Proseminar Harmonische Analyse auf Gruppen Liste der Vorträge A

Proseminar Harmonische Analyse auf Gruppen
Liste der Vorträge
A. Klassische Fourier Analyse
1. Prähilbert- und Hilberträume. [D],2.1 Nancy Beer
Es handelt sich um eine Variante von euklidischen Vektorräumen. Dort ist R der Skalarkörper während wir jetzt die komplexen Zahlen C als Skalarkörper betrachten. Auf
einem Prähilbertraum gibt es eine Norm und damit eine Metrik, und es gilt eine Variante
der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Mit Hilfe der Norm kann man definieren, was eine
Cauchyfolge von Vektoren ist. Hilberträume sind solche, wo jede Cauchyfolge konvergiert.
Für endlichdimensionale Prähilberträume folgt das automatisch.
2. Summierbarkeit komplexer Zahlen, und Folgenräume [D],2.2 Isabel Müller
Eingeführt werden die Hilberträume `2 (S) für eine beliebige Indexmenge S. Elemente
dieser sogenannten Folgen-Räume sind die summierbaren S-Familien komplexer Zahlen.
Wichtig ist der Beweis der Hilbertraum-Eigenschaft.
Als Hilfsmittel werden Grundbegriffe über die Summierbarkeit komplexer Zahlen benötigt.
[Storch, Wiebe] Band I, 6.B (S.143 ff). Bei einer Reihe hängen das Konvergenzverhalten
und die Summe i.a. von der Reihenfolge der Glieder ab. Es wird ein Summierbarkeitsbegriff eingeführt bei dem von vornherein klar ist dass sowohl die Summierbarkeit als auch
die Summe unabhängig sind von der Reihenfolge der Summanden.
3. ON-Basen und Vervollständigung. [D],2.3 Alessandro Masacci
Begriff der ON Basis für einen Prähilbertraum. Danach werden separable Prähilberträume
betrachtet, und es wird gezeigt dass es eine endliche oder abzählbare ON-Basis gibt.
Schliesslich wird die Vervollständigung solcher Räume zu echten Hilbert-Räumen betrachtet. Im abzählbaren Fall ist die Vervollständigung immer isomorph zu `2 (N).
Ergänzungen aus [Storch, Wiebe] II, 19.A: Hier geht es um die allgemeine Fourier Entwicklung und die Existenz orthogonaler Projektionen. (19.A.1-19.A.5)
4. Der Prähilbertraum C(R/Z) der stetigen periodischen komplexwertigen Funktionen.
[D],1.1-1.3 Liesel Schuhmacher
Hier werden Ergebnisse aus 1.-3. auf periodische Funktionen angewendet. Gleichzeitig
wird auch der grössere Raum R(R/Z) aller Riemann integrierbaren periodischen Funktionen betrachtet. Einführung der L2 -Norm. Auf R(R/Z) ist die L2 -Norm nur semidefinit,
sodass sich kein echter Prähilbertraum ergibt. Als Ergänzung dient: Walter, Analysis I
§9.10 und §11.24.
5. Die L2 -Norm auf R(R/Z). [D]1.4 und 2.4 Nora Graß
Es wird gezeigt, dass die Fourier Reihe von f ∈ R(R/Z) bezüglich der L2 -Norm immer
gegen f konvergiert. Daneben wird auch der Hilbert Raum L2 (R/Z) betrachtet welcher
sich als Vervollständigung von C(R/Z) ergibt, und es wird eine ON-Basis angegeben.
Schliesslich sollen die Ergebnisse aus [D] 1.5 und 1.6 genannt werden.
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6. Konvergenzsätze und Fouriertransformierte für Funktionen auf R. [D], 3.1-3.3
Christin Strampe
In diesem Vortrag sollen neben den genannten Themen auch die Faltung für L1 -Funktionen
eingeführt und ihre Eigenschaften erklärt werden. Unter der Fourier Transformation korrespondiert die Faltung mit dem punktweisen Produkt der Funktionen. [D],3.3.1(c). Wichtig ist der Raum S der Schwartz-Bruhat Funktionen, weil die Fouriertransformation eine
Selbstabbildung von S induziert.
7. Inversionsformel, Satz von Plancherel und Poissonsche Summenformel für Funktionen
auf R. [D]3.4-3.6 Matthias Bendlin
B. Fourier Analyse auf lokal kompakten abelschen Gruppen
8. Endliche abelsche Gruppen [D],5.1-5.3 Robert Rauch
Die duale Gruppe einer endlichen abelschen Gruppe, Fourier-Transformation und Faltung.
Die vollständige Behandlung des endlichen Falles dient als Motivation für das Folgende.
Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen darf vorausgesetzt werden.
9. Lokal kompakte abelsche Gruppen [D],6.1 und 6.3 Christian Renau
Metrische Räume und metrisierbare topologische Räume. Kompaktheit und lokale Kompaktheit. Begriff der LCA-Gruppe. Der Formalismus der Komplettierung von metrischen
Räumen ([D],6.2) sollte kurz skizziert werden-ohne Beweise.
10. Die Bildung der dualen Gruppe und der Pontrjaginsche Dualitätssatz.[D] 7.1,7.2 Mathias Trabs
Hier ist zu erklären, wie die Charaktere einer LCA-Gruppe A ebenfalls wieder eine LCAb bilden, welche man als das Pontrjagin Dual von A bezeichnet. Der PontrjagGruppe A
insche Dualitätssatz wird nur formuliert, aber nicht bewiesen. Wichtig ist 7.2.1, dass sich
unter der Dualität die Eigenschaften kompakt und diskret vertauschen.
11. Haar Integrale und der Satz von Fubini. [D], 8.1 und 8.2 David Prömel
Das Riemann Integral auf R soll verallgemeinert werden zu einem Integralbegriff auf LCAGruppen. Man erkläre was von einem solchen Integral erwartet wird und betrachte die
Beispiele auf S.116. Die Existenz wird ohne Beweis zitiert. Wichtig sind die Prähilbert
räume Cc (G) und ihre Komplettierung L2 (G). Der Satz von Fubini gibt das Haar Integral
auf dem cartesischen Produkt G × H von zwei Gruppen als Produkt der Haar Integrale
auf G bzw. H.
12. Fouriertransformation und Faltung für Funktionen auf einer LCA-Gruppe. Der Satz
von Plancherel. Malte Titze
13. Poissonsche Summenformel und die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. Stefano Giura
Zunächst wird gezeigt, wie aus der Poissonschen Summenformel eine Funktionalgleichung
für die Thetareihen folgt. [D] 3.7. Danach wird für eine Variante der Zetafunktion (man
betrachtet ξ(s) anstelle von ζ(s), eine Integralformel aufgestellt, wo die Thetareihe im
Integranden vorkommt. Mit dieser Formel kann man aus der Funktionalgleichung für die
Thetareihe die Funktionalgleichung der Zetafunktion ableiten.[D],Appendix A.