13. Übungsblatt

Stochastik 1, WS 15/16
Übungsserie 13
Vorlesung: B. Schmalfuß
Übung: Robert Hesse, Kai Kümmel
Aufgabe 1 (3+2+1 Punkte)
Es seien X1 und X2 zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion
1
1
exp − 4x2 − 2xy + y 2 − 2y + 4
π
2
f (x, y) =
,
x, y ∈ R.
(a) Zeigen Sie, dass der Zufallsvektor X = (X1 , X2 ) normalverteilt ist.
(b) Bestimmen Sie den Erwartungsvektor EX und die Kovarianzmatrix.
(c) Wie ist die Verteilung von X1 und X2 ?
Aufgabe 2 (3+1 Punkte)
Eine weitere Methode zur Parameterschätzung ist die Maximum–Likelihood Schätzung.
Der ursprüngliche Gedanke bei der Maximum–Likelihood Schätzung ist sehr einfach. Man
betrachte ein Experiment mit diskreter Verteilung und unbekannten Parameter θ, d.h.
P (X = xi , θ) = pi (θ) ,
i = 1, 2, . . . .
Gegeben sei die Stichprobe (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ), n ∈ N. Dann ist der Maximum–Likelihood–
Schätzer θ∗ für θ jenes θ, sodass die Wahrscheinlichkeit für die konkrete Stichprobe maximal wird:
θ∗ = arg max P (X1 = ξ1 , X2 = ξ2 , . . . , Xn = ξn , θ) .
θ
(a) Sei nun Xi Poisson–verteilt mit unbekannten Parameter λ. Bestimmen Sie den
Maximum–Likelihood Schätzer λ∗ für λ bei gegebener Stichprobe (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ),
n ∈ N.
(b) Woher kennen Sie den Schätzer aus (a)?
Aufgabe 3
Der Zufallsvektor X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) ∼ N (µ, Id) ist n–dimensional normalverteilt mit
µ ∈ Rn und der Einheitsmatrix Id, n ∈ N.
(a) Berechnen Sie die Verteilung von ξ = ha, AXi, wobei a ∈ Rn und A ∈ Rn×n
(b) Bestimmen Sie Eξ.
Aufgabe 4
Es seien X und Y zweidimensional normalverteilt mit gemeinsamer Dichtefunktion
1
1
2
2
,
f (x, y) =
exp
−
x
−
2ρxy
+
y
2 (1 − ρ2 )
2π 1 − ρ2
p
x, y ∈ R, ρ ∈ [0, 1) .
√
Zeigen Sie, dass X und Z = (Y −ρX)/ 1−ρ2 unabhängige N (0, 1)–verteilte Zufallsvariablen
sind und folgern Sie daraus, dass
P (X > 0, Y > 0) =
1
1
+
sin−1 ρ.
4 2π
Aufgabe 5
Sei ∆ := (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2 .
Der Zufallsvektor (X, Y ) sei gegeben durch
fX,Y (x, y) =

c x y
, (x, y) ∈ ∆
0
, sonst
a) Bestimmen Sie die Konstante c.
b) Berechnen Sie die Kovarianz von X und Y .
Die mit Punkten versehenen Aufgaben sind bis zum Do, 04.02.2016 in der Vorlesung
abzugeben.
Zulassung zur Klausur: mindestens 50% der Punkte und qualifiziertes Vorrechnen von
mindestens einer Aufgabe.