Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik

Universität zu Köln
Institut für Theoretische Physik
Michael Lässig
Johannes Berg
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
13. Übung – Dienstag, 1. Februar 2004
Abgabetermin – Montag, 31. Januar 2005 12 Uhr
2. Teilklausur – Mittwoch, 2. Februar 2005 11:00 Uhr (s.t.)
1. Identische Teilchen im Kastenpotential
Wir betrachten ein System aus zwei Elektronen. Der Hamiltonoperator sei unabhängig
vom Spin. Dann lässt sich der Gesamtzustand als Produkt aus Ortsanteil |ϕi und
Spinanteil |χi schreiben: |ψi = |ϕi ⊗ |χi. Die Ortswellenfunktionen
1
|ϕS i = √ [|ϕa i1 |ϕb i2 + |ϕb i1 |ϕa i2 ]
2
1
|ϕA i = √ [|ϕa i1 |ϕb i2 − |ϕb i1 |ϕa i2 ]
2
sind symmetrisch bzw. antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung der beiden Teilchen. Dabei sind |ϕa i und |ϕb i Zustände des entsprechenden Einteilchen-Systems. Die
Elektronen seien hier als wechselwirkungsfrei angenommen.
a) Nehmen Sie hϕa |ϕb i = 0 an. Zeigen Sie, daß ϕS und ϕA richtig normiert sind. Zeigen
Sie, daß ϕS und ϕA orthogonal zueinander sind.
5 Punkte
b) Aus den Einteilchen-Spinzuständen |↑i und |↓i lassen sich die Zweiteilchen-Spinzustände
als Linearkombinationen der Produkte |↑↑i , |↑↓i , |↓↑i , |↓↓i schreiben (wobei diese als
die Tensorprodukte |↑↓i = |↑i1 ⊗ |↓i2 aufzufassen sind). Konstruieren Sie aus diesen
die vier physikalischen (d.h. (anti-)symmetrischen) Spin-Eigenzustände zum Operator
Sz . Sie erhalten ein Spintripplet symmetrischer Zustände und einen antisymmetrischen
Singulettzustand. Welchen Spin haben die einzelnen Zustände in z-Richtung? Welche
Symmetrie bzgl. der Vertauschung beider Elektronen muß in diesen Fällen der Ortsanteil haben?
15 Punkte
c) Gegeben sei das Kastenpotential
V (x) =
0
∞
|x| < a
sonst
Die zwei Lösungen niedrigster Energie des entsprechenden Einteilchenproblems (ohne
Spin) sind gegeben durch |ci und |si, mit
r
r
π π 1
1
cos
x und hx|si =
sin
x
hx|ci =
a
2a
a
a
1
(Siehe Skript 3.3). Bestimmen Sie die drei Zustände des Zweielektronensystems mit
verschwindender z-Spinprojektion und mit der niedrigsten Energie sowie die zugehörigen Energien. (Beachten Sie, daß die Gesamtwellenfunktion ψ, das Produkt aus Raumund Spinkomponente, total antisymmetrisch bzgl. der Vertauschung der Teilchen sein
muss.)
15 Punkte
d) Drücken Sie für diese drei Zustände den Erwartungswert des mittleren quadratischen
Abstandes der beiden Elektronen, h(x1 − x2 )2 i, durch die Erwartungswerte hc|x2 |ci,
hs|x2 |si und das Matrixelement hc|x|si aus. Wie unterscheiden sich die Abstände für
die beiden angeregten Zustände? Geben Sie zur anschaulichen Erklärung ein intuitives
Argument an.
15 Punkte
e) Berechnen Sie für die beiden angeregten Zustände die Erwartungswerte h(x1 − x2 )2 i
unter Benutzung von
Z
1 π/2 2
π2 1
2
−
t cos tdt =
π −π/2
24 4
Z
1 π/2 2 2
1
π2
−
t sin 2tdt =
π −π/2
24 16
Z π/2
8
t cos t sin 2tdt =
.
9
−π/2
Vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem klassischen Ergebnis und dem Fall unterscheidbarer Teilchen (z.B. Elektron und Positron). Nehmen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des klassischen Teilchens als überall im Topf gleich groß an.
20 Punkte
Weiterführende Bemerkung: Wir addieren eine Wechselwirkungsterm V (x1 , x2 ) =
v0 (x1 − x2 )2 /a2 zu unserem Hamiltonian, der bewirkt, daß sich die Teilchen anziehen (wie mit Federn verbunden). Dies wird die Form der Wellenfunktionen natürlich
verändern. Wenn aber die Wechselwirkung klein ist (v0 kleinste Energiedifferenz)
so kann ihr Beitrag zur Energie in guter Näherung mit den ursprünglichen Zuständen
berechnet werden (da ihre qualitative Gestalt sich nicht ändert). Dann ist der Beitrag
der Wechselwirkung zur Energie einfach nur
v0 ∆E = hV (x1 , x2 )i = 2 (x1 − x2 )2 .
a
Dies bewirkt eine Aufhebung der Entartung der angeregten Zustände. Dies gilt natürlich
auch für andere Formen von V . Aus Teil e) lesen wir leicht ab, daß der antisymmetrische
Zustand durch die Wechselwirkung mehr an Energie zunimmt als der symmetrische.
Der Grund ist intuitiv klar: die Teilchen sind im Mittel weiter voneinander entfernt,
es steckt mehr Energie in den Federn. Beachten Sie, daß diese relative Verschiebung
der Energieniveaus allein aus der prinzipiellen Ununterscheidbarkeit der Elektronen
entsteht: nur ihretwegen ist die Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch zu wählen. Die
Energie der Teilchen hängt also von der Symmetrie der Spinwellenfunktion ab. Obwohl
die Spins der Elektronen nicht direkt in Wechselwirkung stehen, kommt es zu einer
2
‘effektiven Wechselwirkung’ zwischen den Spins, die man Austausch-Wechselwirkung
nennt. Sie ist unter anderem die Ursache für Ferromagnetismus.
2. Streuung identischer Teilchen
Wir betrachten die Streuung von zwei Teilchen im Schwerpunktssystem. Wir benutzen Polarkoordinaten und betrachten nur die Abhängigkeit von der Winkelkoordinate
θ. Einteilchenzustände werden durch die Basis |θi beschrieben: der Zustand |0i beschreibt ein von links einlaufendes Teilchen, |πi ein von rechts einlaufendes Teilchen
(der Winkel beschreibt also die Richtung des Impulses). |θi und |θ − πi beschreiben
jeweils entsprechend gestreute, auslaufende Teilchen (siehe Skizze).
Zweiteilchen-Zustände werden durch Tensorprodukte der Einteilchenzustände beschrieben. |0, πi ≡ |0i1 ⊗ |πi2 beschreibt den Zustand eines von links einlaufenden Teilchens 1, sowie eines von rechts einlaufenden Teilchens 2. Der Bra h0, π| ≡ h0|1 ⊗ hπ|2
ist analog definiert.
|θ >
|0 >
θ
Teilchen 1
|π >
|θ−π>
Teilchen 2
a) Wir betrachten nun die Streuung von zwei identischen Bosonen oder Fermionen.
Spin soll vernachlässigt werden. Ein- und auslaufende Zweiteilchenzustände müssen
nun die korrekte Symmetrie unter Vertauschung der Teilchen aufweisen. Konstruieren
Sie den symmetrisierten (antisymmetrisierten) einlaufenden Zustand |0, πi+ (|0, πi− ),
sowie die analog definierten auslaufenden Zustände.
5 Punkte
b) Wir betrachten nun die Streuung unterscheidbarer Teilchen. Für aus- und einlaufende Zustände gilt |outi = S|ini ≡ limt→∞ U(−t, t)|ini. Der Operator S beschreibt
also die Zeitentwicklung des Anfangszustandes unter der Wechselwirkung der Teilchen.
Die Streuamplitude für den Prozess in der Skizze ist nun
f (θ) = hθ, θ − π|outi = hθ, θ − π|S|0, πi ,
und wir nehmen an, daß f (θ) = f (−θ). Für identische Teilchen definieren wir analog
f (θ)+ = + hθ, θ − π|S|0, πi+
und
f (θ)− = − hθ, θ − π|S|0, πi− .
3
Zeigen Sie, daß
f (θ)± = f (θ) ± f (θ − π) .
Hinweis: Zeigen und benutzen Sie dazu hθ − π, θ|S|π, 0i = f (θ) sowie
hθ − π, θ|S|0, πi = f (θ − π).
15 Punkte
c) Der Streuquerschnitt ist für unterschiedliche Teilchen definiert als
σ(θ) = 2|f (θ)|2
(Teilchen 1 oder Teilchen 2 wird in Richtung θ gestreut) und für identische Teilchen
als
σ± (θ) = |f (θ)± |2 .
Vergleichen Sie die Streuquerschnitte von identischen Bosonen, identischen Fermionen
und unterscheidbaren Teilchen bei θ = π/2.
10 Punkte
d) Für das Coulombpotential ergibt die Berechnung der Streuamplitude (z. B. in Schiff)
e−iη ln(sin (θ/2))
f (θ) = γ
sin2 (θ/2)
2
mit η = e2 /(~v) und γ ∈ R. v ist die relative Geschwindigkeit der beiden Teilchen. Das
Ergebnis der klassischen Berechnung des Streuquerschnitts ist
σcl (θ) = sin−4 (θ/2) + cos−4 (θ/2) .
Mit dem Ergebnis von (b) zeigen Sie, daß der Streuquerschnitt von Bosonen/Fermionen
durch
σ(θ) = σcl (θ) ± 2γ 2 sin−2 (θ/2) cos−2 (θ/2) cos η ln tan2 (θ/2) .
(1)
gegeben ist. Zeigen Sie, daß im klassischen Limes ~ → 0 der Ausdruck (1) das klassische
Resultat ergibt.
Hinweis: Zeigen Sie, daß der letzte Term in (1) für kleine Werte von ~ eine schnell oszillierende
Funktion von θ ist, und daß damit sein Beitrag integriert über ein kleines Winkelelement ∆θ
verschwindet.
15 Punkte
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