GET-Skript Kapitel3

Gleichstromschaltungen
3
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Gleichstromschaltungen
3.1 Strom und Spannung im einfachen Stromkreis
Einfacher Stromkreis: Eine Spannungsquelle, ein Verbraucher
VL1
UG
I
RV
U
VL2
Symbol:
27
1.2 M
≡ R = 27Ω
≡ R = 1,2MΩ
Nur bei unendlich hoher Leitfähigkeit der Verbindungsleitungen
VL1 und VL2 ist UV am Verbraucher gleich UG am Generator.
In der Praxis: Widerstand der Verbindungsleitung
ρR ⋅ l
R L = ----------A
l = Länge, A = Querschnitt ρ R = spezif. Widerstand.
Man denkt sich diesen Widerstand in den Bauelementen RL1 und
RL2 vereinigt und betrachtet die Symbole für Leitungen (-----) als
unendlich leitfähig. RL ersetzt also die Leitungen und heißt Ersatzwiderstand.
I
2
RL1
3
UL1
UG
U
RV
UL2
1
RL2
4
Stromkreis unter Berücksichtigung des Widerstands der Verbin-
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GET-Skript
dungsleitungen
Damit ergibt sich innerhalb des Stromkreises folgender Potentialverlauf
UG
1
ϕ
ϕ2
ϕ3
ϕ4
UL1
2
U
3
UL2
4
1
I
UL1
UG
ϕ1
U
UL2
Im Generator: Anhebung des Potentials von ϕ 1 auf ϕ 2 .
Auf idealen Verbindungsleitungen: konstantes Potential.
Über den Widerständen: Abfall des Potentials von ϕ 2 → ϕ 3;
ϕ 3 → ϕ 4 und ϕ 4 → ϕ 1 .
Der Stromkreis schließt sich an Klemme 1 mit Potential ϕ 1 .
D.h. bei Umlauf von einem beliebigen Anfangspunkt durch den
Stromkreis zurück zu diesem Anfangspunkt ist die Potentialdifferenz = Null.
Also: Für Umlauf in Zählpfeilrichtung (ZPR) des Stromes:
0 = – U G + U L1 + U + U L2
Mit dem Ohm‘schen Gesetz lassen sich die Spannungen durch die
Widerstände ausdrücken, also: U L1 = I ⋅ R L1; U = I ⋅ R V ; und
U L2 = I ⋅ R L2 . Dann ist
U G = I ⋅ ( R L1 + R V + R L2 )
Damit läßt sich der Strom I berechnen zu
I = U G ⁄ ( R L1 + R V + R L2 )
und die Spannung U am Verbraucher ist
U = U G – U L1 – U L2 = U G – ( R L1 + R L2 ) ⋅ I
D.h.: Infolge der endlichen Leitfähigkeit der Verbindungsdrähte
sinkt die Verbraucherspannung mit dem Strom I ab.
Festlegung der ZPR: Im bisher verwendeten Zählpfeilsystem war
am Verbraucher Zählpfeil für U und I in der gleichen Richtung.
Gleichstromschaltungen
Dieses System heißt daher Verbraucherzählsystem.
Legt man dagegen fest, daß die Zählpfeile von U und I am Generator die gleiche Richtung haben sollen, so spricht man vom Generatorzählpfeilsystem.
3.2 Zweipole
Alle im Beispiel gezeigten Elemente des Stromkreises (Spannungsquelle, Widerstände) haben zwei Anschlüsse und werden
deshalb als Zweipole bezeichnet. Bei einem Zweipol interessiert
man sich
- nicht für Schaltungsdetails im Inneren, sondern
- nur für die Strom-Spannungscharakteristik
I = f(U), die man von außen bestimmen kann.
Definition: Zweipole heißen linear, wenn die Beziehung I = f(U)
(Strom-Spannungs-Charakteristik) linear ist, d.h. wenn gilt
U = a + b ⋅ I oder I = p + q ⋅ U .
Man unterscheidet noch einmal
Passive lineare Zweipole:
d.h. es ist keine Strom- oder Spannungsquelle im Zweipol enthalten (passiv) und es ist I = G ⋅ U bzw. U = R ⋅ I (linear). Beispiele: Ohm‘sche Widerstände und beliebige Kombinationen
daraus.
Aktive lineare Zweipole:
d.h. der Zweipol kann elektrische Energie abgeben (aktiv) und es
ist U = a + b ⋅ I bzw. I = p + q ⋅ U (linear). Beispiel: Realer
Generator, bei dem die Klemmenspannung vom Strom I abhängt.
Man kann einen realen Generator durch ein Ersatzschaltbild aus
einem idealen Generator und einem Widerstand darstellen. Eine
solche Spannungsquelle zeigt von außen die gleiche Strom-Spannungscharakteristik, ersetzt also die reale Spannungsquelle für unsere Betrachtungen und heißt deshalb Ersatzspannungsquelle.
Es gilt: U = UG - UR = UG - R ⋅ I = a + b ⋅ I , d.h. die Ersatzspannungsquelle ist ein linearer, aktiver Zweipol.
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GET-Skript
.
R
UL
U
UG
3.3 Die Kirchhoffschen Regeln
Beim Zusammenschalten mehrerer Zweipole ergeben sich netzartige Strukturen, sogenannte Netzwerke, z. B.
Ein Netzwerk besteht aus:
- Zweigen von Zweipolen
- Knoten, an denen Zweige zusammenstoßen und
- Maschen, das sind beliebige geschlossene Wege im Netzwerk,
bei denen kein Zweig oder Knoten mehrfach durchlaufen wird.
Für die Knoten und Maschen lassen sich einfache Gesetzmäßigkeiten (Regeln) formulieren, die die Berechnung der Spannungen und
Ströme in beliebigen Netzwerken ermöglichen.
Gleichstromschaltungen
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a) Die Kirchhoff‘sche Knotenregel
Gummiball
I2
I3
I1
Wasserströme
I4
I5
In einen Knoten darf sich keine Ladung stauen (wie z.B. Wasser in
einem Gummiball). Also muß gelten
→ Summe aller auf einen Knoten zufließenden Ströme = Summe aller vom Knoten wegfließenden Ströme.
Für eine mathematische Beschreibung dieser Regel muß man eine
für alle Ströme einheitliche Bezugsrichtung festlegen.
- Der Strom Ii im Zweig i zählt positiv, wenn die technische
Stromrichtung zum Knoten hin zeigt. Dies ist der Fall bei ZPR
zum Knoten und positivem Vorzeichen, oder bei ZPR weg vom
Knoten und negativem Vorzeichen
- Der Strom Ii im Zweig i, zählt negativ, wenn die technische
Stromrichtung vom Knoten weg zeigt. Dies ist der Fall bei ZPR
zum Knoten und negativem Vorzeichen, oder bei ZPR weg vom
Knoten und positivem Vorzeichen
Mit dieser Vereinbarung gilt
∑i = 1 I i = 0
n
Kirchhoff‘sche Knotenregel
b) Die Kirchhoff‘sche Maschenregel:
ϕc
U2
U3
ϕb
ϕd
U4
U1
ϕa
ϕe
U6
ϕf
U5
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In diesem Beispiel einer Masche haben die sechs Knoten die Potentiale ϕ a , ϕ b , ϕ c , ϕ d , ϕ e und ϕ f . Bezeichnet man die beteiligten Spannungen mit ϕ a – ϕ b , ϕ b – ϕ c , .... und ϕ f – ϕ a , so gilt:
( ϕa – ϕb ) + ( ϕb – ϕc ) + ( ϕc – ϕd ) + ( ϕd – ϕe ) + ( ϕe – ϕ f ) +
+ ( ϕ f – ϕa ) = 0
weil ja die Potentialdifferenz bei einem beliebigen Umlauf in einer
Masche zwischen Anfangs- und Endpunkt (beides gleich!) Null
ist.
Für eine allgemeine mathematische Beschreibung des obigen Beispiels muß man eine Umlaufrichtung festlegen, auf die sich die
ZPR der Spannungen Ui bezieht. (siehe Abb.)
- Eine Spannung zählt positiv, wenn sie positives Vorzeichen hat
und die ZPR mit der Umlaufrichtung übereinstimmt, oder wenn
sie negatives Vorzeichen hat und die ZPR der Umlaufrichtung
entgegengesetzt ist.
- Eine Spannung zählt negativ, wenn sie negatives Vorzeichen hat
und die ZPR mit der Umlaufrichtung übereinstimmt, oder wenn
sie positives Vorzeichen hat und die ZPR der Umlaufrichtung
entgegengesetzt ist.
Mit dieser Vereinbarung gilt
∑i = 1 U i = 0
n
Kirchhoff‘sche Maschenregel
Die Kirchhoff‘sche Maschenregel gilt nicht nur für geschlossene
Umläufe in Maschen eines Netzwerks, sondern für jeden geschlossenen Umlauf.
Beispiel: Ersatzspannungsquelle:
R
Umlaufrichtung
UR
UG
∑i = 1 U i =
n
U
( – U G + U R + U ) = 0 oder U = U G – U R
Gleichstromschaltungen
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3.4 Serien- und Parallelschaltung von Widerständen
3.4.1 Serienschaltung
I
R1
U1
R2
U2
Rn
Un
U=U0
Maschenregel:
n
∑ Ui
n
= –U 0 +
i=0
∑ Ui =
n
0 oder U 0 =
i=1
∑ Ui
i=1
n
=
∑ I i ⋅ Ri
i=1
Knotenregel:
Alle Ströme Ii = I sind gleich, weil im einfachen Stromkreis zu jedem Knoten nur zwei Zweige führen, deren Sröme in Summe
gleich Null sind. Damit gilt
n
n
U0 =
∑ I i ⋅ Ri
i=1
=
∑ I ⋅ Ri
i=1
n
= I⋅
∑ Ri
i=1
Bezeichnet man
R =
∑i = 1 Ri als Gesamtwiderstand der Reihenschaltung,
n
und U = U0 als die Gesamtspannung, so gilt
U = I⋅R ,
Also: Bei einer Reihenschaltung addieren sich die Teilwiderstände
Ri zu einem Gesamtwiderstand R.
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3.4.2 Parallelschaltung
Knoten
I=I0
I=I0
I1
I2
In
U
In
I1
I2
I1
I2
U
In
I=I0
Knoten
Knotenregel:
Für jeden der Knoten also z. B. für den unterer Knoten gilt
∑i = o I i
= –I o + ∑
n
n
I
i=1 i
= 0
oder
I0 =
∑i = 1 I i
n
=
∑i = 1 U i ⋅ Gi
n
Maschenregel:
Alle Spannungen Ui = U sind gleich, weil beliebige Paare von Widerständen Maschen mit zwei Zweigen bilden, deren Spannungen
in Summe Null sind. Somit gilt
Io =
∑i = 1 U i ⋅ Gi
n
=
∑i = 1 U ⋅ G i
n
= U⋅∑
n
i=1
Gi
Bezeichnet man
G =
∑i = 1 Gi als den Gesamtleitwert der Parallelschaltung,
n
und I = I0 als den Gesamtstrom, so gilt
I = G⋅U,
Also: Bei einer Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte Gi
bzw. die Kehrwerte 1/Ri der Widerstände zum Leitwert G bzw.
Kehrwert 1/R des Gesamtwiderstandes.
Gleichstromschaltungen
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3.4.3 Einfache Widerstandsnetzwerke
Beispiel:
R6
R2
1
R
?
R7
R5
R4
R1
R3
2
Der Gesamtwiderstand R zwischen den Klemmen 1 und 2 kann bereits mit den bekannten Regeln für Reihen- und Parallelschaltung
schrittweise berechnet werden.
Schritte:
R 123 = R 1 + R 2 + R 3
(Reihenschaltung)
1
1
1
1
--------------- = ---------- + ------ + ------ (Parallelschaltung)
R 12345
R 123 R 4 R 5
R 123456 = R 12345 + R 6
1
1
1
--- = ----------------- + -----R
R 123456 R 7
(Reihenschaltung)
(Parallelschaltung)
3.5 Ersatzquelle
3.5.1 Ersatzspannungsquelle
Ersatzschaltbild des linearen aktiven Zweipols
Ri
I
URi
U0
U
Das Klemmenverhalten U = U 0 – R i ⋅ I (Strom-Spannungs-Charakteristik) einer realen Spannungsquelle wird durch obige Ersatz-
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spannungsquelle richtig beschrieben. Man nennt
U: Klemmenspannung
I:
Klemmenstrom
U0 : Quellenspannung und
Ri : Innenwiderstand
Betrachtet man die Ersatzspannungsquelle als Zweipol, so sind U0
und Ri von außen nicht zugänglich und müssen durch Messung
von U und I bestimmt werden.
Die lineare Strom-Spannungs-Kennlinie U = U 0 – R i ⋅ I kann
durch zwei beliebige Meßwertpaare (U,I) festgelegt werden, besonders vorteilhaft sind jedoch Messungen bei Leerlauf und Kurzschluß.
Leerlauf: Betriebszustand, in dem kein Strom fließt (I = 0).
UL: Leerlaufspannung = Klemmenspannung U bei I = 0.
Mit I = 0 wird der Spannungsabfall am Innenwiderstand Ri zu Null
und die Quellspannung wird als Klemmenspannung meßbar:
Uo = UL = U (I = 0)
Kurzschluß: Betriebszustand, in dem beide Klemmen auf gleichem
Potential liegen (U = 0).
IK : Kurzschlußstrom = Strom I bei Klemmenspannung U = 0.
Mit U = 0 liegt die gesamte Quellspannung am Innenwiderstand
und dieser wird als Quotient aus Quellspannung und Kurzschlußstrom meßbar:
I K = U 0 ⁄ R i = I ( U = 0 ) , und damit R i = U 0 ⁄ I K = U L ⁄ I K
Gleichstromschaltungen
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3.5.2 Ersatzstromquelle
Ersatzschaltbild des linearen aktiven Zweipols.
I
IG
I0
1
G i = ----Ri
U
Das Klemmenverhalten I = I 0 – G i ⋅ U (Strom-Spannungs-Charakteristik) einer realen Stromquelle wird durch obige Ersatzstromquelle richtig beschrieben. Man nennt
U: Klemmenspannung
I:
Klemmenstrom
I0 : Quellstrom und
Gi: Leitwert des Innenwiderstands
Betrachtet man die Ersatzstromquelle als Zweipol, so sind I0 und
Gi = 1/Ri von außen nicht zugänglich und müssen durch Messung
von U und I bestimmt werden.
Die lineare Strom-Spannungs-Kennlinie I = I 0 – G i ⋅ U kann
durch zwei beliebige Meßwertpaare (U,I) festgelegt werden, besonders vorteilhaft sind jedoch Messungen bei Leerlauf und Kurzschluß.
Kurzschluß: Betriebszustand, in dem beide Klemmen auf gleichem
Potential liegen (U = 0).
IK : Kurzschlußstrom = Strom I bei Klemmenspannung U = 0.
Mit U = 0 ist I G = G i ⋅ U = 0 und der gesamte Quellstrom fließt
am Innenwiderstand vorbei, wird also als Kurzschlußstrom direktmeßbar:
I0 = IK = I (U = 0)
Leerlauf: Betriebszustand, in dem kein Strom fließt (I = 0).
UL: Leerlaufspannung = Klemmenspannung U bei I = 0.
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GET-Skript
Mit I = 0 fließt der gesamte Quellstrom durch den Innenwiderstand Ri und dieser wird als Quotient aus Leerlaufspannung und
Kurzschlußstrom von außen messbar:
Ri = U L ⁄ I 0 = U L ⁄ I K
3.5.3 Allgemeine Ersatzquelle
Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle sind gleichwertig
und lassen sich eindeutig ineinander umrechnen.
I
Ersatzspannungsquelle
I
Ersatzstromquelle
U
U
Ri = U L ⁄ I K Ri = U L ⁄ I K
U = U L – Ri ⋅ I I = I K – Gi ⋅ U
weil U L = R i ⋅ I K
ist
U = Ri ( I K – I )
oder G i ⋅ U = I K – I
weil I K = U L /R i
ist
I = ( U L – U ) ⁄ Ri
oder R i ⋅ I = U L – U
I = I K – Gi ⋅ U
U = U L – Ri ⋅ I
Spezialfälle:
Ersatzspannungsquelle
Ersatzstromquelle
mit Ri = 0 ist
U unabhängig von I, also
Ideale Spannungsquelle
mit Gi = 0 ist
I unabhängig von U, also
Ideale Stromquelle
I
I
U
U
Gleichstromschaltungen
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mit U0 = 0 (Kurzschluß)
mit I0 = 0 (Unterbrechung)
U = – Ri ⋅ I
I = –Gi ⋅ U
I
I
Ri
U
I0=0
U
Ri
U0=0
oder im Verbraucherzählpfeilsystem
U = Ri ⋅ I
I = Gi ⋅ U
I
Ri
I
U
Ri
U
Das entspricht dem passiven linearen Zweipol
(Ohm‘scher Widerstand)
3.5.4 Spannungsteiler
Zur Erzeugung einer Teilspannung U aus der Quellspannung U 0
verwendet man die Spannungsteilerschaltung.
IG
R1 I
UG
U
R2
Verbraucher
U
R
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GET-Skript
Spannungsteiler im Leerlauf
Bei I = 0 , näherungsweise bei I ≈ 0 also bei R » R 1, R 2 gilt
U G = I G ⋅ ( R 1 + R 2 ) und im Leerlauf ist U L = I G ⋅ R 2 , also
U L ⁄ U G = R 2 ⁄ ( R 1 + R 2 ) oder
Teilspannung/Gesamtspannung =
= Teilwiderstand/Gesamtwiderstand
Belastete Spannungsteiler
U G = I G ⋅ R 1 + U mit I G = I + U ⁄ R 2
R
U G = ( I + U ⁄ R 2 ) ⋅ R 1 + U = I ⋅ R 1 + U ⋅  1 + -----1- oder

R 2
–I ⋅
U =
U0
R1 ⋅ R2
-----------------R1 + R2





R2
U G ⋅ -----------------R1 + R2







U =
–I⋅
Ri
Diese lineare Beziehung zwischen U und I entspricht einem aktiven linearen Zweipol mit
Quellspannung U 0 = U G ⋅ R 2 ⁄ ( R 1 + R 2 ) und
Innenwiderstand R i = R 1 ⋅ R 2 ⁄ ( R 1 + R 2 ) oder R i = R 1 || R 2
Bestimmt man für den Spannungsteiler Leerlaufspannung und
Kurzschlußstrom und wendet die bekannten Regeln zur Bestimmung des Innenwiderstandes und der Quellspannung einer Ersatzquelle an, so erhält man das gleiche Ergebnis für U0 und Ri
Leerlauf: U L ⁄ U G = R 2 ⁄ R 1 + R 2 oder U L = U G ⋅ R 2 ⁄ ( R 1 + R 2 )
Kurzschluß: I K = U G ⁄ R 1
also U 0 = U L = U G ⋅ R 2 ⁄ ( R 1 + R 2 )
und R i = U L ⁄ I K = R 1 ⋅ R 2 ⁄ ( R 1 + R 2 )
Gleichstromschaltungen
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Damit kann der Spannungsteiler durch folgendes Ersatzschaltbild
dargestellt werden:
R1
I
UG ⋅ R2
U 0 = -----------------R1 + R2
R2
U
3.6 Energieumsetzung im Stromkreis
3.6.1 Energie und Leistung
U
I
ds
S
dA
E
I
dV = ds ⋅ dA
l
Die Ladungen dq im Volumen dV erfahren im Feld E die Kraft
F = dq ⋅ E und verrichtet beim Durchlaufen des Weges ds dieArbeit dW = F ⋅ ds = dq ⋅ E ⋅ ds .
Weil dq = ρ ⋅ dV = S ⋅ d A ⋅ dt ist, gilt
dW = S ⋅ d A ⋅ E ⋅ ds ⋅ dt = S ⋅ E ⋅ dV ⋅ dt ,
Die Arbeit dW = S ⋅ E ⋅ dV ⋅ dt im Volumenelement dV muß
nun über den gesamten Verbraucher aufsummiert werden.
(a) Erst über Scheibe der Dicke ds , wobei überall E ⋅ ds = dU
konstant ist, also
dW Scheibe =
∫A E ⋅ ds ⋅ S ⋅ d A ⋅ dt
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und weil bei Integration über die Fläche sowohl E ⋅ ds = dU , als
auch dt konstant sind, ist
dW Scheibe = dU ⋅ dt ⋅ ∫ S ⋅ d A = dU ⋅ dt ⋅ I
A
ds
E
S
dA
Gesamtfläche A
dU = E ⋅ ds
(b) Aufsummieren über den gesamten Verbraucher der Länge l
Weil
l
∫0 dU = U
ist W =
l
ist,
∫0 dW Scheibe
l
= I ⋅ dt ⋅ ∫ dU = U ⋅ I ⋅ dt
0
Bezeichnet man die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit dW/dt mit
Leistung P, so ist
dW
P = -------- = U ⋅ I
dt
Elektrische Leistung
Als abgeleitete Einheit für die Größe Leistung ergibt sich
[P] = [U ] ⋅ [I ] = V ⋅ A
Wegen der Wichtigkeit hat [ P ] einen eigenen Namen, nämlich
1 Watt.
1 Watt = 1 W = 1 VA = 1 Joule/s = 1 kg m2/s3
In der Elektrotechnik hat die Arbeit W die Einheit 1 Wattsekunde
[ W ] = 1 Wattsekunde = 1Ws ;
6
3.6 ⋅ 10 Ws = 1KWh
Gleichstromschaltungen
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3.6.2 Leistungsanpassung und Wirkungsgrad
Bei der Kombination eines aktiven Zweipols (Ersatzquelle) und eines passiven Zweipols (Verbraucher) wird am Verbraucher R und
am Innenwiderstand Ri der Quelle Leistung verbraucht.
Ri
I
U0
U
Quelle
R
Verbraucher
Wann ist die Leistung P am Verbraucher, maximal?
Hinweis:
R = 0: U = 0
I = IK also P = U ⋅ I = 0
R → ∞ : U = UL I = 0 also P = U ⋅ I = 0
Dazwischen Maximum.
Allgemein:
P = U ⋅ I und weil I = U 0 ⁄ ( R i + R ) und
U = R ⋅ I = U 0 ⋅ R ⁄ ( R i + R ) , ist
2
P = U ⋅ I = U 0 ⋅ R ⁄ ( Ri + R )
2
also: P = 0 für R = 0 und R → ∞
Das Maximum liegt bei ∂P ⁄ ∂R = 0 . An dieser Stelle ist R = Ri
(Beweis durch Differenzieren!)
1
2
2
2
Dort ist P max = U 0 ⋅ R i ⁄ ( 2R i ) = --- ⋅ U 0 ⁄ R i .
4
Trägt man P/Pmax über R/Ri auf, so ergibt sich
P/Pmax
1
0
0
1
2
3
1
2
Bei R = R i ist P = P max = --- ⋅ U 0 ⁄ R i
4
Man spricht hier von Leistungsanpassung.
R/Ri
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GET-Skript
Die Gesamtleistung von Quelle und Verbraucher ist
2
P ges = U 0 ⋅ I = U 0 ⁄ ( R i + R )
Ermittelt man das Verhältnis zwischen Verbraucherleistung und
Gesamtleistung P ⁄ P ges , so erhält man den Wirkungsgrad η mit
η = P ⁄ P ges = R ⁄ ( R + R i ) = ( R ⁄ R i ) ⁄ ( 1 + R ⁄ R i )
Trägt man η über R/Ri auf, so erhält man den Verlauf des Wirkungsgrades.
η
1
,5
0
1
2
3
R/Ri
Bei R = Ri: η = 0, 5 (Leistungsanpassung)
Bei R → ∞ : η = 1
(maximaler Wirkungsgrad)
3.7 Schaltung mit nichtlinearen Zweipolen
Es gelten weiterhin
- Knotenregel für Ströme
- Maschenregel für Spannungen
aber: es sind Bauelemente (Zweipole) enthalten, für die keine lineare Beziehung U = a + b ⋅ I vorhanden, für die jedoch eine
eindeutige Beziehung U = f(I) gilt. Diese Beziehung zwischen U
und I ist entweder
kT
I
- explizit bekannt, z. B. Diode: U D = ------ ln  1 + ---- ,
e 
I 0
- als Kennlinie aufgenommen (Graphik)
- für die in der Schaltung enthaltenen linearen Zweipole weiterhin durch U = I ⋅ R gegeben.
Die Schaltungen lassen sich daher eindeutig, oft aber nicht mehr
geschlossen, sondern nur graphisch oder numerisch berechnen.
Beispiel: Schaltung mit einer Diode.
Gleichstromschaltungen
Seite 43
Ri
I
URi
R
UR
U
U0
UD
Maschenregel: – U 0 + U Ri + U R + U D = 0
Durch alle Bauelemente fließt I und es gilt
k⋅T
I
U D = ----------- ⋅ ln  1 + ---- nichtlinearer Zweipol

e
I 0
U Ri = R i ⋅ I 
 Ohm‘sches Gesetz
UR = R ⋅ I 
k⋅T
I
also: [ – U 0 + ( R i + R ) ⋅ I ] + ----------- ⋅ ln  1 + ----

e
I 0
= 0
Hierfür läßt sich keine geschlossene Lösung finden.
Graphische Lösung:
Wir stellen die obige Beziehung um und suchen den Strom I, bei
dem der rechte und der linke Term gleich werden.
[ U 0 – ( Ri + R ) ⋅ I ]









=







kT 
I
------ ln 1 + ----

e
I 0
Diodenkennlinie
Widerstandsgerad
Der linke Term stellt einen passiven nichtlinearen Zweipol (Diode)
dar, der rechte einen aktiven linearen Zweipol (Quelle mit Innenwiderstand R = Ri). Beide Zweipole sind miteinander verbunden,
sodaß Spannung und Strom bei beiden übereinstimmen muß.
Zeichnet man für beide die Strom-Spannungs-Kennlinie, so ist diese Bedingung am Schnittpunkt erfüllt. Dieser Schnittpunkt heißt
Arbeitspunkt (UDA, IA) und in diesem Punkt sind alle Bedingungen
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der Schaltung erfüllt.
I
Widerstandsgerade
Diodenkennlinie
IA
0
Arbeitspunkt
UDA
UR + URi
U0
U