Beispielaufgaben zur Klausurvorbereitung

Sommersemester 2014
Prof. Dr. E. Novak/Dr. M. Ullrich
Beispielaufgaben zur Klausurvorbereitung
Aufgabe 1: Definitionen
Sei (an )n∈N ⊂ R.
(a) Geben Sie die Definition der konvergenten Folge in R an!
(b) Wie ist die (absolute) Konvergenz von Reihen definiert?
(c) Wie ist die Differenzierbarkeit einer Funktion f : R → R im Punkt x0 ∈ R definiert?
Aufgabe 2: Sätze
(a) Formulieren Sie den Mittelwertsatz!
(b) Formulieren Sie den Satz von Taylor!
Aufgabe 3: Bijektivität
(a) Wann heißt eine Abbildung f : A → B bijektiv?
(b) Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung f : R → (0, ∞) an.
(c) Wann heißt eine Menge abzählbar? Ist die Menge N × N abzählbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4: Cauchy Folgen
(a) Was ist eine Cauchy Folge reeller Zahlen?
(b) Man zeige, daß jede konvergente Folge eine Cauchy Folge ist.
Aufgabe 5: Stetigkeit
(a) Formulieren Sie in der ε − δ−Sprache: limx→x+ f (x) = a .
0
Sei f : R → R und f 2 (x) = (f (x))2 , x ∈ R. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen richtig sind. Begründen
Sie jeweils Ihre Antwort.
(b) f ist stetig ⇒ f 2 ist stetig.
(c) f 2 ist stetig ⇒ f ist stetig.
Aufgabe 6: Induktion
Zeigen Sie mit Induktion, daß für alle n ∈ N gilt
(a)
n
X
k! · k = (n + 1)! − 1
(b)
k=1
2n
X
(−1)k k = n .
k=1
Aufgabe 7: Beträge
Für welche x ∈ R gilt
(a)
x
1
<
;
|x − 3|
x−1
(b) |x + 1| + |x − 1| + |x − 3| = 3 + x?
Aufgabe 8: Grenzwerte
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
(a)
(n + 1)!
n→∞ (n + 2)! − n!
lim
(b)
2n2 + 2n + n sin 2n
.
n→∞ n cos 3n + (2n + sin 4n)2
lim
Aufgabe 9: Grenzwerte II
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
sin x − x
lim
x→0 sin3 x
(a)
(b)
1
lim
x→0 x2
x2
Z
0
sin 2t
dt .
t
Aufgabe 10: Reihen
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf (absolute) Konvergenz:
∞
∞
X
X
(1 + n1 )n
2
(a)
.
k 4 e−k
(b)
(−1)n
n
n=1
k=1
Aufgabe 11: Potenzreihen
Finden Sie den Konvergenzradius der folgenden Potentzreihen:
∞
X
(a)
2n x2n
(b)
∞
X
n=1
k=1
k2
xk .
k3 + k
Aufgabe 12:
Ist die Reihe
∞
X
k+1
(−1)
k=1
1
1
+
(k − 1)!
3k
absolut konvergent bzw. konvergent? Gegebenenfalls berechne man die Summe der Reihe.
Aufgabe 13: Komplexe Zahlen
Man bestimme Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen:
(a)
(2 + i)(3 − 2i)(1 + 2i)
(1 − i)2
(b) z =
1+i
√
2
29
.
Aufgabe 14: Komplexe Zahlen II
Man bestimme alle z ∈ C mit:
z9 + z6 = 0
(Skizze!) .
Aufgabe 15: Mengen in C
Skizzieren Sie die folgende Mengen in C:
(a) {z ∈ C : Re(z + 2) ≥ Imz}
(b)
Re
1
1
< .
z
2
Aufgabe 16: Kurvendiskussion
(a) Finden Sie alle lokalen und globalen Extrema der Funktion f (x) = cos x + 12 cos(2x).
ex
(b) Führen Sie eine Kurvendiskussion zur Funktion f (x) = 1+x
durch (d.h. Definitionsbereich, lokale und
globale Extrema, Intervalle der Monotonie, Konvexität und Konkavität, Wendepunkte, Skizze).
Aufgabe 17: Integration
Berechnen Sie:
Z ln 2 2x
e
(a)
dx
1 + ex
0
Z
(b)
1
x arctan xdx .
0