Grundlagen der Elektrotechnik 3 Übungsaufgaben

Campus Duisburg
Grundlagen der Elektrotechnik 3
Übungsaufgaben
Nachrichtentechnische Systeme
Prof. Dr.-Ing. Ingolf Willms
Version Juli 08
Grundlagen der Elektrotechnik 3
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Aufgabe 1:
Man bestimme die Fourier-Reihenentwicklung für die folgende periodische Zeitfunktion.
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Aufgabe 2:
Für die Funktion (einweggleichgerichtete Sinusschwingung) :

 A ⋅ sin(ωt )
f (t ) = 

0

für 0 ≤ t ≤
für
T
2
T
≤t ≤T
2
mit f (t ) = f (t + nT ) gebe man die Fourier- Reihenentwicklung und das Amplitudenspektrum
an.
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Aufgabe 3:
Gegeben ist die periodische Spannung u1 (t )
a) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe in komplexer Schreibweise und
skizzieren Sie das Amplitudenspektrum.
b) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe der Spannung u2 (t ) , wenn u1 (t )
jeweils an einer der Schaltungen nach den Abbildungen a-d angelegt wird. Bestimmen
Sie die zugehörigen Amplitudenspektren.
Abbildung a
Abbildung b
Abbildung c
Abbildung d
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Aufgabe 4:
Der dargestellte Strom i (t ) fließt durch den gezeigten Schwingkreis.
1
T2
=
4ω 2C 16π 2C
a) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe von i (t ) und u (t ) in komplexer
Schreibweise.
b) Skizzieren Sie die Amplitudenspektren von i (t ) und u (t ) , wenn die Güte des
Es soll gelten:
L=
Schwingkrieses Q = 1 bzw. Q = 10 ist.
c) Bestimmen Sie für Q = 1 und Q = 10 :
1) die Effektivwerte I eff , U eff ,
2) den Schwingungsgehalt und Grundschwingungsgehalt von i (t ) und u (t ) ,
3) den Oberschwingungsgehalt von i (t ) und u (t ) .
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Aufgabe 5:
Gegeben ist ein im Zeitbereich einmaliger Impuls der Form:
0

C 
 π 
f (t ) =  ⋅ 1 + cos  t  
 T 
2 
0
für − ∞ < t < −T
für − T < t < T
für
T <t <∞
Berechnen Sie die Fourier-Transformierte von f (t ) und bestimmen Sie das zugehörige
Amplituden- und Phasenspektrum. Vergleichen Sie diese mit den entsprechenden Spektren
des Rechteckimpulses gleicher Amplitude, aber halber Pulsdauer.
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Aufgabe 6:
Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der gezeigten Impulsfunktion der Impulsdauer T ,
indem Sie den Impuls als Überlagerung zweier Sprungfunktionen darstellen.
Bestimmen Sie anschließend die Laplace-Transformierte des um die Zeit t0 zeitverschobenen
Impulses.
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Aufgabe 7:
Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der folgenden Zeitfunktionen
a) g (t ) =
t2
T2
b) g (t ) = 1 − eσ1t
(σ1 < 0)
c) g (t ) = cos(ω1t + ϕ )
d) g (t ) = eσ1t ⋅ cos(ω1t + ϕ )
(σ1 < 0)
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Aufgabe 8:
Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der dargestellten Zeitfunktion.
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Aufgabe 9:
Gegeben sind die folgenden Laplace-Transformierten:
a) G ( s ) =
b) G ( s ) =
(s
ab
2
)(
− a ⋅ s − b2
2
(
a2
s ⋅ s + a2
2
2
2
)
)
mit reellen Werten a , b . Bestimmen Sie die zugehörigen Zeitfunktionen.
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Aufgabe 10:
Gegeben ist die Schaltung:
Der Schalter wird zu der Zeit t = 0 geschlossen. Bestimmen Sie die Spannung uC (t ) und die
Ströme i1 (t ) und i2 (t ) für 0 < t < ∞
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Aufgabe 11:
Gegeben ist die Schaltung:
Der Schalter wird zu der Zeit t = 0 geschlossen und zu der Zeit
L
t = t1 =
R ⋅R
R2 + 1 3
R1 + R3
wieder geöffnet. Berechnen Sie die Ströme i1 (t ) , i2 (t ) und i3 (t ) , sowie die Spannung uL (t ) .
Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von i1 (t ) , i2 (t ) und i3 (t ) für R1 = R2 = R3 = R .
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Aufgabe 12:
Gegeben ist die Schaltung:
Berechnen Sie die Spannung u (t ) , sowie die Ströme iC (t ) , iG (t ) und iL (t ) , wenn der Schalter
zu der Zeit t = 0 umgeschaltet wird und der Kondensator im Zeitbereich t < 0 ungeladen ist
a) für den periodischen Fall,
b) für den aperiodischen Fall,
c) für den aperiodischen Grenzfall.
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Aufgabe 13:
Gegeben ist die Schaltung:
Im Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter umgeschaltet. Bestimmen Sie die Spannung uL (t ) .
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Aufgabe 14:
In der gegebenen Schaltung wird der Schalter zu der Zeit t = 0 umgeschaltet.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die Ströme i (t ) und i1 (t ) für den
Zeitbereich 0 < t < ∞ .
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Aufgabe 15:
Gegeben ist ein invertierender Verstärker mit einem idealen Operationsverstärker
Die symmetrische Versorgungspannung besitzt den Wert U B = 15V .
a) Welchen Wert muss der Widerstand R0 besitzen, damit der Eingangswiderstand des
Verstärkers 100 kΩ beträgt?
b) Welchen Wert muss der Widerstand R1 besitzen, damit der Verstärker eine
Spannungsverstärkung von A = 50 besitzt?
u$
Hinweis:
A= a
u$
e
Die Eingangsspannung ue (t ) sei nun sinusförmig mit dem Scheitelwert u$ e = 0,4V .
c) Skizzieren Sie die Ausgangsspannung ua (t ) .
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Aufgabe 16:
Gegeben ist ein Hochpass 2. Ordnung:
Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente C1 , C2 , R1 , R2 für den Fall, dass die Verstärkung
der Hochpassschaltung gleich 10 und die untere Grenzfrequenz 5 kHz beträgt.
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Aufgabe 17:
Gegeben ist ein Tiefpass 2. Ordnung:
Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente C1 , C2 , R1 , R2 , R3 für den Fall, dass die
Verstärkung der Tiefpassschaltung gleich 10 und die obere Grenzfrequenz 25 kHz beträgt.
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Aufgabe 18:
Ein idealer Operationsverstärker (OP) wird eingangs- und ausgangsseitig mit Zweitoren in
Form von T-Gliedern beschaltet.
a) Beschreiben Sie die Eigenschaften eines idealen Operationsverstärkers
(Bauelementtyp, Prinzipschaltbild und Kennlinie, Spannungen, Ströme, Verstärkung).
b) Berechnen Sie die Ströme $i und $i .
0
1
c) Ermitteln Sie den Frequenzgang bzw. die Übertragungsfunktion der Schaltung.
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Aufgabe 19:
Die gegebene Schaltung stellt einen Differenzverstärker (Subtrahierer) dar. Der Verstärker ist
ein idealer Operationsverstärker (OP). Die Eingangsspannungen u$ und u$ sind gegeben.
e1
e2
Berechnen Sie die Ausgangsspannung u$ a in Abhängigkeit der Widerstände R1 und R2 , wenn
gilt:
R3 R4
.
=
R1 R2
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Aufgabe 20:
Gegeben ist ein idealer Operationsverstärker (OP), der wie folgt beschaltet ist:
a) Bestimmen Sie allgemein die Übertragungsfunktion vu =
u$ a
der Schaltung.
u$ e
b) Welche Übertragungsfunktion ergibt sich, wenn: Z1 = R1 , Z 2 = R2 , Z5 = R3 ,
Z 3 = Z 4 = ( jωC ) −1 ? Welches Filter ist damit realisiert?
c) Welche Übertragungsfunktion ergibt sich für: Z1 = Z3 = Z 4 = R , Z 2 = Z 5 = ( jωC ) −1 ?
1) Welches Filter ist damit realisiert?
2) Wie groß sind Betrag und Phase der Übertragungsfunktion für ω0 = ( RC ) −1 ?
3) Welchen Wert hat der Betrag der Übertragungsfunktion an der Stelle ω = ω0 ?
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Aufgabe 21:
Ein Sägezahngenerator, der die Spannung uq liefert (Abbildung b), ist in Reihe geschaltet mit
einer Si-Diode D und einem Lastwiderstand RL = 500Ω (Abbildung a). Die Diodenkennlinie
werde angenähert durch eine Ersatzkennlinie mit U S = 0,6 V und rf = 10 Ω .
Abbildung a: Diode als Gleichrichter
Abbildung c: Ersatzschaltbild
Abbildung b: Sägezahnspannung
a) Berechnen Sie den Maximalwert (Scheitelwert) $i des Stromes i .
b) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes i .
c) Berechnen Sie den Effektivwert (quadratischer Mittelwert) I des Stromes i .
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Aufgabe 22:
Gegeben ist die abgebildete Schaltung. Die Spannung u1 wird über den Widerstand R
vollständig an die offenen Ausgangsklemmen übertragen, solange die Diode D gesperrt ist.
Die Ausgangsspannung u2 wird begrenzt, wenn die Diode leitet. Die Diodenkennlinie werde
idealisiert mit U S = 0,6 V und rf = 0 Ω .
a) In welchem Bereich der Spannung u1 ist die Diode D leitend bzw. gesperrt?
b) Berechnen Sie den Strom i in Abhängigkeit von der Spannung u1 .
c) Bestimmen Sie die Übertragungskennlinie der Spannung u2 in Abhängigkeit von der
Spannung u1 .
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Aufgabe 23:
Gegeben ist ein additiver Dioden-Mischer:
Die Kondensatorwerte sind so groß gewählt, dass die an ihnen abfallende Wechselspannung
vernachlässigt werden kann. Die nichtlineare Kennlinie der Diode kann durch ein Polynom
n-ter Ordnung beschrieben werden.
Für die Eingangsspannungen gilt: ue1 = A ⋅ sin(ω1t )
ue 2 = B ⋅ sin(ω2t )
mit ω1 ≠ ω2
Berechnen Sie die entstehenden Kreisfrequenzen ωi in der Ausgangsspannung ue3 des
Mischers und skizzieren Sie das Frequenzspektrum der Ausgangsspannung.
Hinweis: Zur vereinfachten Berechnung sollen nur die ersten drei Terme des Polynoms für
einen willkürlich gewählten Arbeitspunkt berücksichtigt werden.
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Aufgabe 24:
Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U BP = +15 V bzw.
U BM = −15 V symmetrisch gespeist wird.
Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung
A = 200 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers
etwa 10 kΩ betragen.
Eine Signalspannung u (t ) = 50 mV ⋅ cos(ω t + 135 °) wird mit dem Eingang des invertierenden
Verstärkers verbunden.
a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen)
Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen
Bauelemente.
b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine
Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der
Ausgangspannung charakteristischen Werte.
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Aufgabe 25:
Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U BP = +15 V bzw.
U BM = −15 V symmetrisch gespeist wird.
Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung
A = 100 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers
etwa 10 kΩ betragen.
Eine Signalspannung u (t ) = 200 mV ⋅ cos(ω t − 45 °) wird mit dem Eingang des invertierenden
Verstärkers verbunden.
a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen)
Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen
Bauelemente.
b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine
Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der
Ausgangspannung charakteristischen Werte.
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Aufgabe 26:
Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U BP = +5 V bzw.
U BM = −5 V symmetrisch gespeist wird.
Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung
A = 100 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers
etwa 1 kΩ betragen.
Eine Signalspannung u (t ) = 50 mV ⋅ cos(ω t + 45 °) wird mit dem Eingang des invertierenden
Verstärkers verbunden.
a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen)
Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen
Bauelemente.
b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine
Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der
Ausgangspannung charakteristischen Werte.
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