M3 ET VU 2.Test 20 Jänner 2011 A

M3 ET VU 2.Test
↑Nachname↑
20 Jänner 2011 A
In die Kästchen
“J” bzw. “N” eintragen. Nicht ausgefüllte Kästchen
gelten als Fehler.
Matrikelnummer
(Deutlich)
Aufgabe 1) Welche der Behauptungen sind korrekt.
• (a) Ak sei das Ereignis “Die Augensumme beim Werfen mit 8 Würfeln ist gleich
k”. Das Ereignis
“Die Augensumme ist höchstens 15” ist von der Form
S50
Ω\
A
.
k
k=16
(b) Beim Werfen mit einem Würfel sind die Ereignisse “Die Augenzahl ist eine
Primzahl” und “Die Augenzahl ist gerade” unabhängig.
(c) Urnen A, B und C, die mit Wahrscheinlichkeiten 12 , 13 und 61 wählbar sind,
enthalten jede 3 rote, 3 schwarze und 5 weisse Kugeln. Es ist dann wahrscheinlicher, eine rote Kugel zu ziehen, als keine schwarze.
• (d) Von 10 Bauteilen sind 3 fehlerhaft. Nun sollen nacheinander 3 Bauteile
ohne Zurücklegen gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit, daß genau 2 der
gezogenen Bauteile defekt sind, ist größer als 0.10.
• (e) Beim Übertragen einer 10-stellige Folge aus Nullen und Einsen sei die Wahrscheinlichkeit für korrekte Übertragung eines einzelnen Zeichens 0.8. Fehler passieren
unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 8 Zeichen korrekt zu übertragen beträgt B(10, 0.8, 8) + B(10, 0.8, 9) + B(10, 0.8, 10).
.
2) Welche der nachstehenden Aussagen treffen zu?
• (a) Für eine reelle Zufallsvariable X ist die Verteilungsfunktion FX an x genau
dann stetig, wenn P (X(ω) = x) = 0 gilt.
Rb
• (b) Für eine stetige Dichte fX gilt 1 − a fX (x) dx = P (X 6∈ [a, b]).
(c) Die Variable X sei auf [−a, a] gleichverteilt. Dann ist V (X) = 0.
(d) Es sei X normalverteilt. Dann ist eX normalverteilt.
(e) Eine reelle standardnormalverteilte Variable hat Varianz Null.
.
3) Welche der nachfolgenden Aussagen treffen zu?
• (a) Wird ein in [−3, 3] gleichverteiltes X 10 mal unabhängig gemessen, so ist
V (X) < 0.5.
(b) Für unabhängige Gaussverteilte Variable X, Y, Z ist 3X−2Y +5Z 2 Gaussverteilt.
(c) Ist X nach N (0, 1) verteilt, so ist 2X − 4 nach N (2, 2) verteilt.
1
(d) Es werde X mit E(X) = 0 und V (X) = 64
100 mal unabhängig gemessen.
25
Dann ist (ZGWS) X approximativ N (0, 64 )-verteilt.
R
t2 .
• (e) Sei > 0, so ist √12π − e− 2 dt = 2Φ() − 1.
.
1)
Lösung: a) J. Es ist nämlich Ak = ∅ für k ≥ 49.
b) N. Unabhängigkeit: A ∩ B = {2} und A = {2, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, somit ist
P (A ∩ B) = 61 6= 12 12 = P (A)P (B). (“1” ist keine Primzahl)
c) N. Es seien R und S die Ereignisse “Rot” bzw. “Schwarz” zu ziehen. Dann
ist R ⊇ S 0 und daher P (R) < P (S 0 ). (Natürlich bekommt man die Antwort
auch mittels Ereignisgraph und pingeligem Rechnen).
d) J. Die Zugfolgen sind FFT, FTF und TFF. Für die erste ergibt sich die
3 72
7 32
3 27
Wahrscheinlichkeit 10
9 8 , für die zweite 10 9 8 und die dritte 10 9 8 . Als Summe
7
ergibt sich 40 , was größer als 0.1 ist.
e) J. Es ist B(10, 0.8, k) die Wahrscheinlichkeit, daß k Zeichen korrekt übertragen
wurden. Bei uns läuft k von 8 bis 10.
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2)
Lösung: a) J. Es ist P (X = x) = F + (x) − F (x). Da F linkseitig stetig ist,
ist die Rechtsstetigkeit gleichwertig zur Stetigkeit. Diese wird aber durch durch
P (X = x) = 0 ausgedrückt.
Rb
Rb
b) J. Es ist a fX (x) dx = P (X ∈ [a, b]) und daher 1 − a fX (x) dx die Gegenwahrscheinlichkeit, also gleich P (X 6∈ [a, b]).
2
c) N. Sie lautet a3 .
X
d) N. Da e mit Sicherheit keine negativen Werte annimmt, dies jedoch für
Gaußverteilte Variable zutrifft.
e) N. Die Varianz beträgt 1.
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3)
(X)
Lösung: a) J. Es ist E(X) = 0 und daher V (X) = E((X)2 ) = · · · = V 10
. Da
3
R
3
3
V (X) = 61 −3 x2 dx = 16 x3 = . . . = 3 ergibt sich V (X) = 0.3 < 0.5.
−3
b) N. Es wäre dann auch 5Z 2 und somit Z 2 Gaussverteilt – diese Variable nimmt
aber mit Sicherheit keine negativen Werte an.
c) N. Es ist wegen E(X) = 0 sofort −4 = E(2X − 4) 6= 2.
X−µ
√
d) N. Man sollte wissen, dass Z = σ/
approximativ N (0, 1) in endlichem
n
Intervall gilt. Bei uns ist n = 100, µ = 0 und σ =
1
80 Z
1
8.
Somit ist Z =
X
1
80
1 2
N (0, ( 80
) )-
approximativ N (0, 1) verteilt. Dann ist
= X entsprechend
verteilt.
R
t2 .
e) J. Es ist 1 − Φ() = Φ(−) und − e− 2 dt = Φ() − Φ(−), woraus die
angegebene Beziehung durch Elimination von Φ(−) folgt.
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M3 ET VU 2.Test
↑Nachname↑
20 Jänner 2011 B
In die Kästchen
“J” bzw. “N” eintragen. Nicht ausgefüllte Kästchen
gelten als Fehler.
Matrikelnummer
(Deutlich)
Aufgabe 1) Welche der Behauptungen sind korrekt.
(a) Ak sei das Ereignis “Die Augensumme beim Werfen mit 9 Würfeln ist gleich
k”. Das Ereignis
“Die Augensumme ist höchstens 15” ist von der Form
S50
A
Ω\
k=16 k .
(b) Beim Werfen mit einem Würfel sind die Ereignisse “Die Augenzahl ist keine
Primzahl” und “Die Augenzahl ist gerade” unabhängig.
• (c) Urnen A, B und C, die mit Wahrscheinlichkeiten 12 , 13 und 61 wählbar sind,
enthalten jede 3 rote, 3 schwarze und 5 weisse Kugeln. Es ist dann wahrscheinlicher, keine schwarze Kugel zu ziehen, als eine rote.
(d) Von 10 Bauteilen sind 3 fehlerhaft. Nun sollen nacheinander 3 Bauteile
ohne Zurücklegen gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit, daß genau 2 der
gezogenen Bauteile defekt sind, ist größer als 0.18.
• (e) Beim Übertragen einer 10-stellige Folge aus Nullen und Einsen sei die Wahrscheinlichkeit für korrekte Übertragung eines einzelnen Zeichens 0.8. Fehler passieren
unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 8 Zeichen korrekt zu übertragen, beträgt 1 − (B(10, 0.8, 9) + B(10, 0.8, 10)).
.
2) Welche der nachstehenden Aussagen treffen zu?
• (a) Für eine reelle Zufallsvariable X ist die Verteilungsfunktion FX an x genau
dann stetig, wenn sie rechtsseitig stetig ist.
Rb
• (b) Für eine stetige Dichte fX gilt 1 − a fX (x) dx = P (X 6∈ (a, b)).
• (c) Die Variable X sei auf [−a, a] gleichverteilt. Dann ist E(X) = 0.
(d) Es sei X normalverteilt. Dann ist cos2 (X) normalverteilt.
(e) Eine reelle Gaussverteilte Variable hat Erwartungswert Null.
.
3) Welche der nachfolgenden Aussagen treffen zu?
(a) Wird ein in [−3, 3] gleichverteiltes X 10 mal unabhängig gemessen, so ist
V (X) < 0.3.
(b) Für unabhängige Gaussverteilte Variable U, V, W ist U −V +25W 2 Gaussverteilt.
• (c) Ist X nach N (0, 1) verteilt, so ist 2X − 4 nach N (−4, 4) verteilt.
1
• (d) Es werde X mit E(X) = 0 und V (X) = 64
100 mal unabhängig gemessen.
1
Dann ist (ZGWS) X approximativ N (0, 6400
)-verteilt.
2
R
t .
(e) Sei > 0 beliebig, so ist √12π − e− 2 dt = 2(1 − Φ()).
.
1)
Lösung: a) N. Es fehlt z.B. A51 6= ∅.
b) N. Unabhängigkeit: A ∩ B = {4, 6} und A = {4, 6}, B = {2, 4, 6}, somit ist
P (A ∩ B) = 62 6= 12 12 = P (A)P (B).
c) J. Es seien R und S die Ereignisse “Rot” bzw. “Schwarz” zu ziehen. Dann
ist R ⊇ S 0 und daher P (R) < P (S 0 ). (Natürlich bekommt man die Antwort
auch mittels Ereignisgraph und pingeligem Rechnen).
d) N. Die Zugfolgen sind FFT, FTF und TFF. Für die erste ergibt sich die
3 72
7 32
3 27
Wahrscheinlichkeit 10
9 8 , für die zweite 10 9 8 und die dritte 10 9 8 . Als Summe
7
ergibt sich 40 , was nicht größer als 0.18 ist.
e) J. Es ist B(10, 0.8, k) die Wahrscheinlichkeit, daß k Zeichen korrekt übertragen
P8
wurden. Bei uns läuft k von 1 bis 8. Das ergibt
k=1 B(10, 0.8, k) = 1 −
(B(10, 0.8, 9) + B(10, 0.8, 10), wie angegeben.
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2)
Lösung: a) J. Es ist P (X = x) = F + (x) − F (x). Da F linkseitig stetig ist, ist
die Rechtsstetigkeit gleichwertig zur Stetigkeit.
Rb
b) J. Es ist a fX (x) dx = P (X ∈ [a, b]) = P (X ∈ (a, b)), weil die Verteilungsfunktion stetig und somit P (X = a) = P (X = b) = 0 ist, und daher ist
Rb
1 − a fX (x) dx die Gegenwahrscheinlichkeit, also gleich P (X 6∈ (a, b)).
Ra
1 1 2
1
2
x dx = 2a
c) J. Es ist ja E(X) = 2a
2 (a − (−a) ) = 0.
−a
2
d) N. Da cos (X) mit Sicherheit keine negativen Werte annimmt, dies jedoch
für Gaußverteilte Variable zutrifft.
e) N. Dies trifft lediglich auf N (0, σ 2 ) zu.
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3)
(X)
Lösung: a) N. Es ist E(X) = 0 und daher V (X) = E((X)2 ) = · · · = V 10
. Da
R
3 3
3
V (X) = 16 −3 x2 dx = 16 x3 = . . . = 3 ergibt sich V (X) = 0.3 6< 0.3.
−3
b) N. Wäre dem so, so wäre auch W 2 Gaussverteilt. Diese Variable nimmt aber
keine negativen Werte an.
c) J. Es ist wegen E(2X − 4) = −4 und V (2X − 4) = V (2X) = 4V (X) = 4.
X−µ
√
d) J. Man sollte wissen, dass Z = σ/
approximativ N (0, 1) in endlichem
n
Intervall gilt. Bei uns ist n = 100, µ = 0 und σ =
1
80 Z
1
8.
Somit ist Z =
X
1
80
1 2
N (0, ( 80
) )-
approximativ N (0, 1) verteilt. Dann ist
= X entsprechend
verteilt.
R
t2 .
e) N. Es ist 1 − Φ() = Φ(−) und − e− 2 dt = Φ() − Φ(−), woraus durch
R
t2 .
Elimination die Beziehung − e− 2 dt = 2Φ() − 1 folgt. Nun hätte man 2(1 −
Φ()) = 2Φ() − 1, also 4Φ() = 1, was nicht für alle positiven stimmen kann.
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M3 ET VU 2.Test (Nachtest)
↑Nachname↑
In die Kästchen
“J” bzw. “N” eintragen. Nicht ausgefüllte Kästchen
gelten als Fehler.
24 Jänner 2011 A
Matrikelnummer
(Deutlich)
Aufgabe 1) Welche der Behauptungen sind korrekt.
(a) Ak sei das Ereignis “Die Augensumme beim Werfen mit 5 Würfeln ist gleich
S10 k”. Das Ereignis “Die Augensumme ist ungerade” ist von der Form
k=2 A2k+1 .
(b) Beim Werfen mit 2 Würfeln sind die Ereignisse “Die Augenzahl ist gerade”
und “Die Augenzahl ist ungerade” unabhängig.
(c) Urnen A, B und C, die mit Wahrscheinlichkeiten 21 , 13 und 61 wählbar sind,
enthalten jede 3 rote, 3 schwarze und 5 weisse Kugeln. Es ist dann wahrscheinlicher, eine weisse Kugel zu ziehen, als keine schwarze.
• (d) Von 10 Bauteilen sind 2 fehlerhaft. Die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen von
3 Bauteilen ohne Zurücklegen alle defekten Bauteile in Händen zu haben,
ist kleiner als 0.1.
(e) Beim Übertragen einer 10-stellige Folge aus Nullen und Einsen sei die Wahrscheinlichkeit für korrekte Übertragung eines einzelnen Zeichens 0.3. Fehler passieren
unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit,
P4 weniger als die Hälfte
aller 10 Zeichen korrekt zu übertragen beträgt i=0 B(10, 0.8, i).
.
2) Welche der nachstehenden Aussagen treffen zu?
(a) Für eine reelle Zufallsvariable X ist die Verteilungsfunktion FX an x genau
dann unstetig, wenn P (X(ω) = x) < 0 gilt.
Rb
• (b) Für eine stetige Dichte fX gilt 1 − a fX (x) dx = P (X 6∈ (a, b]).
• (c) Die Variable X sei auf [−a, a] gleichverteilt. Dann ist E(X) = 0.
(d) Es sei X normalverteilt. Dann ist cos(X) normalverteilt.
• (e) Eine reelle standardnormalverteilte Variable hat Varianz 1.
.
3) Welche der nachfolgenden Aussagen treffen zu?
• (a) Wird ein in [−3, 3] gleichverteiltes X 10 mal unabhängig gemessen, so ist
V (X) < 0.5.
• (b) Für unabhängige Gaussverteilte Variable X, Y, Z ist 3X−2Y +5Z Gaussverteilt.
(c) Ist X nach N (0, 1) verteilt, so ist 4X − 2 nach N (2, 2) verteilt.
1
100 mal unabhängig gemessen.
(d) Es werde X mit E(X) = 0 und V (X) = 64
25
Dann ist (ZGWS) X approximativ N (0, 64 )-verteilt.
R
t2
(e) Sei > 0, so ist √12π − e− 2 dt = 1 − 2Φ().
.
1)
Lösung: a) N. Es fehlt z.B. “29 = 2 × 14 + 1”, also das Ereignis A2k+1 mit
k = 14.
b) N. Unabhängigkeit: A ∩ B = ∅, sodaß P (A ∩ B) = 0 6= P (A)P (B).
c) N. Es seien W und S die Ereignisse “Weiss” bzw. “Schwarz” zu ziehen. Dann
ist W ⊇ S 0 und daher P (W ) < P (S 0 ). (Natürlich bekommt man die Antwort
auch mittels Ereignisgraph und pingeligem Rechnen).
d) J. Die Zugfolgen sind FFT, FTF und TFF. Für die erste ergibt sich die
2 81
8 21
2 1
Wahrscheinlichkeit 10
9 , für die zweite 10 9 8 und die dritte 10 9 8 . Als Summe
1
ergibt sich 15 , was kleiner als 0.1 ist.
e) N. Es ist B(10, 0.3, k) die Wahrscheinlichkeit, daß k Zeichen korrekt übertragen
P4
wurden. Deshalb sollte die Formel i=0 B(10, 0.3, i) lauten.
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2)
Lösung: a) N. P (X = x) kann niemals negativ sein.
Rb
Rb
b) J. Es ist a fX (x) dx = P (X ∈ (a, b]) und daher 1 − a fX (x) dx die Gegenwahrscheinlichkeit, also gleich P (X 6∈ (a, b]).
c) J.
d) N. Da cos(X) mit Sicherheit keine Werte in (−∞, −1) annimmt, die Gaußverteilte
Variable hingegen dort mit positiver W-Dichte Werte annimmt.
e) J. Die Varianz beträgt 1.
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3)
(X)
. Da
Lösung: a) J. Es ist E(X) = 0 und daher V (X) = E((X)2 ) = · · · = V 10
R
3 3
3
V (X) = 61 −3 x2 dx = 16 x3 = . . . = 3 ergibt sich V (X) = 0.3 < 0.5.
−3
b) J. Es liegt eine Linearkombination von unabhängigen Variablen vor.
c) N. Es ist wegen E(X) = 0 sofort −4 = E(2X − 4) 6= 2.
X−µ
√
d) N. Man sollte wissen, dass Z = σ/
approximativ N (0, 1) in endlichem
n
Intervall gilt. Bei uns ist n = 100, µ = 0 und σ = 81 . Somit ist Z =
X
1
80
approx-
1
1 2
imativ N (0, 1) verteilt. Dann ist 80
Z = X entsprechend N (0, ( 80
) )-verteilt.
R − t2 .
R
t2 .
2
e) N. Es ist 1−Φ() = Φ(−) und − e
dt = Φ()−Φ(−), woraus − e− 2 dt
2Φ() − 1 folgt. Nun müsste für alle positiven die Gleichung 2Φ() − 1 =
1 − 2Φ() gelten, was auf Φ() = 12 führt, ein “Unsinn”.
Test beenden
=