Aufgaben zum Gravitationsgesetz

Physik * Jahrgangsstufe 10 * Aufgaben zum Gravitationsgesetz
Gravitationsgesetz:
Zwei Massen m1 und m2 im Abstand r voneinander ziehen sich mit der Gravitationskraft Fgrav an.
Fgrav = G * ⋅
m1 ⋅ m 2
r2
mit
G* = 6, 67 ⋅10−11
m3
kg ⋅ s 2
m1
F
−F
m2
r
Hierbei ist G eine wichtige Naturkonstante, die so genannte die Gravitationskonstante.
*
Aufgaben:
1. Bestimmen Sie jeweils die Masse der Erde nur aus den angegebenen Werten.
a) Erdradius RErde = 6370 km und Erdbeschleunigung g = 9,8 m/s2 = 9,8 N/kg ,
b) Abstand Erde – Mond : d = 60,3 RErde und Umlaufdauer des Mondes T = 27,1 Tage.
2. Bestimmen Sie die Masse der Sonne nur aus den drei folgenden Angaben.
m3
und Umlaufdauer der Erde um die Sonne T = 365,26 Tage und
G * = 6, 67 ⋅10−11
kg ⋅ s 2
Abstand Erde – Sonne d = 1,496$1011 m = 1AE (eine astronomische Einheit)
3. Vom Marsmond Phobos sind die folgenden Daten bekannt:
mittlere Entfernung vom Mars ca. 9380 km, Umlaufdauer 0,32 Tage.
Der mittlere Durchmesser des Mars beträgt 6760 km.
Bestimmen Sie allein aus diesen Angaben die Gewichtskraft eines
„grünen Männchens“ der Masse 10 kg auf der Marsoberfläche.
4. Der Marsmond Deimos umkreist den Mars (mMars = 6,40 $ 1023 kg) auf einer Kreisbahn mit
dem Radius 23,5 $ 103 km.
a) Mit welcher Geschwindigkeit umrundet Deimos den Mars?
b) Wie lange braucht Deimos für einen Marsumlauf?
5. Ein Fernseh- oder Wettersatellit muss sich immer über derselben
Stelle über der Erdoberfläche befinden. Man nennt solche
Satelliten auch geostationär. In welcher Höhe über der
Erdoberfläche muss sich ein solcher Satellit befinden?
( RErde = 6370 km ; MErde = 5,977 $ 1024 kg )
6. Die Fallbeschleunigung beträgt auf der Erdoberfläche 9,8 m/s2.
a) Wie groß ist die Fallbeschleunigung in einer Höhe von 500 km über der Erdoberfläche?
b) In welcher Höhe über der Erdoberfläche beträgt die Erdbeschleunigung nur noch 5,0 m/s2 ?
Physik * Jahrgangsstufe 10 * Aufgaben zum Gravitationsgesetz * Lösungen
1. a) Für die Gewichtskraft einer Masse m auf der Erdoberfläche gilt
m
9,8 2 ⋅ (6,37 ⋅106 m) 2
2
m
M
g
R
⋅
⋅
s
Erde
Erde
m ⋅ g = FG = Fgrav = G* ⋅
⇒ M Erde =
=
= 6, 0 ⋅1024 kg
3
m
R Erde 2
G*
6, 67 ⋅10−11
kg ⋅ s 2
m
⋅M
b) FZentripetal = Fgrav ⇔ m Mond ⋅ ω2 ⋅ r = G * ⋅ Mond 2 Erde ⇔
r
2
3
2
3
ω ⋅r
4π ⋅ (60,3 ⋅ R E )
4π2 ⋅ (60,3 ⋅ 6, 370 ⋅106 m)3
M Erde =
=
=
= 6, 03 ⋅1024 kg
*
2
*
2
−11
3
−1 −2
G
T ⋅G
(27,1 ⋅ 24 ⋅ 3600s) ⋅ 6, 67 ⋅10 m kg s
m Erde ⋅ MSonne
⇔
d2
ω2 ⋅ d 3 4π2 ⋅ d 3
4π2 ⋅ (1, 496 ⋅1011 m)3
=
=
= 1,99 ⋅1030 kg
M Sonne =
G*
T2 ⋅ G*
(365, 26 ⋅ 24 ⋅ 3600s) 2 ⋅ 6, 67 ⋅10−11 m 3 kg −1s −2
2. FZentripetal = Fgrav ⇔ m Erde ⋅ ω2 ⋅ d = G* ⋅
3. Bestimme zunächst die Masse des Mars
m Phobos ⋅ M Mars
⇔
d2
ω2 ⋅ d 3 4π2 ⋅ d 3
4π2 ⋅ (9, 3 ⋅106 m)3
M Mars =
=
=
= 6, 23 ⋅10 23 kg
−11
−1 −2
*
2
*
2
3
G
T ⋅G
(0, 32 ⋅ 24 ⋅ 3600s) ⋅ 6, 67 ⋅10 m kg s
FZentripetal = Fgrav ⇔ m Phobos ⋅ ω2 ⋅ d = G* ⋅
FG,grünes Männchen = m ⋅ g Mars = G * ⋅
4. a)
3
m ⋅ M Mars
10kg ⋅ 6, 23 ⋅1023 kg
11 m
=
6,
67
⋅
10
⋅
= 36 N
R Mars 2
kg ⋅ s 2 (6, 76 ⋅106 m : 2) 2
m Deimos ⋅ v 2
m
⋅M
= G * ⋅ Deimos 2 Mars ⇔
r
r
v=
b) v =
G* ⋅ M Mars
=
r
6, 67 ⋅10−11 m3 kg −1s −2 ⋅ 6, 40 ⋅1023 kg
km
= 1,35 ⋅
6
23,5 ⋅10 m
s
2π ⋅ r
2π ⋅ r 2π ⋅ 23,5 ⋅103 km
⇒ T=
=
= 30, 4 h
T
v
1,35 km s −1
5. Die Umlaufdauer des Satelliten muss genau 24,0 Stunden betragen.
m ⋅M
M
G* ⋅ M Erde ⋅ T 2
FZentripetal = Fgrav ⇔ mSat ⋅ ω2 ⋅ r = G * ⋅ Sat 2 Erde ⇔ r 3 = G * ⋅ Erde
=
r
ω2
4 π2
r=
3
G * ⋅ M Erde ⋅ T 2
=
4 π2
3
6, 67 ⋅10−11 m3 kg −1s −2 ⋅ 5,977 ⋅10 24 kg ⋅ (24 ⋅ 3600s)2
= 42, 24 ⋅106 m
2
4π
h = r − R Erde = 42, 24 ⋅106 m − 6,37 ⋅106 m = 36 ⋅106 km
m ⋅ M Erde
G* ⋅ M Erde
1
⇒
g(r)
=
∼ 2 also
2
2
r
r
r
m R
m
6370km
m
g(500km über der Erde) = 9,8 2 ⋅ Erde = 9,8 2 ⋅
= 9,1 2
s
r
s (6370 + 500)km
s
6. a) m ⋅ g(r) = G * ⋅
1
b) g(r) ∼ 2
r
g(R Erde + h)
R Erde 2
R Erde 2
5, 0 m / s 2
also
=
also
=
⇒
g(R Erde )
(R Erde + h) 2
9,8 m / s 2 (R Erde + h) 2
R Erde + h = R Erde ⋅

9,8
⇒ h = R Erde ⋅ 
5, 0


9,8
− 1 = 2, 55 ⋅103 km
5, 0
