INHALTSVERZEICHNIS

Werbung
Inhaltsverzeichnis
INHALTSVERZEICHNIS
1 Aussagenlogik..................................................................................................................................... 5
1.1 Aussage, Aussageform ................................................................................................................. 5
1.2 Verknüpfung von Aussagen .......................................................................................................... 6
1.2.1 Konjunktion (Und – Verknüpfung) ......................................................................................... 6
1.2.2 Disjunktion (Oder – Verknüpfung) ......................................................................................... 6
1.2.3 Negation (Verneinung) .......................................................................................................... 6
1.2.4 Implikation und Äquivalenz ................................................................................................... 7
1.2.5 Wahrheitstabellen für die Verknüpfungen von Aussagen........................................................ 7
2 Mengenlehre....................................................................................................................................... 9
3 Zahlenmengen (Deskriptor . ) ........................................................................................................ 15
3.1 Die Menge der natürlichen Zahlen .............................................................................................. 15
3.2 Die Menge der ganzen Zahlen .................................................................................................... 19
3.3 Die Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) .......................................................................... 21
3.4 Die Menge der reellen Zahlen ..................................................................................................... 27
3.4.1 Runden von Zahlen (Deskriptor . ) ................................................................................... 28
3.4.2 Zusammenfassung der Zahlenmengen ................................................................................. 29
3.4.3 Intervalle in .................................................................................................................... 29
3.5 Die Menge der komplexen Zahlen .............................................................................................. 34
4 Potenzen und Wurzeln (Deskriptor . ) ............................................................................................ 37
4.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten ...................................................................................... 37
4.2 Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln) ........................................................................... 40
4.3 Zehnerpotenzen und Gleitkommadarstellung (Deskriptoren . , . ) ........................................ 42
5 Terme und Variable (Deskriptor . ) ................................................................................................. 47
5.1 Addition und Subtraktion von Termen ........................................................................................ 47
5.2 Multiplikation von Termen.......................................................................................................... 48
5.2.1 Multiplikation von Monomen .............................................................................................. 48
5.2.2 Multiplikation von Binomen und Polynomen ........................................................................ 49
5.3 Division von Termen ................................................................................................................... 52
5.3.1 Division von Monomen ....................................................................................................... 52
5.3.2 Division eines Polynoms durch ein Monom .......................................................................... 53
5.3.3 Polynomdivision .................................................................................................................. 54
5.4 Herausheben, Faktorisieren ........................................................................................................ 54
5.5 Bruchterme oder gebrochen rationale Terme............................................................................... 56
6 Lineare Gleichungen und Ungleichungen ........................................................................................... 59
6.1 Lineare Gleichungen in einer Variablen (Deskriptor . ) ............................................................. 60
6.2 Bearbeiten von Formeln (Deskriptoren . , . ) ....................................................................... 65
6.3 Prozent- und Promillerechnung (Deskriptor . ) ........................................................................ 69
6.4 Verhältnisse, Proportionen ......................................................................................................... 75
6.4.1 Direkte Proportionalität ....................................................................................................... 75
6.4.2 Indirekte Proportionalität .................................................................................................... 77
6.5 Lineare Ungleichungen in einer Variablen ................................................................................... 79
7 Relationen, Funktionen...................................................................................................................... 81
7.1 Darstellungsformen der Relationen ............................................................................................. 82
1
Berufsreifeprüfung Mathematik
7.2 Funktionen (Deskriptor . ) ...................................................................................................... 83
7.3 Lineare Funktionen (Deskriptor . ) .......................................................................................... 95
7.4 Potenzfunktionen (Deskriptor . )........................................................................................... 108
7.4.1 Potenzfunktionen mit natürlichem geradem Exponenten .................................................... 108
7.4.2 Potenzfunktionen mit natürlichem ungeradem Exponenten ................................................ 110
7.4.3 Potenzfunktionen mit negativem geradem ganzzahligem Exponenten ................................ 112
7.4.4 Potenzfunktionen mit negativem ungeradem ganzzahligem Exponenten ............................ 113
7.4.5 Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten .................................................................... 115
8 Lineare Gleichungssysteme .............................................................................................................. 119
8.1 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen (Deskriptor . ) ................................................. 119
8.2 Sonderfälle linearer Gleichungssysteme in zwei Variablen (Deskriptor . ) ............................... 128
8.3 Lineare Gleichungssysteme in drei und mehr Variablen (Deskriptor . ) ................................... 131
8.4 Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme .................................................................... 132
8.5 Lineare Optimierung................................................................................................................. 133
9 Matrizenrechnung ........................................................................................................................... 135
9.1 Addition und Subtraktion von Matrizen .................................................................................... 136
9.2 Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl ................................................................................. 136
9.3 Multiplikation von Matrizen...................................................................................................... 136
9.4 Inverse Matrix (Kehrmatrix) ...................................................................................................... 137
9.5 Transponierte Matrix ................................................................................................................ 137
9.6 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen ............................................................... 137
9.7 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen mithilfe des Taschenrechners (Deskriptor
. ) .............................................................................................................................................. 138
10 Vektorrechnung ............................................................................................................................ 139
10.1 Addition und Subtraktion von Vektoren .................................................................................. 139
10.2 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (mit einem Skalar) ................................................. 140
11 Polynomfunktionen (Deskriptor . ) ............................................................................................. 143
11.1 Quadratische Funktion ........................................................................................................... 143
11.2 Quadratische Gleichungen (Deskriptor . ) ........................................................................... 148
11.2.1 Große Lösungsformel ...................................................................................................... 148
11.2.2 Kleine Lösungsformel ...................................................................................................... 155
11.2.3 Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung (Deskriptor . ............................ 156
11.3 Polynomfunktionen höherer Ordnung (Deskriptoren . , . ) ............................................... 157
12 Folgen und Reihen ........................................................................................................................ 161
12.1 Eigenschaften von Folgen ....................................................................................................... 162
12.2 Grenzwert einer Folge ............................................................................................................ 164
12.3 Die Euler´sche Zahl .............................................................................................................. 165
13 Exponential- und Logarithmusfunktion........................................................................................... 167
13.1 Eigenschaften der Exponentialfunktion (Deskriptoren . , . .......................................... 167
13.2 Logarithmusfunktion (Deskriptor . ................................................................................... 170
13.3 Anwendungen auf Wachstums- und Abnahmevorgänge (Deskriptoren . , . , . , . ). 173
14 Trigonometrie, trigonometrische Funktionen .................................................................................. 181
14.1 Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck (Deskriptor . ........................... 181
14.2 Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis........................................................................... 186
14.3 Sätze für allgemeine Dreiecke ................................................................................................. 187
14.4 Graphen der Winkelfunktionen (Deskriptor . ................................................................. 189
2
Inhaltsverzeichnis
14.5 Vermessungsaufgaben ........................................................................................................... 190
15 Differentialrechnung ...................................................................................................................... 193
15.1 Grenzwerte von Funktionen (Deskriptor . ......................................................................... 193
15.2 Differenzenquotient und Differentialquotient (Deskriptor . ................................................ 195
15.2.1 Differenzenquotient ........................................................................................................ 195
15.2.2 Differentialquotient ......................................................................................................... 197
15.3 Ableitungsregeln (Deskriptor . ).......................................................................................... 200
15.4 Kurvendiskussion (Deskriptor . ) ......................................................................................... 204
15.4.1 Monotonie und Extrempunkte ......................................................................................... 204
15.4.2 Krümmungsverhalten ...................................................................................................... 205
15.5 Ermitteln von Funktionsgleichungen (Deskriptoren . , . ) ................................................. 216
15.6 Extremwertaufgaben .............................................................................................................. 222
16 Integralrechnung ........................................................................................................................... 227
16.1 Stammfunktionen – unbestimmtes Integral (Deskriptoren . , . ) ....................................... 227
16.2 Spezielle Integrationsmethoden .............................................................................................. 230
16.2.1 Integration durch Substitution ......................................................................................... 230
16.2.1 Partielle Integration ........................................................................................................ 231
16.3 Bestimmtes Integral (Deskriptoren . , . ) ......................................................................... 232
16.4 Fläche zwischen zwei Kurven.................................................................................................. 238
17 Beschreibende Statistik.................................................................................................................. 241
17.1 Zentralmaße (Deskriptor . ) ................................................................................................ 242
17.1.1 Arithmetisches Mittel ...................................................................................................... 242
17.1.2 Median oder Zentralwert................................................................................................. 242
17.1.3 Quartile und Boxplot ....................................................................................................... 243
17.1.4 Modus ............................................................................................................................ 244
17.1.5 Geometrisches Mittel ...................................................................................................... 244
17.1.6 Harmonisches Mittel ....................................................................................................... 245
17.2 Streumaße ............................................................................................................................. 250
17.3 Klasseneinteilung, Häufigkeiten (Deskriptor . ).................................................................... 256
17.4 Statistik mit zwei Variablen .................................................................................................... 262
17.4.1 Lineare Korrelation.......................................................................................................... 263
17.4.2 Lineare Regression .......................................................................................................... 263
18 Wahrscheinlichkeitsrechnung......................................................................................................... 265
18.1 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit (Deskriptoren . , . ) ..................................... 265
18.2 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit ......................................................................... 270
18.3 Axiomatische Wahrscheinlichkeit ............................................................................................ 272
18.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm (Deskriptor . ) .............................................. 272
18.5 Grundlagen der Kombinatorik ................................................................................................ 277
18.5.1 Anordnungen (Permutationen) ........................................................................................ 277
18.5.2 Variationen – Auswahl unter Berücksichtigung der Reihenfolge ....................................... 277
18.5.3 Kombinationen – Auswahl ohne Berücksichtigung der Reihenfolge .................................. 278
19 Wahrscheinlichkeitsverteilungen .................................................................................................... 281
19.1 Zufallsvariable........................................................................................................................ 281
19.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen ............................................................................................. 281
19.3 Häufigkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen ................................................. 284
19.3.1 Mittelwert und empirische Varianz einer Häufigkeitsverteilung ......................................... 285
19.3.2 Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen .......................................................... 286
3
Berufsreifeprüfung Mathematik
19.4 Binomialverteilung (Deskriptor . ) ....................................................................................... 289
19.5 Normalverteilung (Deskriptor . ) ......................................................................................... 295
20 Stichwortverzeichnis ...................................................................................................................... 303
4
Herunterladen