(G, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element

Übungsaufgaben zur Vorlesung ”Diskrete Mathematik für Informatiker”:
1 Es sei (G, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element e. Beweisen Sie : Gilt für vier
Elemente a, b, x, y ∈ G, dass
a ∗ x ∗ b = a ∗ y ∗ b,
so ist x = y.
2 Es sei c die Lichtgeschwindigkeit (etwa 300000 km/sec). Es sei I = (−c, c) ein offenes
Intervall. Ist durch
x+y
, x.y ∈ I,
x ⊕ y :=
1 + xy
c2
eine Verknüpfung auf I gegeben, d.h. ist x ⊕ y ∈ I für x, y ∈ I ?
Ist (I, ⊕) eine kommutative Gruppe ?
3 Es seien (G, ∗) und (H, ·) Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Auf deren
direktem Produkt G × H sei die folgende Verknüpfung ◦ definiert :
(a, b) ◦ (a′ , b′ ) := (a ∗ a′ , b · b′ ),
a, a′ ∈ G, b, b′ ∈ H.
Beweisen Sie, dass (G × H, ◦) eine Gruppe mit neutralem Element (eG , eH ) ist.
4 Welche der folgenden algebraischen Strukturen bilden eine Gruppe ?
(a) (IN, +)
(IN ist die Menge der natürlichen Zahlen)
(b) (IN, ·)
(c) (Q, +)
(Q ist die Menge der rationalen Zahlen)
(d) (Q \ {0}, ·)
5 (a) Für welche Teilmengen U von Z10 ist (U, +) eine Gruppe mit neutralem El. [0] ?
(b) Für welche Teilmengen U von Z10 ist (U, ·) eine Gruppe mit neutralem El. [1] ?
(c) Für welche Teilmengen U von Z7 ist (U, ·) eine Gruppe ?
6 Es seien (G, ∗) und (H, ·) Gruppen.
(a) Wann heißt f : G → H Gruppenhomomorphismus ?
(b) Es sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Beweisen Sie :
Das Bild f (G) := {f (u) : u ∈ G} von G unter f ist eine Untergruppe von H.
Der Kern von f ist eine Untergruppe von G.
7 Es seien a und n natürliche Zahlen, 1 < a < n. Beweisen Sie :
(a) Sei der größte gemeinsame Teiler von a und n gleich 1, also ggT(a, n) = 1. Sei
U ⊂ Zn die Menge der Potenzen von [a], also
U := {[1], [a], [a]2, [a]3 , . . .},
1
wobei offensichtlich [a]k = [ak ], k ∈ IN. Dann ist (U, ·) eine Gruppe.
(b) Ist ggT(a, n) > 1, so ist (U, ·) keine Gruppe.
8 (a) Beweisen Sie mit Hilfe des kleinen Satzes von Fermat, dass (Zn \ {[0]}, ·)
eine Gruppe ist, falls n eine Primzahl ist.
(b) Beweisen Sie, dass (Zn \ {[0]}, ·) keine Gruppe ist, falls n keine Primzahl ist.
9 (Beweis der kleinen Satzes von Fermat) : Es sei n eine Primzahl. Dann gilt für alle
k = 1, 2, . . . , n − 1, dass
k n−1 = 1 mod n.
(∗)
(a) Beweisen Sie : Für k = 1, 2, . . . , n − 1 gilt
n
=0
k
mod n.
(b) Beweisen Sie durch Induktion nach k mit Hilfe von (a), dass
kn = k
mod n,
1 ≤ k ≤ n − 1.
(∗∗)
(c) Zeigen Sie, wie aus (**) sofort (*) folgt.
10 Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus für b = 46892 und a = 38254 den
ggT(a, b), sowie Zahlen x, y ∈ Z mit a · x + b · y = ggT(a, b).
11
(a) Berechnen Sie φ(100).
(b) Gegeben sei die Dezimalzahl x = 35766 . Berechnen Sie ihre letzten beiden Dezimalstellen.
(c) Berechnen Sie die letzten drei Dezimalstellen von x = 35766 .
12
(a) Es sei φ : IN → IN die Eulersche φ-Funktion. Zeigen Sie :
Sind m und n zwei natürliche Zahlen mit ggT(m, n) = 1, so gilt
φ(m · n) = φ(m) · φ(n).
(b) Finden Sie die kleinste natürliche Zahl x mit der Eigenschaft
27
3(3 ) = x modulo 17 .
2
13 Es sei G = (V, E) ein Graph mit n ≥ 2 Knoten. Sei Γ = (V, E0 \ E) der zu G
komplementäre Graph. Zeigen Sie :
(a) Mindestens einer der beiden Graphen ist zusammenhängend.
.
(b) Ist G isomorph zu Γ, so ist |E| = n(n−1)
4
14 Es sei G = (V, E) ein Graph mit n ≥ 2 Knoten. G heißt bipartit, falls es eine
Zerlegung V = A ∪ B mit A ∩ B = ∅ und E ⊆ {{a, b} : a ∈ A, b ∈ B} gibt. Zeigen Sie:
G ist genau dann bipartit, wenn jeder Kreis in G eine gerade Länge hat.
15 Der gewichtete Graph (V, E, w) mit Knoten V = {v1 , v2 , . . . , v9 } sei gegeben durch
seine Adjazenzmatrix
∗
1

∗

∗

A = 3

∗

∗

2
1

1
∗
2
∗
3
0
∗
∗
∗
∗
2
∗
1
2
1
∗
∗
∗
∗
∗
1
∗
∗
∗
3
∗
∗
3
3
2
∗
∗
∗
∗
2
∗
∗
0
1
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
3
∗
∗
∗
∗
2
2
∗
∗
∗
2
∗
∗
∗
∗

1
∗

∗

∗

∗

∗

2

∗
∗
(a) Ist G = (V, E) zusammenhängend?
(b) Berechnen Sie mit Hilfe des Verfahrens von Dijkstra den kürzesten Baum mit
Wurzel r = v1 .
16 Es sei G = (V, E) der Graph der Aufgabe 15
(a) Ist G ein Baum ?
(b) Ist G ein eulerscher Graph? Wenn ja, so geben Sie einen eulerschen Kreis an.
Klausuraufgaben
K1 Wir betrachten Z10 und deren Teilmenge G0 := {[0], [2], [4], [6], [8]}.
(a) Beweisen Sie, dass (G0 , +) eine Untergruppe der Gruppe (Z10 , +) ist.
(b) Ist (G0 , +) isomorph zur Gruppe (Z5 , +) ? (Begründung!)
K2
(a) Wie wird die Eulersche φ-Funktion definiert ? Berechnen Sie φ(100) und φ(1000).
(Begründung!)
3
(b) Gegeben sei die Dezimalzahl x = 35766 . Berechnen Sie die letzten beiden Dezimalstellen von x.
K3 Es sei (G, ∗) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e.
(a) Zu a ∈ G bilden wir die Potenzen
G0 = {e, a, a2 , a3 , . . .}.
Beweisen Sie, dass (G0 , ∗) eine Untergruppe der Gruppe (G, ∗) ist.
Ist (G0 , ∗) kommutativ und zyklisch ?
(b) Wieviele zyklische Untergruppen von (Z8 , +) gibt es ? Geben Sie alle an.
K4 Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler
ggT(a, b) der Zahlen a = 23416 und b = 3624. Geben Sie Zahlen x, y ∈ Z mit der
Eigenschaft
a · x + b · y = ggT(a, b).
Sind diese Zahlen x und y eindeutig ?
K5 Der Graph G = (V, E) mit Knoten V
Adjazenzmatrix

∗ 1
1 ∗

∗ 1

A = ∗ ∗

1 1

∗ 1
∗ ∗
= {v1 , v2 , . . . , v7 } sei gegeben durch seine
∗
1
∗
1
∗
1
∗
∗
∗
1
∗
∗
∗
1
1
1
∗
∗
∗
∗
∗
∗
1
1
∗
∗
∗
1

∗
∗

∗

1

∗

1
∗
(a) Ist G zusammenhängend ? Wenn ja, so geben Sie einen G aufspannenden Baum
mit Wurzel v1 an.
(b) Ist G ein eulerscher Graph ?
4