Mathematik für Wirtschaftsinformatiker 17.12.08

UNIVERSITÄT SIEGEN
Fachbereich Mathematik
WS 2008/09
Dipl.-Math. M. Rathgeb
Mathematik für Wirtschaftsinformatiker
17.12.08
Beispiel 1.
Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der folgenden Funktionen:
(a) f (x) =
√
2x + 5
(b) f (x) =
x+1
.
x−1
Berechnen Sie für diese Funktionen einige geeignete Funktionswerte und skizzieren Sie die
Graphen der Funktionen.
Beispiel 2.
Bestimmen Sie Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen, sowie (falls existent)
deren Umkehrfunktionen:
(a) f (x) = 4x − 3
(b) f (x) =
√
5
x+1
(c) f (x) =
3x − 1
.
x+4
Beispiel 3.
Berechnen Sie die Funktionen
(a) (f + g)(x)
(b) (f · g)(x)
(c) f (g(x))
(d) g(f (x))
für f (x) = 3x − x3 und g(x) = x3 .
Beispiel 4.
Sei f (x) = 3x + 7. Berechnen Sie f (f (x)) und f (f (f (x))) sowie deren Nullstellen.
Beispiel 5.
a) Bestimmen Sie die Funktion f , deren Graph eine Gerade durch die Punkte (−2, −3) und
(1, 1) bildet. Berechnen Sie f (0)?
b) Eine Temperatur von 0◦ Celsius entspricht 32◦ Fahrenheit, und 10◦ Celsius entsprechen 50◦
Fahrenheit. Zwischen den Temperaturskalen von Fahrenheit und Celsius besteht ein linearer
Zusammenhang. Geben Sie eine allgemeine Formel an für die Umrechnung von Celsius in
Fahrenheit; und umgekehrt. Wieviel Grad Fahrenheit entsprechen 37◦ Celsius? Wieviel Grad
Celsius entsprechen 0◦ Fahrenheit?
Beispiel 6.
Angebot A und Nachfrage N eines Gutes hängen bekanntlich beide vom Preis P für das Gut
ab. Dabei steigt in der Regel mit zunehmendem Preis das Angebot, während die Nachfrage
dann sinkt. Angenommen, es gelten folgende lineare Zusammenhänge:
A = 10 + 2P
N = 100 − P.
Skizzieren Sie die Graphen dieser beiden Funktionen in einem Koordinatensystem und bestimmen Sie graphisch den Preis, zu dem Angebot und Nachfrage gleich sind; d.i. der sog.
Gleichgewichtspreis. Wie hoch sind Angebot und Nachfrage für den Gleichgewichtspreis?
Beispiel 7.
Dem einzigen Produzenten eines Gutes (Monopolist) entstehen folgende Gesamtkosten K in
Abhängigkeit der produzierten Menge M :
K = M 2 + 450.
Abhängig von der Menge M bekommt er für seine Ware einen Preis von P = 100 − M pro
Stück. Beschreiben Sie seinen Gewinn G, d.i. der Gesamterlös abzüglich der Gesamtkosten,
als Funktion der produzierten Menge M und skizzieren Sie diese Funktion. Für welche M ist
sein Gewinn positiv? Für welches M erzielt er den höchstmöglichen Gewinn und wie hoch ist
dieser?
Beispiel 8.
Es sei
(
x2 − 2x + 2, x ≤ 1,
√
f (x) =
1 − x − 1, x > 1.
a) Zeigen Sie, dass f (f (x)) = x gilt für alle x ∈ R.
b) Ist f umkehrbar? Wie lautet (gegebenenfalls) die Umkehrfunktion von f ?