Zur Theorie der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen I

mz x
(;y2
+
z2)
V
x2+
y2
+z2
Tatsächlich, wenn man jetzt aus dem Zusammenhang f) = rot a die Komponenten von f) berechnet, so folgt
hx
=
m
'
hy
=
m
Ii*
imd
hz =
m
•
Das hergeleitete Vektorpotential beschreibt also
tatsächlich richtig das Feld einer magnetischen
Punktladung.
Dieses Resultat scheint im Widerspruch zu sein
mit den Satz, daß das ganze Coulomb-Feld einer
Punktladung nur mit Hilfe eines skalaren Potentials beschrieben werden kann. Betrachten wir
jedoch die in (9) stehenden Ausdrücke, so bemerken wir gleich, daß gegenüber dem das Feld
einer Punktladung beschreibenden skalaren Potential cp = m/R der wesentliche Unterschied besteht, daß die zwei letzten in (9) stehenden K o m ponenten eine Singularität entlang der X - A c h s e
besitzen, d. h. daß die Feldstärke entlang dieser
Achse ungewiß wird.
Wir sehen also, daß man mit einem Vektorpotential das Coulombsche Feld einer Punktladung nur dann streng richtig beschreiben kann,
wenn man dabei eine entlang einer Linie auftretende Singularität ausschließt, setzt man dagegen aus zwei solchen Singulettpolen ein mathematisches Dipol zusammen, so verschwindet diese
Singularität, wie das aus (7) folgt. Eben diese
Singularität entlang einer Linie zeigt den zwangsläufigen Zusammenhang zwischen zwei magnetischen Singulettpolen entgegengesetzten Vorzeichens. Andererseits ist diese entlang einer Linie
auftretende Singularität die mathematische Beschreibung des von D i r a c postulierten unbeobachtbaren Fadens (unobservable string), welcher
zwei Pole verschiedenen Vorzeichens miteinander
verbindet.
Anschaulich entspricht diese Linie dem rohrartigen Hohlraum eines Solenoides in dem die
Feldstärke nicht mehr mit dem Coulombschen
Felde der zwei an den Endpunkten gedachten
Pole beschrieben werden kann, bzw. es ist gelungen, diesen Hohlraum mathematisch in eine entlang einer Linie auftretende Singularität zusammenzuziehen. jedoch nicht vollständig zu entfernen.
Zur Theorie der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen I *
Von H.
KOPPE
Aus dem Max-Planck-Institut für Physik Göttingen
(Z. Naturforschg. 7a. 156-161 [1952]; eingegangen am 11. Septemer 1951)
3. N e u e D e f i n i t i o n
der
Verteilung
I
m letzten Abschnitt waren wir von einem bestimmten Ansatz für die Verteilungsfunktion, die
einer gegebenen Fermi-Oberfläche entspricht, ausgegangen. Es hat sich dann gezeigt, daß es für die
bisher abgeleiteten Formeln auf die genaue Form
dieser Funktion gar nicht ankommt, sondern sich
alles durch die Geometrie der Fermi-Oberfläche
darstellen läßt. Die Struktur der Übergangszone
geht nur in die Berechnung der Diffusionskonstante
ein, und muß im Prinzip dazu genau bekannt sein.
Das führt auf ein Entwicklungsverfahren, welches
in einer späteren Arbeit näher untersucht werden
* Fortsetzung der in Heft 1 dieser Z. (7a. 17 [1952])
erschienenen Arbeit.
soll. Hier soll die Diffusionskonstante nur in nullter
Näherung berechnet werden, und dafür wird es
zweckmäßig sein, von einer Verteilungsfunktion
auszugehen, deren Oberflächenstruktur soweit wie
möglich mit der einer normalen Fermi-Verteilung
übereinstimmt. Wir verallgemeinern zu diesem
Zweck (5), indem wir zunächst einmal schreiben:
/s(f) =
e[£(f)-t(f)]/£T
'
(5) ist eine spezielle Form davon, da m a n ja &
und (p durch die Komponenten von f ausdrücken
kann. Andererseits ist (33) offenbar noch viel zu
allgemein, da man auf diese Weise jede beliebige
Funktion darstellen kann. Die Oberfläche S ist
ja lediglich durch die Gleichung e (f) — £(f) = 0
Dieses Werk wurde im Jahr 2013 vom Verlag Zeitschrift für Naturforschung
in Zusammenarbeit mit der Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der
Wissenschaften e.V. digitalisiert und unter folgender Lizenz veröffentlicht:
Creative Commons Namensnennung-Keine Bearbeitung 3.0 Deutschland
Lizenz.
This work has been digitalized and published in 2013 by Verlag Zeitschrift
für Naturforschung in cooperation with the Max Planck Society for the
Advancement of Science under a Creative Commons Attribution-NoDerivs
3.0 Germany License.
Zum 01.01.2015 ist eine Anpassung der Lizenzbedingungen (Entfall der
Creative Commons Lizenzbedingung „Keine Bearbeitung“) beabsichtigt,
um eine Nachnutzung auch im Rahmen zukünftiger wissenschaftlicher
Nutzungsformen zu ermöglichen.
On 01.01.2015 it is planned to change the License Conditions (the removal
of the Creative Commons License condition “no derivative works”). This is
to allow reuse in the area of future scientific usage.
ohnehin empirisch eliminiert werden kann, dürfte
die Beschränkung auf ideale Gitter unwesentlich
sein.
Wir stellen zunächst einige Formeln für die
grad £ • grad ( £ - t ) = 0 ,
(33)
Stoßprozesse zusammen. Die Wellenzahl des Elektrons wird mit f bezeichnet, (p = hi), die Energie
d. h. daß der Gradient von £ immer senkrecht zur
mit e(f). Einem Schallquant läßt sich weiterhin
Normalen der Oberfläche liegt. Längs dieser Noreine Wellenzahl tu zuordnen, die die Richtung des
malen hat dann f s den gleichen Verlauf wie eine
Ausbreitungsvektors hat, und deren Betrag gleich
normale Fermi-Verteilung. Daß sich eine solche
2TT/A ist. Die zugehörige Frequenz resp. Energie
Annahme willkürfrei durchführen läßt, sieht man
hängt von der Gitterstruktur ab. Wir wollen hier
folgendermaßen ein: Wir konstruieren eine Funkzunächst einmal mit einer mittleren Schallgetion Q ( f ) , die den Bedingungen genügt, daß
schwindigkeit u 0 rechnen, dann ist die Energie des
erstens Q = 0 auf S, und zweitens die Zunahme
Schallquants gleich w0£|lt)|. Die Anzahl der mögvon Q in der Richtung von grad e immer gleich
lichen
Eigenschwingungen pro Volumeneinheit
grad e ist :
mit einer Wellenzahl tu, d tt> ist gleich (2jz)~3. Die
| grad Q \2 = grad Q • grad e.
(34)
mittlere Anzahl der angeregten Quanten ist:
gegeben, und wir haben die Möglichkeit, beliebige
Zusatzforderungen für das Verhalten von £ (f)
außerhalb S zu stellen. Als solche wählen wir, daß
Setzt man £(f) = e ( f ) — ü (f),dann erfüllt £ die
oben gestellten Bedingungen. Die tatsächliche Integration von (34) wäre natürlich sehr schwierig.
Sie ist aber gar nicht erforderlich, da man die
Verteilungsfunktion nur in der Nähe der Oberfläche zu kennen braucht; und dazu genügt bereits
die Bedingung (34).
4. B e r e c h n u n g
derDiffusionskonstante
In einem idealen Metallgitter ohne Störstellen
sind zweierlei Arten von Zusammenstößen zwischen Elektronen und Gitter möglich: 1. Zusammenstöße, bei denen der Impulssatz zwischen Elektronen und Schallquanten erfüllt ist, und 2. Umklapp-Prozesse, bei denen in der Impulsbilanz noch
ein Vektor des reziproken Gitters auftritt. Wir betrachten hier zunächst nur die „normalen" Stöße,
für die die Voraussetzung für die „Diffusionsnäherung" erfüllt ist, daß die Elektronen ihren
Impuls bei Einzelstößen nur wenig ändern können.
Umklapp-Prozesse müssen vorläufig ausgeschlossen werden, da sie zu großen Impulsänderungen
führen. Das dürfte keine sehr wesentliche Einschränkung sein, da solche Prozesse nur unter besonderen Umständen auftreten können.
Sobald in einem Metall Störstellen vorhanden
sind, gibt es zusätzlich noch Stöße, bei denen der
Impulssatz nicht erfüllt zu sein braucht, und deshalb ebenfalls große Impulsänderungen auftreten
können. Auch diese Prozesse, die in einem realen
Metall natürlich immer eine Rolle spielen, müssen
vorläufig außer Acht gelassen werden. Da aber
der durch die Störstellen erzeugte Restwiderstand
-
t«.nm)l*T
_
l
'
,33>
Für alle Übergänge muß der Energie- und Impulssatz gelten:
V = f ± tu ,
(36)
c(l') = e ( f ) ± M 0 » l t o | -
(37)
Dabei gilt das -|--Zeichen für Absorption und das
— -Zeichen für Emission eines Schallquants. Betrachten wir kleine Impulsänderungen und setzen
At = V — f = ± t D , dann wird aus (35)
ange-
nähert :
At g r a d e = ± M0Ä|tt>|.
(38)
Wir setzen
Es muß dann zunächst einmal x < 1 sein, damit
Stöße überhaupt möglich sind. Diese Bedingung
ist bekannt 4 , spielt aber bei Metallen keine Rolle,
da sie immer erfüllt ist. (36) sagt dann aus, daß V
immer auf einem Kegelmantel mit der Spitze im
Endpunkt von f, der Achse in der Richtung von
grad e und einem Öffnungswinkel arc cos x liegen
müssen. Man sieht nun leicht ein, daß für die weitaus meisten Stöße tatsächlich A f immer klein sein
muß, und daß im wesentlichen nur die Elektronen
in der Nähe der Fermi-Oberfläche Übergänge ausführen können. Wir betrachten zunächst einmal
die Absorptionsprozesse. Hier ist von vornherein
Je T
|A f | <
^ j. , weil höhere Quanten nicht angeregt
sind. Außerdem muß f dicht unterhalb der Ober-
fläche der Fermi-Kugelgelegen haben, da sonst der
Endzustand besetzt ist. Für Emissionsprozesse ergibt sich wieder die gleiche Beschränkung. Wenn I
nahe bei der Oberfläche der Fermi-Kugel liegt, würden Stöße mit großem zlf in das annähernd voll
besetzte Gebiet führen. Übergänge, beideneri f hinreichend weit außerhalb der Fermi-Kugel liegt,
brauchen nicht in Betracht gezogen zu werden,
da dann wieder n(f) sehr klein ist.
Die Tangentenebene der Fläche S im Punkt f 0 ist
gegeben durch die Gleichung
h
=
Daraus ergibt sich, daß
Fs (kx, ky) — ß
Für die Wahrscheinlichkeit w\ ~ ^ eines Über7t
+ tu
{ 1 - / ( f + t t > ) } 0(f,
N(tv)
• < 5 ( e ( f - tu) -
£ (f) -
u0H ! to I),
bei Emission eines Schallquants
*W\-"
= (tf(h>)+l){l
•d ( s ( t -
tu) -
-
f(l -
W)}0(t,
£(!) + u0R |tn|).
tv)
(40b)
Die Funktion 0 hängt v o m Matrixelement des
Überganges ab. Wenn wir hier, um den Anschluß
an frühere Rechnungen zu gewinnen, zunächst
einmal wieder die vereinfachenden Annahmen von
B l o c h zugrunde legen, dann ist 5
0(t,W)
(41)
= 0o\tv\;
Dabei ist C eine für das Metall charakteristische
Konstante und q dessen Dichte. Die weiteren Betrachtungen beziehen sich nur auf ein Flächenelement von S' im Punkte f 0 der Oberfläche. Wir
vereinfachen die Rechnung, indem wir dort ein
spezielles Koordinatensystem einführen. Wir nehmen f 0 als Ursprung und die z-Achse in Richtung
von grad e. Es ist demnach in der Nähe von f 0 :
e(t)
=£(f0) +
£
'f2,
(42)
e' = | grad e |.
Für £ machen wir den Ansatz:
, — £ (f o)
(X kx
ß kx,
grad £ • grad (f — e) = 0
ist. Das liefert die Bedingung
~ß~~P
•
(
4 5
)
Für die „Diffusionsnäherung" sind in den folgenden Rechnungen nur die in e's linearen Glieder zu
berücksichtigen. Es wird sich zeigen, daß das
darauf hinausläuft, e j e ' als klein zu betrachten,
und höhere Potenzen als die erste zu vernachlässigen. Zunächst kann man nach (43) bis (45)
die Parameter a und ß durch e' und e' ausdrücken:
a
=
1 -
ß = e'
1 -
(e's/ey
(e'sle')
(e's/ey
0.
Die Verteilungsfunktion in der unmittelbaren U m gebung von f 0 ist demnach gegeben durch :
/ <*> =
1
e
(•s'kz-e'skx)IJcT
(46)
+ 1
Wir betrachten nun zunächst die überhaupt möglichen Übergänge, die von einem Punkt der Ebene
kx = 0 ausgehen. Der Impulssatz liefert :
kz — kz
-}-
k'x =
wz,
(47)
wx,
Andererseits liefert der Energiesatz, wenn wir uns
auf kleine Änderungen beschränken, und gleich
die erste Gleichung von (47) mit heranziehen und
die in (39) eingeführte Konstante x benutzen:
(48)
Die mittlere Verschiebung, die der Phasenpunkt
eines Elektrons an der Stelle f = (0, 0, kz) durch
Zusammenstöße mit dem Gitter erleidet, ist gegeben durch:
{A iox)
(43)
Vgl. z. B. H. K o p p e , Z. Physik. 125, 74 [1948].
Vgl. z. B. A. S o m m e r f e l d u . H . B e t h e , Hdb.
Physik X X I V , 2. S. 515, Gl. (34. 39). Man hat zu
4
5
kx — e (f0).
wz = ± x |tt>|.
der gleich noch die Orientierung der «/-Achse festlegt. Nach (33) fordern wir, daß
a2 + ß (ß ~ £') = 0.
e's =
8 kn
to) (40a)
a. t
und
ganges gilt bei Absorption eines Schallquants
a PF
(44)
7 kx •
ß-8
At
=
C
J
...i + m
IT, w,
diu
(2n)3
(49a)
berücksichtigen, daß man nach Dirac für die 1. c.
benutzte Funktion £2 (x) — 2 n Utd (x) setzen darf.
Diese Größe kann als mittlere Wanderungsgeschwindigkeit interpretiert werden. Den Diffusionsstrom sz erhält man dann, wenn man noch
mit der Dichte /(0, 0, kz)/i txz multipliziert, und
über kz integriert:
J °
=
d l
( 4 9 b )
wx | >0 | ö (e' \w ! — cli | tu |)
'(ee'kzIJcT
^^-[e'fa
+ wj — eiwJllcT +
u0 n I m I / K T
1+
uaK I m I ¡KT
e 0
— 1
x
—
e
0.
A
Wir integrieren in (49) zunächst über wy. Dazu
ist zunächst nach (48) | tu | durch wz/x zu ersetzen ; und die Integration geht dann nur über
die ¿-Funktion. Es seien ± r] die Nullstellen des
Arguments der ¿-Funktion, als Funktion von w y
aufgefaßt. Dann ist
+ <»
f
dwvd(e'
\wz\ — w0ft|tu |)
=2
f ô(u0K
CWy"
J
X
2
u0 %
1
d |tt)|
CWy Wy = t]
(wy -
1])) d Wy
2
\tot\.
8'X Ya—X*)w\ — X.lwl
W
x
]
y
=
Tt~
KT
W z
'
z
=
TT~ '
k z
, f i
=
ein, und erhalten dann
•?r
-
<Z>o & TV
')66 x 2
16 7i® (e')
4- y \' 1 — v. ¡K
+
x
f dz
J
— X
f dy
:y \y
(e»—\)
(ez + 1)
JX
lev —
2
J
x d.r
(e- v - « + « x _j_ i) ^(1 —y.*) z* — x2 x
— y V1 — K* I*
=
L73 C*{KT)*
Tr4 gu0(e')7
5.
töl)
1 — x*
x5 '
*
'
Diskussion
I m letzten Abschnitt ist gezeigt worden, daß
man unter gewissen vereinfachenden Annahmen
tatsächlich eine skalare Diffusionskonstante erhält ,
wie sie als einfachste Möglichkeit nach (20) in Betracht gezogen worden ist. Allerdings ist A nicht
wirklich konstant, wie bei der Rechnung, die zu
(30 a) führte, angenommen worden ist, sondern
hängt schon für freie Elektronen von K ab. Für
die Leitfähigkeit für kleine Stromstärken, a 0 , nach
(31) macht das aber nichts aus. Setzen wir A nach
(52) ein, so erhalten wir
I m verbleibenden Integral führen wir neue Variablen
* = y y
,
Sg-
Um daraus die Diffusionskonstante A zu gewinnen, bemerken wir, daß hier kx und kv die Rolle
der Oberflächenparameter u, v spielen. In diesem
Fall ist glk = gik = dik, g = 1 und Vergleich von
(51) mit (19) gibt
(50)
e' wJKT
,
*
—1
71(1 — X2)
ye~v~z
3
2 x
{e-v- z + l)2"
1,73 C2 (K T)5 1 —*2
Tr* QU0(e'y
x*
Wegen der ¿-Funktion kann man immer |tu| durch
x~x ] wz | ersetzen. Eine kurze Rechnung ergibt
dann, daß
JV*(IÜ) • ! tu | =
fx
Die beiden verbleibenden Integrationen lassen
sich ohne Schwierigkeiten ausführen, und man erhält, wenn man noch für 0O aus (41) einsetzt 6
für w, > 0
J
für w, <
2 d.c
H e~ y - z
^
ux
xXe- y - Z + 1)2 J ]f(ï—x2)y2 — x2x2
) '
]
Dabei ist
iV*(tu) =
Gemäß den oben gemachten Bemerkungen haben
wir hier den in e' (also jetzt ¡u) linearen Teil zu
berechnen; das zweite Integral kann also ersetzt
werden durch
a° =
3 jr2n4/» q Uq 6 Ti* E' 2
24 • 1,73.t; ( 1 - K 2 ) C 2
(53)
Dieser Wert sollte mit dem früher von B l o c h 7
auf andere Weise, aber etwa mit den gleichen
Näherungsannahmen berechneten übereinstimmen. Wertet man beide Ausdrücke für freie Elek-
6
In dieser Gleichung ist 1,73
x -o 1
— E —
3 1 n5
7 Vgl. A. S o m m e r f e l d
u. H. B e t h e ,
Physik X I V , 2, S. 525 Gl. (36, 12).
Hdb.
tronen aus, dann zeigt sich Übereinstimmung bis
auf den Faktor (1 — x2), der bei B l o c h fehlt, und
für Metalle meist ~ 1 ist.
In der vorliegenden Untersuchung sollte das
neue Verfahren zunächst einmal in groben Umrissen dargestellt werden. In der vorliegenden
Form ist es nur für räumlich homogene Probleme
brauchbar, also für Leitfähigkeit und galvanomagnetische Effekte. Es muß natürlich möglich
sein, es so zu verallgemeinern, daß man z. B. auch
thermoelektrische Effekte behandeln kann.
Im Laufe der Rechnung sind zahlreiche Näherungen benützt worden: a) Beschränkung auf
freie Elektronen, b) Beschränkung auf kleine
Stromstärken, c) Diffusionsnäherung. Die beiden
ersten Näherungsannahmen sind bereits von
B l o c h gemacht worden, während die dritte für
die neue Methode kennzeichnend ist. Wir wollen
in der oben angegebenen Reihenfolge diskutieren,
wie weit man sich von diesen Einschränkungen
frei machen kann.
Verhältnismäßig einfach ist die Berücksichtigung der Bindung der Elektronen und der ebenfalls durch die Gitterstruktur bedingten Anisotropie der Schallgeschwindigkeit, und zwar deshalb, weil man immer nur ein Oberflächenelement
der Fermi-Oberfläche zu betrachten hat. An den
Rechnungen des Abschnitts 5 ändert sich dann
zweierlei: erstens hat man für e (!) die richtige
Funktion einzusetzen, und zweitens nimmt 0\ + 115
Tensorcharakter an, d. h. es hängt von der Orientierung von f und ft) zu den Kristallachsen ab. Der
zweite Punkt dürfte übrigens von untergeordneter
Bedeutung sein, so daß zu erwarten ist, daß man
schon zumindest qualitativ richtige Resultate erhält, wenn man lediglich den korrekten Wert für
e' = | grad e | in (52) einsetzt.
Die Beschränkung auf kleine Stromstärken ist
im wesentlichen dadurch hereingekommen, daß
bei den vorausgehenden Rechnungen nur die in
£s linearen Glieder berücksichtigt worden sind. Geht
man hier zu höheren Näherungen über, dann wird A
nicht nur ein Funktion von es, sondern hängt auch
noch von (ö{f s ) 2 = glk
8kes ab. Weiterhin muß
man aber jetzt die Struktur der Übergangsschicht
genauer ermitteln. Dazu benutzt man den allgemeinen Ansatz nach (8) und bestimmt ip aus der Bedingung, daß<zltü >/zl t (vgl. 49a) parallel zur Oberfläche gerichtet ist; das ist die Bedingung dafür,
daß die Übergangsschicht stationär bleibt. Man erhält auf diese Weise eine Integralgleichung für ip.
Für die Gültigkeit der Diffusionsnäherung ist
erforderlich, daß die größten Impulsänderungen
(A kM), die mit einiger Wahrscheinlichkeit vorkommen, klein gegen K sind. Man sieht leicht, daß
dafür vor allem die Stöße kritisch sind, bei denen
ein f vom äußersten Rand der Übergangsschicht
unter Energieabgabe an den unteren Rand springt .
Die dabei maximal mögliche Änderung (A k)M
kann man aus der Abb. 1 ablesen, die sich nach
dem im Abschnitt 5 Gesagten von selbst erklärt.
Man erhält:
(Ak)M
K
=
KT
1
77,
•
K | grad e | x — |/ 1 — x-
i54)
Der erste Faktor dabei ist von der Größenordnung
(kT/Nullpunktsenergie). Die Diffusionsnäherung
gilt um so besser, je kleiner T ist, und im wesentlichen unter der Voraussetzung, daß man sich
weit unterhalb der Entartungstemperatur befindet.
Der zweite Faktor bringt zum Ausdruck, daß die
Fermi-Oberfläche nicht zu sehr gegen die Flächen
konstanter Energie geneigt sein darf. Der Grund
dafür ist,drß dann für Emissionsprozesse die Begrenzung von A X durch das Pauli-Verbot versagt,
und die Elektronen nach einer Seite ,,abrutschen".
Wie oben bereits bemerkt, versagt die Diffusionsnäherung grundsätzlich für Umklapp-Prozesse. Wir wollen durch eine einfache Betrachtung
zeigen, wie man hier wenigstens zu einer annähernden Berücksichtigung kommen kann. Zunächst
sind Umklapp-Prozesse nur möglich für Wellenzahlen, die in der unmittelbaren Nähe einer Brillouinschen Zone liegen. Es ist nun möglich, daß
sich bei wachsender Stromstärke die Fermi-Oberfläche an einer Stelle einer solchen Brillouinschen
Zone nähert. Dann haben die Elektronen dort die
Möglichkeit umzuklappen, indem sie unmittelbar
zu einem im f-Raum gegenüberliegenden Punkt
springen, der dann im allgemeinen außerhalb der
Fermi-Verteilung liegen wird. Von dort aus fallen
sie durch Zusammenstöße mit dem Gitter auf die
Oberfläche S zurück. I m ganzen ergibt sich, daß
in den Teilen der Oberfläche, die in die Nähe einer
Brillouinschen Zone kommen, eine scheinbare A b sorption v o n Phasenpunkten eintritt, und daß
diese Phasenpunkte den anderen Stellen der Oberfläche mit einer berechenbaren Wahrscheinlichkeitsverteilung wieder hinzugefügt werden. Das
kann man in der Grundgleichung (23) berücksichtigen, die dadurch dem Charakter einer Differentialgleichung genügt und sich in eine IntegroDifferentialgleichung verwandelt. Das qualitative
Ergebnis dürfte sein, daß sich die Fermi-Verteilung
an einer Brillouinschen Zone „plattdrückt", d. h.
man erhält hier eine bestimmte Stromstärke nichtlinearer Abweichungen v o m Ohmschen Gesetz.
Die vorliegende Untersuchung wurde im wesentlichen im Sommer 1950 am D e p a r t m e n t of P h y s i c s der U n i v e r s i t y of B r i t i s h C o l u m b i a
durchgeführt. Es ist mir eine angenehme Pflicht, an
dieser Stelle Herrn J.M B r y a n für seine Mithilfe,
und dem N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l of
C a n a d a für die Gewährung eines Stipendiums herzlich zu danken.
A n h a n g : F o r m e l n für P o l a r k o o r d i n a t e n
Bei Vektoren sind die Komponenten in der
Reihenfolge x, y, z untereinandergeschrieben.
bedeutet d%!d& usw.
:
sin # cos cp + x cos # cos cp'
sin # sin cp + x cos # sin cp
Xo cos
— % sin #
fär/J: x<f sin ft cos <P ~~ X sin ft sin V
Xp sin •& sin cp
x sin $ cos cp
X<P
cos #
X f9J:
y2 sin3 # cos cp + XX<P sin V
— xXff cos ft sin ft cos <P
X2 sin 3 # sin cp — xXy cos <P
— x Xöcos fts*n fts*n y
X2 cos # sin # -f- x Xti s * n 2 ft
g
= xx sin2 0 + x2 Xv2 + X2 Xu2 sin2
99w
Qffff =
9/)<P = 9<pv = 99m
=X2
ft
+ Xft
= XoX<P
= X2 sin2 ft + X<2
2
Einfache Van de Graaff-Generatoren mit doppelter Bandbeladung
V o n A . FLAMMERSFELD u n d G. W E B E R
Aus dem Max-Planck-Institut für Chemie, Mainz
(Z. Naturforschg. 7a, 161-164 [1952; eingegangen am 17. Oktober 1951)
Die Stromausbeute gewöhnlicher Van de Graaff-Generatoren, d. h. solcher, bei
denen keine Bänder aufeinander schleifen, war bisher dadurch begrenzt, daß das
Band nur halbseitig beladen werden konnte. Es wird eine neue Beladevorrichtung
beschrieben, die doppelseitige Beladung gestattet, d. h. bei der auf beiden Seiten
jeder Bandhälfte im Prinzip die volle Durchbruchsfeldstärke erreicht werden kann.
Bei zwei ausgeführten Konstruktionen, von denen eine mit einem Potentialsteuersystem für das Hauptfeld ausgestattet ist, konnte die Stromstärke auf das rund
1,7-fache des ursprünglichen Wertes gesteigert werden.
ie elektrischen Vorgänge an elektrostatischen
Hochspannungserzeugern sind erstmalig von
K o s s e i 1 genauer behandelt und aufgeklärt worden. Danach ist die Leistungsfähigkeit derartiger
Maschinen dadurch begrenzt, daß die Durchbruchsfeldstärke des umgebenden Mediums nirgends überschritten werden darf, was sowohl die
1 W . K o s s e i , Z. Physik 111, 264 [1938/39].
D
Höhe der erreichbaren Spannung wie die von
einem gegebenen Band maximal transportierte
Ladung bestimmt.
In der vorliegenden Arbeit wurden besonders die
Verhältnisse untersucht, die bei den Maschinen
üblicher Bauart die Stromstärke begrenzen. Die
einfachste Bauart ist die folgende (Abb. 1 a):
Über zwei Walzen läuft ein isolierendes endloses