5. ¨Ubung zur Statistik II für WiWi

Dr. Christina Surulescu
25.05.2009
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/
WiS − Surulescu − SS09/stat2.shtml
5. Übung zur Statistik II für WiWi
Aufgabe 27: [Randverteilung, Erwartungswerte und Varianzen]
Bestimmen Sie die Randverteilung und die Erwartungswerte und Varianzen der beiden
Zufallsvariablen X und Y , die die folgende gemeinsame Verteilung besitzen:
↓ X|Y → −1 1
5
-1
0
0 0.1
1
0 0.4 0
2
0.5 0
0
Aufgabe 28: [Unabhängig oder nicht unabhängig?]
Prüfen Sie, ob die folgenden Paare von Zufallsvariablen unabhängig sind:
(i) X und Y seien die Zufallsvariablen aus Aufgage 27.
(ii) X und Y sollen folgende gemeinsame Verteilung besitzen:
↓ X|Y →
0
1
2
0
0.18 0.30 0.12
1
0.12 0.20 0.08
Aufgabe 29: [Gemeinsame Verteilung]
X und Y seien zwei unabhängige diskrete Zufallsvariablen, deren Verteilung wie folgt
vorgegeben ist:
xi
0 1.5 2
3
P (X = xi ) 0.1 0.5 0.2 0.2
yi
P (Y = yi )
1
2 2.5 4
5
0.3 0.4 0.1 0.1 0.1
Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y .
Aufgabe 30: [Summe von diskreten Zufallsvariablen]
Es sei Xi für jedes i ∈ N eine Zufallsvariable, die den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit
p(0 ≤ p ≤ 1) und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit q = 1−p annimmt. Weiterhin
seien die Zufallsvariablen X1 , · · · Xn unabhängig.
(i) Bestimmen Sie E(Sn ) und Var(Sn ) , Sn := X1 + X2 + · · · + Xn .
(ii) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable Sn ?
-Bitte wenden!-
Aufgabe 31: [Tabellenergänzung]
Von zwei Zufallsvariablen X und Y seien E(X) = 3/8 und einige Daten der gemeinsamen Verteilung und der Randverteilungen bekannt:
↓ X|Y →
−1
0
2
3 4
6
0 1/8 ?
? 0
?
? ? 1/8
? 1/8 5/8
3/8
?
?
?
Vervollständigen Sie die Tabelle.
Aufgabe 32: [Korrelationskoeffizienten] Bestimmen Sie die Korrelationskoeffizienten bei
den folgenden Paaren von Zufallsvariablen und interpretieren Sie das Ergebnis:
(i) X und Y aus den Aufgaben 27 und 29.
(ii) X und Y haben folgende gemeinsame Verteilung:
(a)
↓ X|Y →
0
1
2
0
0.08 0.08 0.09
1
0.07 0.10 0.08
2
0.20 0.15 0.15
(b)
↓ X|Y →
0
1
2
0
1
2
0.01
0
0.39
0
0.30
0
0.28 0.02
0
Aufgabe 33: [Kovarianz und Unabhängigkeit] Es sei Y = X 2 und X nehme die Werte
−2, −1, +1 und +2 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0.25 an. Bestimmen Sie die
Kovarianz von X und Y , und prüfen Sie, ob X und Y unabhängig sind.