¨UBUNGEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 2

Sommersemester 2013
Prof. Dr. H.-J. Schmeißer
ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 2
10. Serie
Abgabe der mit gekennzeichneten Aufgaben vom 01.07.2013 bis zum 05.07.2013
Aufgabe 1: (l’Hopital)
a)
Man berechne die Grenzwerte aus Aufgabe 6 der ÜS-02 mit Hilfe der Regel von l’Hopital.
2
sin x 1/x
xx − x
.
b) Man berechne die Grenzwerte lim
und
lim
x→1 1 − x + ln x
x
x→0
1
1
Man berechne die Grenzwerte lim
und
lim (sin x)tan x .
c) 3 P
− x
x→0 x
e −1
x→π/2 −
x2 sin(1/x)
d) Kann man lim
mit Hilfe der l’Hopitalschen Regel berechnen?
x→0
sin x
Aufgabe 2: (Monotonie)
1 x
auf Monotonie.
a) Man untersuche die Funktion f (x) = 1 +
x
b) Für 0 < p < 1 und a, b > 0 zeige man die Ungleichung (a + b)p ≤ ap + bp .
c) 3 P Für 0 < x ≤ 1 beweise man die Abschätzungen
x−
x3
x3
< arctan x < x −
.
3
6
Aufgabe 3: (Lokale Extrema)
Man untersuche die folgenden Funktionen auf lokale Extrema.
a)
f (x) = x1/3 (1 − x)2/3
c) 3 P
f (x) = |x| e−|x−1|
b)
f (x) = 2 sin x + 2 cos 2x
d)
f (x) = xm (1 − x)n (m, n ∈ N)
Aufgabe 4: (Globale Extrema)
a)
2
Man berechne Supremum und Infimum der Funktion f (x) = e−x cos(x2 ) auf R .
b) 2 P
Für welche n ∈ N ist
√
n
n maximal?
Aufgabe 5: (Konvexe und konkave Funktionen)
a)
Für welche Zahlen a, b, c, d, e ∈ R besitzt die Funktion p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Wendepunkte?
b)
Für welche Zahlen a ∈ R is die Funktion p(x) = x4 + ax3 + 32 x2 + 1 auf R konkav?
c) 4 P
Auf welchen Intervallen sind die Funktionen
x
f (x) =
und
f (x) = 2 − |x5 − 1|
1 + x2
konvex bzw. konkav