Statistische Mechanik und Thermodynamik (4A)

Prof. U. Gerland
Theory of Complex Biosystems
Physik Department, TUM
Statistische Mechanik und Thermodynamik (4A)
WS 2015/16, Blatt 3
(26. Oktober 2015)
Aufgabe 1: Harmonischer Oszillator
Ein System von identischen harmonischen Oszillatoren habe Energie E. Berechnen Sie die
mikrokanonische Zustandssumme und die Entropie für:
(a) einen einzelnen harmonischen Oszillator in 1-D mit Hamiltonian,
H=
1
p2
+ mω 2 q 2 .
2m 2
(1)
(b) N identische harmonische Oszillatoren in 3-D mit Hamiltonian,
H=
X
=
i
p2i
1
+ mω 2 q2i .
2m 2
(2)
Hinweis: Berechnen Sie zunächst das Volumen eines d-dimensionalen Ellipsoids. BeachQd
ten Sie dabei, dass Vdellipsoid = Vd i=1 ai (ai : Halbachsen des Ellipsoids, Vd : Volumen
der d-dimensionalen Einheitskugel).
Verwenden Sie desweiteren für die Berechnung der Zustandssumme: Ω(E) = ∂Φ(E)
∂E ∆E.
(c) Berechnen Sie nun aus der Entropie in (b) die innere Energie E(T ) im thermodynamischen Limes.
Aufgabe 2: Partielle Ableitungen
Drei Variablen x, y und z seien durch die Beziehung f (x, y, z) = 0 miteinander verbunden. Die
Beziehung sei lokal nach jeder der drei Variablen auflösbar, also x(y, z), y(x, z) und z(x, y).
(a) Zeigen Sie folgende Relation zwischen den partiellen Ableitungen
∂x
∂y
∂z
= −1 ,
∂y z ∂z x ∂x y
indem Sie x(y, z), y(x, z) oder z(x, y) in die Beziehung f (x, y, z) = 0 einsetzen und
jeweils partiell nach y, z oder x ableiten. Schreiben Sie das Ergebnis als lineares Gleichungssystem und formulieren Sie die Bedingung für nichttriviale Lösungen.
(b) Verallgemeinern Sie die Rechnung für den analogen Fall von n Variablen.
1
(c) Nutzen Sie das Ergebnis, um die isotherme Kompressibilität κT , den thermischen Ausdehnungskoeffizienten α und den thermischen Druckkoeffizienten αP miteinander in
Beziehung zu setzen, die wie folgt definiert sind:
1 ∂V
1 ∂P
1 ∂V
,
α=
,
αP =
.
κT = −
V
∂p T
V ∂T P
P ∂T V
Überprüfen Sie das Ergebnis an Hand der idealen Gasgleichung.
Aufgabe 3: Wärmekraftmaschine
Betrachten Sie eine Wärmekraftmaschine, die durch den folgenden quasistatischen Kreisprozess betrieben wird:
1. Adiabatische Kompression von V1 auf V2 .
2. Isotherme Expansion von V2 auf V1 .
3. Abkühlung von T2 auf die Ausgangstemperatur T1 bei festem Volumen.
Als Arbeitssubstanz der Maschine diene ein ideales Gas mit der konstanten Wärmekapazität
CV = cv N > 0.
Hinweis: Für ein ideales Gas hängt die innere Energie bei gegebener Temperatur nicht
vom Volumen ab.
(a) Skizzieren Sie den Kreisprozess in einem P − V Diagramm.
(b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad der Maschine.
(c) Zeigen Sie, dass der Wirkungsgrad stets kleiner als der einer Carnot-Maschine ist, die
zwischen den gleichen Temperaturen T1 und T2 operiert.
Aufgabe 4: Zweiter Hauptsatz
Zeigen Sie, dass die Aussagen von Clausius und Kelvin/Planck äquivalent sind.
Clausius:
Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von
einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.
Kelvin/Planck:
Es ist unmöglich, eine periodisch arbeitende Maschine zu konstruieren, die weiter nichts bewirkt als Hebung einer Last und Abkühlung eines Wärmereservoirs.
Hinweis: Betrachten Sie eine hypothetische Wärmekraftmaschine die einem reservoir Wärme
entzieht und diese vollständig in Arbeit umwandelt. Denken Sie sich diese Wärmekraftmaschine an eine Carnot Wärmepumpe gekoppelt.
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