Statistik II ¨Ubung 15 Wiederholung

Statistik II ◦ Übung 15 ◦ Wiederholung
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Fakultät Verkehrswissenschaften „Friedrich List“
Professur für Ökonometrie und Statistik, insb. im Verkehrswesen
Statistik II ◦ Übung 15 ◦ Wiederholung
01.02.2016
Aufgabe 15.1
Man nimmt an, dass die Parkdauer eines Fahrzeugs an einem Parkplatz im Mittel 40 Minuten
mit einer Standardabweichung von 5 Minuten betrage.
(a) Bestimmen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass die Parkdauer eines
Fahrzeuges zwischen 30 und 50 Minuten liegt.
(b) Bestimmen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchschnitt einer
Stichprobe vom Umfang n = 9 zwischen 30 und 50 Minuten liegt.
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Parkdauer eines Fahrzeuges zwischen 30 und 50
Minuten liegen, wenn die Parkdauer normalverteilt ist?
(d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Mittelwert einer Stichprobe (unabhängige Stichprobenvariablen) vom Umfang n = 9 zwischen 30 und 50 Minuten liegen, wenn die Parkdauer
normalverteilt ist?
(e) Wie groß müsste eine Stichprobe sein, damit die Breite des 95% Konfidenzintervalls der
durchschnittlichen Parkdauer maximal 10 Minuten beträgt? Gehen Sie davon aus, dass die
Parkdauer normalverteilt ist.
(f) Neue Messungen von 9 zufälligen Fahrzeuden ergaben die folgende Tabelle:
x=
(28,
32,
35,
38,
39,
41,
48,
49,
50).
Geben Sie ein 95% Konfidenzintervall für die durchschnittliche Parkdauer an. Gehen Sie
davon aus, dass die Parkdauer normalverteilt und die Varianz nicht bekannt ist.
Aufgabe 15.2
F (x) sei eine Verteilungsfunktion mit a > 0
(
1 − e−2ax ,
F (x) =
0,
x ≥ 0,
sonst.
(a) Bestimmen Sie die Dichtefunktion von X.
(b) Sei x1 , . . . , xn eine unabhängige Stichprobe der Zufallsvariablen X. Bestimmen Sie den
Maximum-Likelihood Schätzer für a.
(c) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood Schätzer für a bei der Stichprobe x = (2, 3, 5, 10).
Aufgabe 15.3
Die technisch verursachte Betriebspause von Produktionsmaschinen sei normalverteilt mit
einem Erwartungswert µ und einer Standardabweichung σ = 0, 5 Std. Bei einer Stichprobe von
12 Maschinen wird eine mittlere Betriebspause von 7.8 Stunden ermittelt.
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(a) Der Hersteller wirbt für seine Produktionsmaschine mit einer mittleren Betriebspause von 7.6
Stunden. Ein Tester reklamiert und behauptet, dass die mittlere Betriebspause mehr als 7.6
Stunden beträgt. Untersuchen Sie die Behauptung des Testers bei einem Signifikanzniveau
von 0.05.
(b) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für die mittlere Betriebspause unter der Annahme,
dass die Varianz unbekannt ist, aber mit σ̂ = 0.6 geschätzt wird.
(c) Bestimmen Sie die Gütefunktion des Tests aus (a).
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Test in (a) H0 verworfen wird, obwohl µ = 7.5
ist?
Aufgabe 15.4
In einer Produktion werden jeweils in einer Doppelpackung zwei Glühbirnen zusammengepackt. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der beschädigten Glühbirnen in einem solchen
Zweierpaket. Nach dem Transport erhielt man folgende Stichprobe:
Anzahl defekter Glühbirnen pro Packung
Anzahl der Packungen
0
320
1
48
2
32
(a) Testen Sie mit α = 0.1, ob die Zufallsvariable X binomial verteilt mit p = 0.2 ist.
(b) Testen Sie mit α = 0.1, ob die Zufallsvariable X Poisson-verteilt mit λ = 0.3 ist.
Aufgabe 15.5
In einem kunstgewerblichen Betrieb sind acht Arbeiterinnen mit dem Bemalen von Vasen
beschäftigt. In der letzten Woche wurden ihre Arbeitsgeschwindigkeit (Anzahl der Vasen pro
Tag) und die Qualität der Vasenbemalung begutachtet. Die Qualität wurde anhand einer Skala gemessen, die von minderwertig (=1) bis hervorragend (=20) reicht. Analysieren Sie den
Zusammenhang zwischen Arbeitsgeschwindigkeit und Qualität der Ausführung (α = 0.05).
Arbeiterin
Geschwindigkeit
Qualität
A
57
13
B
59
14
C
61
12
D
62
11
E
63
18
F
64
15
G
66
10
H
69
16
Aufgabe 15.6
Ein Obst- und Gemüsehändler hat eine neue Waage in seinem Geschäft. Zur Funktionsprüfung
wiegt er fünf Ein-Kilo-Netze Mandarinen jeweils mit der neuen und der alten Waage. Dabei
ergeben sich folgende Gewichte (in Gramm):
Wägung
Gewicht mit der alten Waage
Gewicht mit der neuen Waage
1
1000
1000.02
2
1000
1000.03
3
999.99
999.99
4
1000.01
999.99
5
1000
1000.02
(a) Testen Sie die Hypothese H0 , dass die beiden Waagen im Mittel gleich genau wiegen, zum
Signifikanzniveau α = 0.1. Gehen Sie davon aus, dass die Gewichte normalverteilt mit der
gleichen Varianz sind.
(b) Wie groß ist der kritische Wert, damit die Nullhypothese abgelehnt wird?
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Kurzlösungen
15.1 (a) 0.75; (b) 0.972; (c) 0.954; (d) 1; (e) 4, (f) [34.021; 45.979].
1
15.2 (b) 2x̄
; (c) 0.1.
15.3 (a) Es lässt sich nicht nachweisen, dass die mittlere Betriebspause mehr als
7.6 Stunden beträgt; √ (b) [7.42,8.18]; (c) 1 − Φ 1.64 + 7.6−µ
12 ; (d) 0.0099.
0.5
15.4 (a) X 6∼ B(2, 0.2); (b) X 6∼ P o(0.3).
15.5 Es lässt sich nicht nachweisen, dass ein monotoner Zusammenhang zwischen
Geschwindigkeit und Qualität besteht.
15.6 (a) Es lässt sich nicht nachweisen, dass die beiden Waagen im Mittel nicht gleich genau
wiegen;
(b) 1.118.
Wir wünschen viel Erfolg!