Vorlesung 3

Plan für Heute/Morgen
◮
Kongruenzsätze: aus der Schule wissen wir die SSS, SWS, und SSW
– Kongruenzsätze für Dreiecke:
Wir wollen diese Sätze im Rahmen unseres Modells (wenn Punkte
die 2−Tupel von reellen Zahlen sind) beweisen.
◮
Außerdem wollen wir noch Isometrien zur Lösung von
schulgeometrischen Aufgaben anwenden.
Isometrien von R2 , die einen Punkt A auf B abbilden
Gegeben sind zwei Punkte A, B ∈ R2 . Eine Isometrie, mit A 7−→ B, kann
man sofort finden: die Translation Tv ∈ Iso; Tv (x) = x + v mit
v = B − A bildet A auf B ab.
B
v=B-A
A
Frage. Wie beschreibt man ALLE
Isometrien, mit A 7−→ B?
Bemerkung. Man kann dies direkt ausrechnen, in dem man das
Gleichungssystem OA + b = B für die unbekannte orthogonale Matrix O
und den unbekannten Vektor b löst (da die Matrix O eine D(α) oder eine
S(α) ist, ist das ein algebraisches (nichtlineares) Gleichungssystem auf
drei Unbekannte b1 , b2 , α; es ist trotzdem lösbar). Diese Methode wird
aber für kompliziertere Aufgaben nichtanwendbar.
Man kann die Lösung auch erraten
(in diesem Fall sind solche Isometrien die Verkettungen von Drehungen
um A und Parallelverschiebung T(B−A) oder Verkettungen von
Spiegelungen bzgl. den Punkt A enthaltenden Geraden und
Parallelverschiebung T(B−A) ).
In dem Fall ist es nicht so einfach zu zeigen, dass es sonst keine
Isometrien mit der Bedingung A 7−→ B gibt.
Um die Frage zu beantworten, benutzen wir das Iso eine
Gruppe ist.
Wir lösen zuerst die folgende Aufgabe :
Aufgabe. Man beschreibe alle Isometrien, die den Punkt ~0 als Fixpunkt
haben, d.h. ~0 7−→ ~0.
Lösung. Nach Satz 1 hat jede Isometrie das Aussehen I (x) = Ox + b,
wobei O eine orthogonale 2 × 2- Matrix ist. Ist I (~0) = ~0, so ist
O~0 + b = ~0, also b = ~0. Also, muss jede Isometrie, die ~0 7−→ ~0, das
Aussehen I (x) = Ox haben; offensichtlich haben alle Isometrien der Form
I (x) = Ox den Punkt ~0 als Fixpunkt.
Zurück zu der alten Aufgabe: Wie beschreibt man ALLE
Isometrien, mit A 7−→ B?
Lösung. Angenommen, I (A) = B. Wir betrachten die Isometrie
T(−B) ◦ I ◦ TA . (Die Verkettung T(−B) ◦ I ◦ TA ist eine Isometrie, weil
Verkettung von Isometrien stets eine Isometrie ist; siehe Vorl. 1). Die
Isometrie I ′ := T(−B) ◦ I ◦ TA hat Fixpunkt ~0: nachrechnen:
T(−B) ◦ I ◦ TA (~
0) = T(−B) (I (TA (~
0))) = T(−B) (I (A)) = T(−B) (B) = B − B = ~
0.
|{z}
B
′
Dann ist I (x) = Ox. Da Iso eine Gruppe ist, ist die Bedingung
I ′ = T(−B) ◦ I ◦ TA zu der Bedingung TB ◦ I ′ ◦ T(−A) = I
|
{z
}
|
{z
}
(∗)
(∗∗)
äquivalent: um zu zeigen, dass alle Isometrien I , I ′ , die (∗) erfüllen, auch
die Bedingung (∗∗) erfüllen müssen, kann man (∗) von links mit
−1
−1
= TB und von rechts mit (TA ) = T(−A) multiplizieren.
T(−B)
Analog gilt: Um zu zeigen, dass alle Isometrien I , I ′ , die (∗∗) erfüllen,
auch die Bedingung (∗) erfüllen müssen, kann man (∗∗) von links mit
T(−B) und von rechts mit TA multiplizieren. Also besteht die Menge der
Isometrien, mit A 7→ B, aus Isometrien der Form
x 7→ O(x − A) + B = Ox + B − OA.
| {z }
v
Aktion (Wirkung, Operation) von Gruppen
Es sei G eine Gruppe. M eine Menge, und SM die Menge der bijektiven
Abbildungen von M nach M, SM := {F : M → M | F bijektiv}.
Aus linearer Algebra
(siehe z.B. http://users.minet.uni-jena.de/∼matveev/Lehre/LA10/vorlesung1.pdf )
wissen wir, dass SM eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung ist; wir
wiederholen das kurz:
(G1): a(bc) = (ab)c (für alle a, b, c ∈ G ) Assoziativität
(G2): Es gibt e ∈ G mit ea = a. (für alle a ∈ G ) Existenz eines neutralen Elements
(G3): Für jedes a ∈ G gibt es ein b ∈ G mit ba = e. Existenz eines inversen Elements
Die erste Eigenschaft (G1) ist erfüllt, weil die Operation “Verknüpfung
von Abbildungen” immer assoziativ ist.
Das neutrale Element ist die Identitätsabbildung Id, Id(x) = x. Sie ist
eine Bijektion und erfüllt Id ◦ F (x) = F (x), also Id ◦ F = F .
Das inverse Element ist die Umkehrabbildung F −1 , definiert durch die
Regel F −1 (x) = y , so dass F (y ) = x. Weil F eine Bijektion ist, ist die
durch diese Regel definierte Abbildung F −1 wohldefiniert; nach
Konstruktion erfüllt sie die Eigenschaft F −1 ◦ F = Id, weil
F −1 ◦ F (y ) = y .
| {z }
Bsp. Permutationsgruppe
Wenn die Menge M endlich ist, o.B.d.A M = {1, ..., n}, so ist die
Gruppe Sn die berühmte Permutationsgruppe. Sie besteht as n!
Elementen und spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik und in
der Geometrie. Wir werden die Permutationsgruppe später
wiederholen und untersuchen.
Def. Eine Aktion einer Gruppe G auf M ist ein
Gruppenhomomorphismus α : G → SM .
Eine Abbildung α : G → H (wobei G und H Gruppen sind) ist ein Gruppenhomomorphismus, wenn ∀g1 , g2 ∈ G
gilt α(g1 ) · α(g2 ) = α(g1 · g2 ), wobei · die Gruppenoperationen sind: auf der linken Seite, in der Gruppe H und
auf der rechten Seite, in der Gruppe G .
D.h., eine Wirkung einer Gruppe auf einer Menge M ist eine Regel (α),
die jedem Gruppenelement eine Bijektion α(g ) : M → M zuordnet, s.d.
diese Zuordnung die Gruppenoperationen “respektiert”:
α(g1 · g2 ) = α(g1 ) ◦ α(g2 ).
Bsp. Man betrachte die “tautologische” Aktion von Iso(R2 , h , i) auf
R2 : Elemente der Isometriegruppe sind bereits Elemente von SR2 ; also ist
die Abbildung α : Iso → SR2 die Identitätsabbildung.
Bsp. Man betrachte die Gruppe O2 = {A ∈ Mat(2, 2, R) | AAt = Id}
bzgl. Matrizenmultiplikation. Dann operiere die Abbildung α : O2 → SR2
wie folgt: die Matrix A wird auf die Isometrie der Form I (x) = Ax
abgebildet. Diese Abbildung α ist tatsächlich eine Aktion: die (einzige)
Eigenschaft aus der Definition der Aktion einer Gruppe ist offensichtlich
erfüllt, da das Matrizenprodukt von Matrizen aus O2 (d.h., die
Gruppenoperation in O2 ) der Verknüpfung der entsprechenden linearen
Abbildungen entspricht.
Fixmenge und Stabilisator
Wir betrachten die Wirkung einer Gruppe G auf M. Eine Teilmenge
T ⊆ M heißt eine Fixmenge bzgl. der Aktion eines Elements g ∈ G ,
wenn ∀x ∈ T α(g )(x) = x.
Bsp. Wir betrachten die oben definierte Wirkung von O2 auf R2 :
die Matrix A ∈ O2 wird auf die Isometrie der Form I (x) = Ax abgebildet
Dann ist die Menge {~0} eine Fixmenge jedes
Außerdem ist die
Elements.
Gerade durch ~0 mit dem Richtungsvektor 1 −sin(α)
eine Fixmenge von
cos(α)
cos α sin α S(α) :=
, da die entsprechende Abbildung x 7→ S(α)x die
sin α
− cos α
Spiegelung bzgl. dieser Geraden ist, siehe Vorl. 2.
Es sei T ⊆ M. Der Stabilisator der Teilmenge T ist eine Teilmenge von
G ; sie besteht aus allen Elementen, für die T eine Fixmenge ist.
GT := {g ∈ G | T ist eine Fixmenge für g }
Bsp. Man betrachte die tautologische Aktion von G = Iso(R2 , h , i) auf
R2 . Der Stabilisator von ~0 besteht aus allen Isometrien der Form x 7→ Ox:
G~0 = {I ∈ Iso(R2 , h , i) | I (x) = Ox für O ∈ O2 }.
Der Stabilisator ist nie leer, da das neutrale Element immer darin
enthalten ist, weil α ein Gruppenhomomorphismus ist und
deswegen α(e) = Id.
Stabilisator der Teilmenge T ⊆ M ist
GT := {g ∈ G | T ist eine Fixmenge für g } ⊆ G
Def. Sei (G , ·) eine Gruppe. Eine Untergruppe der Gruppe G ist eine nicht leere Teilmenge G ′ ⊆ G mit
den Eigenschaften.
(i) Für alle a, b ∈ G ′ ist a · b ∈ G ′ . (geschlossen bzgl. Multiplikation)
(ii) Für jedes a ∈ G ′ ist a−1 ∈ G ′ (geschlossen bzgl. Invertieren)
Satz (LA; z.B. http://users.minet.uni-jena.de/∼matveev/Lehre/LA10/vorlesung1.pdf) Eine Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe (bzgl. der induzierten Multiplikation.)
Eine Wirkung einer Gruppe auf einer Menge M ist eine Regel (α), die jedem Gruppenelement eine
Bijektion α(g ) : M → M zuordnet, s.d. diese Zuordnung die Gruppenoperationen “respektiert”: α(g1 ·
g2 ) = α(g1 ) ◦ α(g2 ).
Lemma 9. Der Stabilisator einer Menge ist eine Untergruppe (und
deswegen eine Gruppe).
Beweis. Sei T ⊆ M eine Menge. Nach Def. oben müssen wir zeigen,
dass ∀g1 , g2 ∈ GT wir g1 g2 ∈ GT haben. Angenommen, g1 , g2 ∈ GT , d.h.,
α(g1 )(x) = x und α(g2 )(x) = x für jedes x ∈ T . Dann gilt:
Def. von Wirkung
α(g1 g2 )(x)
=
α(g1 ) ◦ α(g2 )(x) = α(g1 )(x) = x, also für jedes
x ∈ T , ist α(g1 g2 )(x) = x und damit g1 g2 ∈ GT .
Konjugation
Def. Sei G eine Gruppe und g ∈ G . Die g -Konjugation ist die Abbildung
von G nach G , gegeben durch die Formel g ′ 7→ g −1 g ′ g .
Aussage: Konjugation ist ein Gruppenisomorphismus.
Beweis. Konjugation “respektiert” die Gruppenoperation: wenn wir
Produkt von zwei Elementen konjugieren, bekommen wir das Produkt
von konjugierten Elementen.
g −1 g ′ g ′′ g = g −1 g ′ gg −1 g ′′ g = g −1 g ′ g
| {z }
| {z }
e
g −1 g ′′ g .
| {z }
Konj. von g ′ Konj. von g ′′
Also ist Konjugation ein Gruppenhomomorphismus.
Konjugation ist bijektiv: um Bijektivität einer Abbildung zu zeigen,
genügt es die Existenz der Umkehrabbildung zu zeigen. Die Konjugation
mit g −1 ist die Umkehrabbildung: wegen (g −1 )−1 = g ist die
Konjugation mit g −1 die Abbildung g ′ 7→ gg ′ g −1 . Dann gilt:
gg −1 g ′ gg −1 = g ′ ,
| {z } | {z }
e
also ist die Konj. mit g
−1
die Linksinverse zur Konj. mit g
e
Analog gilt: Konjugation mit g −1 ist die Rechtsinverse zur Konjugation
mit g . Also ist Konjugation ein Gruppenisomorphismus.
Lemma 10. Die Gruppe (G , ·) operiere auf M. Wir betrachten eine
Teilmenge T ⊆ M und die Teilmenge α(g )(T ) = {α(g )x | x ∈ T }, den
Stabilisator Gα(g )T , und die Untergruppe
g −1 Gα(g )T g := {g −1 g ′ g | g ′ ∈ Gα(g )T }. Dann gilt: GT = g −1 Gα(g )T g .
In Worten. Stabilisator der Teilmenge T ⊆ M ist die g −Konjugation
des Stabilisators von α(g )(T ) ⊆ M.
Bemerkung. g −1 Gα(g )T g := {g −1 g ′ g | g ′ ∈ Gα(g )T } ist tatsächlich eine
Untergruppe, weil g -Konjugation ein Gruppenisomorphismus ist, und
deswegen Untergruppen in Untergruppen überführt.
Beweis des Lemmas. Wir müssen zeigen, dass GT ⊇ g −1 Gα(g )T g und
GT ⊆ g −1 Gα(g )T g .
Sei g ′ ∈ Gα(g )T . Dann ist α(g ′ ) ◦ (α(g )(x)) = α(g )(x) für alle x ∈ T .
Wir wenden die Abbildung α(g −1 ) auf beide Seiten der letzten Gleichung
an und bekommen α(g −1 ) ◦ α(g ′ ) ◦ α(g )(x) = α(g −1 ) ◦ α(g )(x). Da die
Abbildung α ein Gruppenhomomorphismus ist, kann man die letzte
Formel umformen: wir bekommen
α( g −1 · g ′ · g )(x) = α(g −1 · g )(x). Da α ein
| {z }
| {z }
g -Konjugation von g ′
e
Gruppenhomomorphismus ist, ist α(e) = Id, und deswegen ist
g −1 · g ′ · g ∈ GT . Der Beweis GT ⊆ g −1 Gα(g )T g ist analog
Lösung der Aufgabe vom Anfang der Vorlesung mit
Lemma 10
. Aufgabe. Man beschreibe alle Isometrien, mit A 7−→ B.
Wir betrachten die tautologische Wirkung von G = Iso auf R2 . Der
Stabilisator G~0 besteht aus allen Isometrien I (x) = Ox + v mit I (~0) = ~0
und ist deswegen die Menge der Isometrien der Form x 7→ Ox,
G~0 = {I ∈ Iso(R2 , h , i) | I (x) = Ox für O ∈ O2 }.
Das Element TA−B überführt B 7→ A. Für jedes Element g ′ ∈ G = Iso,
so dass g ′ (A) = B, gilt TA−B ◦ g ′ (A) = A; also liegt TA−B ◦ g ′ im
Stabilisator von A. Analog gilt: wenn ein Element TA−B ◦ g ′ im
Stabilisator von A liegt, so ist g ′ (A) = B.
Aus Lemma 10 wissen wir den Stabilisator von A: GA = TA G~0 T−A . Also
ist die gesuchte Teilmenge der Gruppe, die Menge
T(B−A) ◦ TA G~0 T(−A) = TB G~0 T(−A) .
{z
}
|
TB
Wann kann man eine Strecke auf eine andere Strecke
überführen?
Lemma 11. Seien A 6= B und A′ 6= B ′ ∈ Rn . Dann gilt: es gibt eine
Isometrie I mit A 7−→ A′ und B 7−→ B ′ , genau dann wenn
d(A, B) = d(A′ , B ′ ). Ferner gilt: gilt d(A, B) = d(A′ , B ′ ), so gibt es
genau zwei Isometrien mit A 7−→ A′ und B 7−→ B ′ .
Zuerst Vorarbeit:
Def. Die Gruppe (G , ·) operiere auf M. Sie operiert transitiv, wenn
∀x, y ∈ M ein g ∈ G existiert mit α(g )(x) = y .
Def. Wir betrachten die oben definierte Wirkung von O2 auf R2 : für eine
Matrix A ∈ O2 ist die Abbildung α(A) die Abbildung x → Ox.
Diese Wirkung induziert eine Wirkung von O2 auf
Kr := {x ∈ R2 | |x| = r }, wobei r > 0, weil für jedes x ∈ Kr und jedes
g ∈ O2 gilt, dass α(g )(x) ∈ Kr (weil d(α(g )(x), ~0) = d(x, ~0) = r für
jedes x ∈ Kr ).
Bemerkung. Die induzierte Wirkung α′ ist wie folgt definiert: α′ (g ) = α(g ); da α(g )(x) ∈ Kr für x ∈ Kr , ist
α′ (g ) ∈ SKr . Die einzige Eigenschaft aus der Definition einer Wirkung, nämlich α′ (g1 ) ◦ α′ (g2 ) = α′ (g1 g2 ) ist
automatisch erfüllt, weil sie für die Abbildung α erfüllt ist.
Aussage 1. Die oben definierte Wirkung der Gruppe O2 auf Kr ist
transitiv.
Aussage 1. Die oben definierte Wirkung der Gruppe O2 auf Kr ist transitiv.
Beweis der Aussage. Wir werden im Wesentlichen
die gleichen
Formeln
p
benutzen wie im Beweis von Lemma 4. Sei yx ∈ Kr , d.h., x 2 + y 2 = r .
Wir betrachten die Zahlen √ x2 2 und √ y2 2 . Diese Zahlen haben die
x +y
Eigenschaft, dass
p
x
x2 + y2
x +y
!2
+
p
y
x2 + y2
!2
= 1.
Wie wir im Beweis von Lemma 4 erklärt haben, existiert dann α ∈ [−π, π]
mit √ x2 2 = cos(α) und √ y2 2 = sin(α).Wir betrachten die Matrix
x +y
x +y
− sin(α)
D(α) ∈ O2 ; D(α) = cos(α)
. Dann ist D(α) 0r =
sin(α)
cos(α)
r cos(α) r x x = r yr = y . Also existiert für jedes yx ∈ Kr ein Element g aus
r sin(α)
r O2 , s.d. α(g ) 0r = yx . Da α eine Wirkung ist, gilt α(g −1 ) = (α(g ))−1 .
Also, α(g −1 ) yx = 0r .
Wir zeigen jetzt, dass für je zwei Elemente xy11 , xy22 ∈ Kr ein g ∈ O2
existiert, mit α(g ) xy11 = xy22 . Wie wir oben bewiesen haben, existieren
g1 , g2 mit α(g1 ) xy11 = 0r und α(g2 ) 0r = xy22 .
Dann gilt: α(g2 g1 ) xy11 = α(g2 ) ◦ α(g1 ) xy11 = α(g2 ) ◦ α(g1 ) xy11 =
α(g2 ) 0r = xy22 .
Aussage
2. Die Gruppe O2 operiere auf
Kr wie oben. Dann gilt für jeden
Punkt yx ∈ Kr : Der Stabilisator von { yx } besteht aus genau zwei
Elementen.
Beweis. Nach Lemma 10 und Aussage 1 sind, für je zwei Punkte xy11
und x2 , die Stabilisatoren Gx und Gx isomorph (Isomorphismus ist
y2
1
2
y1
y2
Konjugation) und deswegen ist die Anzahl der Elemente
gleich. Also
genügt es zu zeigen, dass der Stabilisator von 0r aus zwei Elementen
besteht. Nach Lemma 4 ist jedes Element aus O2
− sin(α)
sin(α)
D(α) = cos(α)
oder S(α) = cos(α)
.
sin(α)
cos(α)
sin(α)
− cos(α)
Wenn wir D(α) oder S(α) auf
cos(α)
sin(α)
− sin(α)
cos(α)
r 0
=
r 0
r cos(α)
r sin(α)
anwenden, bekommen wir
und
cos(α)
sin(α)
sin(α)
− cos(α)
r 0
=
r cos(α)
r sin(α)
.
Wir sehen, dass D(α) 0r = 0r bzw. S(α) 0r = 0r , g.d.w. cos(α) = 1
und sin(α) = 0, also wenn D(α) = 1 1 und S(α) = 1 −1 . Also
r existieren genau zwei Elementen aus O2 , die den Punkt 0 als Fixpunkt
haben,
Beweis von Lemma 11.
Lemma 11. Seien A 6= B und A′ 6= B ′ ∈ Rn . Dann gilt: es gibt eine Isometrie I mit A 7−→ A′ und
B 7−→ B ′ , genau dann wenn d(A, B) = d(A′ , B ′ ). Ferner gilt: gilt d(A, B) = d(A′ , B ′ ), so gibt es
genau zwei Isometrien mit A 7−→ A′ und B 7−→ B ′ .
Aussage 1. Die Standard-Wirkung der Gruppe O2 auf Kr ist transitiv.
Aussage 2. Die Gruppe O2 operiere (standard) auf Kr . Der Stabilisator jedes Punktes besteht aus genau
zwei Elementen.
Beweis von Lemma in =⇒ Richtung. Angenommen, I (A) = A′ und
I (B) = B ′ . Dann ist d(A, B) = d(A′ , B ′ ),
.
Beweis von Lemma in ⇐= Richtung. Die Isometrien, die A 7→ A′
überführen, haben wir oben beschrieben: alle solche Isometrien haben die
Form I (x) = Ox + A′ − OA. Wir müssen also diejenigen finden, die auch
| {z }
v
B 7→ B ′ überführen, also solche O ∈ O2 bestimmen, s.d.
Umformen
OB + A′ − OA = B ′ ( ⇐⇒ O(B − A) = B ′ − A′ . Da die Längen von
′
′
B − A und B − A gleich r = d(A, B) sind, gibt es nach Aussagen 1,2
genau 2 solche O ∈ O2 ,
Kongruenz
Def. Zwei Teilmengen T1 , T2 ⊆ R2 heißen kongruent, wenn eine
Isometrie I von R2 existiert, s.d. I (T1 ) = T2 .
Def. Seien A, B, C ∈ R2 , s.d. sie nicht auf einer Geraden liegen. Die
Menge AB ∪ BC ∪ AB heißt ein Dreieck. Wir werden das Dreieck mit
∆ABC oder ABC bezeichnen.
Bemerkung. Dreieck ∆ABC (als Objekt, eine Menge) bestimmt eindeutig
die Ecken (Beweis ist im Wesentlichen wie für eine Strecke; wir werden
einen alternativen Beweis im Kapitel “konvexe Geometrie” geben.
SSS-Kongruenzsatz. Es seien A, B, C und A′ , B ′ , C ′ Punkte des R2 ,
s.d. weder A, B, C noch A′ , B ′ , C ′ auf einer Geraden liegen. Dann gilt: es
gibt eine Isometrie I , mit A 7→ A′ , B 7→ B ′ , C 7→ C ′ , genau dann wenn
d(A, B) = d(A′ , B ′ ), d(B, C ) = d(B ′ , C ′ ) und d(A, C ) = d(A′ , C ′ ).
Ferner gilt: ist d(A, B) = d(A′ , B ′ ), d(B, C ) = d(B ′ , C ′ ) und
d(A, C ) = d(A′ , C ′ ), so ist eine solche Isometrie eindeutig.
Beweis. Nach Lemma 11 existieren genau 2 Abbildungen, I und Ĩ , mit
A 7→ A′ und B 7→ B ′ . Wir betrachten I (C ) und Ĩ (C ). Diese Punkte sind
verschieden, da die Isometrien nach Satz 1 Affinitäten (=affine
Isomorphismen) sind, und die Bilder von drei Punkten in allgemeiner
Lage bestimmen die Affinität des R2 eindeutig. Die Punkte I (C ) und
Ĩ (C ) liegen auf dem Schnitt von zwei Kreisen
Kd(A,C ) (A) = {x ∈ R2 | d(x, A) = d(A, C )},
Kd(B,C ) (B) = {x ∈ R2 | d(x, B) = d(B, C )}. Nach Hausaufgabe 3, Serie
2 haben solche Kreise höchstens 2 Schnittpunkte; also sind die Punkte
I (C ) und Ĩ (C ) genau diese Schnittpunkte. Da C ′ auch auf dem Schnitt
von diesen Kreisen liegt, ist entweder C ′ = I (C ) oder C ′ = Ĩ (C ).