ÖMO Fortgeschrittene Zahlentheorie 3 TU Graz, 15. November 2008

ÖMO Fortgeschrittene
Zahlentheorie 3
TU Graz, 15. November 2008
1. Wie viele positive Teiler hat 20082006?
2. Finden Sie alle positiven ganzen Zahlen m mit der Eigenschaft, dass die vierte Potenz der
Anzahl der positiven Teiler von m gleich m ist.
3. Eine positive ganze Zahl n heißt abundant, wenn σ(n) > 2n, wobei σ(n) die Summe der
positiven Teiler von n ist. Seien a und b positive ganze Zahlen und sei a abundant. Zeigen
Sie, dass ab abundant ist.
4. Gibt es eine Zweierpotenz, deren Ziffern im Dezimalsystem alle von 0 verschieden sind und
so umgeordnet werden können, dass eine andere Zweierpotenz entsteht?
5. Die positive ganze Zahl n1 habe 333 Ziffern, von denen keine gleich 0 ist. Für i = 1, . . . , 322
bestimmen wir die Zahl ni+1 dadurch, dass wir die letzte Ziffer von ni an den Anfang
verschieben. Zeigen Sie: 333 teilt alle Zahlen n1 , . . . , n333 oder keine.
6. Die Fibonacci-Zahlen sind durch F0 = 0, F1 = 1 und Fn+2 = Fn+1 + Fn für n ≥ 0 definiert.
Zeigen Sie, dass
(a) Die Aussage „Fn+k − Fn ist für alle nichtnegativen ganzen Zahlen n durch 10 teilbar“
für k = 60 wahr ist, allerdings nicht für eine positive ganze Zahl k < 60.
(b) Die Aussage „Fn+t − Fn ist für alle nichtnegativen ganzen Zahlen n durch 100 teilbar“
für t = 300 wahr ist, allerdings nicht für eine positive ganze Zahl t < 300.
7. (a) Bestimmen Sie den Rest von a1332 bei Division durch 2007 in Abhängigkeit von a, wobei
a eine zu 2007 teilerfremde ganze Zahl ist.
(b) Welche Reste modulo 2007 nimmt a1332 an, wenn a durch alle ganzen Zahlen läuft?
(c) Bestimmen Sie die kleinste positive ganze Zahl ℓ, sodass aℓ − 1 für alle zu 2007 teilerfremden Zahlen a durch 2007 teilbar ist.
(d) Bestimmen Sie die kleinste positive ganze Zahl ℓ, sodass aℓ − 1 für alle zu 2000 teilerfremden Zahlen a durch 2000 teilbar ist.
8. Finden Sie die kleinste positive Primzahl, die n2 + 5n + 23 für irgendeine ganze Zahl n teilt.
9. Sei n ≥ 3 eine ganze Zahl. Zeigen Sie: Die Summe der Kuben aller natürlicher Zahlen, die
relativ prim zu n und kleiner als n sind, ist durch n teilbar.
10. Bestimmen Sie alle positiven ganzen Zahlen mit 6 Ziffern, nennen wir sie abcdef , wobei a 6= 0
und d 6= 0, sodass abcdef = (def )2 .