INHALTSVERZEICHNIS
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Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS 1 Aussagenlogik..................................................................................................................................... 5 1.1 Aussage, Aussageform ................................................................................................................. 5 1.2 Verknüpfung von Aussagen .......................................................................................................... 6 1.2.1 Konjunktion (Und – Verknüpfung) ......................................................................................... 6 1.2.2 Disjunktion (Oder – Verknüpfung) ......................................................................................... 6 1.2.3 Negation (Verneinung) .......................................................................................................... 6 1.2.4 Implikation und Äquivalenz ................................................................................................... 7 1.2.5 Wahrheitstabellen für die Verknüpfungen von Aussagen........................................................ 7 2 Mengenlehre....................................................................................................................................... 9 3 Zahlenmengen (Deskriptor . ) ........................................................................................................ 15 3.1 Die Menge der natürlichen Zahlen .............................................................................................. 15 3.2 Die Menge der ganzen Zahlen .................................................................................................... 19 3.3 Die Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) .......................................................................... 21 3.4 Die Menge der reellen Zahlen ..................................................................................................... 27 3.4.1 Runden von Zahlen (Deskriptor . ) ................................................................................... 28 3.4.2 Zusammenfassung der Zahlenmengen ................................................................................. 29 3.4.3 Intervalle in .................................................................................................................... 29 3.5 Die Menge der komplexen Zahlen .............................................................................................. 34 4 Potenzen und Wurzeln (Deskriptor . ) ............................................................................................ 37 4.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten ...................................................................................... 37 4.2 Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln) ........................................................................... 40 4.3 Zehnerpotenzen und Gleitkommadarstellung (Deskriptoren . , . ) ........................................ 42 5 Terme und Variable (Deskriptor . ) ................................................................................................. 47 5.1 Addition und Subtraktion von Termen ........................................................................................ 47 5.2 Multiplikation von Termen.......................................................................................................... 48 5.2.1 Multiplikation von Monomen .............................................................................................. 48 5.2.2 Multiplikation von Binomen und Polynomen ........................................................................ 49 5.3 Division von Termen ................................................................................................................... 52 5.3.1 Division von Monomen ....................................................................................................... 52 5.3.2 Division eines Polynoms durch ein Monom .......................................................................... 53 5.3.3 Polynomdivision .................................................................................................................. 54 5.4 Herausheben, Faktorisieren ........................................................................................................ 54 5.5 Bruchterme oder gebrochen rationale Terme............................................................................... 56 6 Lineare Gleichungen und Ungleichungen ........................................................................................... 59 6.1 Lineare Gleichungen in einer Variablen (Deskriptor . ) ............................................................. 60 6.2 Bearbeiten von Formeln (Deskriptoren . , . ) ....................................................................... 65 6.3 Prozent- und Promillerechnung (Deskriptor . ) ........................................................................ 69 6.4 Verhältnisse, Proportionen ......................................................................................................... 75 6.4.1 Direkte Proportionalität ....................................................................................................... 75 6.4.2 Indirekte Proportionalität .................................................................................................... 77 6.5 Lineare Ungleichungen in einer Variablen ................................................................................... 79 7 Relationen, Funktionen...................................................................................................................... 81 7.1 Darstellungsformen der Relationen ............................................................................................. 82 1 Berufsreifeprüfung Mathematik 7.2 Funktionen (Deskriptor . ) ...................................................................................................... 83 7.3 Lineare Funktionen (Deskriptor . ) .......................................................................................... 95 7.4 Potenzfunktionen (Deskriptor . )........................................................................................... 108 7.4.1 Potenzfunktionen mit natürlichem geradem Exponenten .................................................... 108 7.4.2 Potenzfunktionen mit natürlichem ungeradem Exponenten ................................................ 110 7.4.3 Potenzfunktionen mit negativem geradem ganzzahligem Exponenten ................................ 112 7.4.4 Potenzfunktionen mit negativem ungeradem ganzzahligem Exponenten ............................ 113 7.4.5 Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten .................................................................... 115 8 Lineare Gleichungssysteme .............................................................................................................. 119 8.1 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen (Deskriptor . ) ................................................. 119 8.2 Sonderfälle linearer Gleichungssysteme in zwei Variablen (Deskriptor . ) ............................... 128 8.3 Lineare Gleichungssysteme in drei und mehr Variablen (Deskriptor . ) ................................... 131 8.4 Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme .................................................................... 132 8.5 Lineare Optimierung................................................................................................................. 133 9 Matrizenrechnung ........................................................................................................................... 135 9.1 Addition und Subtraktion von Matrizen .................................................................................... 136 9.2 Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl ................................................................................. 136 9.3 Multiplikation von Matrizen...................................................................................................... 136 9.4 Inverse Matrix (Kehrmatrix) ...................................................................................................... 137 9.5 Transponierte Matrix ................................................................................................................ 137 9.6 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen ............................................................... 137 9.7 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen mithilfe des Taschenrechners (Deskriptor . ) .............................................................................................................................................. 138 10 Vektorrechnung ............................................................................................................................ 139 10.1 Addition und Subtraktion von Vektoren .................................................................................. 139 10.2 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (mit einem Skalar) ................................................. 140 11 Polynomfunktionen (Deskriptor . ) ............................................................................................. 143 11.1 Quadratische Funktion ........................................................................................................... 143 11.2 Quadratische Gleichungen (Deskriptor . ) ........................................................................... 148 11.2.1 Große Lösungsformel ...................................................................................................... 148 11.2.2 Kleine Lösungsformel ...................................................................................................... 155 11.2.3 Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung (Deskriptor . ............................ 156 11.3 Polynomfunktionen höherer Ordnung (Deskriptoren . , . ) ............................................... 157 12 Folgen und Reihen ........................................................................................................................ 161 12.1 Eigenschaften von Folgen ....................................................................................................... 162 12.2 Grenzwert einer Folge ............................................................................................................ 164 12.3 Die Euler´sche Zahl .............................................................................................................. 165 13 Exponential- und Logarithmusfunktion........................................................................................... 167 13.1 Eigenschaften der Exponentialfunktion (Deskriptoren . , . .......................................... 167 13.2 Logarithmusfunktion (Deskriptor . ................................................................................... 170 13.3 Anwendungen auf Wachstums- und Abnahmevorgänge (Deskriptoren . , . , . , . ). 173 14 Trigonometrie, trigonometrische Funktionen .................................................................................. 181 14.1 Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck (Deskriptor . ........................... 181 14.2 Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis........................................................................... 186 14.3 Sätze für allgemeine Dreiecke ................................................................................................. 187 14.4 Graphen der Winkelfunktionen (Deskriptor . ................................................................. 189 2 Inhaltsverzeichnis 14.5 Vermessungsaufgaben ........................................................................................................... 190 15 Differentialrechnung ...................................................................................................................... 193 15.1 Grenzwerte von Funktionen (Deskriptor . ......................................................................... 193 15.2 Differenzenquotient und Differentialquotient (Deskriptor . ................................................ 195 15.2.1 Differenzenquotient ........................................................................................................ 195 15.2.2 Differentialquotient ......................................................................................................... 197 15.3 Ableitungsregeln (Deskriptor . ).......................................................................................... 200 15.4 Kurvendiskussion (Deskriptor . ) ......................................................................................... 204 15.4.1 Monotonie und Extrempunkte ......................................................................................... 204 15.4.2 Krümmungsverhalten ...................................................................................................... 205 15.5 Ermitteln von Funktionsgleichungen (Deskriptoren . , . ) ................................................. 216 15.6 Extremwertaufgaben .............................................................................................................. 222 16 Integralrechnung ........................................................................................................................... 227 16.1 Stammfunktionen – unbestimmtes Integral (Deskriptoren . , . ) ....................................... 227 16.2 Spezielle Integrationsmethoden .............................................................................................. 230 16.2.1 Integration durch Substitution ......................................................................................... 230 16.2.1 Partielle Integration ........................................................................................................ 231 16.3 Bestimmtes Integral (Deskriptoren . , . ) ......................................................................... 232 16.4 Fläche zwischen zwei Kurven.................................................................................................. 238 17 Beschreibende Statistik.................................................................................................................. 241 17.1 Zentralmaße (Deskriptor . ) ................................................................................................ 242 17.1.1 Arithmetisches Mittel ...................................................................................................... 242 17.1.2 Median oder Zentralwert................................................................................................. 242 17.1.3 Quartile und Boxplot ....................................................................................................... 243 17.1.4 Modus ............................................................................................................................ 244 17.1.5 Geometrisches Mittel ...................................................................................................... 244 17.1.6 Harmonisches Mittel ....................................................................................................... 245 17.2 Streumaße ............................................................................................................................. 250 17.3 Klasseneinteilung, Häufigkeiten (Deskriptor . ).................................................................... 256 17.4 Statistik mit zwei Variablen .................................................................................................... 262 17.4.1 Lineare Korrelation.......................................................................................................... 263 17.4.2 Lineare Regression .......................................................................................................... 263 18 Wahrscheinlichkeitsrechnung......................................................................................................... 265 18.1 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit (Deskriptoren . , . ) ..................................... 265 18.2 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit ......................................................................... 270 18.3 Axiomatische Wahrscheinlichkeit ............................................................................................ 272 18.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm (Deskriptor . ) .............................................. 272 18.5 Grundlagen der Kombinatorik ................................................................................................ 277 18.5.1 Anordnungen (Permutationen) ........................................................................................ 277 18.5.2 Variationen – Auswahl unter Berücksichtigung der Reihenfolge ....................................... 277 18.5.3 Kombinationen – Auswahl ohne Berücksichtigung der Reihenfolge .................................. 278 19 Wahrscheinlichkeitsverteilungen .................................................................................................... 281 19.1 Zufallsvariable........................................................................................................................ 281 19.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen ............................................................................................. 281 19.3 Häufigkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen ................................................. 284 19.3.1 Mittelwert und empirische Varianz einer Häufigkeitsverteilung ......................................... 285 19.3.2 Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen .......................................................... 286 3 Berufsreifeprüfung Mathematik 19.4 Binomialverteilung (Deskriptor . ) ....................................................................................... 289 19.5 Normalverteilung (Deskriptor . ) ......................................................................................... 295 20 Stichwortverzeichnis ...................................................................................................................... 303 4
