = sin oc.
Oder: cos (180° oc) =! Der Winkel ist im dcitten Quadranten;
dort ist der Kosinus negativ; wegen 180° bleibt die Funktion; also
cos (180° + cx) = - cos oc.
Oder: tg (90° + oc) =! li. Quadrant; Tangens ist negativ; wegen
900 ist die Kofunktion zu setzen. tg (900 + cx) = - ctg oc.
+
Zusatz. Wir haben in den Formeln 1-7 vorausgesetzt, daß cx ein
spitzer Winkel sei; dies ist auch praktisch fast allein von Wichtigkeit.
Wie man aber Im Hand des Einheitskreises leicht nachweisen könnte,
gelten alle Formeln auch dann, wenn cx ein beliebiger (also
nicht nur ein spitzer) Winkel ist.
Beispiele.
Gegeben ein Winkel; gesucht ein trigonometrischer Wert dieses
Winkels.
sin 245010' = sin (180° + 65°10') = - sin 65°10' = - 0,9075
cos 312040' = cos (270° + 42040') = + sin 42°40' = + 0,6777
tg 136°30' = tg ( 900 + 46°30') = - ctg46°30' = - 0,9490
ctg 220050' = ctg(1800 + 40°50') =
ctg 40°50' = + 1,157
sin 190°40' = - 0,1851
sin (- 32°34') = - 0,5383
cos 218°40' = - 0,7808
cos (- 46018') = + 0,6909
tg 302010' = - 1,590
tg (- 38032') = - 0,7964
ctg (- 80040') = - 0,1644
ctg (- 38052') = - 0,6040
ein(- 160°) = - 0,3420
COS 218054' = - 0,7782
tg (- 218°) = - 0,7813
tg 352013' = - 0,1367
sin 164°38' = + 0,2650
ctg 167°35' = - 4,542
ein 2000° = - 0,3420
tg 1090° = 0,1763
COS 400° =
0,7660
ctg 600° = 0,5774
arc cx 0
arc cx 0
= 4;
= 17;
dann ist ein IX = - 0, 7568; cos IX = - 0,6536
tg IX =
3,495; ctg a: =
0,2861.
62
Zurückführung der Funktionen beliebiger auf die spitzer Winkel.
Gegeben ein trlgonometris~her Wert; gesucht der Winkel.
Zu einem gegebenen trig. Werte gehören im allgemeinen zwei verschiedene Winkel zwischen 0° und 360°, wie die folgenden Beispiele
zeigen sollen.
I. Beispiel: sin x = 0,5. x =?
Da sin x positiv ist, ka'nn x nur im I. oder II. Quadranten liegen
(Abb. 67). Der erste Winkel ist XI = 30°, der zweite Winkel x2 = 180
- 300 = 150°. Nur für diese zwei Winkel hat die Ordinate y im Einheitskreis die Länge 0,5.
2. Beispiel: cos x = - 0,7~60. x =?
Da cos x negativ ist, liegt der Winkel im II. oder III. Quadranten.
Ist cx der spitze Winkel, der zu dem Werte cos x = + 0,7660 gehört,
so ist, wie man aus Abb. 67 leicht erkennen kann,
Nun ist cx
x 1 = 180° - .x und -x2 = 180° + cx.
somit ist x 1 = 140° und x 2 = 220°.
= 400;
3. Beispiel: tg x = 1. x = 7
x liegt im I. oder III. Quadranten.
x1 = 45°;
x1 = 180° + 45°
=
225o.
Der zweite Winkel kann bei Tangens und Kotangens aue dem ersten
Winkel immer durch Addition der Periode 180° gefunden werden.
4. Beispiel: ctg x = - 2,145.
x =7
x liegt im II. oder IV. Quadranten. Ist cx der spitze Winkel, der zu dem
Werte ctg IX = + 2,145 gehört, s;> ist
x1 = 180° - ot;
x1 = 36oo- cx = x1 + Isoo.
Nun ist cx = 250, somit ist
X1
=
155°;
Xz
= 335°,
Aus diesen Beispielen erkennt man die folgende Regel:
Das Vorzeichen des trig. Wertes bestimmt die beiden Quadranten, in denen der Winkel liegt.
Liegt nun der zu bestimmende Winkel x
im
l '1
11
III.
IV.
Quadranten, so stellt
man ihn dar, als
! l
1800- cx
1800 cx
+
, worin
360°-cx
cx den spitzen Winkel bedeutet# dessen Funktionswert gleich dem
gegebenen, immer positiv genommenen trig. Werte ist.
Mit dieser Regel wird man in allen Fällen auskommen. Eine rasch
entworfene Skizze des Einheitskreises wird immer gute Dienste leisten.
Sofern der Winkel x im II. oder IV. Quadranten ist, müssen wir nach der
gegebenen Regel einen Winkel cx von 1808 bzw. 3600 subtrahieren;
die Subtraktion könnte unter allen Umständen vermieden werden, wenn
man auch hier die Kofunktionen verwenden würde.
Von der Funktion zum Winkel.
63
Für den zweiten Winkel x2 im ersten gegebenen Beispiel wäre die
Überlegung so:
x 2 = 90° +dem spitzen Winkel, dessen Kosinus gleich 0,5 ist, also
x2 = 90° + 60° = 150° (wie oben).
x1 im zweiten Beispiel könnte auch so bestimmt werden:
x1 = 90° +dem spitzen Winkel, dessen Sinus gleich 0,7660 ist, also
x1 = 900 + 50° = 140° (wie oben).
Für das vierte Beispiel wäre
x1 = 90° = dem spitzen Winkel, dessen Tangens gleich + 2,145 ist.
., + 2,145 ist.
.,
.,
x2 = 270° + .,
was zu den gleichen Winkeln xi = 155°, x2 = 335° führt.
Wenn man von einem Winkel x weiß, daß sin x positiv und cos x nega·
tiv ist, so ist der Winkel x eindeutig bestimmt, denn er kann nur im
II. Quadranten liegen. Ist cos x negativ und tg x positiv, so liegt der Win·
kel im III. Quadranten usw. Sobald also das Vorzeichen einer zweiten
Funktion des Winkels gegeben ist, läßt die Aufgabe nur eine Lösung zu.
Warum darf die zweite Funktion nicht die reziproke der ersten sein ?
Ist der zu bestimmende Winkel x ein Dreieckswinkel, so sind der
III. und IV. Quadrant von vornherein ausgeschlossen, da ja ein Dreiecks·
winkel immer kleiner als 1800 sein muß. Ein Dreieckswinkel ist durch
seinen Kosinus, Tangens oder Kotangens eindeutig bestimmt, während zu
seinem Sinus zwei Winkel zwischen 0° und 180° gehören. Der Sinus eines
Dreieckswinkels ist immer positiv.
Weitere Beispiele:
0,7364
Bin X=
COS X= - 0,6450
tg X= - },460
2,0000
ctg x =
sin X = - 0,3680
0,4000
cos x =
2,0000
tg X=
0,1284 und
sin ot =
tg ot = - 1,41
0,3000 .,
cos ot =
ctg ot = - 1,208
XI= 47025,5'
XI= 130°10'
XI= 124°24
x 1 = 26034'
XI= 201°36'
x1 = 66°25'
XI= 63°26'
cos ot ist negativ
sin ot ., positiv
tg ot ., negativ
sin ot ., positiv
X1 =
X1 =
Xa =
x2 =
X2 =
x2 =
Xz =
ot =
ot =
ot =
ot
=
132°34,5'
229°50'
304°24'
206034'
338°24'
- 66°25'
243°26'
172°37'
125°21'
287°27,5'
140°23'.
Gegeben ein Winkel; gesucht der Logarithmus einer trig. Funktion des Winkels und umgekehrt.
Beispieie:
log sin 153028' =log cos 63028' = 9,65003 - 10
log cos 168029'30" =log (- sin 78°29'30") = 9,99118,.- 10.
Das der Mantisse beigefügte n soll daran erinnern, daß der trig. Wert
negativ ist.
64:
Einige Anwendungen.
log tg 200° = log tg 20° = 9,56107 - 10
log ctg 350° 18' 40" = log (- tg 80° 18' 40") = 0, 76768,.
log Bin 124°28' 40" = 9,91611 - 10
log COB 164°38' 42" = 9,98421,. - 10
log tg 300034'28" = 0,22856,.
log Bin (- 56°) = 9,91857,. - 10
log tg (240°36') = 0,24913
}og COB (320°48') = 9,88927 - 10
log tg (- 40°38') = 9,93354,. - 10
logsinx=9,80104-10
x1 = 39013'56"
x1 =140°46'4"
log COB X= 9,90145,.- 10
x1 = 142°50'36"
x1 = 217°9'24"
log tg x = 0,70866,.
x1 = 101°4'
x1 = 281°4'·
log ctg x = 9,90304 - 10
x1 = 51 °20'37"
x2 = 231 °20'37"
:~;1 = 41 °20'36"
x1 = 138°39'24"
log sin x = 9,81992 - 10
log sin x = 9,97479 - 10
x1 = 70°40'
x1 = 109°20'
log COS X = 9,81402,. - 10 (Bin = +)
X = 130°40'
X= 263°55'
log tg X= 0,97234 (COB = -)
log ctg x = 9,98463,. - 10 (Bin = +)
x = 1330 59'12".
Im Altertum waren ausschließlich rechtwinklige Dreiecke Gegenstand
der Untersuchung. Die Verallgemeinerung der damals bekannten Funktionen auf Winkel zwischen 900 und 1800 wurde von den Arabern vorgenommen (Al-Battani (t 929, Damaskus]). Das Verhalten der einzelnen Funktionen in den verschiedenen Quadranten wurde von Leonh-ard
Euler (1707-1783) in seiner "Introductio" klar und übersichtlich entwickelt. Die Unterscheidung des Richtungs- und Drehungssinnes verdankt
man hauptsAchlich Möbius (1700-1868).
§ 9. Einige Anwendungen.
1. Einige Belspiele zur Wiederholung und Erweiterung des in f 8
besprochenen Stoffes.
1. Nach § 6, BeispielS ist der Inhalt eines Parallelogramms bzw.
Dreiecks gegeben durch J =ab siny bzw. J ~ 0,5·ab siny. Zeige, daß
diese Formeln auch noch gültig sind, wenn der von den Seiten a und b eingeschlossene Winkel y stumpf ist. - Berechne und zeichne die Dreiecke
mit den Seiten a = 8, b = 6 cm und den Winkeln y = 30°; 60°; 90°;
120°; 150°. Zeichne alle Dreiecke über der gleichen Grundlinie a.
2. Zeige, daß die Gleichungen 1, 2 und 3 in Beispiel37, § 6 (Kurbelgetriebe) auch für Winkel a; größer als 90° Gültigkeit haben. Füllre die
dort berechnete Tabelle für die Verschiebung x des Kreuzkopfes weiter
bis zu 180°. Trage in einem Koordinatensystem als Abszisse den Winkel a;,
als Ordinate die zugehörige Verschiebung x auf.
8, Zeige, daß die Formeln
s=2r·sin;; h=r(1-cos;);
J=~(&-sina:),
Berechnung von Kreisstücken.
65
die wir in § 6, Beispiele 38 und 62 abgeleitet haben, für alle Winkel zwischen
0° und 3600 Gültigkeit haben. Setze im besondern in die Formeln die Werte
ein cx = 180°, 2700, 3600. Besondere Aufmerksamkeit verdient die dritte
der obigen Formeln für Winkel cx, die größer als 180° sind. Welches ist die
Bedeutung der einzelnen Glieder
,..
2 · ii
und
,.. sin cx T
2
4. Die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes mißt 15 cm, die beiden
Parallelen a und b haben die Längen a = 11,2 cm und b = 4,8 cm. (Zeichne
das Trapez.) Von der Trapezfläche werden zwei Kreisabschnitte weggenommen, die beide kleiner als ein Halbkreis sind, und zwar ein Abschnitt mit
der Sehne a und dem Halbmesser R = 6,5 cm und ein Abschnitt mit der
Sehne b und dem Halbmesser r = 3 cm. Berechne den Inhalt der Restfläche
des Trapezes. (Ergebnis: J = 90,59 cm 2.)
5. Die Mittelpunkte zweierKreise von gleichem Halbmesser r haben
voneinander die Entfernung a (a < 2 r). Berechne 1. den Inhalt J 1 des
Flächenstückes, das beide Kreise gemeinsam haben; 2. den Inhalt J 1 eines
der beiden nicht gemeinsamen sicheiförmigen Flächenstücke. 3. BerechneJ1
für a = 0,1 d; 0,2 d; ..•. bis a = 0,9 d (d =Durchmesser eines Kreises).
4. Bestimme den Abstand a, für den der eine Kreis gerade die Hälfte, oder
ein Drittel usw. des andern überdeckt.
Ergebnisse: Die zwei Halbmesser eines Kreises, die nach den beiden
Schnittpunkten der Kreise gehen, mögen miteinander den Winkel cx einschließen. cx kann berechnet werden aus cos ~ =a:2r=a:d. Es ist
dann:
1. J 1 = rl(ii- sin cx).
2. J 2 = r 2 (n- ii + sincx).
3. Für a = 0,1 d
0,2d
0,4d
0,3d
0,5d
2,347
wird J 1 = 2,743 r 1
1,228
1,960
1,585
Für a= 0,6d
----wird J 1
= 0,895
0,7 d
0,8d
0,591
0,327
I
I
I
I
I 0,9d
I 0,117 ,..
4. Zur Lösung der vierten Aufgabe bedient man sich zweckmäßig
des Millimeterpapiers. Man trage auf einer Abzissenachse die Werte
a = 0,1 d; 0,2 d; . . . . . . 0,9 d ab und errichte als Ordinaten die zugehörigen Werte J 1 • Einem Intervall 0,1 d möge eine Strecke von 2 cm,
<linem Intervall 0,1 r 2 eine Strecke von 0,5 cm entsprechen. Überdeckt
nun der eine Kreis gerade die Hälfte des andern, so ist
J1 =
r~n = r2 (ii- sin cx) = 1,5708 r1 .
Aus der Abbildung wird man finden, daß zu diesem Werte J 1 der Wert
a = 0,404 d gehört, oder der Winkel cx = 132020'. Wir haben auf diese
Weise die Lösung der Gleichung
gefunden.
"
-
.
2=ot-BlniX
Einige Anwendungen.
66
6. In der Abb. 69 ist 0 der Mittelpunkt eines Kreises, 0 1 ein beliebiger
Punkt im Innern des Kreises. Berechne die Fläche A01B aus 001 = a;
OB= R und dem Winkel A01 B = oc. - Ziehe OC
parallel 0 1B; dann ist die Fläche
F = A usschnittAOC- AusschnittBOG- DreieckOB01,
oder
( 1)
Abb.69.
Der Winkel y folgt aus dem Dreieck OB01
.
a .
smy = R •Smot.
(2)
Ferner ist
(3)
tp=ot-y.
e=
Beweise:
01 B =
fR
2 -
a2
sin1
ot- acosot.
Um den Mittelpunkt 0 1 drehe ein Aus·
schnitt mit dem konstanten Mittelpunktswinkel ß0 (Abb. 70). Außerdem sei um 0 1
ein Kreis geschlagen (r), der den großen
Kreis in A berührt. Es soll die Fläche
87 B 1 B 20 10 1 für jenen Winkel oc berechne~
werden, der zur Halbierungslinie des Winkels
ß0 gehört. ß sei ein bestimmter ganzzahliger
Teil von 36oo.
ß0=360°:n oder P=2n:n
der Stellung 0 1 B1 entsprechen die Winkel
n
ot +
tpz; Yz•
A
n;
Abb. 70.
der Stellung 0 1 B 1 entsprechen die Winkel tX- ~; q.> 1 ; y 1 •
n
Dann ist die Fläche F nach (1) offenbar gleich
F = (R2 - r 2 ) •
:
-
~~ (j/2 -
j/1 ) - a2R (sin q.>z- sin q.>1 ).
(4)
Nach (2) und (3) ist
. Ya =
Bin
IPt
a sm
. ( tX0 + ----;180°) und BlD
. 1'1
R
180°
= tXo + --Yz
n
und
11'1
180°)
a • sm
. ( tX0 - n
R
=
=
oto -
180°
n
- - - Yt·
Für R = 100 cm; r = 80 cm; a = 20 cm; a:R = 0,2; n = 18, also ß0 = 20°
sind die Werte von Finder folgenden Tabelle für einige Winkel berechnet.
<X= 0°
F = 2,3
20°
29,5
40°
112,7
600
251,6
soo
445,8
100°
682,3
1200
936,6
140°
1168
160°
1332
180°
1391
67
Rewltierende mehrerer Kräfte.
7. Beweise: Sind cx, ß, y die drei Winkel eines Dreiecks, so ist
sin(cx + ß) = siny
cos(cx + ß) = - cosy
tg(cx + ß) = - tgy
.
cx+ß
y
cx+ß
.
Y
sm - 2- =cos 2
cos - 2 = sm 2
tg cx+ß
- 2- =ctg 2Y .
2. Berechnung der Resnltlerenden mehrerer KriUte. Vektoren.
Es mögen auf einen materiellen Punkt 0 mehrere in der gleichen Ebene
liegende Kräfte P 1, P 2 , P 1 • • • • wirken; es soll die Resultierende R der
Kräfte sowohl der Größe als der Richtung nach bestimmt werden.
Die Lösung dieser Aufgabe kann entweder durch Rechnung oder durch
Zeichnung geschehen.
a) Rechnerische Lösung. Wir denken uns in der Ebene der Kräfte
ein Koordinatensystem gezeichnet, dessen Anfangspunkt mit 0 zusammenfällt (Abb. 71). Die x-Achse mag
in irgendwelcher Richtung gewählt
werden. Die einzelnen Kräfte P 1 ,
P 2, P 1 •••• mögen mit der positiven x-Achse die Winkel cxv cx1,
cx8 •••• einschließen. Unter cx ist
dabei jedesmal der Winkel zu verstehen, um den man die positive
x-Achse im positiven Drehungssinn drehen muß, bis sie mit
der Kraftrichtung zusammenfällt.
oc kann also einen Winkel von
0-360° bedeuten.
Wir zerlegen jede einzelne Kraft P nach den Rich·
Abb. 71.
tungen der Koordinatenachsen in
zwei Komponenten X und Y welche man, wie man aus der Abbildung
leicht ersehen kann, stets durch die Gleichungen
X= Pcosoc
Y = Psinoc
(1)
berechnen kann. Geht P z. B. durch den dritten Quadranten, so ist sowohl
X als Y negativ.
Alle in der x-Achse wirkenden Kräfte setzen wir zu einer Resultierenden
R~, alle in der y-Achse wirkenden zu einer Resultierenden R. zusammen.
Es ist
R~ = .X1 + .X1 + X 1 + · · · = P 1 c?s cx1 + P1 c?s «1 + P 8 c~s cx1
2)
R. = Y1 + Y1 + Y8 + ·· · = P 1 stncx1 +P1 smcx1 +Pa smcx1 + •••
Die ResultierendeR aus R~ und R. ist die gesuchte Resultierende der
Kräfte P 1, P 1 , P 1 •••• und zwar ist, daR~ und R. aufeinander senkrecht
stehen,
,~--,..---;:;;
+ •·• (
R=JR!+R:.
(3)
R schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel oc ein, der sich aus
der Gleichung
R
tg « = R:
(4)
bestimmen läßt. Damit ist die Aufgabe gelöst.
HeD, Ttlgonometrle
5
68
Einige Anwendungen.
Halten sich die Kräfte das Gleichgewicht, so ist die Resultierende
R = 0; nach Gleichung (3) ist dann sowohl Rr als Ry gleich 0, d. h. wenn
sich mehrere in einer Ebene wirkende Kräfte das Gleichgewicht halten, so müssen (nach Gleichung 2) die Komponentensummen nach irgend zwei zueinander senkrecht stehenden
Achsen verschwinden.
Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, daß die Kräfte auf den gleichen
Punkt 0 wirken. Die Resultierende geht dann ebenfalls durch 0. Wirken
+!f
t ----r
+!I
~_i]
I
I
I
_ZJ
r
I
I
-
I
-----+
I
------
X
"
I
I
X
I
+X
I
I
I
-+x
p
<%
Abb. 7S.
Abb. 72.
die Kräfte P nicht auf den gleichen Punkt, so kann man die Größe und
Richtung der Resultierenden genau nach der gleichen Methode bestimmen.
Unter dem Winkel ot ist da.nn der Winkel zu verstehen, unter dem man
eine durch den Angriffspunkt der Kraft gehende Parallele zur positiven
x-Achse drehen muß, bis sie mit der Kraftrichtung zusammenfällt. (Siehe
die Abb. 72 und 73). Die Abbildungen zeigen auch, daß gleichgroße und
gleichgerichtete Kräfte gleiche Projektionen auf die x- bzw. y-Achse liefern.
R:f
/
"/
/
P.
/
/
/
/
2
Abb. 7,.
Wirken die Kräfte nicht auf den gleichen Punkt 0, so muß noch die
Lage der Resultierenden bestimmt werden. Dazu benutzt man nooh der
Mechanik den Satz, daß das statische Moment der Resultierenden gleich
ist der algebraischen Summe der statischen Momer..te der Einzelkräfte,
bezogen auf einen beliebigen Momentenpunkt. Wir gehen hier auf diese
Dinge nicht ein.
69
Kräftevieleck.
b) Graphische Lösung. In Abb. 74 sind links drei Kräfte P 1, P 1 , Pa
der Größe und Richtung nach veranschaulicht. Man erhält ihre ResultierendeR, indem man, irgendwo beginnend, die Strecken zu einem Linien·
zug zusammensetzt, wie es rechts in der Abbildung geschehen ist. Die
Seiten des Vielecks (rechts) sind gleich und gleich gerichtet wie die Kräfte
links und alle Pfeilspitzen sind im gleichen Umfahrung88inn geordnet.
Die StreckeR, die vom Anfangspunkt des Vielecks nach dessen Endpunkt gezogen werden kann, gibt die Größe und Richtung der Resultieren·
den. Das Vieleck nennt man auch das Kräftevieleck und R heißt die:,
Schlußlinie des Kräftevielecks. Der Pfeil von R ist immer dem Umfahrungssinne der ü.brigen Vieleckseiten entgegengesetzt. R ist unabhängig von der Reihenfolge, in der man die Einzelkräfte P 1 P 2, P 3 zusammensetzt, d. h, vom gleichen Anfangspunkt aus kann man verschiedene
Vielecke mit den SeitenP1, P 1, P• bilden, man kommt immer zum gleichen
Endpunkt.
Sind mehr als drei Kräfte zusammenzusetzen, so verfAhrt man genau
auf die gleiche Weise.
In den Abb. 75 und 76 sind zwei Kräftevielecke gezeichnet. Projiziert
man ein solches Vieleck auf irgendeine gerade Linie, z. B. auf die hori-
1
9---;;--1--X,.x4 .x.~--=.,.-~
o--.Xf -i
,.
~xs--o
li't;<Uet
Abb. 76.
Abb. 78.
zontale Gerade der Abbildungen, so erkennt man leicht, daß die Projektion der Resultierenden gleich ist der algebraischen Summe
der Projektionen der einzelnen Kräfte. Die horizontale Gerade
möge man sich mit einem Pfeil behaftet denken, der dem Durohlaufungssinn von links nach rechts entspricht.
Ist R = 0, dann ist das Kräftevieleck geschlossen und die
Projektion des Vielecks auf eine b~liebige Gerade ist Null.
Projiziert man ein Kräftevieleck im besondern auf die Achsen eines Koordinatensystems, in seiner Ebene, so erhAlt man die Gleichungen (2) des
vorigen Abschnitts, aus denen sich die Gleichungen (3) und (4) wieder
ableiten ließen.
Wie wir Kräfte durch Strecken dargestellt haben, so könnte man
jede Größe, die eine bestimmte Richtung besitzt, durch eine Strecke veranschaulichen. Man nennt Größen, zu deren Bestimmung eine bloße
Zahlenangabe nicht genügt, die noch eine bestimmte Richtung besitzen,
allgemein Vektoren, und man überträgt diese Bezeichnung auch auf
die Strecken, welche diese Größen veranschaulichen. Die nr11i Vektoren
5*
Einige Anwendungen.
70
P1 , P 2, P 8 der Abb. 74 könnten auch Geschwindigkeiten darstellen. R ist
die "geometrische Summe" der Vektoren oder die resultierende Geschwindigkeit.
Beispiele:
Alle folgenden Beispiele möge man so'\vohl graphisch als rechnerisch
behandeln. In allen Beispielen kann eine Kraft von 10 kg durch eine
Strecke von 1 cm Länge veranschaulicht werden. In der Zeichnung stellt
man die Kräfte durch äußerst dünne Linien dar. Über die Konstruktion
eines Winkels siehe § 6, Aufgabe 40 und § 3, Aufgabe 8. In allen Beispielen
nehmen wir die Richtung der ersten Kraft als die Richtung der positiven
x-Achse an; es ist also cx1 = 0. Um die rechnerische Behandlung übersicht·
lich zu gestalten, bedient man sich praktisch des Schemas, wie es im folgenden Beispiel ausgeführt ist.
1. Bestimme die Resultierende R der Krifte': PJ = 65; P 1 = 111;
Pa= 40; P, = 75 kg. oc1 = 0°; oc 8 = 160°; cx1 = 240°; cx, = 310°.
Pt=
P2 =
Pa=
P,=
X=P-coscx
Winkel
Kraft
65kg
ll1 "
40 "
75 "
CXt = QO
cx1 = 160°
cx 1 = 240°
cx, = 310°
-
+
65,00
4ß,21
113,21
-104,31
- 20,00
I -124,31
Y=P-sincz
+
0
37,96
37,96
-34,64:
I -57,45
-92,09
Es ist also R. = - 11,10; R. = - 54,13, somit
R = (R~ + R! = 06,26 kg;
-54,13
tg IX= _ 11 , 10 ; daraus folgt
IX =· 258° 25',
2. Zu Pt= 70; Pa= 50 kg; CXt = 0°; cx. = 70° gehört R = 98,97 kg;
IX= 28°21'.
3. Zu pl = 70; Pz =50; Pa = 60 kg; O't = 0°; IXs = 70°; IXa = 160°
gehört R = 74,17; cx = 65°32'.
4. Zu pl = 100; Pa = 80; Pa= 70 kg; CXt = 0°; IXa = 160°; IXa = 250°
gehört R = 38,43; IX= 271()20'.
5. Zu pl = 40; Pa= 50; Pa= 80; P, = 100; p6 = 70; CXt = 0°;
cx 2 = 60°; oc 8 = 150°; oc, = 230°; oc 6 = 300° gehörtR = 63,5kg; cx=238°6'.
3. Rechtwinklige und Polarkoordinaten eines Punktes.
Wir nannten die Strecken x und y in Abb. 62 die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes P in bezug auf die Achsen eines Koordinatensystems.
Nun ist aber offenbar die Lage des Punktes P auch vollkommen bestimmt,
wenn man seinen Abstand r vom Nullpunkt, sowie den Winkelex kennt,
den r mit der positiven x-Achse einschließt. Man nenntrund IX die Polarkoordinaten des Punktes P; im besondern heißt r der Radius oder Radiusvektor und ot der Richtungswinkel oder die Amplitude. Die
Raumkoordinaten.
71
einen Koordinaten, x und y, können offenbar leicht aus den andern, r und IX,
berechnet werden.
Aus Abb. 62 folgt
:e ""' r cos IX
(1)
y=rsin01: .
Durch Quadrieren und Addieren folgt hieraus
+
(2)
r = Yx• ya.
und durch Division
tgiX=y:x.
In (1) werden die rechtwinkligen Koordinaten x und y aus den Polarkoordinaten r und IX, in (2) die Polarkoordinaten r und IX aus den rechtwinkligen x und y berechnet.
Beispiele:
3,2cm;
1. Zu :e =
2.
X= -5
;
3. " X= -5 " ;
"
"
4.
;
Z= 4
5. " r= 20 " ;
6. " r= 10 ",; ;
;
7. " r= 8
" ;
8. " r = 12
"
"
y=
6,8 cm; IX=
6,0 cm gehören r =
y= 8
; a. =
T= 9,43
y= -3
r= 5,83 " ; IX=
y=-7
r= 8,06 " :IX=
IX= 75°
X= 5,18 " ; Y=
X= -9,40 " ; y =
IX= 160°
X= -2,74 " ; y =
IX= 250°
IX = 319°
X = +9,06 " ; y =
"
61 °56'
122°
2100"58'
299°45'
19,32cm
+3,42
-7,52 "
-7,87 "
"
4. Raumkoordlnaten.
Man ziehe durch einen beliebigen Punkt 0 des Raumes drei aufeinander senkrecht stehende Achsen OX, OY, OZ (Abb. 77). Die senkrechten
Abstände eines Punktes P von den drei Ebenen YOZ, XOZ und XO Y heißen
seine räumlichen rechtwinkligen Koordinaten z bzw. y und z. OP = r
schließe mit den Koordinatenachsen OX, OY und OZ die bezüglichen
Winkel IX, {J, y ein; dann ist:
z
OA=rcosiX=z,
OB= rcos{J = y,
(I)
00 = rcosy = z.
Durch Quadrieren und Addieren er·
hält man:
r 1 (cos1 1X + cos1 {J cos1 y)=x1 + y 1 z1 •
Nun ist aber:
+
x1
und
r 1 = 0 M 1 + z1 und daher
x 1 + y 1 + z1 = r 1 ; daraus folgt:
cos1 1X cos1 {J cos•y =I. (2)
1
+
,.,c
(--1
I
I
I
I
+
+ y 1 = OM
+
/
I
I
I
I
A
I /
/
N
Abb. 77.
IX, {J, y heißen die Richtungswinkel von OP und ihre Kosinus die
Richtungskosinus der Geraden OP. Diese Winkel sind durch die Glei·
chung (2) aneinander gebunden.
72
Einige Anwendungen.
Die Gerade OM schließe mit OX den Winkel rp und OP mit OZ den
Winkel 'IJ1 ein. Wird r, wie früher, stets positiv gerechnet, dann ist die
Lage des Punktes P durch die Angaben der Größen r, rp und tp ebenfalls
bestimmt•. r, rp und 'IJ1 heißen die Polarkoordinaten des Punktes P.
Der Zusammenhang zwischen den rechtwinkligen und den Polarkoordinaten
ist der folgende:
OM =rein 'IJ1 und x = OM cos rp, somit
x=rcosrp·sintp,
y = OM ein rp =rein rp sin 'IJI,
z = rcostp.
Sind somit r, rp und 'P gegeben, dann findet man x, y und z nach
x = rcos rpsin!p,
(3)
y = rsin rpsin 'P
z = rcos 'P·
Sind dagegen x, y und z gegeben, dann findet man aus der Abbildung
oder durch Auflösung der Gleichungen (3);
r = fx 1 + y 1 + z1,
(4)
oostp = z:r
tg rp = y:x.
Der Vektor OP ist die geometrische Summe der drei Vektoren x, y, z;
oder x, y, z sind die drei Komponenten von r. OP kann als Resultierende
der drei Kräfte OA, OB und 00 aufgefaßt werden. Die als unbegrenzt
gedachten Ebenen YOZ, XOZ und XO Y zerlegen den ganzen Raum in
8 Teile oder Oktanten. Der erste Oktant sei der in der Abb. 77 gezeichnete, also die von den Kanten +X, + Y, + Z gebildete körperliche Ecke.
Beispiele:
1. Ein Vektor schließe mit der Richtung OX den Winkel ooo, mit OY
den Winkel 40° ein und gehe durch den ersten Oktanten. Bestimme den
Winkel dieses Vektors mit der Z-Achse.
Es ist cos 1 40 + cos 1 60 + cos 8 y = 1; daraus folgt:
y = 66° 10'.
2. Die Kraft OP = R hat die drei aufeinander senkrecht stehenden
Komponenten X = 20 kg, Y = 30 kg, Z = 40 kg. Wie groß ist R und
welche Winkel schließt die Kraft mit den t\:oordinatenachsen ein?
R
= f201 + 301 + 401 = 53,85 kg.
cos a: = X:R usw.
oc = 68° 12'; p = 56° 9'; y = 420 2'.
Prüfe, ob cos 1 a: cos 1 ß cos 1 y = 1.
3. Die Komponenten von. R seien X = 250 kg, Y = - 100 kg,
= 420kg.
Berechne R, oc, ß, y.
Ergebnisse: R = 498,9kg; a: = 59056'; ß = 101034'; y = 32040'.
+
z
+
Kurven in Pola.rkoordinaten.
73
4. Eine Kraft von 2000 kg schließt mit der positiven Z-Achse einen
\Vinkel 'P = 20° ein. Ihre Projektion auf die XY-Ebene bildet mit der
positiven X-Achse den Winkel rp = 400. Berechne die Komponenten der
Kraft in den Richtungen der Koordinatenachsen.
Ergebnisse: X= 523,9 kg; Y = 439,7 kg; Z = 1879,4 kg.
6. Die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes sind
x=4cm; y=5cm; z=10cm.
Berechne seine Polarkoordinaten.
rp = 51°20';
Ergebnisse: r = 11,87 cm.
5. Einige Kurven.
1. Ziehe durch den Nullpunkt eines ebenen Koordinatensystems eine
Reihe von Strahlen, etwa von 10 zu 10°, und trage auf den entsprechenden
Strahlen von 0 aus die Länge r ab, welche sich aus der Gleichung ergibt:
cos tp) für a = 2,5 cm (Kardioide).
r = 2 a (1
2. Zeichne die Bilder, die den folgenden Gleichungen entsprechen.
ot von 0° bis 3600
a)r = 5 ain 12a)
b)r = 5 11in (3a;)
ct " 0° " 360°
c)r = 5-3cosa;
ct " 0° .. 360°
4
4
e) r = 1 + cos ot
d) 7 = 1 + 0,5cosa;
+
f) r =
10
1 + 1,5cosa;
h) r = 10 Jcos (2 ot)
3. Zeige, daß sich nach der bekannten Konstruktion der Ellipse, aus
Abb. 78.
Abb. 79.
dem ein- und umschriebenen Kreis, für die Koordinaten eines EllipsenpunktasP die Gleichungen ergeben (Abb. 78):
y = bsincx.
x = acosa,
74
Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks.
Berechne die Koordinaten x und y für verschiedene a: unter der An·
nahme: a = 5 cm, b = 3 cm und zeichne die Kurve. Zeig~, daß die Koor·
x• yz
dinaten x und y durch die Gleichung az + b• = 1 verbunden sind.
4, Wälzt sich eine Tangente eines Kreises auf dem Kreise ohne zu
gleiten (Abb. 79), dann beschreibt jeder Punkt der Tangente eine Kurve,
die man Kreisevolvente nennt. Der ursprüngliche Berührungspunkt A
+!J
g --~~~~------~~~~~~--~
fo<---- x ---J
+:z;
Abb. 80.
der Tangente b sei nach der Drehung um den Winkel a: in die Lage A' über·
gegangen. Zeige, daß die Koordinaten x und y des Punktes A' sich aus den
Gleichungen
y = r (sinct- ii COBIX)
:r: = r (cosa: + & sina:),
berechnen lassen.
5. Rollt ein Kreis I auf einer Geraden g ohne zu gleiten, dann beschreibt
der ursprüngliche Berührungspunkt A eine Kurve, die man Zykloide
nennt. Leite aus der Abb. 80 für die Koordinaten :r: und y des Punktes A',
der ursprünglich mit A zusammenfiel, die Gleichungen ab:
:r: = r (Ci- sina:),
y = r (1 - cos a:)
und berechne x und y für beliehige Werte von :x; r = 2 cm.
Beachte, daß die Strecke AB gleich dem Kreisbogen A' Bist.
§ 10. Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks.
Wir leiten in diesem Paragraphen zwei einfache Sätze ab,
die zur Berechnung eines beliebigen Dreiecks benutzt werden
können.
1. Der Sinussatz.
In den Abb. 81 und 82 sind zwei beliebige Dreiecke gezeichnet,
ein spitz. und ein stumpfwinkliges. h1 sei die Höhe, die zur Seite a
gehört. In jeder Abbildung ist h1 die gemeinsame Kathete zweier
Sinussatz.
75
rechtwinkliger Dreiecke, aus denen sich die Gleichungen ableiten
lassen:
'h-t = bsiny und h-t = csinß.
(Für das stumpfwinklige Dreieck ist von der Formel
sin (180° - ß) = ein ß Gebrauch gemacht worderi). Es ist also
bsiny
=
csinß.
Diese Gleichung kann offenbar auch so geschrieben werden:
b:c = sin{t:sin y.
Die Höhen h 2 .l b und h3 .l c zerlegen die Dreiecke in andere
rechtwinklige Dreiecke, aus denen sich in ganz gleicher Weise
die Gleichungen ableiten lassen:
a:c = sin a:sin y,
a:b = sin a:sin{t, d. h.
Abb. 83.
Abb. 81.
in jedem beliebigen Dreieck verhalten sich irgend zwei Seiten
zueinander wie die Sinusse der gegenüberliegenden Winkel.
Dieser Satz wird der Sinussatz genannt.
a
b
Aus der Gleichung a:b=siniX:sinß folgt: sinrt=sm{J·
Ebenso folgt aus b: c = ein ß: sin r:
somit ist
a
b
c
sln a = sin tJ = sin y •
Der gemeinsame Wert dieser drei Brüche hat eine einfache
geometrische Bedeutung, siehe Abb. 83. Ist d der Durchmesser
des Kreises, der dem Dreieck mit den Seiten a, b, c umbeschrieben
werden kann, so ist nach Abb. 83: a: sin IX = d, d. h. aber: der
gemeinsame Wert der drei Brüche a: sin IX, b: sin ß und
c: sin y ist gleich dem Durchmesser des Kreises, der
dem Dreieck umbeschrieben werden kann.
76
Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks.
Ptolemäus (zwischen 125-151 nach Christus in Alexandrien) kannte
den Sinussatz in seiner jetzigen Form noch nicht. Er zerlegte die Dreiecke
durch Höhen in rechtwinklige Dreiecke. Zum allgemeinen SinUSBatz kam
erst der Perser Nasfr Eddin Tusi (1201-1274), dem die Trigonometrie
die höchste Ausbildung in jener Zeit verdankt.
2. Der Kosinnssatz.
Die Höhe h1 in Abb. 81 zerlegt die Seite a in zwei Abschnitte
von den Längen b cosy und c·cos ß. Es ist also
a = bcosy
+ c•cosß.
(1)
Für das stumpfwinklige Dreieck in Abb. 82 ist
a
= bcosy- ccos (180°- ß).
(2)
Nun ist aber cos (180° - ß) = - cos ß, und Gleichung (2)
kann daher auch in der Form geschrieben werden:
+
a = bcosy ccosß,
was mit Gleichung (1) genau übereinstimmt. b cosy und c cos ß
kann man als die Projektionen der Seiten b und c auf die Seite a
auffassen. Die Gleichung (I) sagt aus: Jede Seite eines Dreiecks ist die Summe der Projektionen der anderen Seiten auf sie (Projektionssatz). Dabei werden die Innenwinkel
des Dreiecks als Neigungswinkel aufgefaßt. Durch Ziehen der
Höhen h1 und h3 kann man zwei ähnliche Gleichungen ableiten.
Es ist also für jedes beliebige Dreieck:
a = bcosy + ccos ß
b = ccosor. + acosy
c = acosß + bcosor.
(3) (Projektionssatz)
Multipliziert man die erste Gleichung mit a, die zweite mit
- b, die dritte mit - c und addiert alle drei Gleichungen, so
erhält man
a"- b"- c2 = - 2 bc cos or., oder
a• = b1 + c2 - 2 b ccosa.
Multipliziert maa dagegen die zweite der Gleichungen (3) mit
b, die erste mit - a und die letzte mit - c, so erhält man
- a1
+b
2 -
c2 = - 2accosß, oder
b1 = a 2 + c1 - 2accosf1.
Kosbmssatz.
77
Entsprechend findet man
ca = as + b 1 - 2 abcosy.
Diese drei letzten fettgedruckten Gleichungen drücken den
Kosinussatz aus: Das Quadrat einer Seite ist gleich der Summe
der Quadrate der beiden andern Seiten vermindert um das doppelte
Produkt dieser Seiten und dem Kosinus des von ihnen einge.
schlossenen Winkels. (Kosinussatz.)
Man merke sich: Steht links im Kosinussatz a 2, so schließt
die rechte Seite mit cos cx.
Andere Ableitung des Kosinussatzes: Die Katheten
des rechtwinkligen Dreieckes rechts in der Abb. 81 sind b sin r
und a - b cos r. Somit ist
c1 = (bsiny) 2 + (a- bcosy)B.
Entwickelt man die rechte Seite und vereinfacht, so erhält
man die dritte der oben fettgedruckten Gleichungen.
Wie man den Sinus- und den Kosinussatz bei der Berechnung
beliebiger Dreiecke verwerten kann, zeigen die Beispieie des
folgenden Paragraphen.
Der Inhalt des Kosinussatzes ist durch den allgemeinen pythagoreischen Lehrsatz schon von Euklid gegeben. Eine erste Formulierung im heutigen Sinne stammt von dem französischen
Hofrat Vieta. (1540-1603, Paris). Er ist auch der eigentliche
Begründer der Goniometrie.
§ 11. Beispiele zum Sinus- und Kosinussatz.
Wir halten uns immer an die Bezeichnungen der Abb. 81.
Die Gegenwinkel der Seiten a, b, c sind die Winkel cx, {J, y. Sind
in einem beliebigen Dreieck drei voneinander unabhängige Stücke
gegeben, so kann man die fehlenden Seiten oder Winkel mit HiHe
des Sinus- oder Kosinussatzes berechnen. Es handelt sich dabei
um die folgenden vier Aufgaben.
1. Aufgabe. Von einem Dreieck kennt man eine Seite a und
zwei Winkel {J und y. Man berechne die übrigen Stücke.
Lösung. Der dritte Winkel wird gefunden aus
<X = 180° - ({J + y).
Die Seiten werden mit HiHe des Sinussatzes berechnet:
Aus b:a = sin R;sincxfolgt b = a ·.sin{J.
"'
smac
78
Beispiele zum Sinus- und Kosinussatz.
A us c:a
f l t
• ein y
.
.
= siny:sm(X
o g c = a Bin
IX •
1
Der Inha lt IS
. t J = bc sin(X
.
= 2a • sinß·siny
siniX
2
Beispiele.
1.
2.
3.
4.
5.
a
36 cm
18 "
24 "
245m
432,80 m
Gegeben:
"
ß
720
37°40'
53°
68° 35'
780 39' 40"
b
42,87 cm
11,02 "
49,05 "
427,8 m
4 70,3 "
55°
490 10'
104°
79° 12'
36° 51' 50"
Berechnet·
c
J
36,92 cm 632,1 cm•
13,64 " 75,01 "
59,60 " 571,2 •.
451,4 m 51480 m 2
287.7 " 61 050 "
2. Aufgabe. Von einem Dreieck kennt man zwei Seiten a
und b (a > b) und den Gegenwinkel or. der größeren Seite.
Berechne die übrigen Stücke.
Lösung. ß wird mit Hilfe des Sinussatzes berechnet:
. ß:sin(X=
.
b : a; dah er IS
. t Sin
. ß = bsiniX
sin
-a-.
Ist ß bekannt, so folgt y = 180°- ((X+ ß).
Die dritte Seite findet man mit dem Sinussatz.
AUS:
=
.
.
f
Bin/' : Bin OC. 0 1g
Die dritte Seite kann auch aus
C:
a
berechnet werden.
c
t
C
asiny
= SiniX ·
= acos(J + bcosor.
Beispiele.
Gegeben:
Berechnet:
a
b
IX
ß
y
c
1
1. 50 cm
20 cm
70°
220 5
870 55'
53,17 cm
2. 36 "
28 "
27° 30'
210 3'
1310 27'
58,44 "
200 53'
420 7'
15,05 "
3. 20 "
8 "
117°
Ist statt des Gegenwinkels der größern Seite der Gegenwinkel der
kleinem Seite gegeben, so können unter Umständen zwei verschiedene
Dreiecke zu den gegebenen Stücken gehören. Aus siniX =
as~nß
folgen
zwei WinkeliX1 und IX1 zwischen 0 und 180°, wobei natürlich jedes IX größer
als ßsein muß, weil a > b ist.
Beispiele.
Gegeben:
Berechnet:
,..
a
b
IX
c
ß
c 1 = 14,14 cm
{ IX1 =
74° 37' 5 Y1 = 65022' 5
I. 15 10 400
IX 1 = 105° 22' 5
,... = 34°37'5 Ca= 8,84
"
= 1440 17'
C1 = 20,18
25°43'
100
2, 15
6
"
15°43'
9,37
IX1
154° 17'
ca =
tl =
=
Yl
,...=
"
Anwendung des Kosinussatzes.
79
Man zeichne die beiden Dreiecke aus a, b, ß.
Es kann auch möglich sein, daß zu den gegebenen Stücken nur
ein oder gar kein Dreieck gehört. Das erste ist der Fall, wenn in
sin IX = a · sin ß: b die rechte Seite gerade den Wert 1 hat; IX ist
dann 90°. Wird dagegen a sin ß:b größer als 1, so kann man keinen
Winkel IX bestimmen. Man zeichne und berechne die übrigen Stücke
eines Dreiecks aus
1. a
=
15 cm,
2. a = 15 "
b = 6cm,
ß = 23°35'.
b= 6 "
ß = 40°.
3. Aufgabe. Von einem Dreieck kennt man zwei Seiten a
und b und den von ihnen eingeschlossenen Winkel y.
Man berechne die übrigen Stücke.
Lösung. Nach dem Kosinussatz ist die dritte Seite
c
=
ya2 + b2 - 2abcosy.
Die Winkel oc. und ß können mit dem Sinussatz berechnet
werden. Man kann oc. und ß auch unmittelbar aus a, b, y finden.
Man ziehe in einem Dreieck die Höhe auf b bzw. a; man wird an
Hand einer Abbildung leicht die Richtigkeit der folgenden Gleichungen bestätigen können.
t
a siny
und
g « = b - a cos y
t
g
ß-
bsiny
- a-bcosy ·
Für die Berechnung des Inhalts siehe § 6. Aufgabe 6.
Eine andere sehr einfache Berechnung der Winkel lehrt Aufgabe 5, § 15.
Beispiele.
I.
2.
3.
4.
a
10
5
7
8
Gegeben:
b
8
8
11
10
7'
70°
65°
600
120°
c
10,45
7,43
9,64
15,62
Berechnet:
IX
64° I'
37035'
38°57'
26° 20'
p
45059'
77°25'
81° 3'
33°40'
4. Aufgabe. Man kennt die drei Seiten, man sucht die drei
Winkel eines Dreiecks.
Lösung: Alle drei Winkel können mit Hilfe des Kosinussatzes
berechnet werden; so findet man z. B. aus
Beispiele zum Sinus- und Kosinusaa.tz.
80
Die Summe der drei berechneten Winkel muß .180° betragen.
Beispiele.
Gegeben:
4
13
8
7
2
5
38
15
5
7
3
7
5
7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
14° 15'
75031' 3
22°20'
45024'
33°34'
i1°47'
38° 13'
15
6
4
47
9
8
8
Berechnet:
53°8'
57°54'6
108° 13'
16° 19'
50°42'
60°
600
1120 37'
460 34' 1
49°27
1180 17'
95°44'
98° 13'
81° 47'
Sind die Seiten durch mehrsteilige Zahlen gegeben, so wird man mit
Vorteil "Quadrattafeln" verwenden. - Eine zweite Lösung dieser Aufgabe, die namentlich für loga.rithmische
Rechnung bequemer ist, zeigt die folgende
Aufga.be.
o. Der Halbwlnkelsatz. Die Winkel
eines Dreiecks lassen sich a.us den drei
Seiten a.uch noch a.uf eine a.ndere Weise
berechnen. Ist M (siehe Abb. 84) der
Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises,
so sind die von M na.ch den Ecken
Abb. 8,.
gehenden Linien die Winkelhalbieren·
den. Die Abschnitte z, 11• z auf den
Seiten haben die Längen 11- a, 11- b, 8 - c, wo 11 den halben Dreiecksumfang bedeutet; denn
2 (z + 11 + z) = a + b + c = 2 s, somit
11: + 11 + z = 8; nach der Abbildung ist
y
+z=
z
a. Durch Subtraktion erhält man
a. Entsprechend ergibt sich
=8-
1J=8-b
Z=B-C,
Ferner ist dt!r Inha.lt J des Dreiecks gegeben durch
a
J "'" 2
b
c
·r + 2 · r + 2 ·r = r ·
a+b+c
2
Der Inhalt J ist gegeben durch
= "';
Aus dem gestrichelten Dreieck folgt nun
1.. = !._.
2
1st r =
J
I .
r8 (s- a)(s- b) (s- c); daher ist
r= J!Ea)(s:b)(s-c).
tg
. .
SOIDlt
"
81
Halbwinkelsatz.
Setzt man fürrund 11 die oben berechneten Werte ein, so erhält man
t
1!_ = _,._ =
g 2
8- b
t/(8- a)(8- c)
y . 8(8- b) •
tg~=-'-= 1/(B=b)(8-c)
Y---;cB- a) •
8 - a
2
Entsprechend
tg!..
2
= _r_ = )/(8-a)(8-b)
8-C
y
8(8-C)
(1)
•
Die lformeln (I) führen den Namen "Halbwinkelsa tz". Das Vorzeichen der Quadratwurzeln ist immer positiv zu wlhlen, weil die Winkel
. Tangenswerte immer
kl"
•
emer als900 und daher die
2ct • 2{J • 2" • Immer
positiv sind.
Beispiel.
a= 4,3ö6m
,. = 1/ (8 - a)(8 - b) (8- c); tg ~ = _,._ .
Ge- { b = 5,673 ..
s-a
2
8
Y
geben:
c = 7,239"
I
log(8- a) = 0,63124.
li
log (8- b) = 0,47144
28= 17,268
m
log (8- c) = 0,14457
8 ... 8,634
8-a= 4,278
8 - b = 2,961
8 - C= 1,395
Probe:
&rechnet:
= 8,634
II
f
8
Summe = 1,24725
log 8 = 0,93621
2log r = 0,31104
log r = 0,15552
Gt
~
2 -- 18° 29' 26"
logtg2 =9,52428-10
~
= 25° 47'15"
logtg
= 46° 43' 19"
log tg ~ = 0,01 095
~
=9,68408-10
IV
IV-I
IV-li
IV-lll
Probe: Summe = 9()11
8. Zwei Seiten a und b eines Parallelogramm s schließen mitein·
ander einen Winkel ct ein. Berechne die Eckenlinien 8 und f.
Berechnet:
Gegeben:
I
8
ce
b
a
13,17 cm
5,14 cm
400
6 cm
8 cm
1.
18,30 "
10,05 "
500
7"
13 "
2.
"
16,02
..
22,30
1100
"
11
16 "
3.
26,15 "
15,87 "
600
12 "
18 "
4.
7. Zwei Kräfte P 1 und P1 wirken unter einem Winkel ct auf einen
materiellen Punkt .d (Abb. 85)~ Bestimme die Resultierende R durch Rech·
nung und Zeichnun~r. Berechne den Winkel x zwischen R und P,.
82
Beispiele zum Sinus- nnd Kosinussatz.
Aus Abb. 85 folgt:
R = YPI + P: + 2P1PI cos IX.
Beachte: cos{180°-1X) = -cOSIX.
Dies folgt aus dem Kosinussatz oder durch Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes auf das Dreieck ABO. Der Winkel x wird durch den
Sinussatz oder wieder aus dem Dreieck ABC gefunden.
sin x: sin {1800- a.)
= P,: R
oder sinx
t gx=p P 1 sinCT.
1
+P1 cosa.
=
p 1 ~n CT.
,
.
Was wird aus diesen ErgebniBBen für IX= 90°;
CT.
= 1800?
:ß
P,
Abb.
se.
Beispiele.
1. pl = 20 kg; P. = 12 kg; IX= 400;
R = 30,2 kg; X= 14048'
2. pl = 60 " P, = 100 " (1. = 45°;
R = 148,6 " X= 28°25'
3. P 1 = 250 " P 1 = 400 " IX = 144°20'; R = 245 " x = 107°49'
4. pl = 80 " P. = 50 " IX= 120°;
R = 70 " X= 38013'
R = 53,62" X= 1()045'
5. pl = 70 " P. = 20 " IX= 150°;
8. Eine Kraft R = 100 kg soll in zwei Komponenten P 1, P, zerlegt
werden, von denen die eine mit R einen Winkel IX = 50°, die andere einen
Winkel ß = 20° einschließt (Abb. 86).
Ergebnisse: P 1 = 36,4; P, = 81,5 kg.
Weitere Beispiele:
Für R = 10 kg; cx = 50°;
fJ = 70° wirdP1 = 10,85; P1 = 8,85 kg
" R = 16 " IX = 34°30'; fJ = 80°
" P 1 = 17,3; P 2 = 9,96 "
" R = 120 " cx = 44°15'; ß = 29°5' " P 1 = 60,89; P 2 = 87,4 "
9. Drei in einem Punkte angreifende Kräfte P 1 = 40 kg; P 1 =50 kg;
P 8 = 60 kg halten sich das Gleichgewicht; welche Winkel schließen
ihre Richtungslinien miteinander ein ? Das zugehörige Kräftedreieck ist
geschloBSen.
Ergebnisse: Winkel {P1 P 8 ) = 124° 14'
(P8 P1 ) = 138° 35'
"
"
(P.P1 )
= 970 11'
Summe= aoou •
Die nämliche Aufgabe für P 1 = 70 kg, Pa= 30 kg, P 1 =55 kg.
Ergebnisse: Winkel Ptp1 - 131021'; P1P 8 = 1550lSO'; Ptp1 = 720'9'
Dreieck und Parallelogramm.
83
10. Berechne für die drei ersten Beispiele in Aufgabe 2 dieses Paragraphen aus a und IX den Durchmesser d des dem Dreieck umschriebenen
Kreises.
Ergebnisse: 1. 53,21 cm,
2. 77,98 cm,
3. 22,45 cm.
11. Der Inhalt eines Dreiecks istJ = 0,5. ab sin y; ferner ist c: siny = d
= 2 r = dem Durchmesser des dem Dreieck umschriebenen Kreises. Leite
hieraus ab:
abc
r = 4J.
12. Es seien a und b die Seiten, e und f die Eckenlinien eines Parallelo·
gramms. Beweise:
(1)
Anleitung: e und I mögen sich unter dem Winkel IX schneiden; sie zerlegen das Parallelogramm in vier Dreiecke. Wende auf zwei nebeneinander
liegende Dreiecke den Kosinussatz an. Was wird aus (I), wenn das Parallelogramm ein Quadrat oder ein
Rhombus oder ein Rechteck ist?
13. Beweise: Sind a, b, c die Seiten eines Dreiecks und ist ma die Verbindungslinie des Mittelpunktes der Seite a mit der gegenüberliegenden
Ecke des Dreiecks, so kann m" berechnet werden aus
(2 ma) 2 = 2 (b2
+ c2)-a2,
Anleitung: Ergänze das Dreieck zu einem Parallelogramm mit den
Seiten b und c und der Diagonale a und beachte Aufgabe 12.
14. Beweise: Sind e und f die Eckenlinien einesbeliebigen Vierecks,
und schneiden sie sich unter einem Winkel IX, so ist der Inhalt des Vierecks gegeben durch
.
J = ef smoc.
2
Anleitung: Ziehe durch die Ecken des Vierecks Po.rallele zu den Eckenlinien. Der Inhalt des Vierecks ist die Hälfte vom Inhalt des entstandenen
Parallelogramms.
15. Die Strecke der Winkelhalbierenden zwischen einer Dreiecksecke und der gegenüberliegenden Seite a sei mit Wa bezeichnet. Beweise:
c sin ß
b.sin y
Wcx=
sin(;
+fl)
=---~-
sin(;
+r)
16. Im Gelände sei eine Basis (Standlinie) AB= 200m gemessen worden. G ist ein dritter Punkt im Gelände, der von AB etwa durch einen
Fluß getrennt sein möge. Durch Winkelmeßinstrumente hat man die
Winkel GAB= IX und GBA = ß ermittelt. Es sei IX= 75°; ß = 41°. Wie
lang sind die Strecken AG und BG?
Ergebnisse: AG= 146m; BG = 214,9 m.
Bei den sogenannten "Triangulationen" in der Landesvermessung
werden von einer gegebenen. tatsächlich gemessenen Basis a aus (Abb. 87)
HeB, Trigonometrie.
6
84
Beispiele zum Sinus- und K011inusaatz.
die übrigen Seiten der Dreiecke berechnet. Zur Berechnung ist nur noch
die Messung der Winkel erforderlich. In Abb. 87 können aus a und den
Winkeln alle Seiten und Diagonalen des Vierecks berechnet werden.
17, Zwei Gerade b und c schneiden sich unter einem Winkel IX. Durch
eine dritte Gerade a, die mit c einen vorgeschriebenen Winkel {3 bildet,
soll ein Dreieck von vorgeschriebener Größe F abgeschnitten werden.
Berechne die Seiten x, y, z des Dreiecks.
x
=
11 2F-sinoc
11 2F-sinfJ
1/2F·sin(oc+fJ)
YsinfJ·sin(oc+/3); y= Ysinoc·sin(oc+ß); z= Y sinoc-sinß '
x liegt «, y liegt P gegenüber).
18. Drei Kreise mit den Halbmessern r-1 = 8 cm, r-1 = 7 cm, r-8 = 6 cm
berühren sich gegenseitig von außen; welche Winkel schließen je zwei
Mittelpunktslinien miteinander ein ?
Ergebnisse: 53°8', 59°29', 67023'.
Abb. 87.
Abb.88.
19. Die Mittelpunkte zweier Kreise mit den Halbmessern ,. = 13om,
R = 14 cm sind 15 cm voneinander entfernt. Wie lang ist die gemeinsame
Sehne 1 Wie groß ist das gemeinsame Flächenstück 1 (Benutze zur Lösung
die Ergebnisse der vorhergehenden Aufgabe.)
Ergebnisse: 8 = 22,4 cm, J = 189,2 cm1 •
20. Ziehe durch den Mittelpunkt eines Kreises k von 4 cm Halbmesser
zwei aufeinander senkrecht stehende gerade Linien g und l. Durch 4 gleich
große Kreise von je 2 cm Halbmesser, deren Mittelpunkte 5 cm vom Mittelpunkte des Kreises lc auf g und l liegen, werden von k gewisse Flächenstücke abgeschnitten. Berechne den Inhalt der Restfläche des Kreises k
(41,91 om1 ).
21. Zeichne die Abb. 88 nach den eingeschriebenen Maßen (mm) und
berechne ihren Inhalt und Umfang.
Anleitung. Der Mittelpunkt eines Kreises von 125 mm Halbmesser bestimmt mit den Mittelpunkten der Kreise von 15 und 25 mm Halbmesser
ein Dreieck. Bestimme aus den Seiten die Winkel des Dreiecks usw. (J =
47,64 cm1 ; U = 26,97 cm).
22. Die Achsenzweier Keg e Ir ä.der schneiden sich unter einem Winkel oc.
Für die Konstruktion der Räder ist die Kenntnis der sogenannten Ersatzhalbmesser R 1 undR2 von Wichtigkeit. Die Ersatzhalbmesser sind die Mantellinien von Kegelflä.chen, deren Erzeugende auf den Mantellinien der Grundkegel Init den Halbmessern r-1 und r-1 senkrecht stehen. Man berechne R1
und R1 aus den Größen r1, r-1 und IX. (Abb. 89 und 90.)
Kegelräder.
85
In der zweiten Abbildung sind die für die Berechnung notwendigen
Linien nochmals besonders gezeichnet. Das Viereck OABO ist ein Kreisviereck. Daraus folgt die Gleichheit der gleichbezeichneten Winke}.
AAOD ist ähnlich ABOE; daraus folgt die Proportion: R 2 :r2 =a:AD.
Nun ist:
a =
fri
+ r~ + 2r1 r1 coSIX
R1 =
_
T1
und AD
= r1 + r1 cos1X;
daher ist:
fr~ + r~ + 2r1 r1 cos IX .
+__i_
r 1 COS IX
Entsprechend findet man
R 1 = _ _r_l_ _
r 2 + r 1 COSIX
•
frr + r: + 2r1 r1 cos IX.
Man kann in diese Formeln leicht die Zähnezahlen Gl und Ga einführen.
Unter Teilung t eines Zahnrades versteht man den Abstand von Zahnmitte zu Zahnmitte auf dem Bogen des Teilkreises gemessen.
Bedeutet G die Zähnezahl, dann ist
Umfang= 2 :rrr = 0·t = Zähnezahl X Teilung.
- ---- - -~
~,-
-·
/
/
""\
/
/ /
i'
'
''
Abb. 90.
Abb. 89.
Man wählt die Teilung gewöhnlich als ein Vielfaches von :rr und nennt
den Faktor von n den Modul. Daraus ergibt sich:
DurchmeBSer des Teilkreises = Modul X Zähnezahl = M · 0.
Setzt man in die Formeln an die Stelle von
r1 den Wert
~31
und für r 1 den Ausdruck
~Ga
und vereinfacht, so erhält man für R 1 und R 1 die Werte:
+ 3: + 2 01 32 cou
lJt + 01 COB IX
'
R
)3~ + a: + 2lJtlJt coscx
2 = Tz •
lJI + lJa COB CX
•
R
1 = rl •
lll~
Siehe Bach, Maschinenelemente, 10. Aufl., S. 332.
6*
86
Beispiele zum Sinus- und Kosinussatz.
Stehen die Achsen aufeinander senkrecht, ist also oc = 90°, so wird
R 1 -
Ra
r
fa~ + ~=
1. -~-~- -
= '•
-
J af31+ al =
't llr•
'• ' 1
'•
r1
+ rB2 '
frf + r: •
Diese letzten Gleichungen lassen sich direkt aus der entsprechenden
Abbildung (siehe § 6, Aufgabe 9) ohne HiHe der Trigonometrie ableiten.
Beispiel. Das eine Rad mache 50, das andere 100 Umdrehungen pro
Minute. Teilung= 10·n, 01 = 40, 32 = 20, d1 = 400, d2 = 200 mm oder
r 1 = 200 und r2 = 100 mm. oc = 45°.
Ergebnisse: R1 = 231,8 mm, R 2 = 103,3 mm.
Für oc = 90° wird R 1 = 447,2 mm und R 2 = 111,8 mm.
M 1 und M 3
23. Die
Zwei·
krelskurve 1 • Es soll
die Sehne AB der
Abb. 91 durch eine
Kurve, die sich aus
zwei tangential ineinander übergehenden
Kreisbogen zusammensetzt, überspannt werden, und zwar soll
der eine Kreis in B
die Tangente a, der
andere in A die Tangente b berühren. Soll
der
Übergang
der
Kreisbogen möglichst
sanft sein, so ist die
Konstruktion
der
Mittelpunkte M 1 und
M 3 die folgende: Ziehe
die Winkelhalbierenden
BD und AD; dann
Abb. 91. Mz
DM1M 2 .L AB; AM1
.L CA und BM3 .L BC.
sind die Mittelpunkte der gesuchten Kreise.
Begründung: .q::DBM1 = .q::BDM2 =90°oc
=900-2'
~; .q::DAM1 =
.q::ADM1
1 "Die ästhetische Kreiabogenkurve". Von C. Herbat, Dipl.-Ing.
in
Dortmund. Zeitschr. f. Math. u. l>hya. Bd. 58, 8. 72-73. 1910.
Die Zweikreiskurve.
87
Wir wollen die Halbmesser r. u.nd r 2 der Kreise auch beEs sei AB= c.
rechnen~
Ausl::,.ABD und l::,.ADM1 findet man r 1 =
2 sm
.
Ot:
•
y
2 •sm-2-
Aus l::,.ABD und l::,.BDMt findet man
Begründe die folgende zweite Konstruktion der Mittelpunkte:
Mache BF=BC-AC=a-b und EF=EA; ziehe EM1 M 8 l.AB.
Anleitung: Ist
8
=a
+: +
c, dann ist EA =
8-
a; BE= 8 - b,
somit BF =a-b. D ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC.
Zahlenbeispiel: Für c = lOcm; ß = 30° und a: =I. 45°, 2. 60o,
3. 150° werden I. r 1 = 5,55, r 1 = 12,14 cm; 2. r1 = 3,66, r 8 = 13,66 cm;
3. r 1 = 1,34, r~ = 18,66 cm.
24. Gegeben (Abb. 92) zwei konzentrische Kreise mit den Halbmessern
R und r. 1\lan soll durch
einen beliebigen Punkt A
des großen Kreises einen
Krels ziehen, der den großen
Kreis unter dem vorgeschriebenen Winkel a:, den kleinen unter dem Winkel ß
schneidet. (Zentrifugalpumpen.)
.
I. Konstruktion. Wir
nehmen an, AB sei der ge·
suchte Kreis, M 1 sein Mit-
A
telpunkt, e sein Halbmesser.
Wir verlängern AB bis C.
Die Dreiecke AB M 1 und
BMC sind gleichschenklig;
Abb. 92.
ferner ist ~ M 1 AM = cx
und ~ M 1 BM = ß (Winkel
mit paarweise aufeinander senkrecht stehenden Schenkeln).
sei y; dann ist
(t,AMC),
u = 180- (w + y)
w = 180- (a: + ß +;v), somit
u = 180 - 180 (a: ß ;v) - y, oder
U = a:+ß.
+ + +
~
BA M
88
Funktionen der Summe und der Differenz zweier Winkel.
Demnach findet man den Punkt B auf folgende Weise. Ziehe AM, mache
<}: AMO =·u = « + ß. Man erhält 0. AC schneidet den kleinen Kreis
in B. Aus A und B und den Tangenten in A und B läßt sich M 1 leicht er·
mitteln.
2. Berechnung des Halbmessers Q· Ziehe M 1M in der Abbildung
und wende den Cosinussatz an auf die Dreiecke AM1 M und BM1M.
Es wird
f! = 2 (R COS(X
-
r
COB
ß) •
§ 12. Funktionen der Summe und der Differenz
zweier Winkel.
Nachdem wir in den vorhergehenden Paragraphen einige
Sätze der Trigonometrie kennen gelernt haben, Sätze, die zum
Berechnen der Stücke eines Dreiecks gebraucht werden können,
wollen wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Formeln der Goniometrie, der Lehre von den Beziehungen der
Winkelfunktionen untereinander, entwickeln. Insbesondere soll
in diesem Paragraphen gezeigt werden, wie die goniometrischen
Funktionen der Summe oder Düferenz zweier Winkel aus den
goniometrischen Funktionen dieser Winkel berechnet werden
können.
In den beiden Abb. 93 und 94 ist um den Scheitel des Winkels (ot + ß) der Einheitskreis geschlagen, und zwar ist in der
Abb. 93.
Abb. 94.
Abbildung links ot + ß < 90° und in der Abbildung rechts
+ ß > 90°, aber ot und ß je kleiner als 90° angenommen. Man
beachte zunächst nur Abb. !!3. Aus ihr folgt:
ot
sin (ot
+ ß) = AE = ED +DA.
89
Summe und Dlffuenz.
Nun ist
ED=EO•coscx und EO=sin{J, somit ED-=cou.ain{J.
Ebenso ist
DA = BO = 00 ein cx und 00
daher
= cos {J,
also DA
+ tl) == sin a cos tl + cos a sin fl.
sin (a
= sin cx cos {J,
(1)
Aus der gleichen Abbildung folgt:
cos(cx + ß) =OA =OB -AB =OB -DO,
OB= OO·coacx = cos{J·coscx,
DO = EO·sin cx = sinß sin cx
und somit
cos (a tl)-= cos a eos ß- sin a sin fl.
+
(2)
Diese Formeln können auch aus der Abb. 94 abgeleitet werden.
der Ableitung kommt nur eine kleine Verschiedenheit in den
Vorzeichen vor, die Ergebnisse werden genau gleich. Solange cx
und {J spitze Winkel sind, haben daher die Formeln (1) und (2)
Gültigkeit; sie gelten aber ganz allgemein für beliebige
Winkel cx und ß,
.
~n
Vergrößert man einen Winkel, z. B. ß um 00°, so daß
dann ist
sin (a. + ß') = sin (90° + a. + ß) = cos (a. + {J)
= cos cx cos P- sin a. sin ß[nach (2)].
COB (a.
Nun ist
ß' = 90 + ß,
+ {J') = COS (90° + CX + {J) = -Bin (a. + {J)
sin a. cos {J- cos cx sin {J nach [(1)].
= -
Bin {J = -
+ {J) = sin {J'
COB (90 + {J) = - COB {J',
+ {J') =
cos cx cos ß'- sin cx sin {J'.
cos {J = sin (90
daher
sin (a. + ß') = sin a. cos ß'
und
cos (a.
+ cos a. sin {J'
Das sind aber genau die Formeln (1) und (2). Gelten also die Formeln
für die Summe zweier spitzer Winkel, dann haben sie auch Gültigkeit,
wenn ein Winkel um 90° vergrößert wird, somit gelten sie auch für jede
wiederholte Vergrößerung des einen oder anderen Winkels, d. h. sie gelten
allgemein.
Die Formeln für die Differenzzweier Winkel können ebenfalls an Hand von Abbildungen abgeleitet werden. Einfacher gelangt man jedoch folgendermaßen ans Ziel:
90
Summe und Differenz.
Es ist
IX - ß
daher
sin (IX - ß) = sin [IX
Da aber
= IX + (- ß),
+ (- ß)] =
sin IX cos (- ß)
[nach (1)].
+ cos IX sin (- ß)
sin (- ß) = - sin ß
und
cos (- ß) = cos ß
ist, erhalten wir
sin (a-ß)= sin aeosß- eos a sin ß.
Ähnlich lindet man
eos ( a - ß) = eos a eos ß
+ sin a sin ß.
(3)
(4)
Man beachte, daß in den Formeln für sin (IX± ß) rechts immel'
zwei verschiedene, bei cos (IX± ß) aber zwei gleiche Funktionen
miteinander multipliziert werden. Diese Formeln (3) und (4)
haben setbatverständlich ebenfalls allgemeine Gültigkeit, da sie
ja aus den allgemein gültigen Formeln (1) und (2) hergeleitet
wurden. Die Allgemeingültigkeit erstreckt sich auch auf die folgenden Formeln, zu deren Herleitung wir die Formeln 1 bis 4
benutzen.
t (IX + ß) = sin (a; +_11_ = sin a; cos ß + cos IX sin ß
g
cos (a;
+ ß)
cosa;cosß- sina;sinß'
Dividiert man Zähler und Nenner durch cos IX cos ß, so erhält man
t (a+ß)= tga+tgß .
g
1-tga.tgß
Ähnlich findet man
tga-tgß
tg (a-ß) =l+tga•tgß'
Auf ganz ähnliche Art könnte man die, allerdings weniger
benutzten, Formeln ableiten:
und
ct (IX
g
+ ß) = ctg a; · ctg ß ctg fJ
+ ctg a;
1
ct (IX _ ß) = ctg a; · ctg ß + 1 .
g
ctg fJ - ctg IX
91
Doppelte und halbe Winkel
§ 13. Fwtktionen der doppelten und halben Winkel.
Setzt man in den Formeln des vorhergehenden Paragraphen
an die Stelle von ß den Wert
man:
tlin (IX + IX) = sin 21X =
sin IX cos IX
=
+
=
bzw. für
cos 2 a = cos 2 a - sin 2 a,
tg 2 a=
ß je
; , so erhält
.
+ 2cx) = smiX
=
.
. a
a
sm a = 2 sm -2- cos1r
(l)
COS IX
=
COS ( ;
cx
sin IX sin IX ,
-
und
= sin-~cos~
+ cos·'!-_sin~·
2
2
2
2'
COS (IX+ IX)=
cos IX cos IX
IX
. (cx
sm
2
cos IX sin IX,
sin 2 a = 2 sin a cos a
COS 21X =
IX
;
+ ;)=
.cx.cx
a:
= cos 2 cos 2 - sm2sm 2 ;
(2)
2tga
1-tg8 a'
a
2tg2
(3)
tga=
cc·
1-tg8 2
Durch Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen:
1 = cos 2 IX + sin2 IX ,
oos 2 IX = oos 2 IX
-
sin2 IX ,
I
I
cx
erhält man:
1
+ cos 2 a =
.• cx
cos IX= cos 2 2 - sm•2;
1 + cos a = 2 cos2 2 ;
a
2 cos 9 a,
(4)
1 - cos 2 a = 2 sin 9 a ,
OOS(X=
± v1
+ cos2cx
2
..
1-cosa=2sin2:;
oder
(5}
.
±V1-cos2cx
Slnot=
2
.
cx
Slll2=
±1/1-coscx
y 2 •
Durch Division dieser Gleichungen erhält man:
t
g
(X_
- ±
1ß-cos 2cx.
Yr::t="" cos 2cx'
tg;=±
1-coscx
1+cosoc'
tlbungen zu § 12 und § 13.
92
Diese Formeln zeigen, wie man die goniometri.lchen Funktionen
des doppelten oder des halben Winkels durch die des Winkels
selbst berechnen kann.
§ 14. Übungen zu den beiden vorhergehenden
Paragraphen.
1. Setze in den Formeln (1) bis (5) des § 12 für IX und fJ irgend
zwei
Winkel und prüfe die Richtigkeit durch Ausrechnen. Ist z. B.
sin 250·cos 50° + cos 25° sin 500 = sin 75°.
2. Leite aus den Formeln (1) bis (4), § 12, die entsprechenden Formeln
des § 8 ab, z. B. sin (90 + IX) = cos IX.
3. Beweise nach § 12 die Richtigkeit der Formeln
a) tg(45 +IX)= 1 + tgiX = ct.g(45 -IX)= ctgiX + 1 ,
ctgqc -1
1- tgiX
b) ctg(45 +IX) = ctg IX - 1 = tg(45- rx) = 1 - tgiX
1 + tgiX •
ctg IX + 1
c) sin (oc + {J) • sin (IX - {J) = sin 1 1X - sin1 fJ = cos1 fJ- cos1 oc,
d) cos (IX + {J) • cos (IX- {J) = cos1 oc - sin1 {J = cos1 {J- sin1 1X,
2
- ; tg IX - ctg oc = - 2 ct.g 21X.
e} tgoc + ctgoc = - . em 2 oc
4. Berechne aus ~ = a (cos IX + cos {J) und
y1 •
11 = a (sin IX - sin {J) den Ausdruck
fxii-+
Ergebnis: 2 a · cos oc
~ fJ
6. Beweise mit Hilfe der Formelv. (1} und (4} in § 13 die Richtigkeit
der Formeln:
Bi~ •
t ~ = 1 - COS IX =
1 COBIX'
Bin IX
g 2
+
Bin~
ct !!_ = 1 + COBIX =
1- cosrx'
Bin IX
g 2
cos 2 oc - 1 - tg• oc
2
1 cos21X
Die beiden ersten Formeln ergeben sich auch unmittelbar aus der
Abb. 91S.
8. In der Abb. 96 sind durch den Punkt 0 auf dem Durchmesser eines
Kreises (r) zwei Gerade OA und OB gezogen, die mit dem Durchmesser die
+
8
Abb. 96.
Abb. 96.
93
Übungen zu § 12 und § 13.
gleichen Winkel ct einschließen. Es soll die Sehne AB=
h = OM und ot berechnet werden.
0 A = ~1 =
0B
s1
=
=
=
~~
~1
fr
1 -
8
aus r,
h1 sin1 ot - h cos ot;
= fr 1 - h1 sin1 cx + h • cos ot
+ ~~- 2 ~ 1 ~ 1 c08(180o- 2 ot) .
.Man findet s 2 r • c08 a, also unabhängig von h, was sich auch unmittelbar einsehen läßt.
7. Bestimme a und b aus den Gleichungen
=0
a cosot + b c08ß = G.
asinot-bsinß
.
sinß
b=G· sina:
ErgebD188e: a = G • sin (ot + ß) ;
sin (ot + ß)
tgoc
8. tg 2 (.1( = 0,5 - 0,5 . tg 1 (.1( •
I
•
. t· g l elC
. hWert•1g
9 • " sm ot . C08 ot lS
g
m1•t -2"
I
g
. 2 ot .
• Bin
10. Aus den Gleichungen
A sinot = b sinß-c siny
A cosot = bcoaß-c cosy
folgt durch Quadrieren und Addieren der Gleichungen
A 1 = b1 + c 1 - 2 bc cos (ß-y).
11. Zeige, da.ß sincx + c~s « tg :r: = tg (« + x) ist.
C08 « - sm oc tg x
12. Beweise:
sin 3 cx = 3 sin ot- 4 sin3 ot,
cos 3 ot = 4 cos3 ot - 3 cos ot.
Anleitung:
sin 3 ot = sin (2 ot + ot).
18. AB ist der DurchmeBBer eines Kreises. a und b sind die parallelen
Tangenten in A bzw. B. Ziehe durch den Mittelpunkt M eine Gerade, die
a in C schneidet. Die Tangente von C an den Kreis schneidet b in D. Berechne die Strecke CD aus dem Radius r und dem Winkel AMC = ot.
CD = 2 r: Bin 2 ot).
14. Ein rechwinkliges Dreieck liegt mit der Hypotenuse c in einer
Projektionsebene. Die Dreiecksebene schließt mit der Projektionsebene
den Winkel rp ein. Berechne aus den Katheten a, b und dem Winkel rp die
Projektion y des rechten Winkels.- Anleitung: Nach Aufgabe 28 § 6 ist
a
b
tg ot' = tg ot • OOS f{J = b •C08 rp; tg ß' = tg ß•COS rp = ctgot •COS f{J = aC08
rp;
= tg [180 ° - («' + ß')] = - tg {ot' + ß') = ... = Für a = 6; b = 8 cm; rp = 60° wird y = 125°45'.
tg y
a•
+~. Sln
c~g P.
f{J
ab
94
ReibungszahL
10. Wird an der Berührungsstelle zweier Körper
eine Kraft übertragen, so steht diese im allge·
meinen schief zur Berührungsnormalen. Man zerlegt diese Kraft in zwei Komponenten, von denen die
eine (N) in die Richtung der Normalen fällt und die
andere (R) dazu senkrecht steht (Abb. 97). Diese letzte
Komponente heißt die Reibung. Die Reibung ist erfahrungsgemäß ziemlich genau proportional dem Nor·
maldruck N zwischen den Körpern. Man setzt daher
R=p.·N.
(1)
Abb.97.
Der Zahlenfaktor p. wird Reibungszahl genannt. Die Abbildung
zeigt, daß
R = N . tg e
(2)
ist, wo e den Winkel zwischen P und N bedeutet.
winke!. Aus (1) und (2) folgt P = tg ~.
e heißt der Rei bunge(3)
Jeder Reibungszahl p. ist also ein Reibungswinkel e zu.
geordnet, dessen Tangens gleich p. ist. Die Reibungszahlen werden
durch Versuche bestimmt. Die Reibung ist immer der Bewegungsrichtung entgegengesetzt (Abb. 98).
16. Eine Last von G kg solllängs einer horizontalen Ebene durch
eine Zugkraft P bewegt werden. Wie groß muß die Kraft P mindestens
sein, wenn ihre Richtung mit der Horizontalen den Winkel "' einschließt?
(Abb. 99.)
Die auf den Körper wirkenden Kräfte sind das Gewicht G, die Zugkraft P und die Resultierende S aus dem Normaldruck und der Reibung.
p
s -,
I
I
1
N
I
:&wf9"'{9'srti:hfvl79
~~~~~~~~~~~r.
:
Abb. !18.
Abb. 99.
Nach § 9, Abschnitt b muß sowohl q.i.e Summe aller horizontalen als auch
der vertikalen Komponenten gleich 0 sein. Das ergibt
P·cos oc -S sin e = 0
P·sinoc+Scose=G.
Durch Ausschalten von S erhält man
P=
G·sine .
(1)
cos (oc- e)
Entwickelt man cos (oc - e) und berücksichtigt, da.ß tg e = p. ist, so kann
man (1) auch die Form geben:
P=
cos rx
p.G
+ p. sin «
(2)
95
Kegelabschnitt.
Beachte, daß (1) den kleinsten Wert von P liefert, wenn IX = e ist.
Beispiel: Ist G = 200kg und p. = 0,2, so wird
für IX= 0°
11°19
30°
50°
70°
" p = 40
39,2
41,4
50,3
75,5 kg.
17. Auf einer schiefen Ebene (Abb.lOO) mitdem Neigungswinkel fJ
soll ein Körper vom Gewichte G aufwärts bewegt werden. Wie groß ist
1
p
die erforderliche Kraft P unter Berücksich·
\
: '
tigung der auftretenden Reibung?
S
l? V1 <'<
Die Kräfte sind wieder P, G, S. Die Zerlegung in horizontale und vertikale Komponenten gibt die Gleichgewichtsbedingungen:
P cos (IX+ {J) = S sin ({J + e)
6 \
fJ
Psin (IX+ ß) +S cos ({J + (!) = G.
Abb. 100.
Ausschaltung von S liefert:
+
+
p = G . sin (ß _g) = G . sin fJ
p. cos fJ •
(1)
COS (IX - (!)
COS IX + p. sin IX
Für fJ = 0 erhalten wir die Formeln (1) und (2) der vorhergehenden Aufgabe. 'Virkt die KraftP horizontal, ist also IX=- ß, so geht (1) über in
P = G · tg ({J
Beispiel: Ist G = 200 kg; p. = 0,2,
für IX= 25°
147,5
18. In der Abb. lOOa sind Grundund Aufriß eines geraden Kreiskegels gezeichnet. Der Kegel wird
von einer Ebene AU, die gegen die
Grundfläche um den Winkel o. geneigt ist, jZeschnitten. Es ist der
Rauminhalt V des obern Teils SAG
zu berechnen.
Anleitung: Die Grundfläche
des abgeschnittenen Kegels ist eine
Ellipse, deren Halbachsen
=AM= MG, b =
yQ
2-
u2
berechnet werden können. Die Höhe
dieses Kegels ist SE. Man findet
V = V1 • [sin (ß- o.]s;, od er
· sin(ß+o.
(2)
ß = 35°, so ist
IX= 0°
" p = 148,9
a
+ !? ) •
209,4kg.
96
Summen und Differenzen von gleichen Funktionen.
Darin bedeuten:
J'1 den Rauminhalt des ganzen Kegels SAB
V~ den Rauminhalt des obern Kegels SCD
ß den Winkel der Mantellinien mit der Grundfläche.
Aus dem Ergebnis folgt weiter
V=
yr;-:v; = liS
Rr • y h1 • ht
(ClJ=2r; AB=2R). Diese Formel gilt auch für einen schiefltU
Kreiskegel.
§ 15. Summen und Differenzen zweier gleicher
Funktionen.
Die in § 13 entwickelten
Formeln bezogen sich auf
Summen und Differenzen
von Winkeln. Jetzt soll
gezeigt werden, wie man die
Summe oder Differenz zweier
gleicher Funktionen umformen kann. Von besonderer Wichtigkeit sind die
Formeln für die Summe
(Differenz) zweier Sinusoder zweier Kosinusfunktionen. Die Formeln lauten:
.Abb. 101.
1.
sin a +sin fl =
2 · sin " +
tl • cos " -2 tl
2
2.
sina-sinfl=
2·sin a-tJ·cos"+fl
3.
cos a + cos fJ =
a+tJ
a-fl
2. cos - 2- . cos -2-
4.
cos a - cos fJ =- 2 •sin a
2
2
t tl • sin " 2 tJ.
Ableitung: In Abb. 101 ist ein Stück des Einheitskreises gezeichnet.
Es sei -<):FOG= ß und .q: FOH = oc. Weil OH = r = 1 ist, ist
EH= sinoc; CF= sinß; OE= cosoc; OF = cosß .
.q:COH = 11-p.
Geometrische Ableitung der Formeln.
97
Wir ziehen die Halbierungslinie OB dieses Winkels. In dem Trapez
FOHE ist
EH+ FO = 2·AB, oder
sinot
+ sinß = 2 ·AB= 2 ·OB· ein a ~ ß;
ot-ß
ot-ß
0 B =OB· cos - 2- = cos - 2- , somit ist
ein ot + sinß
sin1X-sinß
a
= 2 · sin ~ ßcos
a-; ß.
= EH-FO = EH-EG =
(1)
GH
2 · BH · cosiX +
= H 0 · cos a +
2 fJ ••
2 ß=
BH = OH·sin IX; ß = sin IX; ß, somit ist
. ot-ß • COB ot+{J
. ß = 2 • Bin
. IX - Bin
- 2- ;
- 2ein
cOBIX
(2)
+ cosß =OE+ OF = 2·0A = 2·0BcosiX tß
= 2 • 00 COB ot - ß• COS IX + ß oder
2
2
da 00 = 1
COB ot
+ COS ß =
2 COS IX t
ßCOB IX ; {J
(3)
cOBIX- cosß =OE- OF=- EF=- GO=- HOainot +fJ
2
= - 2·BHsiniXtß;
BH = sin IX; ß, somit ist
COB IX - COB ß = - 2 sin ot
;
ßsin ot t ß,
(4)
Auch diese Formeln gelten allgemein, d. h. für irgend zwei beliebige
Winkel.
Um diese Formeln leicht im Gedächtnis behalten zu können, achte
man zunächst auf den genau gleichen Bau der rechten Seiten; es sind
überall doppelte Produkte. Bei den Formeln (1) und (2) haben wir rechts
je zwei verschiedene, bei (3) und (4) zwei gleiche Funktionen.
Da. eine Vertauschung der Glieder eine Summe nicht ändert, muß bei
allen Formeln, welche die Summe zweier Funktionen enthält, die halbe
Dillerenz ot- -2-
des
'
·
· d er Funkt'Ion K osmus
fJ m
vork ommen. Der K osmus
98
Summen und Differenzen zweier gleicher Funktionen.
. keI8 {1. t Ja
. d er gIew
. h e Wie
. d er von cx.
. h:
W in
- 2- cx. i8
- -2-{1. Man merk e Sic
bei plus steht die Differenz bei Kosinus,
bei minus bei Sinus.
Übungen.
1. Setze in den Formeln 1 bis4 für {1 den Wert 0 und leite dadurch die
Formeln des § I3 ab. Zeichrie auch die zugehörige Figur.
2. Leite die Formeln I bis 4 auch auf die folgende Art aus den Formeln
I bis 4 in § I2 ab.
sin (x + y) = sin x cos y + cos x Ein y,
sin (x- y) = sin x cos y- cos x sin y. Addition liefert:
sin(x
+ y) +
sin(x- y)
= 2sinxcosy.
Setzt man x + y = cx.
x - y = {1 , dann ist x = cx.1 {1 und y = cx. ; {1, somit
. CX. +"ß
Sln
Sill
= 2.cx.+ß
Sill - 2- COS cx.-ß
- 2- . (FormE>] I, oben.)
3. Beweise die Richtigkeit der folgenden Formeln:
I
I
t cx. + t ß = sin (cx. + ß)'
g
g
coscx. cosß
t cx.-t ß-sin(cx.-{1)
g
g - coscx.cos{J'
tgoc + tgß
tgcx.-tgß
sin(oc + ß)
sin(cx.-ß)'
sincx.- sinß
coscx. + cosß
cx.- P
= tg-2-,
sincx.+sinß
coscx. + cosß
= tg-2-'
Anleitung:
Ersetze tg cx. durch
sin
·
d"ie B rüch e
CoSäcx. usw. und brmge
auf gemeinsamen Nenner.
cx.+ß
sin cx. + sin ß t cx. + ß
cx. - ß
IX + ß
a: - ß
sincx.- sinß = g-2-·ctg·-2- = tg-2-:tg-2-.
4. Beweise.
1 +sincx. = t (45o + ~)
COB 0(
g
2 '
coscx. = t (450- ~)
1 + sincx.
g\
2 '
cx.)
1 + sincx. _
0
2 (
I - sin cx. - tg 45 + 2'
'
Anleitung:
Set ze 1 + sincx. = sin 900 + sina: .
COS CX.
COB 90° + COS CX.
Die Formeln können auch unmittelbar der Abb. 102 entnommen
werdl'n.
99
Tangenssatz.
ö. Tangenssatz. Sind IX und ß zwei Winkel eines Dreiecks, a und b
die gegenüberliegenden Seiten, so gilt die Beziehung:
a+b
«=fj =
a+tl
tg-2-
((- tl'
(1)
tg-2-
Beweis: Nach dem Sinussatz ist
a
sin IX
b = sinß'
Durch entsprechende Addition und Subtraktion folgt hieraus
a + b siniX + sinß
(2)
a - b = sin IX - sin ß ·
Die rechte Seite von (2) stimmt aber nach dem
letzten Beispiel der Aufgabe 3 mit der rechten Seite
von (I) überein. Die Beziehung (1) (Tangenssatz
genannt) kann benutzt werden, wenn aus zwei
Seiten eines Dreiecks und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel' die beiden nnrlern Winkel
berechnet werden sollen.
Beispiel: a = 10 cm; b = 8 cm; y = 70°.
Abb. 102.
Es ist a + b = I8l
Aus (I) folgt dann
a-b=2
IX-ß I
cx-ß
IX+ p
tg - 2 - = 9 tg 55° = 0,1587; also - 2 - = go 1'.
0
-2- = 55
Demnach ist
!X+2 ß =
550
IX;{J=901'.
Durch Addition und Subtraktion dieser beiden Gleichungen erhält
man cx = 6401' und ß = 45°59'. (Siehe § 11, 3. Aufgabe, Beispiel I.)
6. Beweise: sin (300 + cx) + sin (3() 0 - IX)= cos IX,
cos (30° +IX)- cos (30°- ()() = - sin IX,
sin(450 +IX)- sin{45°- IX)= }'2·siniX.
A sin (x + cx) + A sin (x- ()() = 2 A cos IX·sin x.
1. Beweise: sincx•coa{J = 1/ 1 [sin(IX + ß) + sin(cx'- ß],
cos IX•cos ß = 1/ 1 [cos (IX + ß) + cos {IX - ß)],
slniX·sinß = 1/ 1 [cos(IX -ß) -cos{IX + ß)].
Setze in allen Formeln IX = 700; ß = 500' und rechne sowohl die linke
als die rechte Seite jeder Formel aus. - Setze IX = ß. - Setze ß = 0.
8. Prüfe die folgenden Beispiele:
2 cos 20° cos 300 = cos 50° + cos IOO cos 70° + cos 20° = }2. cos 25°
2 sin 200 sin 300 = COS lQO- COS50° COS 120°-cos 50° = - 2sin85°sin35°
J Sin 1500 COS 4()0 = COS 200- Bin lQO sin 80° + sin 30° = 2 sin 55° COB 25°
2 COR 700 sin 20o =
1 - sin 500 sin 200 - sin 10° = 2 sin ;) 0 c·oH I.'\"
Hel, Trigonometrie.
7
100
Summen und Differenzen zwerer gleicher Funktionen.
9. C08 ot
=i= ein ot = )'2. COB (W ± a&)
~s~not=t (46o_cx).
± sinot = }'2 • Bin (46° ± ot);
008 CX
coscx+s~not=t (45 o+ot)
g
COB ot + Bln ot
g
COS ot - Bln ot
10. n gleich lange Strecken e werden a.neina.nder gelegt, und zwar so,
daß jede folgende gegenüber der vorhergehenden im gleichen Sinne um den
Winkelot gedreht ist. Wie lang ist die Verbindungslinie E von Anfangsund Endpunkt 1 (Abb. 103.)
Die Punkte·AA1, A1 •.. A,.liegen auf einem Kreise mit dem Halbmesser,.,
~ AMA 1 = ~ A 1 MA 1 = A 1 MA 1 = ••• = oc; ~ AMA. =not. Nun ist
c = 2r · sin.!.; E
2
= 2r· sin ~~;
2
. (not)
somit E = e·
lllil
2
. ot
sm 2
Für kleine Werte von ; kann der Sinus durch den Bogen ersetzt werden
An.
. not
-.
·sm
und es1'st E - -2c
2
~
Abb.lOS.
Abb.104.
11. Es sei (Abb. 104) AA 1 = A1 A 1 = A 1 A 8 = ..... = 1; dann ist
Bin n{J
nach der vorhergehenden Aufgabe AA,.
= e = ~.
111Il2
Der Winkel ,. ist
als Umfangswinkel über dem Bogen A 1 A,. gleich der Hälfte des zugehörigen Mittelpunktswinkels (n- 1) ß. Die Strecken AA1, A 1 A 1 •••
schließen mit der Horizontalen durch A der Reihe nach die Winkel ein;
«; ot + {J; <X + 2 ß; •... ot + (n- 1) ß. Projiziert man daher den Linien·
zug AA1 A 1 ••• A,. und die Schlußlinie AA,. = c, sowohl auf AB, als ~LUch
auf die dazu senkrechte Gerade A,. B, so erhAlt ma.n die wichtigen Formeln:
. nß
ooscx + cos(<X +
sincx
ß) +
(
SID2
· · • + cos [<X+ (n -1)ß) = ----:tf ·cos ot
sm 2
+ sin(cx + fJ) + .. . + sin [ot + (n -1)/1] ...
7 ·
sin n{J
sin ( ot
Stn
2
+"'; 1 ·fJ)
+
n;
1•
p)
Kettenrad.
Setzt man cx
=
0, so erhält zaan
1 + cosß + cos2ß +
·· · +
101
. nß
sm-2-
n-1
cos(n- 1)/J = - - · cos - - ·ß
2
sinp_
2
(2)
. nß
sm-
sin ,8 + sin 2 ß + .. · + sin (n- 1) fJ =- - -2- ·Bin"- 1 . ß
• fJ
sm2
Setzt man in (1) oder (2) für
360°
.
2:n:
fJ den Wert-- oder m Bogenmaß-,
"
worin n eine positive ganze Zahl bedeutet, so
1800)
= sin ( n •
= sin 180° = 0,
n
coscx
2
+ cos(at + 2nn) +cos(at+ 2· 2: ) +
n
ist, weil
Bin(~)
· · · +cos[at+(n-1) 2nn] =
01 (1'
Bincx + sin (cx + 2nn) + sin (Ot + 2· 2nn) + .. · + sin [at+ (n- 1) 2nn] = 0
1 + cos ( 2: ) + cos (2· 2nn) + cos(3· 2nn)+ · · · + cos(n- 1) 2""n =
0]
Bin ( 2nn) + sin ( 2· 2nn) + sin ( 3· 2nn) + · · · + sin (n- 1) 2nn = 0
Beweise:
cosfJ+cos2{J+cos3fJ+ ... +cosn{J=
.(
sm n+
(2')
. 2fJ
2l)ß -sm
fJ
2sin 2
COB}_- COB (
2
Bin{J + Bin2{J + sin3{J + · · · + sinnß =
n+ ]:_)ß
2
fJ
2Bin 2
12, In Abb. 105 ist ein Kettenl-ad gezeichnet. Es bezeichnen: t die
Kettenteilung, d die Ketteneisenstä.rke, & die Zä.hnezahl. Aus diesen drei
Größen ist der Durchmesser D = 2 r des Teilkreises zu berechnen.
Lösung: Nach der Abbildung ist
t + d
= 2r·sin ~ ;
t- d = 2r·sin {. Hieraus folgt:
ß)
.
• 0t
•
cx+fJ
Ot-ß
t=r ( sm-+sm-=2r·sm--·cos--·
2
2
4
4
'
Ot
. ß) 2 T • C a+ß.a.-P
..~ =r (·
Bin--ein-=
OB--Bm--.
2
2
4
4
102
Summen und Differenze.n zweier gleicher Funktionen.
Nun ist
a:
a:
+ {1 =
1ß
=
3601.
, a so
lBt
3
~O .
Demnach ist
= _t_ = 2rcosa:
. 90
sm-
-ß
4
3
ß·
= _d_ = 2r · sin a: -
90
4
cos b
Durch Quadrieren und Addieren dieser beiden Gleichungen erhält man
2r=D=V(~)2+
(~)2·
smcosa
3
Zahlenbeispiele enthält die folgende Tabelle:
Ketteneisenstärke
d = I.
Innere Gliedlänge
t=
Zähnezahl
a=
TeilkreisdurchmeBBer D=
6mm 2. 8mm 3. 16mm 4. 20 mm
22,5"
18,5"
62,5 "
48 "
8
6
6
9"
115,6"
71,8"
242,4 "
277 "
13. Beziehungen zwischen Funktionen von
drei Winkeln, deren
Summe 1800 beträgt,
also z. B . von Dreieckswinkeln.
(Beachte § 9a, Aufgabe 7.)
Beweise:
a) sin a:
+ sin{J + siny
= 4 cos 2a:
Anleitung: siny = sin (« + ß), entwickle sin a:
Formel (1) und sin (a: + ß) nach § 13, Fotmal (1).
o) sin « + sin ß - ein y
= 4 sin ;
sin
cos ~.
+ cos ß + cosy =
4 ein ; ein { . sin
~
d)
+ COB ß -
4 C08
~
CO& ot
008 y =
;
+ sin ß
?
c) cos ot
COS :
Bin
+1.
-
ß
y
cos 2- cos 2
l.
.
nach § 15,
103
Goniometrische Gleichungen.
e) tg ot + tg ß + tg y = tg ot • tg ß · tg y.
Anleitung: tg (ot + ß) = - tg y. Formel für tg (ot
f)
+ ß) § 12,
ß
y
ot
ß
y
ctg -f + ctg y + ctg -~f = ctg -2- · ctg 2 · ctg !f .
Formel5.
ot
§ 16. Goniometrische Gleichungen.
Wer den folgenden § 17 verarbeitet, wird vorteilhaft diesen Paragraphen erst nach § 17 studieren.
Zur Auflösung goniometriacher Gleichungen beachte man die folgende
Regel: Man formt die Gleichung um, bis sie nur eine Funktion des gesuchten Winkels enthält (also z. B. nur sin x, oder nur tg x usf.). Beachte
auch § 4, Aufgabe 4.
1. sin x cos 2 x = 1,09;
x = ?
Anleitung: Setze cos 2 X= 1 - sin 2 x, und löse nach sin X auf.
XI= 5°44'; Xz = 64°10'; X 3 = 180- XI; x, = 180- X 2 •
+
2. 3 sin ot = 4 ctg o:;
ot = ?
Setze ctg ot = sin
COSot
• 2
ot; sm ot
ot 1 =
8. cos x·ctg x
= 2;
Setze ctg x
57039';
= 1ot 2
=
cos I
ot;
• d
es w1r
302°21'.
x=?
= c~sx;
smx
x 1 = 2-:l 0 28';
cos1 x
= 1- sin1 x;
es wird
x 2 = 155°32'.
4. sin x = 0,4 cos x.
Setze cos 2 x = 1 - sin 2 x; es wird
x1 = 20°32';
x 2 = 159°28'.
2
5. 2 (tg x + ctg x) = 7.
Setze ctg x = 1 : tg x und löse nach tg x auf.
XI= 72°34'5; Xz = 252°34'5; Xa = 90- XIi X&= 180
+
X 3•
6. sin 2 x = cos x.
Lösung: sin 2 x = 2 sin x cos x;
2sin XCOS X= COB X;
COB X (2 sin X - 1) = 0.
Aus cos x = 0 folgt x1 = 90°; x 2 = 270°.
" 2 sin x- 1 = 0 folgt x 3 = 30°; x, = 150°.
Andere Lösung: Aus der Gleichung
sin u=sinß
kann folgen a - ß k • 360°
Ik_ 0 1 2
oder a + ß= 180G + k 3600 I - ' '
wie man aus dem Einheitskreis ersieht. Ist nun
sin 2 .r =--: cos x = sin (900 + x), so ist, für Winkel zwischen
oo und 3600, entweder
=
Goniometrisohe Gleichungen.
104:
2 Xt - 00- X 1 ::::- 0 oder Xt = 900 (fe = 0)
2 X2 + 90 + X2 = 1800 ; X~= 300 (k = 0)
2xs+90+xs=5400; x8 =1500 (k=l)
2 X4 + 90+ x 4 = 9()00; x,= 2700 (k= 2).
7. Bin (500- x) = 0011 (500 + x)
Xj = 315 0,
Xt = 1350
8. Bin (500- x) = cos (200 + x)
Xi '= 3300,
Xt = 1500
9. ein (2 x) = 2 · c08 x
2709,
Xll
900
Xt =
10. tg (2 a) = 4 sin u. (Gesucht o. zwischen oo und 1800)
0.1 = 0; Ui = 1800;. Olj = 320 32'; o.e = 1260 22'5.
=
11. ein (x + IOO) + oo8 (x - 20°) = 1,2.
Setze cos (x- 20°) = 8in (90° + x - 20°) =ein (x + 70°).
Summe zweier Sinusfunktionen.
x1 = 9608'42".
x1 = 3051'18;
12. ein {x + 15°) C08 (x- 30°) = 0,5.
Beachte: ein rx · co8 ß =
!
[ein (rx +
=
= 24°28'
x1 = 16°1'; x1 = 88°59'; x 3
18.
cos 1
x = 2 ein x
x1
ß) + ein (rx - ß)].
196°1';
X
= 268059'.
x1 = 180- x1•
14. coe x- sin x = sin x·coe x.
Quadrieren und nachher den Winkel 2 x einführen.
Xz = 24202'.
x1 = 27°58'
16. Oft kann man zur Lösung der Gleichung eiuen Hilfewinkel 9'
einführen. Ist z. B. eine Gleichung von der Form
asinrx+bc08ct=c
gegeben, so dividiert man durch a.
c
b
.
smrx+a-c08o:=-;•
setzt
ab = tg
!p;
9' kann hieraus berechnet werden.
Es ist nun
c oder
t g!pco&o:=.
smo:+
Cl
sin (o: + !p) = ~ · co8 !p;
a
hieraus folgt rx + !p, daraus rx.
Beispiel: 8in x + 3 cos x = 1,5.
= 316°46'.
a:,
105
Regula falsi.
= 1 51
'
18. 8~ z
am••
1:1
X+ 11 =
9QO
Es ist ein 11 = sin (90 - z)
J
z
=
1J =
56°20',
330 40'.
= cos z,
11
.
z ~ 11 = 1020
2 °} z +2 11 ist bekannt; x -2 ergibt sich aus
smx-sm11=,
der Formel für sin x - ein y.
% = 71°32',
y = 48°28'.
17 •
18.
C08
X+ 11 =
X+ 00811 =
124°} Z = 93°34',
0,8
g = 3QO 26'.
19. In den folgenden Beispielen ist neben der goniometrischen Funktion von x noch z selbst vorhanden. Dadurch wird die Lösung der Glei·
chung etwas schwieriger. Man wird solche Gleichungen nach den bekannten
Näherungsverfahren unter Benutzung von Millimeterpapier lösen. Es sei
z. B. x aus der Gleichung:
COS X= 1,2 :II
zu bestimmen.
Erste Lösung: Es ist
cos X - 1,2 z = 0
(I)
Wir setzen
1/ = COS X - 1,2 X
(2)
(x ist in Bogenmaß einzusetzen). Man denke sich für x auf der rechten
Seite verschiedene Werte eingesetzt und die zugehörigen y berechnet.
Jedem Wertepaare (x, y) entspricht in einem rechtwinkligen Koordinaten·
systemein Punkt, der Gesamtheit von Wertepaaren (x, y) eine Kurve.
Für die Schnittpunkte der Kurve mit der Abszissenachse ist y gleich 0,
also nach Gleichung (2)
0 = cos z - 1,2 x,
d. h. die Abszissen der Schnittpunkte der Kurve
y = COB X - 1,2 Z
mit der x-Achse sind die Wurzeln der Gleichung (1).
Man braucht nun diese Kurve nicht zu zeichnen. Wird nämlich für
irgendeinen Wert x1 nach Gleichung (2) der zugehörige Wert y1 positiv,
für einen a.ndem Wert x 2 aber negativ, so liegt der erste Punkt (Zt, y1 )
oberhalb der x-Achse, der zweite Punkt (x 2, y 2 ) dagegen unterhalb. Zwischen
diesen Punkten wird die Kurve, wenn sie stetig ist, die z-Achse schneiden
müssen, d. h. zwischen x1 und x1 liegt eine Wurzelder Gleichung (1). Nunist
fürx=O,
y=cosoo-1,2·0=+1,
"
x
=
n
2
n
(000): 11 = cosooo- 1,2 · 2 = - 1,885.
Demnach liegt zwischen 0~ und 90° eine Wurzel, und zwar, wahrscheinlich
näher bei 0° als bei 90°. Wir versuchen es mit x = 30° und x = 40°:
für x 1 = 300 (0,5236) wird 111 = + 0,2377} Zwischen :Wund 40° liegt also
,. z• = 400 (0,6981) " r 1 = - 0,0711
eme Wurzel.
106
Goniometrische Gleichungen.
Wir zeichnen nun auf Millimeterpapier eine 10 cm lange Strecke AB,
die dem Intervall 30° bis 40° entsprechen möge (siehe Abb. 106); errichten
in A und B Lote von den Längen+ 0,2377 und- 0,0711 oder passenden
Vi-elfachen davon; verbinden die Endpunkte 0 und D durch eine gerade
Linie. Sie schneidet die Strecke AB zwischen 37° und 38°; demnach liegt,
wahrscheinlich, zwischen 370 und 38° eine Wurzel der Gleichung, und zwar
näher bei 38°. ZwischenO undD haben wir die Kurve näherungsweise durch
die Sehne ersetzt.
Für x1 = 370 (0,6458) wird y 1 = + 0,0236} Demnach liegt tatsächlich zwi" x2 = 38o (0,6632) " Ya = - 0,0078 sehen 37° und 380 eine Wurzel.
Wir zeichnen auf Millimeterpapier eine 6 cm lange Strecke AB, die
dem Intervall 1° = 60' (37° bis 38°) entsprechen möge (siehe Abb. 107);
!/1
A
.Y(J
1ß3'f56
D
Abb. 106.
Abb. 107.
errichten in A und B Lote, die den Ordinaten + 0,0236 und - 0,0078 entsprechen. Die Gerade CD schneidet die Strecke AB in einem Punkte, der
dem Winkel 45' entspricht. Es ist also der gesuchte Winkel
X=
37°45'.
In der Tat wird für diesen Winkel y = 0 (mit vierstelligen Tabellen
gerechnet). Das besprochene Verfahren nennt man auch die "Regula falsi".
Zweite Lösung: Man zeichnet wieder auf Millimeterpapier die zwei
Kurven, die den Gleichungen
(I) y1 = cos x (Kosinuskurve)
(Il) !Ia = 1,2 x (Gerade Linie)
entsprechen. (Siehe Abb. 108.)
Auf der Ordinatenachse wähle man 10 cm als Einheit; auf der Abszissenachse möge die Länge I cm 0,1745 Einheiten des Bogenmaßes, oder was das
nämliche ist._ 10° entsprechen. Die beiden Kurven I und II treffen sich
in einem Punkte P. und für diesen ist y1 = y 2 , also cos x = 1,2 x. Ma.n
entnimmt der Abbildung, daß dies für etwas mehr als 370 der Fall ist.
Um daa Ergebnis genauer zu finden, zeichne man das in der Abbildung
Die Sinuskurve.
107
durch ein ganz kleines Quadrat abgegrenzte Gebiet in einem größeren Maßstabe (Abb. 109); dadurch findet man x = 37°45' oder in Bogenmaß 0,659.
Durch wiederholte Vergrößerung des Schnittpunktgebietes
I
,.
~
1,0
17,6
r---.
r-
0.600
~
0,7!16
.........
0.716
V .:
"""' [\
,_ V
-I
lt1
~
\
-
-
0,7!10
\
0,188
IF8~
o
~
~
~
~ ~
~
ro
~
I
0
•
'
"'I"-
I
0,786
!ll
I
I
.........
0.'183
0
I
0.71~
0,1/JZ
I
~V
. . . . . • .. . 1\. . .
Jl•
IJ.Z
,...
V
~
so
~-
•5
Abb. l08.
~I
"' ""'
v.sA ~,....
T 0
J6
JO
Abb. 109.
kann man jede beliebige Genauigkeit erreichen; die Kurven
müssen nur in der Nähe des Schnittpunktes exakt .gezeichnet werden.
Weitere Beispiele:
1. tg X = 0,5 COB X + X
2. sincx -1,5 + l,Scx = 0
3. tg X= X
4. ;
+ sin cx -
cx = 0.
X
= ("' 500) = 0,873.
<X
= (31 0 15') = 0,545.
X=
(257°27' ) = 4,4934
(außer x = 0).
(Siehe Aufgabe 5, § 9).
§ 17. Die Sinuskurve.
Die Konstruktion der Kurve wurde schon in § 7, Abb. 65 behandelt. In diesem Paragraphen soll diese Kurve, die in der Technik eine wichtige Rolle spielt, eingehender besprochen werden.
Ein Vektor M P = A (Abb. llO) drehe sich in positivem
Sinne mit konstanter Geschwindigkeit um den Punkt M. Nach
einer bestimmten Zeit t (in St-.kunden gemessen) möge er sich aus
der Anfangsstellung M 0 um den Winkel oc in die Lage M P gedreht haben. oc ist mit der Zeit veränderlich, also eine Funktion
der Zeit. Da der Vektor in gleichen Zeiten gleiche Winkel überstreicht, so ist oc der Zeit proportional. Wir setzen also
a=w·t.
(1)
108
Die Sinuskurve.
worin w den Proportionalitätsfaktor bedeutet. Wir messen ot in
Bogenmaß (§ 6, Aufgabe 57). Nach Verlauf einer Sekunde ist
nach (1) ot = w·1 = w. Es ist demnach w der Bogen des
Einheitskreises, der von dem Vektor in einer Sekunde
überstrichen wird. Mann nennt w die Winkelgeachwindig8
Abb. 110.
keit. Gleichung (1) sagt demnach aus: Überstreicht der Vektor
in einer Sekunde den Bogen w, so dreht er sich in t Sekunden
um den Winkel wt.
Übungen.
1. Wie groß ist w, wenn der Vektor in einer Sekunde 0,2; 0,5; 1; 25;
tt Umdrehungen macht? ErgebniBBe: w = 1,26; 3,14; 6,28; 157,1;
n · 2 n pro Sekunde.
2. Ein Vektor hat die Winkelgeschwindigkeit w = 2 pro Sekunde.
In welcher Zeit überstreicht er einen Bogen mit dem Mittelpunktswinkel
aoe;
000; 000; 36001 ErgebniBSe: 300 entspricht dem Bogen ~; nach (I)
ist daher ~ = 2 • e, somit
e=
0,2618 Sekunden. Für die übrigen Winkel
erhAlt man 0,524; 0,785; 3,14 Sekunden.
8. Die Winkelgeschwindigkeit sei w. In welcher Zeit macht der Vektor
eine volle Umdrehung; .Antwort: 2 n.
(J)
Der Abstand y des Punktes P von dem horizontalen Durchmesser des Kreises kann für jeden beliebigen Winkel ot oder für
jede beliebige Zeit t aus der Gleichung:
Y=Ä · sina= Ä • sin(wt)
berechnet werden. Der größte Abstand y wird für
2700 oder ot = ; und 32n erhalten. Für
-j-
(2)
oto =
wird y =
90° und
+ .A,
für
Allgemeines über die Sinuskurve.
3 31 wird y
2
109
= -
A; also in jedem Falle gleich dem Halbmesser des
Kreises, auf dem sich P bewegt. Für die Winkel
a = 0; n, 2n wird y = 0.
Wir stellen nun den Zusammenhang zwischen dem Winkel ot
und dem Abstand y in einem Koordinatensystem zeichnerisch
dar. 0 sei der Koordinatenanfangspunkt; die von 0 nach rechts
gehende Gerade sei die positive Abszissenachse. Auf ihr tragen
wir den Winkel, senkrecht dazu die Größen y ab, die wir entweder aus (2) berechnen oder dem Kreise links entnehmen. Wenn
wir ot in Bogenmaß messen, sollten wir die horizontale Strecke
00 gleich dem Umfange des Einheitskreises, gleich 2 n, machen.
Man kann aber auch irgendeine Strecke der Größe 2 n oder 3600
entsprechen lassen; es bedeutet dies einfach, daß man die Ab.
szissen und Ordinaten mit verschiedenen Längeneinheiten mißt.
Der Mittelpunkt der Strecke 0 0 entspricht dann dem Winkel n
oder 180° usf. Verbindet man die Endpunkte der Ordinaten durch
einen ununterbrochenen Linienzug, so erhält man eine Sinuswelle. Sie ist die zeichnerische Darstellung der Gleichung (2)
oder (2) ist die Gleichung der Sinuswelle. Die Ordinate y eines
beliebigen Punktes auf der Kurve liefert den Abstand y, der zu
dem durch die Abszisse gemessenen Winkel gehört. Die Kurve
besteht aus einem Wellenberg und einem Wellental, beide
zusammen bilden eine vollständige Welle. Der horizontale Abstand 00 heißt die Wellenlänge. A heißt der Scheitelwert.
Wenn der Vektor mehrere Umdrehungen ausführt, so würden sich
rechts an den Punkt 0 weitere Wellen anschließen, die wir aber
nicht weiter beachten, da sie der ersten Welle kongruent sind.
Man kann die Sinuskurve auch noch mit der Bewegung eines andem
Punktes in Beziehung bringen. Wir projizieren den Punkt P auf dem
Kreise in jeder Lage auf den lotrechten Durchmesser BO. Die Projektion
heißtP'. Wir verfolgen nun die Bewegung des Punktes!". Während sich
P von 0 aus auf dem Kreise einmal ringsherum bewegt, wandert P' auf
dem Durchmesser BO von M aus nach B hinauf, von da wieder zurück
durch M hindurch nach 0 hinunter und schließlich wieder nach M zurück.
Man sagt,P' führe eine einfache harmonische Schwingung aus. Obwohl sich P auf dem Kreise gleichförmig bewegt, ist die Bewegung des
Punktes P' keine gleichförmige. P' geht mit der größten Geschwindigkeit
durch M hindurch, verzögert seine Geschwindigkeit gegen B oder 0 hin
und kehrt in B und 0, den beiden Totla.gen, seine Bewegungsrichtung um.
P' bewegt sich ungefähr so wie der Kolben einer Dampfmaschine.
llO
Die Sinuskurve.
Die gezeichnete Sinuskurve kann nun auch als zeichnerische Darstellung
der schwingenden Bewegung des Punktes P' betrachtet werden. P und P'
haben jederzeit den gleichen Abstand y von dem horizontalen Durchmesser
des Kreises. Die Strecke 00 auf der Abszissenachse können wir jetzt der
Zeit t einer vollen Schwingung, der Schwingungsdauer, entsprechen lassen.
Wir tragen also jetzt als Abszisse die Zeit t und nicht, wie vorher, den Winkel ab. Nach diesen Erklärungen ist es wohl verständlich, warum man die
Ordinaten + A und -A der Kurve auch den Schwingungsausschlag
oder die Amplitude nennt.
Sowohl die Drehung des Vektors um M, als die Schwingung
des Punktes P' sind periodische Erscheinungen, d. h. in
jedem folgenden Zeitabschnitt, der gleich der Schwingungsdauer
ist, spielt sich derselbe Vorgang in gleicher Weise wie im vorhergehenden ab. Diese Periodizität zeigt sich auch in der Gleichung
(2), indem für jeden Winkel oc
y = A sin (oc
+ 2 n) =
A sin oc
ist. Wird t als Veränderliche aufgefaßt, so ist
y = A · sin [ w (t + ~:rr) J= A sin (wt
+ 2 n) =
A sin (w t).
Man nennt 2 :~~;die Periode, beziehungsweise 2 :rr die Zeit T einer
(I)
Periode.
Wir wollen nun nach diesen allgemeinen Betrachtungen die
Abb. 111.
Größen A und w der Gleichung (2) bestimmten Veränderungen
unterwerfen und dabei zusehen, wie sich die Sinuswellen verändern.
a) Verschiedene Amplituden. In Abb. 111 sind in verkleinertem Maßstabe drei Sinuswellen J, 11, 111 gezeichnet, die den
Gleichungen
Verschiedene Wellenlängen,
111
y 1 = 4 sin IX= 4 sin (rot) .
I
y 2 = 8 sin IX= 8 sin (rot) .
11
y 3 = 2 siniX = 2 sin (rot) .
11I
entsprechen. Die Wellen haben die gleiche horizontale Länge,
aber verschiedene Amplituden. Je größer die Amplitude, desto
höher ist die Welle. In jedem Augenblicke, für jeden Winkel ist
Yt = 0,5 Y2 = 2 Ya ·
11 kann aus I durch Verdoppelung der Ordinaten, III aus I durch
Halbierung der Ordinaten erhalten werden. Vergrößert (oder verkleinert) man die sämtlichen Ordinaten einer Sinuswelle im
gleichen Maßstabe, so liegen die Endpunkte der neuen Ordinaten
wieder auf einer Sinuswelle. Ersetzt man jede Ordinate der
Kurve y = A · sin IX durch ihren n-fachen Betrag, so hat die neue
Kurve die Gleichung
y = nA ·sin oc.
b) Verschiedene Wellenlängen (Perioden). In der Abb. ll2
sind zwei Sinuswellen gezeichnet, die den Gleichungen
y1 = 5 sin IX = 5 sin (rot) . . . . I
y 2 = 5 sin 21X = 5 sin (2 rot). . • 11
entsprechen. :Seide Kurven habep die nämliche Amplitude 5. Da
sich aber der Vektor 11 (links in der Abbildung) mit der Winkel-
\
\
\
\
\_./
I
Abb. 112.
geschwindigkeit ro' = 2 ro dreht, also doppelt so rasch wie der
Vektor I, so trifft es auf eine Wellenlänge von I, zwei Wellenlängen von I I. sin IX hat die Periode 2 n, sin 2 oc dagegen schon
die Periode n; denn, wenn IX um n vergrößert wird, so ist für
Die Sinuskurve.
U2
jedes ot: 11 = 5·sin 2 (cx + n) = 5 sin (2 ot
Kurve von der Gleichung
11 5 sin (n oc),
+ 2 n) = 5 sin 2 oc.
Eine
=
worin n eine ganze positive Zahl ist, besteht offenbar aus n Wellen,
wenn cx von 0 bis 2 n zunimmt.
e) Horizontale Verschiebung einer Welle (Phasenverschiebung).
Die beiden Kurven der Abb. 113 entsprechen den Gleichungen:
111 = 5 sinot = 5 sin (wt) . . . . . . I
11z = 5 sin (oc + tp) = 5 sin (wt + tp) • 11.
'P bedeutet einen fest gewählten, konstanten Winkel; für die
Kurve II ist 'P = n: 6 (30°) gewählt. Beide Kurven haben die
Abb.llS.
gleiche Amplitude und die gleiche Wellenlänge. Aber während
für ot = 0, y 1 = 0 wird, hat y2 den Anfangswert 5 sin 30° = 2,5.
Wenn wir an irgendeiner Stelle der Abszissenachse ein Lot errichten und mit den beiden Kurven zum Schnitt bringen, so hat
y1 einen Wert, den y 1 erst erreicht, wenn wir auf der Abszissenachse um eirie Strecke, die dem Winkel 'P entspricht, weiter
schreiten. Die Kurve 11 kann aus der Kurve I durch Verschieben
nach links erhalten werden. Der Punkt B auf dem Kreise ist dem
Punkte A immer um den Winkel 'P voraus. Man nennt 'P den
Voreilwinkel oder die Phasenverschiebung.
Hat tp den besondern Wert tp
y2
= 5 sin ( ot + ; ) =
=
~- (90°), so wird
5 · cos oc, d. h.
113
Allgemeine Beispiele.
die Kosinuskurve ist eine Sinuskurve mit der Phasen.
verschiebung n: 2. (Siehe Abb. 65.)
Wir fassen die Ergebnisse von a, b und c zusammen:
Jeder Gleichung von der Form
y
=
A·sin (wt
+ tp)
entspricht graphisch eine Sinuswelle. Es bewirkt eine
Veränderung
I. von A nur eine Veränderung der Wellenhöhe,
2. von w nur eine Veränderung der Wellenlänge,
3. von rp nur eine horizontale Verschiebung der
Welle.
Vbungen.
Jede der folgenden Kurven möge auf l'olillimeterpapier gezeichnet
werden. .Auf der Abszissenachse lasse man einem Winkel von 20° eine
8tr6Q.ke von 1 cm entsprechen. Für die Ordinaten sei 1 cm die Einheit.
Zur Bestimmung der Funktionswerte y kann die Tabelle oder auch ein
Kreis benutzt werden. In jeder Gleichung möge ot von 0° bis 360° wachsen.
Die Kurven, die den in einer Nummer vereinigten Gleichungen entsprechen,
sollen auf dem gleichen Blatt Papier, im gleichen Koordinatensystem gezeichnet werden.
= 4 sin ot,
= 4 sinot,
y = 4 sin ot,
1. y
y
8.
4.
6.
6,
'i.
= 8 sin ot,
y
= sin ot.
y = 4 sin 3 ot,
y =
y = 4 sin (cx 45°),
y=
y = 4 siv. ot,
y = 4 sin (ot
120°), y =
y = 5 c08 (ot- 45o), y = 5 sin (cx 45°),
y=
y = 2 5 sin ot,
y = 4 4 c08 ot,
y=
Löse die Gleichung: 5 sin ot = 5 sin 2 ot, oder
sin ot = sin 2 cx,
2. y
+
+
+
+
+
4 sin (0,5cx).
180°).
4 sin (ot
240°).
5 sin (2 ot
90°).
4- cos 2 x.
4 sin {ot
+
+
+
d. h. bestimme die .Abszissen ot der Schnittpunkte der Kurven I und Il der
.Abb. 112.
Lösung: Es ist sin ot = 2 sin ot·cos ot, oder
(2 cos a; -1) ein a; = 0. .Aus
sin ot = 0 folgt a;1 = 0°; a:2 = 180°; a; 3 = 360°. .Aus
2 COB ot - 1 = 0 folgt O!a = 60°; O!a = 360°-60° = 300°.
8. Löse die Gleichung:
5 ein a; = 5 sin (0!
+ 300),
d. h. bestimme die .Abszissen ot der Schnittpunkte der Kurven I und II in
Abb.ll3.
Lösung: Entwickelt man die rechte Seite nach sin {ot + ß), dividiert
die Gleichung durch sin ot, so erhält man
ctp; ot = 0,2680; somit oc1 = 75° und oe1 = 180° o: 1 •
+
Die Sinuskurve.
114
9. Ein Rad mit dem Halbmessl!r r dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w um eine Achse X, die zu einer Ebene E parallel ist und
verschiebt sich gleichzeitig mit konstanter Geschwindigkeit v0 längs dieser
Achse. Ein PunktP (Abb. 114) auf dem Umfange wird in jeder Lage senkrecht auf die Ebene E nach P' projiziert. Die Kurve, die P' beschreibt
ist eine Sinuskurve.
E
Abb. 11~.
Wir legen durch einen Schnittpunkt 0 der Kurve mit der Achse X',
(der Projektion der Achse X) ein rechtwinkliges Koordinatensystem. Zeige:
Ist l die Wellenlänge, macht das Rad n Touren pro Sekunde, dann läßt
sich die Ordinate y von P' in jedem Moment nach den folgenden Formeln
berechnen:
. (3600 ) oder 11 =r·sm T' x
11 = r · sm - l - · x
. (2n )
11
= r · sin (2 n nt)
11
= r · sin ( 2 : 0 n
x) .
Beachte bei der Ableitung dieser Formeln:
x = v0 t = nl·t.
t = Zahl der Sekunden.
v0 = nl und
x = Abszisse von P';
Ist zur Zeit t = 0 der Winkel IX nicht gleich 0°, sondern etwa rp 0, so
heißt die entsprechende Formel zur Berechnung der Ordinate 11:
+ ~) oder
r·sin (360° nt + q;O)
y = r·sin (2 nnt
y =
rp 0 heißt wie früher die Phasenverschiebung oder auch kurz Phase. Beachte die gestrichelte Kurve in der Abb. 114, die dem Winkel rp 0 = 90°
entspricht.
Der Raumpunkt P beschreibt eine Schraubenlinie. Die Projektion
dieser Kurve auf eine zur Schraubenachse parallele Ebene E ist demnach
11ine Sid\J.skurve. Die Wellenlänge l entspricht der Ganghöhe. (Beachte
Abb. 26.)
10. Eine Sinuskurve hat eine Wellenlänge l = 20 cm und eint> Am·
Konstruktion der Sinuslinie.
115
plitude r = 6 cm. Wie berechnet man zu jeder Abszisse x die zugehörige
Ordinate y?
y = 6·sin (18°· x)
10
4
15
x=2
Für
0
5,71
y = 3,53
-6
wird
11. Das Rad in der Abb. 114 hat einen Halbmesser r = 5 cm; es macht
3 Umdrehungen pro Sekunde und verschiebt sich längs der X-Achse mit
einer Geschwindigkeit v0 = 10 ern/sec. Welches sind die Koordinaten
(x; y) des Punktes P' nach 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 1; 2,4 sec?
1
0,6
0,4
2,4 sec
0,2
t = 0,1
10
6
4
24 (cm)
2
X= 1
0
-4,76
4,76
4,76 (cm)
-2,94
y=4,76
die Wellenlänge l ist 3 1/ 3 cm.
12. Ein Punkt bewegt sich so in einer Ebene, daß
(x; y) von den Achsen eines Koordinatensystems gegeben
Gruppe der.folgenden Gleichungen.
b) x = 5 sin oc
c) x =
a) x = 5 sin oc
y=
y = - 3 sin oc
y = 3 cos oc
e) x=5sinoc
d) x=5·sin·oc
y = 5 cos (2 oc).
y = 5·sin (2 oc)
seine Abstände
sind durch eine
5·sinoc
5·sin (oc
+ 300)
Zeichne die Bahnen dieser Punkte, indem man oc verschiedene Werte von
0° bis 360° beilegt und die entsprechenden Koordinaten (x; y) berechnet.
(Zusammengesetzte Schwingungen.)
18. Zeichnung einer Sinuskurve 1 • Es seien ODR drei aufeinapder folgende Wendepunkte einer Welle. Die Tangenten in diesen
Punkten (die Wendetangenten) findet man wie folgt (Abb. 115). Mache
AC=; ·AB=
i·a=
1,57a(a=Amplitude);OCundCDsinddieTan-
genten. Den Krümmungskreis im Scheitel B, d. h. den Kreis, der am besten
als Ersatz der Sinuskurve im Scheitel benutzt werden kann, findet man
c
wie folgt: Ziehe im Scheitel B die Scheiteltangente, Y
bringe sie in F zum F 9---<c:~;......r-:::,.~ll
Schnitt mit der Y-Achse;
mache FG =BE; ziehe
von G ein Lot auf die
dieses
Wendetangente;
trifft die Verlängerung
Abb . 115.
von AB in M 1 • Dies ist
der Mittelpunkt des gesuchten Kreises; sein Halbmesser ist M 1 B. Mit Hilfe der Wendetangenten und der Krümmungskreise kann jede Sinuskurve leicht richtig
skizziert werden.
1 Die Konstruktion ist dem "Lehrbuch der Mathematik" von Dr.
Georg Scht>ffers (2. Auflage. S. 494. Leipzig: Veit 1911) entnommen.
Hcß, Trigonometrie.
8
Die Sinuskurve.
116
Wir wollen jetzt noch einige häufig auftretende Verbindungen
mehrerer Sinuswellen besprechen.
1. Algebraische Summep. von zwei oder mehreren
Sinusfunktionen.
Es soll die Kurve
y = a ein (IX + 1}?1) + b sin (IX + 1}?11) III . . . . {3)
gezeichnet werden. Die rechte Seite der Gleichung besteht aus
der Summe der Einzelfunktionen
Y1 = a sin {IX + q;1)
Ya = b sin (IX + q;2)
II . . . . .
{4)
I . . • . . (5)
Wir wählen, um ein Beispiel vor Augen zu haben, a = 4,
•
•
•
•
/-...\m
•yl
I
\
i\
\
I
7
\
\
Abb.11G.
I
V
'
--~
1}?1 = 30°, 'Pa = 60" (Abb. 116). Die Kurven I und 11
haben die gleiche Wellenlänge. Nach Gleichung (3) ist für jedes IX
b = 3,
Y = Yt + Yz,
d. h. eine beliebige Ordinate der Kurve III ist gleich der algebraischen Summe der Ordinaten y1 und y 2 , die zum gleichen Winkel IX
gehören. Wir können 111 die "Summenk.urve" nennen. Wie man
Summe zwei er Sinuskurven.
117
zunächst aus der Abbildung erkennt, ist sie wieder eine Sinuskurve. Der rechnerische Beweis hierfür gestaltet sich so :
Wir setzen
+
a sin (a <p1) + b sin (« + ({'3) = ..4. sin (a + ({')
(6)
und zeigen, daß man A und rp tatsächlich so bestimmen kann, daß die
Gleichung (6) für jeden Winkel IX erfüllt ist. Nach der ersten Formel § 12
geht (6) über in
a sin IX·cos rp1
oder
(a cos rp1
+ a cos
IX
sin rp1
+ b sin ~ cos rp + b cos
2
= A siniX cos rp + A cosiXsin rp,
IX
sin rp 1
+ b cos rp
=
2 ) sin IX + (a sin rp1 + b sin rp 2 ) cos IX
A cos rp·sin IX + A sin rp·cos IX.
Sollen nun beide Seiten der Gleichung für ;eden beliebigen Wert IX genau
die gleichen Werte ergeben, so müssen die entsprechenden Vorzahlen
von sin a: bzw. cOSIX auf· beiden Seiten übereinstimmen. Das ist der Fall,
wenn
A sin f{i = a sin (/11 + b sin rp2
A cos rp = a cos rp1
+ b cos
(7)
rp~
gesetzt wird. Aus diesen Gleichungen (7) kann man A und rp berechnen.
Durch Quadrieren und Addieren der Gleichungen (7) erhält man:
+ +
A.== faa
b 2 2 ab cos (tp1 - ((JJ.
Durch Division der Gleichungen (7) ergibt sich
t
_ a sin ({'1
b sin cp1
g Cf - a cos cp1
b cos ({'1 •
(8)
+
+
(9)
Setzt man diese aus (8) und (9) berechneten Werte in (6) ein, so ist (6) für
jeden Winkel oc richtig, d. h. aber, auch die Summenkurve lll ist eine
Sinuswelle mit der Amplitude A und der Phasenverschiebung rp.
Wir erkennen:
Zwei (oder mehrere) Sinuswellen von verschiedener
Amplitude und beliebigem Phasenunterschiede, aber
von der gleichen Wellenlänge, lassen sich durch allgebraische Addition immer wieder zu einer Sinuswelle
von der gleichen Wellenlänge zusammensetzen. Eine
Vbereinanderlagerung von Sinuswellen gleicher Wellenlänge gibt
immer wieder eine Sinuswelle.
Die Gleichungen (6) bis (9) können unmittelbar der Abb. 116
entnommen werden. Die Abbildung zeigt die Vektoren a und b,
die mit den Kurven II und I in Verbindung stehen, in ihrer Anfangsstellung. Sie schließen miteinander den Winke] 1/'a - 1p1 ein.
8*
Die Sinuskurve.
118
Konstruiert :tyan nun ein Parallelogramm mit a und b als Seiten,
ist A die durch M gehende Eckenlinie, so ist A gerade der Vektor,
durch dessen Drehung die Kurve III, also die Summenkurve,
erzeugt werden kann. Die Gleichungen (7), (8) und (9) kann man
ohne weiteres aus der Abbildung ablesen. Dreht sich das ganze
Parallelogramm um einen beliebigen Winkel cx um M, so ist die
Projektion von A auf die Ordinatenachse gleich der Summe der
Projektionen der beiden Vektoren a und b auf dieselbe Achse.
Genau das sagt die Gleichung (6) aus. Der Vektor A der Summenkurve kann somit aus den Vektoren a und b der
Einzelkurven genau wie die Resultierende zweier
Kräfte gefunden werden. Es ist leicht einzusehen, daß dieses
geometrische Verfahren auf mehr als zwei Einzelwellen ausgedehnt werden kann. Immer ist der Vektor der Summenkurve
gleich der ,,geometrischen Summe'' der Vektoren der Einzelwellen.
Ein häufig vorkommender Sonderfall entsteht, wenn in der
Gleichung (6) q;1
y
=
0 und q; 2 = ~- gesetzt wird. Es ist dann
= a sin cx + b cos cx = A sin (cx + q;).
ya2 +
Nach (8) und (9) ist A =
b2 und tg q; = b : a. Das sich
drehende Parallelogramm ist ein Rechteck mit den Seiten a und b.
Übungen.
1. Zeichne die Kurve y = 3 sin oc + 4 cos cx. - Man zeichne zuerst die
einzelnen Bestandteile y 1 = 3 sin cx (rot) und y 2 = 4 cos cx (blau) und
addiere die Ordinaten. Die "Summenkurve" (schwarz) hat die Amplitude
A = Y3 2 + 42 = 5 und die Phasenverschiebung tp = 53°8' entsprechend
tg tp = 4: 3. Man konstruiere die Kurve auch mit Hilfe des Vektordiagramms.
2. Zeichne
y = 3 sin cx - 4 cos oc.
3.
y = 3coscx + 4 sin (oc + 30°), A = 6,08; tp = 55°18'.
4. Berechne A und tp der Kurve III (Abb: 116) aus
y1 = 4 sin (oc + 30°),
A = 6,77; rp = 43°16'.
y 2 = 3 sin (oc + 60°),
5. Zeichne
y = 5 sin (oc + 12Ö0) + cos cx.
6. Beweise: Für
y = a sin cx- b sin (cx + 1200) kann
y = fa1
+ b2 + ab. sin (cx -
~YJ b berechnet. + 1200) = a fä. sin (cx - 300).
rp wird aus der Gleichung tg tp = 2
y = a Bin x - a sin (tX
tp) geschrieben werden;
Ist a = b, so ist
Ungleiche Perioden.
119
7. Zeige mit Hilfe des Vektordiagramms oder direkt durch Rechnung,
daß für jeden Wert oc die Summe
y = a sin oc + a sin (oc + 120°) + a sin (oc + 240°)
gleich Null ist. Die Summenkurve ist also eine gerade Linie, eine Sinus·
welle von der Amplitude 0.
8. Löse die Gleichung; 4 sin (oc + 30°) = 3 sin (oc + 60°) d. h. be·
stimme die Abszissen der Schnittpunkte der Kurven I und II in Ahb. 116.Entwickelt man die beiden Seiten nach sin (oc + ß), so findet man tg.oc =
0,3045 und daraus a 1 = 16°56' und oc2 = 1!:!0° + a 1 •
9. Haben die Sinusfunktionen ungleiche Perioden, die Wellen also
ungleiche Längen, so ist die Summenkurve keine Sinuswelle mehr. In
Abb. 117 ist die Kurve
y = 5sinoc + 2sin3oc
III
gezeichnet. I entspricht der Gleichung
y 1 = 5 sina .
I
und II der Gleichung
y2 = 2 sin 3 oc . . . . . . . II.
Für jedes a ist y = y1 + y1• Die Kurve III ist wieder daa Bild einer
periodischen Funktion. Die Periode von III stimmt in unserem Bei·
Abb. 117.
spiel mit der von I üherein. In der Theorie der "Fourierschen Reihen"
wird gezeigt, wie man jede beliebige periodische Wellenform durch eine
Reihe von Sinus- und Kosinusgliedern mit jeder wünschbaren Genauigkeit darstellen kann.
10. Zeichne: y = 5 cos ~ + 2 sin 3 a.
11. Ebenso:
y = 5 sin (2 a) + 5 sin (3 a).
12. Löse die Gleichung
5 ein a = 2 sin (3 a), d. h.
Die Sinuskurve.
120
bestimme die Abszissen der Schnittpunkte der Kurven I und li in Abb. 117.
- Nach § 14 Aufgabe 12 ist sin 3 IX = 3 sin IX- 4 sin3 IX, somit ist
5 sin IX = 6 sin IX- 8 sin3 1X oder
8 sin3 IX- sin IX= sin IX (8 sin• IX-1) = 0.
Aus sin IX= 0 folgt 1X1 = 0°; IXa = 180°. Aus 8 sln•IX-1 = 0 folgt
sin IX= ± 0,3535. Der positive Wert gibt ota = 20042'; at4 = 1800- «s;
der negative liefert IX 1 = 180° + ~X3 ; IXe = 360°-IX3 •
2. Produkte von Sinusfunktionen mi' gleicher Periode.
Es soll die Kurve gezeichnet werden, die der Gleichung
y=a·sin(tx+!p1 )·bsin(tx+q:>2) . . (Ill)
(10)
entspricht. Die rechte Seite ist das Produkt von
Y1 = a sin (tx + tp1 )
.
und y2 = b sin (tx + !p2)
•
•
•
.
(I)
•
(Il).
Es ist also
Die Kurven I und II haben die gleiche Wellenlänge, aber verschiedene Amplituden. Die Phasenunterschiede gegenüber einer
normalen Sinuswelle sind q:>1 und 'Ps. Nach der Gleichung y = y1 • y 1
erhält man irgen~ine Ordinate y der Kurve III, wenn man die
entsprechenden, d. h. zur gleichen Abszisse tx gehörigen Ordinaten
y 1 und y1 der Kurven I und Il miteinander multipliziert. Die
Kurve I11 wird, wie man leicht einsehen kann, wieder eine Sinuskurve; denn wenden wir auf Gleichung (10) die dritte Formel
in Übungsbeispiel 7 § 15 an, so erhalten wir
ab
ab
y = 2 cos (q:>1 - q:> 2) - -2 cos (2 tx + (/) 1 + tp2).
(11)
Setzen wir schließlich für den konstanten Wert a2b cos (fP1
-
f!Ja)
den Buchslia.ben 1: und beachten, daß
. (
- ab
2 COS (2 <X + (/)1 + f/Ja) = ab
2 Bill
2 <X + fP1 +
fPt. -
2n)
ist, so können wir Gleichung (10) und (11) in die Form bringen:
y
== asin (a +p 1)·b sin (a + pa)
(12)
121
Produkte von Sinuafunktionen.
Diese Gleichung sagt aus: Stellt man das Produktzweier
Sinusfunktionen von gleicher Periode graphisch dar,
so erhält man eine Sinuskurve von der halben Wellenlänge der Kurven, welche den einzelnen Funktionen
entsprechen. Diese "Produktkurve" ist nach (12) um den Be-
trag k
=
'!; cos
(!p1 -
ihre Amplitude ist
in vertikaler Richtung verschoben;
!p2)
1-
und ihre horizontale Verschiebung,
gegenüber einer Kurve von der Gleichung y = a2b sin 2 cc, ist
gleich einer Strecke, die dem Werte
!p1
+ !Fa -
; entspricht.
'Vbungen.
1, Zeichne die Kurve, die der Gleichung y = coa 1 1X = coa 1 (wt) entspricht.
Da
2 cos1 1X = 1 + cos 2 IX,
1
1
ist
cos 1 1X = 2 + 2 cos 2 IX oder auch
y = cos1 (w ')
= 21 + 21
cos (2 w t).
~--~~----------~~-4--~------------~-~~o.n
,j
I
I
\
------..:}'.:..---L----\------- f----
o,iJ
~~----~~----~------~---+~----~7~~-----~0~
/
f40
-!I
I
Abb.l18.
Die Kurven sind in Abb. 118 gezeichnet. Dabei ist die Amplitude 1
gegenüber den früheren Abbildungen sta.rk vergrößert. Die "KoainuaQuadrat"kurve liegt vollständig oberhalb der Abszissenachse, da das
Quadrat einer positiven oder negativen Zahl ja immer positiv ist.
Die Gleichung y = cos 1 1X
=
hervor, wenn man rp1 = rp1 =
!+ !
n
2
coa 2 IX geht aus der Gleichung ( 12)
und a ""' b = 1 setzt.
122
Die Sinuskurve.
2. Zeichne ebenso y = sin2 oc.
3. Zeichne y1 = cos 2 oc und y 2 = sin 2 oc und bilde die Kurven
+ Yz (= 1)
y1 - y1 ( = cos 2 ot).
Y = Y1
y
4. Zeichne y1
=
= 2 sin oc
und Ya
= cos oc
und konstruiere die Kurve
y = y1 • y 2 ( = sin 2 oc).
Zeige durch Rechnung und an Hand von Kurven, daß die Summe
Y = Y1 + Ya + Ya der drei Funktionen
1),
y1
y2
y3
= sin oc·sin (oc-fP)
= sin (oc + 1200)·sin (oc -(j' + 1200)
= sin (oc + 240°) · sin (IX -(j' + 240°)
den konstanten Wert y
=
:
eine gerade Linie.
6. Berechne die Winkel
cos fP ergibt. Die "Summenkurve" ist also
IX,
für welche die Gleichung
cos IX
erfüllt ist. (Abb. 118.)
=
cos 1 oc
Lösung: Es ist
cos 2 oc- cos oc = 0
oder
cos oc (1- cos ot) = o.
Aus
cos oc = 0 folgt oc1 = 90°; oc 2 = 270°.
1- COS OC = 0 " ot3 = 0 j oc, = 3600.
"
An dieser Stelle können nun die Gleichungen in§ 16 behandelt werden,
unter Berücksichtigung der zeichnerischen Darstellung der Sinus- und
Kosinusfunktionen. Oft muß dabei auch die Tangens- und Kotangens·
kurve verwertet werden.
Zum Schlusse soll noch gezeigt werden, in welchem Zusammenhang
die Sinuskurve mit der Mantelfläche eines Zylinderhufes steht. Links
in Abb. 119 ist ein Zylinderhuf gezeichnet. Die Grundfläche ist ein Halbkreis, die Mantellinien stehen senkrecht zur Grundfläche. Die längste
Mantellinie hat die Länge a. Die Kurve in der Ebene EGD ist eine halbe
Ellipse; diese Ebene schließt mit der Grundfläche den Winkel oc ein. Ist
nun y = BC eine beliebige Mantellinie, so folgt aus der Abbildung
y = BH·tg oc; aber BH = r·sin fP, somit ist
y = r sin (j1•tg oc = r·tg oc ·sin fP, oder da r·tg oc = a ist
y
=
a sin II'·
(14)
Bedeutet x den Bogen BD, der auf dem Grundkreise zum Mittalpunktswinkel fP gehört, so ist das Bogenmaß von fP = x: r und Glei·
chung (14) geht über in
X
v=asin-.
r
(15)
123
Fläche eines Wellenberges.
Breitet man die Mantelfläche in eine Ebene aus, wie dies rechts in
Abb. 119 geschehen ist, dann wird die Strecke DE' gleich der Länge des
Halbkreises, der Bogen x geht über !n die Strecke x, und die Mantellinie y
wird zur Ordinate y der,41-bgewickelten Kurve. Jede dieser Ordinaten läßt
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I
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E
Abb.ll9.
sich aus Gleichung (15) berechnen, somit ist die Abwicklung der
Ellipse eine Sinuskurve von der Amplitude a.
Die Fläche zwischen einem Wellenberg und der Abszissenachse ist
gleich der Mantelfläche des Zylinderhufes; diese ist, wie in der Stereometrie
gezeigt wird, gegeben durch F = 2 ra. Nun ist r = DE': n; somit ist
F
=.!..
· a · D E' = 0,6366 • Amplitude x
;;r;
halbe Wellenlänge.
F ist demnach nur wenig kleiner als die Fläche eines Parabelsegmentes
mit der Sehne DE' und der Höhe a. Die mittlere Höhe der FlächeFist
2a:n.
Tabelle der trigonometrischen Werte.
Sinus.
o'
Grad
0
I
2
3
4
5
6
7
8
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JO
11
I2
I3
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I7
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23
24
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28
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o,
o,
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32
33
34
36
37
38
39
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o,
4I
42
43
44
0029
0204
0378
0§52
0727
090I
I074
I248
I42I
I593
I76S
I937
'8:179 2Io8
2250 :1278
24I9 2447
25i:Sö 20I6
2756 2784
2924 2952
3090 31I8
3256 3283
3420 3448
35~ 3611
3746 3773
3907 .3934
4007 4094
4226 4253
4384 4410
4540 4566
4695 4720
4848 4874
5000 5025
5150 5I75
5299 5324
5446 547I
5592 56I6
5736 5760
5878 5901
6ot8 6o41
6I57 6180
6293 63I6
6428 6450
6561 6583
669I 6713
6820 684I
6947 6967
707I
0000
OI75
0349
0523
0698
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I392
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23o6
2470
2644
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2979
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3475
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3800
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4120
4279
4436
4593
4746
4899
5050
5200
5348
5495
5640
5783
5925
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6203
6338
6472
6604
6734
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0958
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2I93 222I
2363 2391
2532 256o
2700 2728
2868 2896
3035 3063
320I 3228
3365 3393
3529 3557
3692 3719
3854 3881
4014 404I
4173 4200
4331 4358
4488 4514
4643 4669
4797 4823
4950 4975
5100 5125
5250 5275
5398 5422
5544 5568
5688 5712
5831 5854
5972 5995
6n I 6I34
6248 6271
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6648 6670
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Sachverzeichnis.
Abszisse 51.
Achsen (Koordinaten) 50.
Amplitude 110.
Arkus 39.
Auflösung von Gleichungen 103.
Bogenhöhe 34; -länge 41; -maß 39.
Einheitskreis 5, 39, 53.
Einschalten (interpolieren) 10.
Eiprofil 47.
Ellipse 30. 73.
Evolvente 73.
l!'unktionen. Goniometrische F.
spitzer Winkel 4; beliebiger Winkel 51; Summe und Differenz
zweier F. 96.
GaUsehe Ketten 37.
Ganghöhe 27.
Geometrische
Veranschaulichung
der Funktionen 6, 53; G. Lösung
von Gleichungen 105.
Gewindeprofil 27.
Gleichungen 103.
Goniometrie 88.
Gradmaß 39.
Graphische Darstellungen 6, 56, 108.
Koordinaten (rechtwinklige) 51;
Polar- 70; im Raume 71.
Kosinus 6, 03.
Kosinussatz 76.
Kotangens 7, 54.
Kräftezerlegung 31, 67.
Kräftevieleck 69.
Kreis. K.-Abschnitt 42; -Ausschnitt
41; -Bogen 41.
Kugellager 37.
Kurbelgetriebe 33, 65.
Länge der Kreisbogen 41.
Logarithmen 13, 63.
Mantel eines Kegelstumpfs 49.
Mittlere Höhe einer Sinuskurve 123.
Näherungsformeln. Bogenlänge 43;
Abschnitte 43; Riemenlänge 48.
Ordinate 51.
Halbwinkelsatz 81.
Hilfewinkel 104.
Periode 57, 111.
Pfeilhöhen 34..
Pha.se 112.
Polarkoordinaten 70.
Profile (Kanal) 26, 47.
Projektion. Strecken. Ebene Figuren 28; eines geschl~senen
Vielecks 69; n-Berechnung 37;
eines Winkels 30, 93.
Interpolation 12.
Quadranten 51.
Kanalquerschnitte 26, 47.
Kegelräder 25, 85.
Kegelstumpf 49;. 95.
Kettenrad 102.
Kofunktionen 3.
Komplementwinkel 3.
Komponenten (Kräfte) 31, 67.
Konstruktion von Winkeln 3, 35.
Radiusvektor 70, 108.
Rechenschieber 14.
Rechteck 24.
Rechtwinkliges Dreieck 21, 23.
Rechtwinklige Koordinaten 50.
Regelmäßige Vielecke 36.
Regul& falsi 106.
ReibUDg 94.
130
Sachverzeichnis.
Resultierende 30, 67.
Riemenlänge 47.
Scheitelwert 109.
Schiefe Ebene 32, \15.
Scb,wingung 109.
Schraubenlinie 27, 114.
Sehnen 34.
Sekans 2.
Sinus 2, 5, 53.
Sinuskurve 6, 56, 108.
Sinussatz 74.
Sinn der Dr€hung 51.
Skalen (Rechrnschieber) 14.
Steigungswinkel 26.
Summe von Funktionen 96; von
Winkeln 88.
Tabellen 9.
Tangens 2, 7, 54.
Tangenssatz 99.
Trapez 25, 65.
Trigonometrie I.
Triangulation 84.
Verlauf der Funktionen 6, 55.
Vektoren 67.
Vielecke 36.
Vorzeichen 52.
Wellenlänge 112.
Winkd, besondere 8; kleine 16, 41;
bdiebige 50; Konstruktion 35.
WinkdgeschwindigkEit 108.
Winkelhalbierende 83.
Zähnezahl 85.
Zerlegung von Kräften 30, 67, 82.
Zurückführung auf spitzeWinkel 57.
Zweikreiskurve 86.
Zykloide 74.