Hinweise - FSMB

Lehrstuhl für Angewandte Mechanik
Prof. H. Ulbrich / Prof. W. Wall
Technische Mechanik 3
25. März 2011
Nachname
Vorname
Matrikelnummer
Studiengang
Saal/Platz
Obige Angaben sind richtig:
Unterschrift der Kandidatin/des Kanditaten
Hinweise:
• Die vorliegende Prüfung umfasst 10 Aufgaben auf 24 Seiten, davon 4 Seiten Zusatzpapier.
• Tragen Sie zuerst Ihren Namen, Vornamen und Ihre Matrikelnummer sowie Hörsaal- und
Platznummer in die oben dafür vorgesehenen Felder ein.
• Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
• Zugelassene Hilfsmittel: 10 doppelseitig beschriebene DIN A4-Blätter
• Beantworten Sie nur die vorgelegten Fragen an den dafür vorgesehenen Stellen.
• Bei Multiple-Choice-Fragen können innerhalb der Aufgabe für falsche Antworten Punkte
abgezogen werden.
• Geben Sie den Bogen am Ende der Bearbeitungszeit ab. Weiteres Zusatzpapier wird
bei Bedarf von den Aufsichtsführenden ausgegeben. Nur diese Lösungsblätter werden
bewertet.
• Schalten Sie Ihre Mobiltelefone aus.
Nur von der Aufsicht auszufüllen:
Hörsaal verlassen von
bis
...........
...........
Vorzeitige Abgabe um:
Unterschrift Aufsicht:
...........
...........................
Besondere Bemerkungen:
Aufgabe 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Σ
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
Aufgabe 1
(14 Punkte)
Kx
Ky
β̇
)
b(t
A
Iy
α(t)
v0
Kz
h
0
Iz
Ix
x0
Ein Feuerwehrauto fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v0 in I x-Richtung des inertialen
Koordinatensystems I. Eine Leiter ist im Ursprung des körperfesten Koordinatensystems K
der Leiter mit dem Auto verbunden. Sie ist um den Winkel α(t) gegenüber der Horizontalen
angestellt und dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit β̇(t). In der gezeichneten Lage befindet
sich die K x-Achse in der I x-I y-Ebene und es ist β = 0. Die Länge b(t) der Leiter ist variabel.
Am Ende der Leiter befindet sich der Punkt A. Der Ursprung des Koordinatensystems K
befindet sich im Abstand h vom Boden und ist zum Zeitpunkt t = 0 an der Stelle I x =
x0 .
Gegeben: v0 , x0 , h, b(t), ḃ(t) α(t), α̇(t), β(t), β̇(t)
a) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix AKI vom Koordinatensystem I ins Koordinatensystem K.
AKI = AK1 A1I
AK1
A1I
AKI

cos α sin α 0
= − sin α cos α 0
0
0
1



cos β 0 − sin β
1
0 
= 0
sin β 0 cos β

cos α cos β sin α − cos α sin β
= − sin α cos β cos α sin α sin β 
sin β
0
cos β

2
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
AKI

cos α cos β sin α − cos α sin β
= − sin α cos β cos α sin α sin β 
sin β
0
cos β

b) Berechnen Sie den Ortsvektor K r 0A vom Ursprung des Koordinatensystems I bis zum
Punkt A im körperfesten Koordinatensystem K der Leiter.
K r 0A
K r 0A
K r 0A

 

b(t)
x0 + v 0 t
= AKI  h  +  0 
0
0

 

b(t)
x0 + v 0 t
cos α cos β sin α − cos α sin β
= − sin α cos β cos α sin α sin β   h  +  0 
0
0
sin β
0
cos β


cos α cos β(x0 + v0 t) + h sin α + b(t)
=  − sin α cos β(x0 + v0 t) + h cos α 
sin β(x0 + v0 t)

K r 0A

cos α cos β(x0 + v0 t) + h sin α + b(t)
=  − sin α cos β(x0 + v0 t) + h cos α 
sin β(x0 + v0 t)

3
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
c) Berechnen Sie die absolute Geschwindigkeit K v A des Punktes A im körperfesten Koordinatensystem
K derLeiter. Für diese Teilaufgabe gilt:

A(t) + b(t)

B(t) 
r
=
K 0A
C(t)
Hinweis: Nehmen Sie für diese Teilaufgabe die Größen A(t), B(t) und C(t) sowie deren
zeitliche Ableitungen als gegeben an. Setzen Sie nicht Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe b)
ein.
K vA
K r 0A
◦
K r 0A
K ωK
◦
=K r 0A +K ω K ×K r 0A

A(t) + b(t)
=  B(t) 
C(t)


Ȧ(t) + ḃ(t)
=  Ḃ(t) 
Ċ(t)



β̇ sin α
= β̇ cos α
α̇

 
 
Ȧ(t) + ḃ(t)
A(t) + b(t)
β̇ sin α
 Ḃ(t)  + β̇ cos α ×  B(t) 
K vA =
C(t)
α̇
Ċ(t)



Ȧ(t) + ḃ(t) + β̇ cos α C(t) − α̇ B(t)
 Ḃ(t) + α̇ (A(t) + b(t)) − β̇ sin α C(t) 
K vA =
Ċ(t) + β̇ sin α B(t) − β̇ cos α (A(t) + b(t))

Ȧ(t) + ḃ(t) + β̇ cos α C(t) − α̇ B(t)
 Ḃ(t) + α̇ (A(t) + b(t)) − β̇ sin α C(t) 
K vA =
Ċ(t) + β̇ sin α B(t) − β̇ cos α (A(t) + b(t))

4
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
Aufgabe 2
(6 Punkte)
Gegeben ist die als Kugel anzunehmende Erde
mit ihrem körperfesten Koordinatensystem K.
Der Ursprung des Koordinatensystems befindet
sich im Kugelmittelpunkt. Die Erde rotiert um
die K y-Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω.
Der Äquator befindet sich in der K x-K z-Ebene.
Der Nordpol und der Südpol befinden sich auf der
K y-Achse.
ω
Ky
Nordpol
Kx
Gegeben: ω
Äquator
Kz
Südpol
Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen über die Richtung der
und Coriolisbeschleunigung im körperfesten Koordinatensysten K
Sie
a) auf der Erdoberfläche die positive
K x-Achse
in negativer
K x-Richtung
K y-Richtung
K y-Richtung
Zentripetalan, wenn
überqueren.
K z-Richtung
−
0
+
−
0
+
−
0
+
Zentripetalbeschleunigung
×
¤
¤
¤
×
¤
¤
×
¤
Coriolisbeschleunigung
¤
×
¤
¤
×
¤
¤
×
¤
b) auf dem Äquator die positive
K x-Achse
in negativer
K x-Richtung
K z-Richtung
überqueren.
K y-Richtung
K z-Richtung
−
0
+
−
0
+
−
0
+
Zentripetalbeschleunigung
×
¤
¤
¤
×
¤
¤
×
¤
Coriolisbeschleunigung
×
¤
¤
¤
×
¤
¤
×
¤
c) den Nordpol in negativer
K x-Richtung
überqueren.
K x-Richtung
K y-Richtung
K z-Richtung
−
0
+
−
0
+
−
0
+
Zentripetalbeschleunigung
¤
×
¤
¤
×
¤
¤
×
¤
Coriolisbeschleunigung
¤
×
¤
¤
×
¤
¤
¤
×
5
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
Aufgabe 3
(10 Punkte)
x1
m1
x2
c1
d
g
x3
c2
m2
m3
α
Das abgebildete ebene System besteht aus drei Massen m1 , m2 und m3 , die sich reibungsfrei auf
einer schiefen Ebene mit dem Anstellwinkel α zur Horizontalen bewegen. Die Massen sind mit
Federn (Federsteifigkeiten c1 , c2 ) und einem Dämpfer (Dämpfungskonstante d) verbunden. Die
Koordinaten x1 , x2 und x3 beschreiben die Lagen der Massen, für deren Nulllagen die Federn
entspannt sind. Das System unterliegt der Erdbeschleunigung g. Der Vektor der generalisierten
¢T
¡
Koordinaten ist q = x1 x2 x3 .
Gegeben: m1 , m2 , m3 , α, g, c1 , c2 , d
a) Berechnen Sie die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems in
Abhängigkeit der generalisierten Koordinaten q und ihrer zeitlichen Ableitungen.
Kinetische Energie: T = 21 mẋ
T =
¢
1¡
m1 ẋ21 + m2 ẋ22 + m3 ẋ23
2
Potentielle Energie: VF eder = 12 c∆x ; Vgrav = mgh
1
1
V = c1 (x2 − x1 )2 + c2 (x3 − x2 )2 − g sin α (m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 )
2
2
T =
¢
1¡
m1 ẋ21 + m2 ẋ22 + m3 ẋ23
2
1
1
V = c1 (x2 − x1 )2 + c2 (x3 − x2 )2 − g sin α (m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 )
2
2
6
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
b) Bestimmen Sie den Vektor der nichtkonservativen Kräfte QN K des Systems für die Koordinaten q.

d (ẋ2 − ẋ1 )
= −d (ẋ2 − ẋ1 )
0

QN K
c) Ermitteln Sie mit Hilfe des Formalismus nach Lagrange II die Bewegungsgleichungen
des Systems in den generalisierten Koordinaten q.
µ


m1 ẍ1
= m2 ẍ2 
m3 ẍ3
∂T
∂ q̇
∂T
∂q
¶T
=0
∂V
∂q
¶T

−c1 (x2 − x1 ) − m1 g sin α
= c1 (x2 − x1 ) − c2 (x3 − x2 ) − m2 g sin α
c2 (x3 − x2 ) − m3 g sin α
d
dt
µ
¶T
µ


 
 

d (ẋ2 − ẋ1 )
−c1 (x2 − x1 ) − m1 g sin α
m1 ẍ1
m2 ẍ2  + c1 (x2 − x1 ) − c2 (x3 − x2 ) − m2 g sin α = −d (ẋ2 − ẋ1 )
0
c2 (x3 − x2 ) − m3 g sin α
m3 ẍ3
7
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
Aufgabe 4
(13 Punkte)
2b
c
c
Gegeben ist das abgebildete ebene System. Es
y
wird ein teilelastischer und glatter Stoß zwischen der dreieckförmigen homogenen Platte D
(Masse mD ) und der homogenen rechteckförmix
d
gen Platte R (Masse mR ) untersucht. Die Platz
te R ist in A gelagert. An der Platte R ist ein
mD
A
Dämpfer (Dämpfungskonstante d) gelenkig montiert. Die geometrischen Abmessungen des SysmR
tems sind der Skizze zu entnehmen. Zu Beginn
v0
a
ist die Platte R in Ruhe und die Platte D bewegt sich rein translatorisch. Die untenstehen2a
2c
de Tabelle gibt die Geschwindigkeitsvektoren der
Platte D sowie die Winkelgeschwindigkeitsvektoren der Platte R unmittelbar vor dem
Stoß (Index 0) und unmittelbar nach dem Stoß (Index 1) im gegebenen Koordinatensystem
an.
Dreieck
Rechteck
Vor Stoß
 
v0

v D,0 = 0 
0
 
0

ω R,0 = 0
0
Nach Stoß
 
v1

v D,1 = v2 
0
 
0

ω R,1 = 0 
α̇
Gegeben: a, b, c, d, v0 , v1 , mD , mR
a) Geben Sie alle Gleichungen an, die nötig sind um die Stoßzahl ε, die Winkelgeschwindigkeit α̇ der Platte R nach dem Stoß sowie die Geschwindigkeit v2 der Platte D in vertikaler
Richtung nach dem Stoß zu berechnen. Die Gleichungen müssen nicht aufgelöst werden.
Impulssatz Dreieck:
 
 
 
√ Z1
v0
v1
1
2





m D v2 − m D 0 = −
F dt 1
2
0
0
0
0
Stoßgleichung:
√
ε=−
2
2
(v1 + v2 ) +
√
2aα̇
√
2
v
2 0
8
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
Drallerhaltung um Punkt A:
A
LA
0 = L1
Vor dem Stoß:
1
LA
0 = cmD v0
3
Nach dem Stoß:
LA
1
µ
¶
1
1
= J α̇ + cmD v1 − 2a + c v2
3
3
A
Trägheitsmoment der rechteckigen Platte bzgl. A:
¡
¢ 4
¡
¢
1
J A = mR 4a2 + 4b2 = mR a2 + b2
3
3
b) Berechnen Sie den Impuls pA im gegebenen Koordinatensystem, der vom Lager in A
während des Stoßvorganges auf die Platte R übertragen wird. Nehmen Sie dazu die
Winkelgeschwindigkeit α̇ sowie die Geschwindigkeit v2 als gegeben an. Setzen Sie nicht
Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe a) ein.
Gesamtimpuls des Systems vor dem Stoß:


m D v0
p0 =  0 
0
Gesamtimpuls des Systems nach dem Stoß:
   
 
−a
0
v1





b 
p1 = mD v2 + mR 0 ×
0
α̇
0

mD v1 − mR bα̇
= mD v2 − mR aα̇
0

Impulsbilanz:
pA = p1 − p0


mD v1 − mR bα̇ − mD v0

mD v2 − mR aα̇
pA = 
0
9
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
Aufgabe 5
(10 Punkte)
Das nebenstehende schwingungsfähige System besteht aus einer homogenen Masse (Masse M ), zwei Federn (Federsteifigkeit ca bzw. cb ) und zwei Dämpfern (Dämpfungskonstante da
bzw. db ). Es führt unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung g
vertikale Schwingungen um seine statische Gleichgewichtslage
x = 0 aus. Dabei sind die Federn um den Federweg b vorgespannt. Falls sich die Masse mittig zwischen Boden und Decke g
befindet, sind die Federn entspannt. In der Ausgangskonfiguration (nachfolgend mit System 0 bezeichnet) nehmen die Parameter folgende Werte an:
M = m,
ca = cb = c,
cb
db
l+b
M
x
da
ca
l−b
da = db = d
Die zugehörige Schwingungsgleichung lautet:
ẍ + 2δ0 ẋ + ω02 x = 0
Die Masse sinkt dabei in der statischen Ruhelage um b0 ab.
Gegeben: m, c, d, g
Im Folgenden soll der Einfluss verschiedener Änderungen relativ zum System 0 untersucht
werden.
System 1: ca = cb = 2c, da = db = 2d
System 2: ca = cb = 2c, da = db = 12 d
System 3: Die Bauelemente ca und db werden vertauscht
System 4: M = 2m
System 5: da = 2d
a) Geben Sie in folgender Tabelle an, um welchen Faktor sich die statischen Ruhelagen bi , (ungedämpften) Eigenkreisfrequenzen ωi und Dämpfungsparameter δi , für
i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, bezogen auf das System 0 verändern.
System i
bi
b0
ωi
ω0
1
1
2
√
2
2
2
1
2
√
2
1
2
3
1
1
4
2
q
5
1
1
10
δi
δ0
1
1
2
1
2
3
2
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
b) Im untenstehenden Diagramm sind die Verstärkungsfunktionen verschiedener Systeme
bei Schwingungserregung um ihre jeweilige statische Ruhelage dargestellt. Dabei ist die
Amplitudenverstärkung V über der Erregerkreisfrequenz Ω aufgetragen. Die Kurve A
zeigt das System 0.
Geben Sie in der Tabelle an, welche Kurve A – F zu den Systemen i, für
i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, passt.
V
F
2
A
B
D
System i
Kurve
1
E
2
F
3
A
4
B
5
C
E
1
C
ω0
2ω0
Ω
Aufgabe 6
(7 Punkte)
Im skizzierten ebenen Mechanismus treibt eine Kurbel (1)
über eine Koppelstange (2) einen vertikal geführten Gleitstein an. Dieser ist über eine zweite Koppelstange (3) gelenkig mit einer Rolle (4) verbunden, welche in einer kreisförmigen Aussparung abrollt ohne zu gleiten.
Der Mittelpunkt der Rolle (Radius r) ist mit C, der Mittelpunkt der Aussparung (Radius R) mit M bezeichnet.
A
1
2
Gleitstein
v
3
P
Gegeben: Skizze, v
C
4
r
11
B
M
R
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
a) Konstruieren Sie die vier Momentanpole M P1 – M P4 der Kurbel, Koppelstangen und
Rolle sowie die Geschwindigkeiten v A und v B der Gelenkpunkte A und B ausgehend
von der Geschwindigkeit v des Gleitsteins. Nutzen Sie dafür die nachfolgende Skizze.
Hinweis: Kennzeichnen Sie gleiche Winkel, gleiche Längen, parallele und senkrechte
Linien eindeutig.
v
A
1
vA
M P1
2
β
M P2
β
v
M P3
v
α
v
vB
α
3
M
C
4
M P4
B
vB
b) Auf welcher geometrischen Kurve bewegt sich der Punkt P , der auf dem Umfang der
Rolle (4) liegt, wenn diese in der kreisförmigen Aussparung abrollt, falls gilt: R = 2 · r
Gerade (durch Punkt M )
12
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
Aufgabe 7
(8 Punkte)
b
m
Rz
S
Rx
= Ix
ω
Iz
α
d
Ry
Iy
Ein homogener kreiszylindrischer Rotor (Masse m, Durchmesser d, Länge b) ist in zwei Lagerstellen drehbar gelagert. Er dreht sich um die I z-Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω,
sein Schwerpunkt S befindet sich auf der Drehachse. Das rotorfeste Koordinatensystem R
im Schwerpunkt S ist gegenüber dem Inertialsystem I um den konstanten Winkel α um die
R x-Achse verkippt. Bei dem Koordinatensystem R handelt es sich um ein HauptachsensysS
tem, so dass der Trägheitstensor R Θ S des Rotors darin Diagonalgestalt annimmt (R Θxx
= A,
S
S
S
S
S
R Θyy = B, R Θzz = C, R Θxy = R Θxz = R Θyz = 0).
Gegeben: m, b, d, α, ω
a) Bestimmen Sie die Massenträgheitsmomente A, B und C des Trägheitstensors R Θ S im
Hauptachsensystem R.
Θxx = Θyy
Θzz =
1
=
m
12
µ
3 2
d + b2
4
¶
1
1
1
m d2 = m d2
2
4
8
1
m
A=
12
µ
3 2
d + b2
4
¶
1
B=
m
12
13
µ
3 2
d + b2
4
¶
C=
1
m d2
8
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
b) Bestimmen Sie das auf den Rotor wirkende Moment R M S bezüglich S im Koordinatensystem R.
Hinweis: Nehmen Sie für diese Teilaufgabe die Massenträgheitsmomente A, B und C
als gegeben an. Setzen Sie nicht Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe a) ein!

 
 
0
0
A 0 0
S
S
 0 B 0   sin α ω  =  B sin α ω 
RL = RΘ Rω =
C cos α ω
cos α ω
0 0 C

RM
S
S
◦
S
= R L̇ = R L + R ω × R LS

 
C sin α cos α ω 2 − B sin α cos α ω 2
0

0
=  B sin α ω̇  + 
0
C cos α ω̇



(C − B) sin α cos α ω 2
S


B sin α ω̇
RM =
C cos α ω̇
Aufgabe 8
(7 Punkte)
Zum Zeitpunkt t0 befindet sich ein Schlitten
(Masse mS ) in Ruhe und steht mit der Hinterkante am Ort x = 0 an. Zu diesem Zeitpunkt
wird eine Punktmasse (Masse mP ) vom Schlitten mit der
¶
µ Absolutgeschwindigkeit
−1
v 1 = v0
1
abgeschossen. Daraufhin gleitet der Schlitten
reibungsfrei auf dem Untergrund. Zum Zeitpunkt t1 wird vom Ursprung des gegebenen
Koordinatensystems aus eine zweite Punktmasse (Masse µ
mP¶) mit der Absolutgeschwindigkeit
1
v 2 = v0
1
abgeschossen. Die Punktmassen starten und
landen bei y = 0. Das System unterliegt der
Erdbeschleunigung g.
Gegeben: mS , mP , g, v0
14
Zeitpunkt: t0
Schlitten
g
y
v1
x
Zeitpunkt: t1
g
y
v2
x
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
Berechnen Sie die Zeitdauer tW , die nach dem Abschuss der ersten Punktmasse mit dem Abschuss der zweiten Punktmasse maximal gewartet werden darf, damit sie die Schlittenoberkante
gerade noch erreicht.
Flugzeit zweiten Punktmasse bis zur Landung:
1
0 = v0 tF − gt2F
2
tF =
2v0
g
Flugstrecke:
2v02
g
s = v0 tF =
Impulserhaltung für Abschuss der ersten Punktmasse:
0 = −mP v0 + mS vS
vS =
mP
v0
mS
Wartezeit tW :
s = vS (tF + tW )
tW
2v0
2v0 mS
2v0
s
=
− tF =
−
=
vS
g mP
g
g
tW
2v0
=
g
µ
µ
¶
mS
−1
mP
¶
mS
−1
mP
15
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
Aufgabe 9
(14 Punkte)
Gegeben ist das abgebildete ebene System.
Ein homogener, schlanker Balken (Masse m1 ,
Länge l) ist im Punkt A über ein vertikal verschiebbares Gelenklager gelagert. Die Lage des
Punktes A wird über die Koordinate yA beschrieben. Die Auslenkung des Balkens aus der
Vertikalen wird mit dem Winkel ϕ beschrieben. Das andere Ende des Balken ist gelenkig
an einem Gleitstein (Masse m2 ) befestigt. Der
Gleitstein ist reibungs- und spielfrei im Schlitten (Masse m3 ) geführt. Gleitstein und Schlitten sind über eine Feder (Federsteifigkeit c) und
einen Dämpfer (Dämpfungskonstante d) verbunden. Die Feder ist für yA = 0 und ϕ = π2
entspannt. Der Schlitten ist über zwei Loslager
gelagert. Es wirkt die Erdbeschleunigung g.
Balken, m1 , l
A
Gleitstein
yA
g
ϕ
m2 B
c
y
Schlitten
x
z
d
m3
Der Vektor der im Gelenk in B auf den Balken übertragenen Kraft lautet im gegebenen Koor¡
¢T
dinatensystem F B = FB,x FB,y 0 . Die Kinematik des Systems wird über die Koordinaten
¡
¢T
q = yA ϕ beschrieben.
Gegeben: c, d, g, l, m1 , m2 , m3
a) Berechnen Sie die Auslenkung s der Feder aus ihrer Ruhelage (für s < 0 ist die Feder gestaucht), die Geschwindigkeit ṡ sowie die Beschleunigung s̈ in Abhängigkeit der
Koordinaten q und ihrer zeitlichen Ableitungen.
s = yA − l cos ϕ
ṡ = ẏA + lϕ̇ sin ϕ
s̈ = ÿA + lϕ̈ sin ϕ + lϕ̇2 cos ϕ
16
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
b) Berechnen Sie FB,x und FB,y in Abhängigkeit der Koordinaten q und ihrer zeitlichen Ableitungen. Nehmen Sie dazu s, ṡ und s̈ als gegeben an. Setzen Sie nicht Ihre Ergebnisse
aus Teilaufgabe a) ein.
Beschleunigung des Punktes B in y−Richtung:
ÿB = s̈
Beschleunigung des Punktes B in x−Richtung:
xB = l sin ϕ
ẋB = lϕ̇ cos ϕ
ẍB = lϕ̈ cos ϕ − lϕ̇2 sin ϕ
Impulssatz für Gleitstein und Schlitten in horizontaler Richtung:
(m2 + m3 )ẍB = −FB,x
Impulssatz für Gleitstein in vertikaler Richtung:
m2 s̈ = −FB,y − dṡ − cs − m2 g
Für die im Gelenk B auf den Balken übertragenen Kräfte gilt dann:


−(m2 + m3 ) (lϕ̈ cos ϕ − lϕ̇2 sin ϕ)

−m2 (s̈ + g) − dṡ − cs
FB = 
0
¡
¢
FB,x = −(m2 + m3 ) lϕ̈ cos ϕ − lϕ̇2 sin ϕ
FB,y = −m2 (s̈ + g) − dṡ − cs
17
Technische Mechanik 3, 25. März 2011
c) Stellen Sie den Drallsatz für den Balken bezogen auf den Punkt A in Abhängigkeit der
Koordinaten q und ihrer zeitlichen Ableitungen auf. Nehmen Sie dazu FB,x und FB,y als
gegeben an. Setzen Sie nicht Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe b) ein.
A
L =
µ
1 2 l2
l +
12
4
¶
1
m1 ϕ̇ = m1 l2 ϕ̇
3
Für beschleunigten Bezugspunkt muss folgender Term ausgewertet werden:

 l
   
0
sin
ϕ
0
2

0
r AS1 × aA = − 2l cos ϕ × ÿA  = 
l
0
ÿA 2 sin ϕ
0
l
l
L̇A + m1 ÿA sin ϕ = −m1 g sin ϕ + l cos ϕFB,x + l sin ϕFB,y
2
2
l
l
1
m1 l2 ϕ̈ + m1 ÿA sin ϕ = −m1 g sin ϕ + l cos ϕFB,x + l sin ϕFB,y
3
2
2
Aufgabe 10
(14 Punkte)
Das abgebildete ebene System besteht aus einem homogenen, schlanken Balken (Masse mB , Länge l) und
den Gleitsteinen 1 (Masse m1 ) und 2 (Masse m2 ). Die
Enden des Balkens sind in den Schwerpunkten der
Gleitsteine 1 und 2 gelenkig befestigt. Beide Gleitsteine sind spiel- und reibungsfrei geführt. An Gleitstein 2 greift die konstante Kraft F in horizontaler Richtung an. In der Ausgangslage des Systems
ist x = 0 und ẋ = 0. Es werden nur Systemzustände
mit ẋ ≥ 0 betrachtet. Es wirkt die Erdbeschleunigung g.
Für die kinetische Energie T1 des Gleitsteins 1 gilt
T1 = a(x)ẋ2 . Für die kinetische Energie des Balkens
gilt TB = b(x)ẋ2 . Für die kinetische Energie des Gleitsteins 2 gilt T2 = c(x)ẋ2 .
Gegeben: m1 , m2 , mB , l, g, F
18
x
Gleitstein 2
m2
Balken, mB , l
m1
Gleitstein 1
F
g
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a) Berechnen Sie a(x), b(x) und c(x). Hinweis:
d
dx
1
acos x = − √1−x
2.
Kinetische Energie des Gleitsteins 2:
x
1
T2 = m2 ẋ2
2
y
Mit Pythagoras:
√
y = l 2 − x2
ẏ = √
α
−xẋ
l 2 − x2
Kinetische Energie des Gleitsteins 1:
1
1
x2
T1 = m1 ẏ 2 = m1 2
ẋ2
2
2 l − x2
Trigonometrie:
cos α =
x
l
α = acos
x
l
Winkelgeschwindigkeit des Balkens:
α̇ = − q
1
1−
1
ẋ
¡ x ¢2 l = − √l2 − x2 ẋ
l
Zwei Varianten zur Berechnung der Energie des Balkens:
Variante 1 (Bezugspunkt: Schwerpunkt)
1
TB = J MP α̇2
2
Der Abstand des Schwerpunktes des Balkens von seinem Momentanpol d beträgt
konstant 2l . Damit ist der Trägheitstensor bezogen auf den Momentanpol:
J MP = J S + mB d2 =
1
1
1
mB l 2 + mB l 2 = mB l 2
12
4
3
Für die kinetische Energie des Balkens ergibt sich damit:
mB l 2
ẋ2
TB =
2
2
6 (l − x )
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Variante 2 (Bezugspunkt: Schwerpunkt)
1
1
TB = mB vS2 + J S α̇2
2
2
vS2
¶
µ ¶2 µ ¶2
¶
µ
µ
1
ẋ
x2
1
l2
ẏ
2
2
ẋ2
=
ẋ =
ẋ + 2
+
=
2
2
4
l − x2
4 l 2 − x2
1
TB = mB
8
µ
l2
l 2 − x2
¶
ẋ2 +
1
1
mB l 2
2
mB l 2 2
ẋ2
ẋ
=
24
l − x2
6 (l2 − x2 )
x2
1
a(x) = m1 2
2 l − x2
b(x) =
mB l 2
6 (l2 − x2 )
1
c(x) = m2
2
b) Berechnen Sie ẋ in Abhängigkeit von x. Nehmen Sie dazu a(x), b(x) und c(x) als gegeben
an. Setzten Sie nicht Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe a) ein.
Energiebilanz:
T (x, ẋ) + V (x) = V (x = 0) + F x
2
(a + b + c) ẋ − g
ẋ =
s
√
l2
−
x2
³
³
mB ´
mB ´
m1 +
= −gl m1 +
+ Fx
2
2
¡
¢
¢ ¡√
F x + g m1 + m2B
l 2 − x2 − l
a+b+c
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