Formale Systeme - Logik und Formale Methoden

Formale Systeme
Prof. P.H. Schmitt
Fakultät für Informatik
Universität Karlsruhe (TH)
Winter 2007/2008
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Vorlesungstermine
Do.24.01.
letztes Übungsblatt
Praxisaufgabe zu SPIN
Fr.25.01. keine Vorlesung
Do.31.01.
Fr.01.02.
Do.07.02. keine Vorlesung
Fr.08.02 keine Vorlesung
Do.14.02 (Wiederholung)
Fr.15.02. keine Vorlesung
1.Klausur 18.02. 14:00
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Änderung des Verfahrens zu
Anmeldung für die Klausur
Anmeldung nur noch elektronisch!
bis Mi.13.Februar
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Lineare Temporale Logik
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Einführendes Beispiel
Einfaches Modell eines Telefonteilnehmers
Idle
Busy
digits
offhook
onhook
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Einführendes Beispiel
Einfacher Automat einer Telephonvermittlung
Dial
k
tpc?rel
ho
o
Idle
Z2
tp
tp
k
tpc?rel
Connect
c?
rlc
tpc?onhook
Z1
tp
c?
re
l
o
ho
on
c?
tpc?onhook
k
tp c
?on
hoo
k
tp
c?
an
m
Wait
Busy
c?
off
c?
on
ho
o
tpc?offhook
tp
tpc?rel
tpc?acm
tpc?digits
tp
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Einführendes Beispiel
Nachrichtenvokabular
tpc?xxx
tpc!xxx
bedeutet Nachricht xxx wird von Kanal tpc empfangen
bedeutet Nachricht xxx wird über Kanal tpc geschickt
Nachricht
offhook
onhook
digits
iam
acm
rel
anm
rlc
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Bedeutung
Hörer wurde abgehoben
Hörer wurde aufgelegt
Nummer wurde gewählt
initial address message
address complete message
Einleitung des Verbindungsabbaus (release)
End-zu-Endverbindung hergestellt
Quittierung des Verbindungsabbaus
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Einführendes Beispiel
Beispielabläufe
1)
Idle
Dial
Wait
Connect
Busy
Idle
Idle
Dial
Wait
Connect
Z1
Idle
2)
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LTL
Lineare Temporale Logik
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Omega-Strukturen
Definition
Eine omega-Struktur R = (N, <, ξ) für eine aussagenlogische Signatur P
besteht aus der geordneten Menge der natürlichen Zahlen
(N, <)
interpretiert als Menge abstrakter Zeitpunkte und einer Funktion
ξ : N → 2P
mit der Intention
p ∈ ξ(n) ⇔ in R ist p zum Zeitpunkt n wahr
ξn steht für das bei n beginnende Endstück von ξ:
ξn (m) = ξ(n + m)
Inbesondere gilt ξ0 = ξ.
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LTL Formeln: LTLFor
Definition
Σ eine Menge aller AL-Atome. LTLFor wird definiert durch
1
Σ ⊆ LTLFor
2
1, 0 ∈ LTLFor
3
4
Liegen A, B in LTLFor , dann auch alle aussagenlogischen
Kombinationen von A und B.
für A, B ∈ LTLFor gilt auch
1
2
3
4
A ∈ LTLFor und
♦B ∈ LTLFor und
A U B ∈ LTLFor
X A
Die Symbole , ♦, X und U heißen temporale Modaloperatoren.
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LTL Semantik
Definition
Sei R = (N, <, ξ) eine omega-Struktur und A eine TLT Formel.
ξ |= p
ξ |= op(A, B)
gdw
ξ |= A
ξ |= ♦A
ξ |= A U B
gdw
gdw
gdw
ξ |= X A
gdw
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p ∈ ξ(0) (p ein AL Atom)
für AL-Kombinationen op(A, B)
von A und B wie üblich
für alle n ∈ N gilt ξn |= A
es gibt ein n ∈ N mit ξn |= A
es gibt n ∈ N mit ξn |= B und
für alle m mit 0 ≤ m < n gilt ξm |= A
ξ1 |= A
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Visualisierung der LTL-Semantik
Szenarium für A
A
Szenarium für ♦A
b
A
Szenarium für A U B
b
B
A
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Reduktion auf U und 1
♦A ↔
1UA
A ↔ ¬(1 U ¬A)
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Zusätzliche Operatoren
ξ |= A Uw B
gdw
für alle n ∈ N gilt ξn |= (A ∧ ¬B) oder
es gibt n ∈ N mit ξn |= B und
für alle m mit 0 ≤ m < n gilt ξm |= A
ξ |= A V B
gdw
ξ |= B und für alle n ∈ N gilt
falls ξn |= ¬B dann gibt es ein m mit
0 ≤ m < n und ξm |= A
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Visualisierung von V
Szenarien für A V B
B
b
B
¬B
A
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b
b
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Lemma
1
A U B ↔ (A Uw B) ∧ ♦B
2
A Uw B ↔ A U B ∨ (A ∧ ¬B)
3
A V B ↔ ¬(¬A U ¬B)
4
A U B ↔ (B ∨ (A ∧ X (A U B)))
5
A V B ↔ (B ∧ A) ∨ (B ∧ X (A V B))
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Beispiel
Sei p ein aussagenlogisches Atom.
Gesucht ist eine LTL-Formel A2p , so daß für jedes ξ gilt
ξ |= A2p
gdw
(n ist gerade ⇔ p ∈ ξ(n))
A2p = p ∧ X ¬p ∧ (p ↔ X X p)
Erstaunlicherweise gibt es keine TLT-Formel A mit
ξ |= A2p
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gdw
(n ist gerade ⇒ p ∈ ξ(n))
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Beispiele aus Mustersammlungen
REQUIREMENT: When a connection is not made to the server,
report an error and reset network component to
initial state.
REFINEMENT: After OpeningNetworkConnection, an
ErrorMessage will pop up in response to a NetworkError
PATTERN: Response
SCOPE: After
PARAMETERS: Propositional
LTL: [](OpenNetworkConnection ->
[](NetworkError -> <>ErrorMessage))
SOURCE: Jeff Isom \cite{isom:98}
DOMAIN: GUI
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Beispiele aus Mustersammlungen
REQUIREMENT: When a connection is made to the SMTP
server, all queued messages in the OutBox mail
will be transferred to the server.
REFINEMENT: Before QueuedMailSent, SMTPServerConnected
PATTERN: Existence
SCOPE: Before
AlTERNATE: Global Precedence
PARAMETERS: Propositional
LTL: <>QueuedMailSent ->
(!QueuedMailSent U SMTPServerConnected)
SOURCE: Jeff Isom \cite{isom:98}
DOMAIN: GUI
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