Der Satz vom Mittelpunktswinkel
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V Definieren, Ordnen, Beweisen Der Satz vom Mittelpunktswinkel ht Materialbedarf: Schere Führe die folgenden Schritte durch, um die Aussage des Satzes vom Mittelpunktswinkel zu erhalten. 1 Formuliere eine Überschrift. Zeichne darunter einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r = 5 cm . 2 Markiere auf der Kreislinie zwei Punkte A und B (so, dass M nicht auf AB liegt) und zeichne das Dreieck ABM. sic 3 Wähle nun einen Punkt C auf der Kreislinie (so, dass M im Inneren des Dreiecks ABC liegt) und zeichne das Dreieck ABC. 4 Miss mit dem Geodreieck den Innenwinkel des Dreiecks ABM bei M (Mittelpunktswinkel) und den Innenwinkel des Dreiecks ABC bei C (Umkreiswinkel). Vergleiche die beiden Messergebnisse. Was vermutest du? Wenn du nicht sicher bist, zeichne ein weiteres Dreieck oder benutze ein Geometrieprogramm. 5 Formuliere einen mathematischen Satz, der den von dir vermuteten Sachverhalt beschreibt. Vo ra n Nun kannst du deine Vermutung mithilfe der unten stehenden Kärtchen beweisen. Dazu musst du sie zunächst ausschneiden und in die richtige Reihenfolge bringen. Schreibe dann den Beweis übersichtlich auf. Prüfe anschließend, ob deine Vermutung auch dann gilt, wenn M auf einer Dreieckseite oder außerhalb des Dreiecks liegt. Halte dein Ergebnis als den Satz vom Mittelpunktswinkel fest. 45 min Partner-/Gruppenarbeit 978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband © Als Kopiervorlage freigegeben. S77 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006 V Definieren, Ordnen, Beweisen Entdeckungen am Parallelogramm sic ht Gezeichnet ist ein Parallelogramm ABCD. Dazu sind weitere Linien eingezeichnet: DF ist die Winkelhalbierende des Winkels ADC, HG ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels des Parallelogramms bei D. ra n In dieser Figur lassen sich viele Beziehungen zwischen Winkeln und Streckenlängen entdecken. Folgende Beispiele sollen dich auf Ideen bringen: (1) CDG (2) HB (3) AB 1 2 DCB BC EDA ist gleichschenklig Beweise die Aussagen (1)–(3). Gehe dann auf Entdeckungsreise in der Figur und notiere deine Ergebnisse mit den zugehörigen Begründungen. Vo Eine spezielle Aufgabe: Gib die Streckenlänge FB in Abhängigkeit von den Seitenlängen des Parallelogramms an. 45 min Einzelarbeit 978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband © Als Kopiervorlage freigegeben. S79 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006 V Definieren, Ordnen, Beweisen Euklids erstaunlicher Satz ht Am 1. April 2006 veröffentlichte Aegidius Lambacher im Helvetic Weekly einen Artikel über einen lange Zeit verschollen geglaubten Satz des Altmeisters der Geometrie, Euklid. Der Satz lautet: Jeder stumpfe Winkel ist ein rechter. In C wird eine Senkrechte auf BC mit der Länge AB konstruiert. Der Endpunkt D der Senkrechten wird mit A verbunden. Die Mittelsenkrechten der Strecken AD und BC werden konstruiert. Ihr Schnittpunkt sei der Punkt S. Wegen der gleichen Mittelsenkrechteneigenschaft sind auch die Strecken SB und SC gleich lang. Weitere Beweisführung: siehe unten. ra n Gegeben ist ein beliebiger stumpfer Winkel CBA. sic Nachfolgend ist Schritt für Schritt der „Beweis“ für diesen Satz geführt. Versuche den Beweis nachzuvollziehen und vermute schon einmal, an welcher Stelle der entscheidende Fehler passiert sein könnte. Vo Da S auf der Mittelsenkrechten von AD liegt, sind die Strecken SA und SD gleich lang. Damit sind die Dreiecke SAB und SCD zueinander kongruent nach dem Kongruenzsatz sss. Folglich sind auch die Winkel SBA und DCS gleich groß. Da die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck SCB ebenfalls gleich groß sind, muss der ursprüngliche stumpfe Winkel CBA ebenso groß sein wie DCB. Dieser Winkel war aber nach Konstruktion ein rechter Winkel. Also ist der Winkel CBA ein rechter Winkel. Führe die entsprechenden Konstruktionen mit einem Geometrieprogramm aus und entlarve so den Fehler, der im oben stehenden Beweis gemacht wurde. 30 min Einzel-/Partnerarbeit 978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband © Als Kopiervorlage freigegeben. S78 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006 V Definieren, Ordnen, Beweisen Experimente mit Umecken 1 Umeck eines Dreiecks sic ht Zeichne selbst so ein Sechseck wie nebenan. Bei diesem Sechseck A1A2A3A4A5A6 werden die Seitenmitten bestimmt und zum Sechseck B1B2B3B4B5B6 verbunden. Das Sechseck A1A2A3A4A5A6 heißt Umeck von Sechseck B1B2B3B4B5B6. Es ist also leicht, zu einem gegebenen Sechseck das Mittelpunktseck zu finden. Jetzt ist die Umkehrung gefragt: Wie findet man von einem gegebenen Mittelpunktseck B1B2B3 ... zum zugehörigen Umeck? Im Folgenden kannst du geometrische Sätze vermuten, entdecken und begründen. ra n Gegeben ist das Dreieck B1B2B3, gesucht ist ein Umeck A1A2A3. Probiere aus. Ein bewährter Trick: Das Gesuchte als gegeben aufzeichnen und daran den Weg suchen. Zeichne also ein Dreieck und dann dessen Mittelpunktsdreieck. Diese Figur und ihre Eigenschaften kennst du. Siehst du den umgekehrten Weg? Wenn das Dreieck B1B2B3 gegeben ist, wie findet man dann A1, A2, A3? Zeichne also ein neues Dreieck B1B2B3, dann die Parallele zu B1B2 durch B3 und zu B2B3 durch B1. Lege die Punkte A2 und A3 so fest, dass B1 und B3 Mittelpunkte sind. Beschreibe die Konstruktion. Nachträglich musst du mithilfe von Kongruenzen jetzt begründen, dass B2 dann Mittelpunkt von A2A3 ist. Ist die Lösung eindeutig? 2 Umeck eines Vierecks Hat jedes Viereck ein Umeck? Das ist nicht so leicht zu beantworten wie beim Dreieck. Zeichne mehrere verschiedene Vierecke, auch mit einspringenden Ecken, und konstruiere ihre Mittenvierecke. Notiere eine Vermutung. Begründe diese Vermutung. Tipp: Zeichne die Diagonalen der Ausgangsvierecke ein. Vo Nun zur Umkehrung: Zeichne ein Parallelogramm B1B2B3B4 und suche dessen Umeck. In der unteren Figur ist der Beginn der Konstruktion mit beliebigem A1 gezeichnet. Setze dies fort. Wenn du den Punkt A 4 gezeichnet hast, kommt die Frage, ob B4 auf A4A1 liegt und die Strecke A4A1 auch halbiert. Mithilfe der Überlegungen aus Aufgabe 1 kannst du diese Frage beantworten. Damit hast du einen Satz gefunden, der aussagt, welche Vierecke ein Umeck haben und wie viele Lösungen es gibt. Experimentiere nun mit verschiedenen Lagen des Anfangspunktes A1. Beschreibe die Art der entstehenden Umvierecke, wenn A1 – unterhalb der Geraden B1B2, – auf der Geraden B1B4, – auf der Geraden B1B2, – im Innern des Vierecks B1 B2 B3 B4 liegt. 3 Ausblick: Umeck eines Fünfecks Hier führen reine Beobachtungen wie beim Viereck weder zu Vermutungen noch zu Konstruktionshinweisen. Der Weg zur Lösung führt auch über die Umkehrung: Vom Umeck wird ein Dreieck abgetrennt und im verbleibenden Viereck ein geeignetes Parallelogramm bestimmt. Damit kann man die Ergebnisse von oben nutzen. Probier es aus. 60 min Einzelarbeit 978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband © Als Kopiervorlage freigegeben. S80 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006 V Definieren, Ordnen, Beweisen Ein punktsymmetrisches Viereck heißt ... Ein Viereck mit gleich großen Winkeln. Ein Viereck mit zwei zueinander senkrechten Symmetrieachsen heißt ... Welche Eigenschaft kommt zum oberen Viereck dazu? Parallelogramm Voraussetzung Behauptung Beweis Formuliere in einen Wenn ..., dann ...-Satz um: Ein Dreieck mit drei gleich großen Winkeln ist gleichseitig. ra n Wie heißen die drei Schritte in einem ausführlichen Beweis? Vo Widerlege durch ein Gegenbeispiel: Ein Viereck mit einer Symmetrieachse hat ein Paar paralleler Gegenseiten. Welche Strecken sind gleich lang? 15 min Raute sic Gib eine Definition für das Rechteck an. ht „Mathe ärgert mich nicht!“ – Aufgabenkarten Drachen MA MB Vertausche Voraussetzung und Behauptung: Eine durch 6 teilbare Zahl ist durch 3 und 2 teilbar. Welchen Satz lässt diese Figur vermuten? MC Partnerarbeit 978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband Ein weiteres Paar paralleler Gegenseiten. Wenn ein Dreieck drei gleich große Winkel hat, dann ist es gleichseitig. Eine durch 2 und 3 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar. In einem Viereck mit Umkreis ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180°. © Als Kopiervorlage freigegeben. S83 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006 V Definieren, Ordnen, Beweisen Schnellrechner ht 1 Höhere Potenzen a a3 1 1 2 8 3 27 4 64 sic Beeindrucke deine Nachbarin oder deinen Nachbarn durch hohe Rechenkunst: Lass ihn eine Zahl wählen, mit dem TR die dritte Potenz berechnen und dir das Ergebnis nennen. Du findest ohne TR die Ausgangszahl. Deine Vorbereitung: Du solltest die dritte Potenz der Zahlen 1, ..., 10 auswendig lernen, denn aus der letzen Ziffer der Potenz kannst du eindeutig auf die letzte Ziffer der Ausgangszahl schließen. Beispiele: Endziffer 8 Ausgangszahl 2 Endziffer 3 Ausgangszahl 7 Der Rechengang: Die Zahl, die dir dein Nachbar nennt, hat vier bis sechs Stellen. Von den letzten drei Stellen brauchst du nur die Endziffer. Ist diese zum Beispiel 7, so ist die Endziffer der gesuchten Zahl sicher 3. Dann schneidest du diese drei Ziffern ab. Die verbleibende Zahl ordnest du in die a3-Spalte nebenstehender Tabelle ein. Entweder passt sie oder liegt zwischen zwei Zahlen. Im letzteren Fall nimmst du die kleinere von beiden und hast damit links davon die Zehnerziffer der gesuchten Zahl. 125 6 216 7 343 8 512 9 729 10 1000 ra n 5 Versuche mit deiner Partnerin oder deinem Partner das Verfahren zu begründen. Anleitung: 833 = (80 + 3) 3 = … Von der fünften Potenz auf die Ausgangszahl zu schließen ist noch leichter. Entwickle die Methode ähnlich wie oben. Die Zuordnung der Endziffer ist besonders einfach. Wie viele Stellen du abschneiden kannst, erfährst du durch Probieren oder aus der entsprechenden Begründung. 2 Kurioses von Quadratwurzeln Stimmt das? 49 4 9 Diese Umformung passt nicht zu den Rechenregeln für Quadratwurzeln, die du in Kapitel II gelernt hast, wie 59 5 9 , aber bei einigen wenigen Zahlen geht das. Findest Vo du schnell an anderen Beispielen siehst: du diese? Es gilt auch: 144 14 4 Es gibt auch noch weitere Beispiele, bei denen das Wurzelziehen so einfach geht. Bei größeren Zahlen können kuriose Umformungen zum Ziel führen: 196 180 16 225 200 25 18 16 20 25 Führe diese Beispiele fort. Vorsicht: Verallgemeinere diese Beispiele nicht. 40 min Partnerarbeit 978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband © Als Kopiervorlage freigegeben. S82 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006 V Definieren, Ordnen, Beweisen Variationen eines Satzes ht Mit dieser Anleitung kannst du selbst mathematische Sätze und Behauptungen formulieren und dann versuchen sie zu begründen und zu beweisen. 1 Grundaufgabe 2 Erste Abwandlung sic Es fängt mit einer ganz einfachen Aufgabe an: Addiere drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, zum Beispiel 14 + 15 + 16. Die Eigenschaft dieser Summe kennst du vielleicht schon: Satz 1: Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist durch 3 teilbar. Sieh dir den Beweis im Schülerbuch Seite 136 an und erarbeite dann noch andere Beweisideen. Gilt obiger Satz entsprechend auch, wenn du 4, 5, 6 ... aufeinanderfolgende Zahlen addierst? Nach einigen Beispielen wirst du eine Vermutung formulieren können. Schreibe diese ins Heft. Gibt es dann einen allgemeinen Satz für k Summanden? n + n+1 + n+2 + n+3 + … + n+k­1 = … Tipp: Schreibe die Summe wie im Schülerbuch um. Dann musst du einen Ausdruck für die Summe 1 + 2 + 3 + …+ k – 1 finden. Das Ausklammern ist davon abhängig, ob k gerade oder ungerade ist. ra n 3 Zweite Abwandlung Nun sollen es keine aufeinanderfolgenden, sondern Zahlen mit gleichem Abstand sein. Formuliere wieder eine Vermutung. Schreibe diese ins Heft. Jetzt kommt die Verallgemeinerung: Drei Summanden mit Abstand d. Schreibe die Summe allgemein wie in Aufgabe 1 oder 2 und führe den Beweis. n + n + d + … 4 Beweisvariante Vo Einen Beweis kannst du auch auf ganz anderem Weg finden. Tick, Trick und Track bekommen von Onkel Donald zum Frühstück frisch gepressten Orangensaft. Selbstverständlich sind sie nicht damit zufrieden, wie Donald den Orangensaft eingeschenkt hat. Hilf ihnen, den Saft gerecht zu verteilen. Was hat diese Geschichte mit der Grundaufgabe zu tun? 5 Variationen ohne Ende? Du hast gesehen: Die Abwandlung von zwei Worten, d. h. Bedingungen, im Satz 1 führt zu interessanten mathematischen Aussagen. Unterstreiche in Aufgabe 1 die bisher variierten Bedingungen und erforsche dann: Es stehen noch andere Bedingungen im Aufgabentext. Kann man diese Bedingungen auch so abwandeln, dass sinnvolle Aufgaben entstehen? Schreibe deine Ideen auf. 40 min Einzelarbeit 978-3-12-734382-3 Lambacher Schweizer 4 BW, Serviceband © Als Kopiervorlage freigegeben. S81 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2006
